एका बिंदूवर फंक्शनचे विभेदक. एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनचे विभेदक

फंक्शन असल्यास एका बिंदूवर भिन्नता , नंतर त्याची वाढ दोन पदांची बेरीज म्हणून दर्शविली जाऊ शकते

. या अटी साठी infinitesimal कार्ये आहेत
.पहिली संज्ञा रेषीय आहे
, दुसरा पेक्षा अमर्याद उच्च क्रम आहे
.खरंच,

अशा प्रकारे, दुसरी टर्म येथे
फंक्शनची वाढ शोधताना आणि वेगाने शून्याकडे झुकते
प्रथम पद मुख्य भूमिका बजावते
किंवा (कारण
)
.

व्याख्या . फंक्शन वाढीचा मुख्य भाग
बिंदूवर , संदर्भात रेखीय
,विभेदक म्हणतात कार्ये या टप्प्यावर आणि दर्शविलेdyकिंवाdf(x)

. (2)

अशा प्रकारे, आम्ही निष्कर्ष काढू शकतो: स्वतंत्र व्हेरिएबलचा फरक त्याच्या वाढीशी एकरूप होतो, म्हणजेच
.

संबंध (2) आता फॉर्म घेतो

(3)

टिप्पणी . संक्षिप्ततेसाठी फॉर्म्युला (3) अनेकदा फॉर्ममध्ये लिहिलेले असते

(4)

भिन्नतेचा भौमितीय अर्थ

भिन्न कार्याचा आलेख विचारात घ्या
. गुण
आणि फंक्शनच्या आलेखाशी संबंधित आहे. बिंदूवर एमस्पर्शिका लाफंक्शनच्या आलेखाकडे ज्याचा कोन अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह आहे
द्वारे दर्शवा
. चला सरळ काढूया MN अक्षाच्या समांतर बैल आणि
अक्षाच्या समांतर ओय. फंक्शनची वाढ सेगमेंटच्या लांबीइतकी आहे
. काटकोन त्रिकोणातून
, ज्यामध्ये
, आम्हाला मिळते

वरील तर्क आम्हाला निष्कर्ष काढू देते:

कार्य भिन्नता
बिंदूवर या फंक्शनच्या आलेखाला त्याच्या संबंधित बिंदूवर स्पर्शिकेच्या ऑर्डिनेटच्या वाढीद्वारे दर्शविले जाते
.

विभेदक आणि व्युत्पन्न यांच्यातील संबंध

सूत्र विचारात घ्या (4)

आम्ही या समानतेच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करतो dx, नंतर

अशा प्रकारे, फंक्शनचे व्युत्पन्न हे स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या भिन्नतेच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे असते.

अनेकदा ही वृत्ती फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह दर्शविणारे प्रतीक म्हणून फक्त हाताळले जाते येथेयुक्तिवादाने एक्स.

डेरिव्हेटिव्हसाठी सोयीस्कर नोटेशन देखील आहे:

,
आणि असेच.

नोंदी देखील वापरल्या जातात

,
,

जेव्हा जटिल अभिव्यक्तीचे व्युत्पन्न घेतले जाते तेव्हा विशेषतः सोयीस्कर.

2. बेरीज, गुणाकार आणि भागफल यांचा फरक.

व्युत्पन्नातून भिन्नता स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या भिन्नतेने गुणाकार करून प्राप्त केली जात असल्याने, मूलभूत प्राथमिक कार्यांचे व्युत्पन्न, तसेच व्युत्पन्न शोधण्याचे नियम जाणून घेतल्यास, भिन्नता शोधण्यासाठी समान नियम येऊ शकतात.

1 0 . स्थिरांकाचा विभेद शून्य असतो

2 0 . भिन्न कार्यांच्या मर्यादित संख्येच्या बीजगणितीय बेरजेचा विभेद या कार्यांच्या भिन्नतेच्या बीजगणितीय बेरजेइतका असतो

3 0 . दोन भिन्न करण्यायोग्य कार्यांच्या गुणाकाराचा फरक पहिल्या कार्याच्या उत्पादनांच्या बेरजेइतका असतो आणि दुसर्‍या आणि दुसर्‍या कार्याच्या भिन्नता आणि पहिल्या कार्याच्या भिन्नतेइतका असतो.

परिणाम. विभेदक चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो

उदाहरण. फंक्शनचा फरक शोधा.

उपाय. आपण हे फंक्शन फॉर्ममध्ये लिहू

मग आम्हाला मिळते

4. पॅरामेट्रिकली दिलेली कार्ये, त्यांचे भेद.

व्याख्या . कार्य
दोन्ही व्हेरिएबल्स असल्यास पॅरामेट्रिकली दिलेले म्हणतात एक्स आणि येथे समान सहाय्यक व्हेरिएबल - पॅरामीटरची सिंगल-व्हॅल्यूड फंक्शन्स म्हणून प्रत्येकाची स्वतंत्रपणे व्याख्या केली जातेट:

कुठेटमध्ये बदलते
.

टिप्पणी . फंक्शन्सचे पॅरामेट्रिक असाइनमेंट सैद्धांतिक यांत्रिकीमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते, जेथे पॅरामीटर ट वेळ आणि समीकरणे दर्शवते
गतिमान बिंदूच्या अंदाजांमधील बदलाचे नियम आहेत
धुरा वर
आणि
.

टिप्पणी . आम्ही वर्तुळ आणि लंबवर्तुळाची पॅरामेट्रिक समीकरणे सादर करतो.

a) उत्पत्ती आणि त्रिज्या येथे केंद्रीत वर्तुळ आर पॅरामेट्रिक समीकरणे आहेत:

कुठे
.

b) लंबवर्तुळासाठी पॅरामेट्रिक समीकरणे लिहू:

कुठे
.

मापदंड वगळून ट विचाराधीन रेषांच्या पॅरामेट्रिक समीकरणांवरून, त्यांच्या प्रमाणिक समीकरणांवर येऊ शकते.

प्रमेय . फंक्शन असल्यास वादातून y x समीकरणांद्वारे पॅरामेट्रिकली दिले जाते
, कुठे
आणि
द्वारे भिन्नटकार्ये आणि
, नंतर

उदाहरण. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा येथेपासून एक्सपॅरामेट्रिक समीकरणांद्वारे दिलेले.

उपाय.
.

. (2)

संबंध (2) आता फॉर्म घेतो

(3)

टिप्पणी . संक्षिप्ततेसाठी फॉर्म्युला (3) अनेकदा फॉर्ममध्ये लिहिलेले असते

(4)

भिन्नतेचा भौमितीय अर्थ

वरील तर्क आम्हाला निष्कर्ष काढू देते:

विभेदक आणि व्युत्पन्न यांच्यातील संबंध

सूत्र विचारात घ्या (4)

आम्ही या समानतेच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करतो dx, नंतर

डेरिव्हेटिव्हसाठी सोयीस्कर नोटेशन देखील आहे:

,
आणि असेच.

नोंदी देखील वापरल्या जातात

,
,

जेव्हा जटिल अभिव्यक्तीचे व्युत्पन्न घेतले जाते तेव्हा विशेषतः सोयीस्कर.

2. बेरीज, गुणाकार आणि भागफल यांचा फरक.

1 0 . स्थिरांकाचा विभेद शून्य असतो

परिणाम. विभेदक चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो

उदाहरण. फंक्शनचा फरक शोधा.

उपाय. आपण हे फंक्शन फॉर्ममध्ये लिहू

मग आम्हाला मिळते

4. पॅरामेट्रिकली दिलेली कार्ये, त्यांचे भेद.

कुठेटमध्ये बदलते
.

टिप्पणी . आम्ही वर्तुळ आणि लंबवर्तुळाची पॅरामेट्रिक समीकरणे सादर करतो.

a) उत्पत्ती आणि त्रिज्या येथे केंद्रीत वर्तुळ आर पॅरामेट्रिक समीकरणे आहेत:

कुठे
.

b) लंबवर्तुळासाठी पॅरामेट्रिक समीकरणे लिहू:

कुठे
.

उपाय.
.

भिन्नतेची संकल्पना आणि भूमितीय अर्थ

व्याख्या. फंक्शनचा काही बिंदू x हा फरक फंक्शनच्या वाढीचा मुख्य, रेषीय भाग असतो.

y = f(x) फंक्शनचा फरक त्याच्या व्युत्पन्नाच्या गुणाकाराच्या आणि स्वतंत्र चल x (वितर्क) च्या वाढीइतका आहे.

हे असे लिहिले आहे:

भिन्नतेचा भौमितीय अर्थ. y = f(x) फंक्शनचा फरक M(x; y) बिंदूवर या फंक्शनच्या आलेखावर काढलेल्या स्पर्शिका S च्या ordinate च्या वाढीइतका असतो, जेव्हा x (वितर्क) मूल्याने बदलतो ( आकृती पहा).

अंदाजे गणनेमध्ये भिन्नता का वापरली जाऊ शकते?

फंक्शनच्या वाढीच्या भागाच्या संदर्भात भिन्नता मुख्य, रेखीय आहे; हा भाग जितका लहान असेल तितका वाढीचा वाटा मोठा आहे. मानसिकदृष्ट्या P बिंदूपासून (आकृती पहा) ऑक्स अक्षावर सोडलेला लंब उत्पत्तीच्या जवळ हलवून हे सत्यापित केले जाऊ शकते. म्हणून, लहान मूल्यांसाठी (आणि साठी), फंक्शनची वाढ अंदाजे त्याच्या मुख्य भागाद्वारे बदलली जाऊ शकते, म्हणजे.

भिन्न लेखनाच्या विविध प्रकारांवर

x बिंदूवर फंक्शनचा विभेदक आणि दर्शवितो

परिणामी,

, (2)

कारण y = f(x) फंक्शनचा फरक त्याच्या व्युत्पन्नाच्या गुणाकाराच्या आणि स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या वाढीइतका आहे.

टिप्पणी. हे लक्षात ठेवले पाहिजे की जर x हे वितर्काचे प्रारंभिक मूल्य असेल आणि वाढलेले मूल्य असेल, तर विभेदक अभिव्यक्तीमधील व्युत्पन्न प्रारंभिक बिंदू x वर घेतले जाते; सूत्र (1) मध्ये हे नोटेशनमधून दिसत नाही.

फंक्शनचा विभेद दुसर्‍या स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो:

(4)

विभेदक गुणधर्म

या आणि पुढील विभागांमध्ये, प्रत्येक फंक्शन त्याच्या वितर्कांच्या सर्व मानल्या गेलेल्या मूल्यांसाठी भिन्न मानले जाईल.

डिफरेंशियलमध्ये व्युत्पन्न प्रमाणेच गुणधर्म आहेत:

(C हे स्थिर मूल्य आहे) (5)

(6)

(7)

(9)

सूत्रे (5) - (9) प्रत्येक समानतेच्या दोन्ही भागांना द्वारे गुणाकार करून व्युत्पन्नासाठी संबंधित सूत्रांमधून प्राप्त केले जातात.

अंदाजे गणनेमध्ये भिन्नता लागू करणे

दुसऱ्या विभागात स्थापित अंदाजे समानता

तुम्हाला फंक्शन व्हॅल्यूजच्या अंदाजे गणनेसाठी विभेदक वापरण्याची परवानगी देते.

आपण अंदाजे समानता अधिक तपशीलवार लिहूया. कारण

अंदाजे गणनेतील परिपूर्ण आणि सापेक्ष त्रुटी

संख्येचे अंदाजे मूल्य वापरून, आपण त्याच्या अचूकतेची डिग्री घेण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे. या उद्देशासाठी, त्याच्या परिपूर्ण आणि संबंधित त्रुटींची गणना केली जाते.

अंदाजे संख्येची परिपूर्ण त्रुटी ही अचूक संख्या आणि त्याचे अंदाजे मूल्य यांच्यातील फरकाच्या निरपेक्ष मूल्याप्रमाणे असते:

अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी म्हणजे या संख्येच्या परिपूर्ण त्रुटीचे संबंधित अचूक संख्येच्या परिपूर्ण मूल्याचे गुणोत्तर:

नेमका आकडा माहीत नसेल तर

काहीवेळा, सूत्र (11) लागू करण्यापूर्वी, प्रथम मूळ मूल्याचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे. सामान्यतः, हे दोन उद्देशांसाठी केले जाते. प्रथम, हे सुनिश्चित करणे आवश्यक आहे की मूल्याच्या तुलनेत पुरेसे लहान आहे, कारण जितके लहान असेल तितके अंदाजे गणनाचे परिणाम अधिक अचूक असतील. दुसरे म्हणजे, हे मूल्य सोपे मोजले जाणे इष्ट आहे.

24. अंदाजे गणना करण्यासाठी फंक्शनच्या भिन्नतेचा वापर

अंदाजे गणनेसाठी भिन्नता लागू करणे

डिफरेंशियलची संकल्पना सूचित करते की जर कोणतीही प्रक्रिया तिच्या बदलाच्या स्वरूपाच्या रेषेच्या जवळ असेल, तर फंक्शनची वाढ भिन्नतापेक्षा थोडी वेगळी असते. या व्यतिरिक्त, जर एखाद्या फंक्शनमध्ये x बिंदूवर मर्यादित व्युत्पन्न असेल, तर त्याची वाढ आणि विभेदक देखील असीम असतात, जसे की शून्याकडे झुकते:

भिन्नता कार्य सतत असल्याने,

कारण DX शून्याकडे झुकत असणा-या अमर्याद फंक्शनचे उत्पादन हे अनंत कार्य आहे.

शिवाय, साठी ही दोन अनंत कार्ये समतुल्य आहेत:

ची समतुल्यता आणि वितर्काच्या लहान वाढीसाठी, अंदाजे गणना करणे शक्य करते

हे सूत्र काय देऊ शकते? ची मूल्ये काही क्षणी मोजणे तुलनेने सोपे होऊ द्या. नंतर दुसर्‍या टप्प्यावर, फार दूर नाही, खालील प्रतिनिधित्व शक्य आहे:

येथे मिळालेल्या निकालाच्या अचूकतेचा प्रश्न खुला राहतो. या परिस्थितीमुळे या अंदाजे गणना सूत्राचे मूल्य कमी होते, परंतु सर्वसाधारणपणे ते सरावात उपयुक्त आणि व्यापकपणे वापरले जाते.

एक उदाहरण विचारात घ्या. काटकोन त्रिकोणात, पाय a = 5 m आणि b = 12 m. पाय a 0.2 m (चित्र 11.5, a) ने कमी केल्यास या त्रिकोणाचे कर्ण काय असेल?

कर्णाची मूळ लांबी शोधा:

लेग a 0.2 मीटरने कमी केल्यानंतर कर्ण समान होईल (चित्र 11.5, a)

लेग a मध्ये घट झाल्याच्या संबंधात अंदाजे c शोधण्यासाठी आता फॉर्म्युला (11.16) लागू करू या, फॉर्मचे कार्य लक्षात घेऊन:

(B=Const);

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, आम्ही आवश्यक प्रमाणात अंदाजे मूल्य प्राप्त केले. परंतु पहिल्या प्रकरणात, अंदाजे गणनेच्या परिणामी त्रुटी उद्भवते आणि दुसर्‍यामध्ये, तुलनेने सोपी, अंदाजे सूत्र वापरल्यामुळे (अंदाजे गणनेमुळे उद्भवलेली त्रुटी देखील त्यात जोडली जाऊ शकते). लक्षात घ्या की जेव्हा लेग a 0.2 मीटरने कमी होतो, तेव्हा कर्ण c अंदाजे 0.08 मीटरने कमी होतो, तर आम्हाला मिळालेली अंदाजे मूल्ये फक्त 0.001 मीटरने भिन्न असतात.

दुसरी परिस्थिती विचारात घ्या: त्याच त्रिकोणामध्ये, आम्ही कर्ण c 0.2 मीटरने कमी करतो, लेग b अपरिवर्तित ठेवतो (चित्र 11.5, b). या प्रकरणात लेग ए कसा बदलेल हे ठरवूया:

25. फंक्शन्स आणि प्लॉटिंगच्या अभ्यासासाठी व्युत्पन्नाचा वापर

जर काही अंतराने फंक्शनचा आलेख एक सतत रेषा असेल, दुसऱ्या शब्दांत, कागदाच्या शीटमधून पेन्सिलशिवाय अशी रेखा काढता येते, तर अशा फंक्शनला या मध्यांतरावर सतत म्हणतात. अशी फंक्शन्स देखील आहेत जी सतत नसतात. उदाहरण म्हणून, फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या की, मध्यांतरांवर आणि [c; b] सतत आहे, परंतु एका बिंदूवर
x = c अखंड आहे आणि म्हणून संपूर्ण खंडावर सतत नाही. आपण शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात शिकत असलेली सर्व फंक्शन्स ही प्रत्येक मध्यांतरावर सतत फंक्शन्स असतात ज्यावर त्यांची व्याख्या केली जाते.

लक्षात घ्या की जर एखाद्या फंक्शनला काही अंतरालवर व्युत्पन्न असेल, तर ते या मध्यांतरावर सतत असते.

संभाषण खरे नाही. मध्यांतरावर सतत चालू असलेल्या फंक्शनमध्ये त्या मध्यांतरावर काही बिंदूंवर व्युत्पन्न असू शकत नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शन
y = |लॉग 2 x| अंतराल x > 0 वर सतत असतो, परंतु x = 1 बिंदूवर त्याचे कोणतेही व्युत्पन्न नसते, कारण या बिंदूवर फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका नसते.

व्युत्पन्न वापरून आलेख प्लॉट करण्याचा विचार करा.

फंक्शन प्लॉट करा f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

1) हे कार्य सर्व x ∈ R साठी परिभाषित केले आहे.

2) व्युत्पन्न वापरून विचाराधीन फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे मध्यांतर आणि त्याचा टोकाचा बिंदू शोधा. व्युत्पन्न f "(x) = 3x 2 - 4x + 1 आहे. स्थिर बिंदू शोधा:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, जिथून x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

डेरिव्हेटिव्हचे चिन्ह निश्चित करण्यासाठी, आम्ही 3x 2 - 4x + 1 या वर्गाचे घटक घटकांमध्ये विघटन करतो:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). म्हणून, अंतरावर x< 1/3 и х >1 व्युत्पन्न सकारात्मक आहे; त्यामुळे या अंतरावर फंक्शन वाढत आहे.

व्युत्पन्न 1/3 वर ऋण आहे< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

बिंदू x 1 \u003d 1/3 हा कमाल बिंदू आहे, कारण या बिंदूच्या उजवीकडे फंक्शन कमी होते आणि डावीकडे वाढते. या टप्प्यावर, फंक्शनचे मूल्य f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27 आहे.

किमान बिंदू हा बिंदू x 2 \u003d 1 आहे, कारण या बिंदूच्या डावीकडे फंक्शन कमी होते आणि उजवीकडे वाढते; या किमान बिंदूवर त्याचे मूल्य f(1) = 0 आहे.

3) आलेख तयार करताना, सामान्यतः समन्वय अक्षांसह आलेखाचे छेदनबिंदू आढळतात. f(0) = 0 असल्याने, आलेख मूळमधून जातो. समीकरण f(0) = 0 सोडवताना, आपल्याला x-अक्षासह आलेखाचे छेदनबिंदू सापडतात:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, जिथून x \u003d 0, x \u003d 1.

४) अधिक अचूक प्लॉटिंगसाठी, आणखी दोन बिंदूंवर फंक्शनची व्हॅल्यू शोधू: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) अभ्यासाचे परिणाम (गुण 1 - 4) वापरून, आम्ही y \u003d x 3 - 2x 2 + x फंक्शनचा आलेख तयार करतो.

फंक्शन प्लॉट करण्यासाठी, एक सामान्यतः प्रथम समस्या 1 सोडवण्याच्या योजनेप्रमाणेच योजनेनुसार त्याचे व्युत्पन्न वापरून या फंक्शनच्या गुणधर्मांची तपासणी करतो.

अशा प्रकारे, फंक्शनच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करताना, हे शोधणे आवश्यक आहे:

1) त्याच्या व्याख्येचे क्षेत्र;

2) व्युत्पन्न;

3) स्थिर बिंदू;

4) वाढ आणि घट च्या मध्यांतर;

5) या बिंदूंवर एक्स्ट्रीम पॉइंट्स आणि फंक्शन व्हॅल्यू.

अभ्यासाचे परिणाम टेबलच्या स्वरूपात सोयीस्करपणे रेकॉर्ड केले जातात. नंतर, टेबल वापरून, फंक्शनचा आलेख तयार करा. अधिक अचूक प्लॉटिंगसाठी, समन्वय अक्षांसह त्याचे छेदनबिंदू आणि आवश्यक असल्यास, आलेखाचे आणखी काही बिंदू सहसा आढळतात.

जर आपल्याला सम किंवा विषम कार्याचा सामना करावा लागला तर त्याचा आलेख प्लॉट करण्यासाठी, गुणधर्मांची तपासणी करणे आणि x\u003e 0 साठी त्याचा आलेख प्लॉट करणे पुरेसे आहे आणि नंतर y-अक्ष (मूळ) बद्दल सममितीयपणे प्रतिबिंबित करणे पुरेसे आहे. उदाहरणार्थ, f(x) = x + 4/x या फंक्शनचे विश्लेषण करून, हे फंक्शन विषम आहे या निष्कर्षावर आपण पोहोचतो: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). योजनेचे सर्व मुद्दे पूर्ण केल्यावर, आम्ही x\u003e 0 साठी फंक्शनचा आलेख आणि x साठी या फंक्शनचा आलेख तयार करतो.< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >मूळच्या सापेक्ष 0.

प्लॉटिंग फंक्शन्सच्या समस्या सोडवण्याच्या संक्षिप्ततेसाठी, बहुतेक तर्क तोंडी केले जातात.

आम्ही हे देखील लक्षात घेतो की काही समस्या सोडवताना, आम्हाला फंक्शनचा अभ्यास संपूर्ण परिभाषाच्या डोमेनवर नाही तर केवळ एका विशिष्ट अंतरावर करण्याची आवश्यकता असू शकते, उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला फंक्शन प्लॉट करायचे असेल तर, म्हणा, f (x) = 1 + 2x 2 - x 4 खंडावर [-1; 2].

26. अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन. अनिश्चित अविभाज्य आणि त्याचे गुणधर्म

अँटीडेरिव्हेटिव्हची व्याख्या.

मध्यांतर (a; b) वरील अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन f(x) हे असे फंक्शन F(x) आहे जे दिलेल्या मध्यांतरातील कोणत्याही x साठी समानता ठेवते.

जर आपण ही वस्तुस्थिती लक्षात घेतली की स्थिर C चे व्युत्पन्न शून्य असते, तर समानता . अशा प्रकारे, फंक्शन f(x) मध्ये अनियंत्रित स्थिरांक C साठी F(x)+C अँटीडेरिव्हेटिव्हजचा संच असतो आणि हे अँटीडेरिव्हेटिव्ह एकमेकांपासून अनियंत्रित स्थिर मूल्याने भिन्न असतात.

अनिश्चित अभिन्नाची व्याख्या.

f(x) फंक्शनच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या संपूर्ण संचाला या फंक्शनचे अनिश्चित अविभाज्य असे म्हणतात आणि ते सूचित केले जाते. .

अभिव्यक्तीला इंटिग्रँड म्हणतात आणि f(x) ला इंटिग्रँड म्हणतात. इंटिग्रँड हे फंक्शन f(x) चे अंतर आहे.

अज्ञात फंक्शन त्याच्या दिलेल्या भिन्नतेद्वारे शोधण्याच्या क्रियेला अनिश्चित एकीकरण म्हणतात, कारण एकीकरणाचा परिणाम एक फंक्शन F(x) नाही, तर त्याच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हज F(x)+C चा संच आहे.

डेरिव्हेटिव्हच्या गुणधर्मांवर आधारित, एखादी व्यक्ती अनिश्चित अविभाज्य (अँटीडेरिव्हेटिव्हचे गुणधर्म) चे गुणधर्म तयार आणि सिद्ध करू शकते.

1.
एकीकरण परिणामाचे व्युत्पन्न इंटिग्रँडच्या बरोबरीचे आहे.

2.
फंक्शनच्या डिफरन्शियलचा अनिश्चित पूर्णांक हा फंक्शनच्या बेरीज आणि अनियंत्रित स्थिरांकाच्या समान असतो.

3. , जेथे k हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
अनिश्चित अविभाज्य चिन्हातून गुणांक काढला जाऊ शकतो.

4.
फंक्शन्सच्या बेरीज/अंतराचा अनिश्चित पूर्णांक फंक्शन्सच्या अनिश्चित पूर्णांकांच्या बेरीज/अंतराच्या बरोबरीचा असतो.

अनिश्चित अविभाज्यांच्या पहिल्या आणि द्वितीय गुणधर्मांच्या मध्यवर्ती समानता स्पष्टीकरणासाठी दिल्या आहेत.

तिसरा आणि चौथा गुणधर्म सिद्ध करण्यासाठी, समानतेच्या उजव्या बाजूचे व्युत्पन्न शोधणे पुरेसे आहे:

हे डेरिव्हेटिव्ह इंटिग्रँड्सच्या बरोबरीचे आहेत, जे पहिल्या मालमत्तेचे प्रमाण आहे. हे शेवटच्या संक्रमणांमध्ये देखील वापरले जाते.

अशा प्रकारे, एकीकरण समस्या ही भिन्नतेची व्यस्त समस्या आहे आणि या समस्यांमध्ये खूप जवळचा संबंध आहे:

· प्रथम गुणधर्म एकीकरण तपासण्याची परवानगी देते. केलेल्या समाकलनाची शुद्धता तपासण्यासाठी, प्राप्त झालेल्या निकालाच्या व्युत्पन्नाची गणना करणे पुरेसे आहे. जर भिन्नतेच्या परिणामी प्राप्त केलेले कार्य इंटिग्रँडच्या बरोबरीचे असेल तर याचा अर्थ असा होईल की एकत्रीकरण योग्यरित्या केले गेले आहे;

· अनिश्चित पूर्णांकाचा दुसरा गुणधर्म आपल्याला फंक्शनच्या ज्ञात विभेदातून त्याचे प्रतिजैविक शोधण्याची परवानगी देतो. अनिश्चित पूर्णांकांची थेट गणना या गुणधर्मावर आधारित आहे.

एक उदाहरण विचारात घ्या.

ज्या फंक्शनचे व्हॅल्यू x = 1 बरोबर आहे त्याचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधा.

डिफरन्शियल कॅल्क्युलसवरून हे आपल्याला कळते (फक्त मूलभूत प्राथमिक कार्यांच्या डेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी पहा). अशा प्रकारे, . दुसऱ्या मालमत्तेद्वारे . म्हणजेच, आमच्याकडे अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचा संच आहे. x = 1 साठी आपल्याला मूल्य मिळते. अटीनुसार, हे मूल्य एक समान असले पाहिजे, म्हणून, С = 1. इच्छित अँटीडेरिव्हेटिव्ह फॉर्म घेईल.

जर मूलभूत प्राथमिक फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी भिन्नतेच्या स्वरूपात पुन्हा लिहिली गेली असेल, तर त्यातून, अनिश्चित अविभाज्यांच्या दुसर्‍या गुणधर्मानुसार, अँटीडेरिव्हेटिव्हची सारणी संकलित करणे शक्य आहे.

तत्सम माहिती.

तुम्ही बघू शकता, भिन्नता शोधण्यासाठी, तुम्हाला डेरिव्हेटिव्हचा dx ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. हे आपल्याला डेरिव्हेटिव्ह्जच्या सूत्रांच्या सारणीपासून भिन्नतेसाठी संबंधित सारणी त्वरित लिहू देते.

दोन चलांच्या कार्यासाठी एकूण भिन्नता:

तीन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनसाठी एकूण डिफरेंशियल आंशिक डिफरेंशियलच्या बेरजेइतके आहे: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

व्याख्या . फंक्शन y=f(x) x 0 बिंदूवर विभेदनीय असे म्हणतात जर या बिंदूवर त्याची वाढ ∆y=A∆x + α(∆x)∆x म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, जेथे A स्थिर आहे आणि α(∆ x) ∆x → 0 इतका लहान आहे.
एका बिंदूवर फंक्शन वेगळे करता येण्यासारखे असणे आवश्यक आहे या बिंदूवर A=f'(x 0) सह व्युत्पन्न अस्तित्वाच्या समतुल्य आहे.

f(x) ला x 0 आणि f "(x 0)≠0 बिंदूवर भिन्न असू द्या, नंतर ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, जेथे α= α(∆x) →0 असे ∆x → 0. प्रमाण ∆y आणि उजव्या बाजूला असलेली प्रत्येक संज्ञा ही ∆x→0 अशी अनंत मूल्ये आहेत. त्यांची तुलना करूया: , म्हणजे, α(∆x)∆x हा f’(x 0)∆x पेक्षा असीमित उच्च क्रम आहे.
, म्हणजे, ∆y~f’(x 0)∆x. म्हणून, f’(x 0)∆x हा मुख्य आणि त्याच वेळी वाढीच्या ∆x भागाच्या संदर्भात रेखीय आहे ∆y (रेषीय म्हणजे पहिल्या अंशापर्यंत ∆x असलेला). या पदाला x 0 बिंदूवर y \u003d f (x) फंक्शनचे विभेदक म्हणतात आणि dy (x 0) किंवा df (x 0) दर्शवितात. तर, अनियंत्रित x साठी
dy=f′(x)∆x. (एक)
चला तर dx=∆x
dy=f′(x)dx. (२)

उदाहरण. या फंक्शन्सचे व्युत्पन्न आणि भिन्नता शोधा.
अ) y=4tg2x
उपाय:

भिन्नता:
ब)
उपाय:

भिन्नता:
c) y=arcsin 2 (lnx)
उपाय:

भिन्नता:
जी)
उपाय:
=
भिन्नता:

उदाहरण. y=x 3 फंक्शनसाठी x आणि ∆x च्या काही मूल्यांसाठी ∆y आणि dy साठी एक अभिव्यक्ती शोधा.
उपाय. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (आम्ही ∆y चा मुख्य रेखीय भाग ∆x च्या संदर्भात घेतला). या प्रकरणात, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

अविभाज्यपणे जोडलेले असल्याने, ते दोन्ही मानवी वैज्ञानिक आणि तांत्रिक क्रियाकलापांच्या प्रक्रियेत उद्भवलेल्या जवळजवळ सर्व समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी अनेक शतकांपासून सक्रियपणे वापरले गेले आहेत.

भिन्नतेच्या संकल्पनेचा उदय

डिफरेंशियल कॅल्क्युलसच्या संस्थापकांपैकी एक (आयझॅक न्यूटनसह) प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेल्म लीबनिझ यांनी प्रथमच विभेदक म्हणजे काय हे स्पष्ट केले. या आधी, गणितज्ञ 17 कला. कोणत्याही ज्ञात फंक्शनच्या काही अमर्याद लहान "अविभाज्य" भागाची एक अतिशय अस्पष्ट आणि अस्पष्ट कल्पना वापरली गेली होती, जी अगदी लहान स्थिर मूल्याचे प्रतिनिधित्व करते, परंतु शून्याच्या समान नसते, ज्यापेक्षा कमी फंक्शनची मूल्ये असू शकत नाहीत. इथून फंक्शन्सच्या वितर्कांच्या अनंत वाढीच्या संकल्पनेचा परिचय करून देण्याची आणि फंक्शन्सची स्वतःची संबंधित वाढ, नंतरच्या डेरिव्हेटिव्ह्जद्वारे व्यक्त केलेली केवळ एक पायरी होती. आणि हे पाऊल वरील दोन महान शास्त्रज्ञांनी जवळजवळ एकाच वेळी उचलले होते.

वेगाने विकसित होत असलेल्या उद्योग आणि तंत्रज्ञानामुळे विज्ञानासमोर उभ्या राहिलेल्या यांत्रिकीच्या तातडीच्या व्यावहारिक समस्या सोडविण्याच्या गरजेच्या आधारे, न्यूटन आणि लीबनिझ यांनी फंक्शन्सच्या बदलाचा दर शोधण्यासाठी सामान्य पद्धती तयार केल्या (प्रामुख्याने शरीराच्या यांत्रिक गतीच्या संदर्भात. ज्ञात प्रक्षेपण), ज्यामुळे अशा संकल्पनांचा परिचय झाला, फंक्शनचे व्युत्पन्न आणि भिन्नता म्हणून, आणि व्यस्त समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम देखील सापडला, ज्ञात (चल) वेगापासून प्रवास केलेले अंतर कसे शोधायचे, ज्यामुळे अविभाज्य संकल्पनेच्या उदयापर्यंत.

लीबनिझ आणि न्यूटनच्या कार्यात, प्रथमच, अशी कल्पना दिसली की भिन्नता हे फंक्शन्सच्या वाढीचे मुख्य भाग आहेत Δy, वितर्क Δx च्या वाढीच्या प्रमाणात, ज्याच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी यशस्वीरित्या लागू केले जाऊ शकते. नंतरचा. दुसर्‍या शब्दांत, त्यांनी शोधून काढले की फंक्शनची वाढ कोणत्याही बिंदूवर (त्याच्या व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये) त्याच्या व्युत्पन्न 0 म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकते, Δx पेक्षा खूप वेगवान.

गणितीय विश्लेषणाच्या संस्थापकांच्या मते, भिन्नता ही कोणत्याही फंक्शन्सच्या वाढीसाठी अभिव्यक्तीमधील फक्त प्रथम संज्ञा आहेत. अद्याप अनुक्रमांच्या मर्यादेची स्पष्टपणे तयार केलेली संकल्पना नसल्यामुळे, त्यांना अंतर्ज्ञानाने समजले की भिन्नतेचे मूल्य Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाकडे झुकते.

न्यूटनच्या विपरीत, जो प्रामुख्याने एक भौतिकशास्त्रज्ञ होता आणि भौतिक समस्यांच्या अभ्यासासाठी गणिती उपकरणे एक सहायक साधन मानत होता, लीबनिझने या टूलकिटवरच अधिक लक्ष दिले, ज्यामध्ये गणितीय प्रमाणांसाठी दृश्य आणि समजण्यायोग्य नोटेशनची प्रणाली समाविष्ट होती. फंक्शन dy \u003d y "(x) dx, वितर्क dx आणि फंक्शनचे व्युत्पन्न त्यांच्या गुणोत्तर y" (x) \u003d dy / dx या स्वरूपातील भिन्नतेसाठी सामान्यतः स्वीकृत नोटेशन त्यांनीच प्रस्तावित केले. .

आधुनिक व्याख्या

आधुनिक गणिताच्या दृष्टीने फरक काय आहे? हे व्हेरिएबल इन्क्रिमेंटच्या संकल्पनेशी जवळून संबंधित आहे. जर व्हेरिएबल y प्रथम y = y 1 आणि नंतर y = y 2 हे मूल्य घेते, तर y 2 ─ y 1 या फरकास y ची वाढ म्हणतात.

वाढ सकारात्मक असू शकते. ऋण आणि शून्य समान. "वाढ" हा शब्द Δ द्वारे दर्शविला जातो, नोटेशन Δy ("डेल्टा y" वाचा) y ची वाढ दर्शवते. म्हणून Δу = y 2 ─ y 1 .

जर एखाद्या अनियंत्रित कार्याचे Δу मूल्य y = f (x) हे Δу = A Δх + α म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, जेथे A ला Δх वर अवलंबून नाही, म्हणजे दिलेल्या x साठी A = const, आणि α हा शब्द त्याच्याकडे झुकतो. स्वतः Δx पेक्षाही वेगवान, नंतर Δx च्या प्रमाणात प्रथम ("मुख्य") संज्ञा y \u003d f (x) साठी भिन्नता आहे, dy किंवा df (x) द्वारे दर्शविली जाते (x वरून “de y”, “de ef वाचा "). म्हणून, भिन्नता हे Δx च्या संदर्भात फंक्शन्सच्या वाढीचे "मुख्य" रेखीय घटक आहेत.

यांत्रिक व्याख्या

s = f(t) हे सुरुवातीच्या स्थितीपासूनचे अंतर असू द्या (t म्हणजे प्रवासाची वेळ). वाढीव Δs हा Δt वेळेच्या मध्यांतरातील बिंदूचा मार्ग आहे आणि विभेदक ds = f "(t) Δt हा असा मार्ग आहे की बिंदूने त्याच वेळी Δt मध्ये प्रवास केला असता जर त्याने f" (t) गती ठेवली असती ) वेळेपर्यंत पोहोचले. अनंत लहान Δt साठी, काल्पनिक मार्ग ds हा खऱ्या Δs पेक्षा अनंत मूल्याने वेगळा असतो, ज्याचा क्रम Δt च्या संदर्भात उच्च असतो. जर t वेळी गती शून्याच्या समान नसेल, तर ds बिंदूच्या लहान विस्थापनाचे अंदाजे मूल्य देते.

भौमितिक व्याख्या

L हा आलेख y = f(x) असू द्या. नंतर Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(खालील आकृती पहा). स्पर्शिका MN Δy खंडाला QN आणि NM असे दोन भागांमध्ये विभाजित करते. पहिला Δх च्या प्रमाणात आहे आणि QN = MQ∙tg (कोन QMN) = Δх f "(x), म्हणजे QN हा विभेदक dy आहे.

दुसरा भाग NM"फरक Δу ─ dy देतो, Δх→0 वर NM ची लांबी" युक्तिवादाच्या वाढीपेक्षा अधिक वेगाने कमी होते, म्हणजेच त्याचा लहानपणाचा क्रम Δх पेक्षा जास्त असतो. विचाराधीन प्रकरणात, f "(x) ≠ 0 साठी (स्पर्शिका OX ला समांतर नाही), विभाग QM" आणि QN समतुल्य आहेत; दुसऱ्या शब्दांत, एकूण वाढ Δу = QM पेक्षा NM" वेगाने कमी होते (त्याचा लहानपणाचा क्रम जास्त आहे). हे आकृतीमध्ये पाहिले जाऊ शकते (जसे M "M जवळ येतो, विभाग NM" हा QM "खंडाची सर्वात लहान टक्केवारी बनवतो).

तर, ग्राफिकदृष्ट्या, अनियंत्रित फंक्शनचा फरक त्याच्या स्पर्शिकेच्या ऑर्डिनेटच्या वाढीच्या विशालतेइतका असतो.

व्युत्पन्न आणि भिन्नता

फंक्शनच्या वाढीसाठी अभिव्यक्तीच्या पहिल्या टर्ममधील गुणांक A त्याच्या व्युत्पन्न f "(x) च्या मूल्याप्रमाणे आहे. अशा प्रकारे, खालील संबंध घडतात - dy \u003d f" (x) Δx, किंवा df (x) \u003d f "(x) Δx.

हे ज्ञात आहे की स्वतंत्र युक्तिवादाची वाढ त्याच्या विभेदक Δх = dx च्या समान आहे. त्यानुसार, तुम्ही लिहू शकता: f "(x) dx \u003d dy.

भेद शोधणे (कधीकधी "निराकरण" म्हटले जाते) डेरिव्हेटिव्हजच्या समान नियमांनुसार केले जाते. त्यांची यादी खाली दिली आहे.

काय अधिक सार्वत्रिक आहे: युक्तिवाद किंवा त्याचे विभेदक वाढ

येथे काही स्पष्टीकरण करणे आवश्यक आहे. x चा वितर्क म्हणून विचार करताना f "(x) Δx या मूल्याद्वारे प्रतिनिधित्व करणे शक्य आहे. परंतु फंक्शन जटिल असू शकते, ज्यामध्ये x हे काही वितर्क t चे कार्य असू शकते. नंतर अभिव्यक्तीद्वारे भिन्नतेचे प्रतिनिधित्व f "(x) Δx, एक नियम म्हणून, अशक्य आहे; रेखीय अवलंबन x = at + b च्या बाबतीत वगळता.

f "(x) dx \u003d dy या सूत्रासाठी, नंतर स्वतंत्र वितर्क x (नंतर dx \u003d Δx) च्या बाबतीत आणि t वर x च्या पॅरामेट्रिक अवलंबनाच्या बाबतीत, ते भिन्नता दर्शवते.

उदाहरणार्थ, 2 x Δx ही अभिव्यक्ती y = x 2 साठी दर्शवते जेव्हा x हा वितर्क असतो. आता x= t 2 सेट करू आणि t हा वितर्क म्हणून घेऊ. नंतर y = x 2 = t 4 .

ही अभिव्यक्ती Δt च्या प्रमाणात नाही आणि म्हणून आता 2xΔх हा फरक नाही. हे y = x 2 = t 4 या समीकरणावरून आढळू शकते. हे dy=4t 3 Δt च्या बरोबरीचे आहे.

जर आपण 2xdx ही अभिव्यक्ती घेतली, तर ती कोणत्याही आर्ग्युमेंट t साठी y = x 2 चे अंतर दर्शवते. खरंच, x= t 2 वर आपल्याला dx = 2tΔt मिळेल.

याचा अर्थ असा की 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, म्हणजे, दोन भिन्न चलांच्या संदर्भात लिहिलेल्या भिन्नतांचे अभिव्यक्ती जुळले.

डिफरेंशियलसह वाढीव बदलणे

जर f "(x) ≠ 0 असेल, तर Δу आणि dy समतुल्य असतील (Δх→0 साठी); जर f "(x) = 0 (ज्याचा अर्थ dy = 0 असेल), तर ते समतुल्य नाहीत.

उदाहरणार्थ, y \u003d x 2 असल्यास, Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2, आणि dy \u003d 2xΔx. जर x=3, तर आपल्याकडे Δу = 6Δх + Δх 2 आणि dy = 6Δх आहेत, जे Δх 2 →0 मुळे समतुल्य आहेत, x=0 वर Δу = Δх 2 आणि dy=0 ही मूल्ये समतुल्य नाहीत.

ही वस्तुस्थिती, भिन्नतेच्या साध्या संरचनेसह (म्हणजे Δx च्या संदर्भात रेखीयता) सहसा अंदाजे गणनांमध्ये वापरली जाते, असे गृहीत धरून की लहान Δx साठी Δy ≈ dy. वाढीच्या अचूक मूल्याची गणना करण्यापेक्षा फंक्शनचे भिन्नता शोधणे सहसा सोपे असते.

उदाहरणार्थ, आपल्याकडे x = 10.00 सेमी धार असलेला धातूचा घन आहे. गरम केल्यावर, किनारा Δx = 0.001 सेमीने लांब होतो. घनाचा आवाज V किती वाढला? आमच्याकडे V \u003d x 2 आहे, म्हणजे dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). ΔV मधील वाढ ही विभेदक dV च्या समतुल्य आहे, म्हणून ΔV = 3 सेमी 3 . पूर्ण गणना ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 देईल. पण या निकालात पहिला वगळता सर्व आकडे अविश्वसनीय आहेत; तर, तरीही, तुम्हाला ते 3 सेमी 3 पर्यंत गोलाकार करावे लागेल.

हे उघड आहे की अशा प्रकारचा दृष्टीकोन केवळ तेव्हाच उपयुक्त आहे जेव्हा सादर केलेल्या त्रुटीच्या विशालतेचा अंदाज लावणे शक्य असेल.

कार्य भिन्नता: उदाहरणे

व्युत्पन्न न शोधता फंक्शन y = x 3 चा फरक शोधण्याचा प्रयत्न करूया. चला युक्तिवाद वाढवू आणि Δу परिभाषित करू.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

येथे गुणांक A= 3x 2 Δх वर अवलंबून नाही, म्हणून पहिली संज्ञा Δх च्या प्रमाणात आहे, तर दुसरी संज्ञा 3xΔх 2 + Δх 3 Δх→0 वर वितर्क वाढवण्यापेक्षा वेगाने कमी होते. म्हणून, 3x 2 Δx ही संज्ञा विभेदक y = x 3 आहे:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx किंवा d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

या प्रकरणात, d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

आता फंक्शन y = 1/x चा dy शोधू या. नंतर d(1/x) / dx = ─1/x 2 . म्हणून, dy = ─ Δх/х 2 .

मूलभूत बीजगणितीय फंक्शन्सचे भेद खाली दिले आहेत.

विभेदक वापरून अंदाजे गणना

फंक्शन f (x), तसेच त्याचे व्युत्पन्न f "(x) हे x=a साठी मोजणे सहसा अवघड नसते, परंतु x=a बिंदूच्या परिसरात असे करणे सोपे नसते. नंतर अंदाजे अभिव्यक्ती बचावासाठी येते

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

हे त्याच्या विभेदक f "(a)Δх द्वारे Δх लहान वाढीवर फंक्शनचे अंदाजे मूल्य देते.

म्हणून, हे सूत्र Δx लांबीच्या एका विभागाच्या शेवटच्या बिंदूवरील फंक्शनसाठी या विभागाच्या (x=a) सुरुवातीच्या बिंदूवर त्याच्या मूल्याची बेरीज म्हणून अंदाजे अभिव्यक्ती देते आणि त्याच प्रारंभिक बिंदूवरील भिन्नता देते. फंक्शनचे मूल्य निर्धारित करण्याच्या या पद्धतीची त्रुटी खालील आकृतीमध्ये स्पष्ट केली आहे.

तथापि, x=a+Δх साठी फंक्शनच्या मूल्याची अचूक अभिव्यक्ती देखील ओळखली जाते, जी मर्यादित वाढीच्या सूत्राद्वारे दिली जाते (किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, लॅग्रेंज सूत्र)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

जेथे x = a + ξ हा बिंदू x = a ते x = a + Δx या खंडावर आहे, जरी त्याचे अचूक स्थान अज्ञात आहे. अचूक सूत्रामुळे अंदाजे सूत्राच्या त्रुटीचा अंदाज लावणे शक्य होते. जर आपण लॅग्रेंज सूत्रामध्ये ξ = Δх /2 ठेवले, तर ते अचूक असणे बंद केले असले तरी, ते सामान्यत: भिन्नता द्वारे मूळ अभिव्यक्तीपेक्षा बरेच चांगले अंदाजे देते.

विभेदक लागू करून सूत्रांच्या त्रुटीचा अंदाज लावणे

तत्त्वतः, ते चुकीचे आहेत आणि मापन डेटामध्ये संबंधित त्रुटींचा परिचय देतात. ते सीमांत किंवा थोडक्यात, किरकोळ त्रुटी द्वारे दर्शविले जातात - एक सकारात्मक संख्या, स्पष्टपणे ही त्रुटी निरपेक्ष मूल्यामध्ये (किंवा किमान त्याच्या समान) ओलांडते. मर्यादेला मोजलेल्या मूल्याच्या निरपेक्ष मूल्याद्वारे भागाकाराचा भाग म्हणतात.

फंक्शन y ची गणना करण्यासाठी अचूक सूत्र y= f (x) वापरू द्या, परंतु x चे मूल्य मोजमापाचा परिणाम आहे आणि म्हणून y मध्ये त्रुटी आणते. नंतर, फंक्शन y च्या मर्यादित पूर्ण त्रुटी │‌‌Δу│ शोधण्यासाठी, सूत्र वापरा

│‌Δу│≈│‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

जेथे │Δх│ ही युक्तिवादाची सीमांत त्रुटी आहे. ││││ ││ ││ ││ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ││ अयोग्य म्हणजे विभेदक गणनेद्वारे वाढीच्या गणनेची बदली.