چگونه فرمول های ریاضی را در وب سایت درج کنیم؟
اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار داده می شوند. . این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.
اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.
دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.
می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:
یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.
ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، اضافه کنید، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.
هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.
الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.
"بسط سری Maclaurin تابع f(x) را بیابید" - این دقیقاً همان چیزی است که کار در ریاضیات عالی به نظر می رسد ، که برخی از دانش آموزان می توانند انجام دهند ، اما برخی دیگر نمی توانند با مثال ها کنار بیایند. چندین راه برای گسترش یک سری در قدرت ها وجود دارد. هنگام توسعه یک تابع در یک سری، باید در محاسبه مشتقات خوب باشید.
مثال 4.7 یک تابع را در توان های x بسط دهید
محاسبات: بسط تابع را طبق فرمول Maclaurin انجام می دهیم. ابتدا مخرج تابع را به یک سری گسترش می دهیم 
در نهایت بسط را در عدد ضرب کنید.
جمله اول مقدار تابع در صفر f (0) = 1/3 است.
بیایید مشتقات تابع مرتبه اول و بالاتر f (x) و مقدار این مشتقات را در نقطه x=0 پیدا کنیم. 
در مرحله بعد، بر اساس الگوی تغییرات مقدار مشتقات در 0، فرمول n ام مشتق را می نویسیم. 
بنابراین، ما مخرج را در قالب یک بسط در سری Maclaurin نشان می دهیم 
در عدد ضرب می کنیم و بسط مورد نظر تابع را در یک سری به توان x بدست می آوریم 
همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد.
همه نکات کلیدی بر اساس توانایی محاسبه مشتقات و تعمیم سریع ارزش مشتق مرتبه بالاتر در صفر است. مثال‌های زیر به شما کمک می‌کنند تا یاد بگیرید چگونه سریع یک تابع را در یک سری مرتب کنید.
مثال 4.10 بسط سری Maclaurin تابع را پیدا کنید
محاسبات: همانطور که ممکن است حدس بزنید، کسینوس را در صورت یک سری قرار می دهیم. برای انجام این کار، می‌توانید از فرمول‌هایی برای مقادیر بی‌نهایت کوچک استفاده کنید یا بسط کسینوس را از طریق مشتقات استخراج کنید. در نتیجه به سری زیر در توان x می رسیم 
همانطور که می بینید، ما حداقل محاسبات و یک نمایش فشرده از بسط سری داریم.
مثال 4.16 یک تابع در توان x را بسط دهید:
7/(12-x-x^2)
محاسبات: در این نوع مثال ها باید کسر را از مجموع کسرهای ساده بسط داد.
ما اکنون نحوه انجام این کار را نشان نمی دهیم، اما با کمک ضرایب نامشخص به مجموع کسرها خواهیم رسید.
سپس مخرج ها را به صورت نمایی می نویسیم 
باقی مانده است که اصطلاحات را با استفاده از فرمول Maclaurin گسترش دهیم. با جمع کردن عبارات در توان های یکسان "x"، فرمولی برای عبارت کلی بسط یک تابع در یک سری ایجاد می کنیم. 
اجرای آخرین بخش از انتقال به سری در ابتدا دشوار است، زیرا ترکیب فرمول های شاخص های جفت و جفت نشده (درجات) دشوار است، اما با تمرین در آن بهتر خواهید شد.
مثال 4.18 بسط سری Maclaurin تابع را پیدا کنید
محاسبات: بیایید مشتق این تابع را پیدا کنیم: 
بیایید با استفاده از یکی از فرمول های مک لارن، تابع را به یک سری گسترش دهیم: 
بر اساس این واقعیت که هر دو کاملاً یکسان هستند، مجموعه را ترم به ترم جمع می کنیم. با ادغام کل سری به صورت ترم، بسط تابع را به یک سری در توان های x بدست می آوریم. 
یک انتقال بین دو خط آخر بسط وجود دارد که در ابتدا زمان زیادی از شما می گیرد. تعمیم یک فرمول سری برای همه آسان نیست، بنابراین نگران نباشید که نمی توانید یک فرمول خوب و فشرده به دست آورید.
مثال 4.28 بسط سری Maclaurin تابع را پیدا کنید:
بیایید لگاریتم را به صورت زیر بنویسیم 
با استفاده از فرمول Maclaurin، تابع لگاریتم را در یک سری به توان x گسترش می دهیم 
پیچیدگی نهایی در نگاه اول پیچیده است، اما با علامت های متناوب همیشه چیزی مشابه دریافت خواهید کرد. درس ورودی با موضوع زمانبندی توابع در یک ردیف به پایان رسید. سایر طرح های تجزیه به همان اندازه جالب در مواد زیر به تفصیل مورد بحث قرار خواهند گرفت.
دانش‌آموزان ریاضیات عالی باید بدانند که مجموع یک سری توانی خاص متعلق به بازه همگرایی سری‌ای که به ما داده می‌شود، یک تابع متمایز پیوسته و نامحدود است. این سوال مطرح می شود: آیا می توان گفت که یک تابع دلخواه f(x) مجموع یک سری توان معین است؟ یعنی تابع f(x) را تحت چه شرایطی می توان با یک سری توانی نمایش داد؟ اهمیت این سوال در این است که تقریباً می توان تابع f(x) را با مجموع چند جمله اول یک سری توانی، یعنی یک چند جمله ای، جایگزین کرد. این جایگزینی یک تابع با یک عبارت نسبتاً ساده - یک چند جمله ای - هنگام حل مسائل خاص نیز راحت است، یعنی: هنگام حل انتگرال، هنگام محاسبه و غیره.
ثابت شده است که برای یک تابع خاص f(x)، که در آن می توان مشتقات را تا مرتبه (n+1)ام، از جمله آخرین، در همسایگی (α - R؛ x 0 + R) محاسبه کرد. ) یک نقطه x = α، درست است که فرمول:
این فرمول به افتخار دانشمند معروف بروک تیلور نامگذاری شده است. سری که از قبلی بدست می آید سری Maclaurin نام دارد:
قاعده ای که امکان اجرای یک بسط را در سری Maclaurin فراهم می کند:
R n (x) -> 0 در n -> بی نهایت. اگر یکی وجود داشته باشد، تابع f(x) در آن باید با مجموع سری Maclaurin منطبق باشد.
اجازه دهید اکنون سری Maclaurin را برای توابع فردی در نظر بگیریم.
1. بنابراین، اولین مورد f(x) = e x خواهد بود. البته، چنین تابعی با توجه به ویژگی‌هایش مشتقاتی با مرتبه‌های بسیار متفاوت دارد، و f (k) (x) = e x، که در آن k برابر با 0 است. f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ... بر اساس موارد فوق سری e x به شکل زیر خواهد بود:
2. سری Maclaurin برای تابع f(x) = sin x. اجازه دهید بلافاصله روشن کنیم که تابع برای همه مجهولات مشتقاتی خواهد داشت، علاوه بر این، f "(x) = cos x = sin(x+n/2)، f """ (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)...، f (k) (x) = sin(x+k*n/2)، که k برابر هر عدد طبیعی است، یعنی بعد از انجام محاسبات ساده می توانیم به آن برسیم نتیجه گیری که سری برای f(x) = sin x به این صورت خواهد بود:
3. حالا بیایید سعی کنیم تابع f(x) = cos x را در نظر بگیریم. برای همه مجهولات مشتقاتی از نظم دلخواه دارد و |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
