معادلات خطوط داده شده با دو نقطه را بسازید. چگونه با استفاده از دو نقطه معادله خط مستقیم بنویسیم؟ معادله خطی که از نقطه معینی در جهت معین می گذرد

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

با معادله درجه اول (معادله خطی) روی هواپیما داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف بسته به هر داده ارائه کرد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم: 3 - 2 + C = 0

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر شدن:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود هستند

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب هستند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط بر هم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معین M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

معادلات متعارف یک خط در فضا، معادلاتی هستند که خطی را تعریف می کنند که از یک نقطه معین به صورت هم خط با بردار جهت می گذرد.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و هم خطی باشند، یعنی شرط برای آنها برآورده شود:

.

معادلات فوق معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند به طور همزمان برابر با صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، ورودی زیر مجاز است:

,

به این معنی که پیش بینی های بردار روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هر دو بردار و خط مستقیم که توسط معادلات متعارف تعریف شده اند، بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیماها yOz .

مثال 1.معادلات خطی را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. بیایید نقطه تلاقی این صفحه با محور را پیدا کنیم اوز. از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصات است، پس با فرض در معادله داده شده از هواپیما x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2) است. از آنجایی که خط مورد نظر بر صفحه عمود است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد هواپیمای داده شده

حال بیایید معادلات لازم برای خط مستقیمی را که از یک نقطه عبور می کند، یادداشت کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد تعریف کرد و در این حالت، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط شکل می گیرند

.

معادلات بالا خطی را مشخص می کند که از دو نقطه داده شده می گذرد.

مثال 2.معادله خطی در فضایی که از نقاط و .

راه حل. اجازه دهید معادلات خط مستقیم مورد نیاز را به شکل بالا در مرجع نظری بنویسیم:

.

از آنجا که، پس خط مستقیم مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3.معادلات متعارف یک خط در فضا را که با معادلات عمومی داده می شود بنویسید

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط یا همان معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه روی خط را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین با فرض در این سیستم معادلات ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را تعریف می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مورد نظر. سپس با فرض در سیستم معادلات داده شده y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را تعریف می کند ب(-2؛ 0؛ 0) تقاطع یک خط با یک صفحه xOz .

حال بیایید معادلات خط عبور از نقاط را یادداشت کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا بعد از تقسیم مخرج بر -2:

,

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1؛ y 1) و M 2 (x 2؛ y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1,y I) و M 2 (x 2,y 2) می گذرد با محور ارتجاعی موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a;0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0;b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط کدام بخش ها را در محورهای مختصات قطع می کند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

بیایید یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط بگیریم و بردار M 0 M (x - x 0; y - y o) را در نظر بگیریم (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n= (A; B)، عمود بر خط، نرمال نامیده می شود بردار عادی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Ax o - Vu o عبارت آزاد است. معادله (10.9) معادله کلی خط است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، و
- بردار جهت

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز در یک نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز پایه با مبدأ مختصات منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شوند، یک کمیت ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون‌ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که با توجه به نمودار یک تابع و مماس بر این نمودار، به راه دوم برای حل مسائل ارائه شده در یافتن مشتق نگاه کنید. در مورد این روش بحث خواهیم کرد ، از دست نده! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته، ما به سادگی می توانیم این فرمول را نشان دهیم و به شما توصیه کنیم که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، می توانید به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل بیان شده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B(x 2;y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا خود فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

**اگر این فرمول را به سادگی "به خاطر بسپارید"، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها در زمانی که ایکس. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی تعیین کرد، به عنوان مثال:

به همین دلیل مهم است که معنی آن را درک کنید.

حالا اشتقاق این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند شبیه هم هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را از طریق تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ ثبات است):

نتیجه همان معادله خط خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین می شوند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل اشتقاق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد واضح تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصاتی که از دو نقطه داده شده A(x 1;y 1) و B(x2;y 2) می گذرد ساخته شود. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی همان خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را درک کنید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. معادلات باید درست باشد.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.