عبارات پیچیده با کسری. روش

در ریاضیات، انواع مختلفی از اعداد از زمان پیدایش آنها مورد مطالعه قرار گرفته است. تعداد زیادی مجموعه و زیر مجموعه اعداد وجود دارد. از جمله اعداد صحیح، گویا، غیر منطقی، طبیعی، زوج، فرد، مختلط و کسری هستند. امروز ما اطلاعات مربوط به آخرین مجموعه - اعداد کسری را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

تعریف کسرها

کسرها اعدادی هستند که از یک جزء صحیح و کسری از یک واحد تشکیل شده اند. درست مانند اعداد صحیح، بین دو عدد صحیح تعداد بی نهایت کسری وجود دارد. در ریاضیات، عملیات با کسرها مانند اعداد صحیح و اعداد طبیعی انجام می شود. این بسیار ساده است و می توان در چند درس یاد گرفت.

در مقاله دو نوع ارائه شده است

کسرهای رایج

کسرهای معمولی جزء صحیح a و دو عددی هستند که از طریق خط کسری b/c نوشته می شوند. اگر بخش کسری را نتوان به صورت اعشاری گویا نشان داد، کسرهای معمولی می توانند بسیار راحت باشند. علاوه بر این، انجام عملیات حسابی از طریق خط کسری راحت تر است. قسمت بالا را صورت، قسمت پایین مخرج نامیده می شود.

عملیات با کسرهای معمولی: مثال

خاصیت اصلی کسری. دربا ضرب صورت و مخرج در عددی که صفر نیست، عددی برابر با عدد داده شده به دست می آید. این خاصیت کسری کاملاً به آوردن مخرج برای جمع (این مورد در زیر بحث خواهد شد) یا کوتاه کردن کسری کمک می کند و شمارش را راحت تر می کند. a/b = a*c/b*c. به عنوان مثال، 36/24 = 6/4 یا 9/13 = 18/26

تقلیل به مخرج مشترک.برای بدست آوردن مخرج کسری باید مخرج آن را به صورت ضریب ارائه کنید و سپس در اعداد گمشده ضرب کنید. به عنوان مثال، 7/15 و 12/30; 7/5*3 و 12/5*3*2. می بینیم که مخرج ها دو با هم تفاوت دارند، بنابراین صورت و مخرج کسر اول را در 2 ضرب می کنیم. به دست می آید: 14/30 و 12/30.

کسرهای مرکب- کسرهای معمولی که کل قسمت برجسته شده است. (A b/c) برای نشان دادن کسر مرکب به عنوان کسر مشترک، باید عدد جلوی کسر را در مخرج ضرب کنید و سپس آن را با صورت جمع کنید: (A*c + b)/c.

عملیات حسابی با کسر

این ایده خوبی خواهد بود که فقط هنگام کار با اعداد کسری، عملیات حسابی شناخته شده را در نظر بگیرید.

جمع و تفریق.جمع و تفریق کسرها به سادگی جمع و تفریق اعداد کامل است، به جز یک مشکل - وجود یک خط کسری. هنگام جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، فقط باید صورت‌های هر دو کسر بدون تغییر باقی بمانند. به عنوان مثال: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

اگر مخرج دو کسر اعداد متفاوتی هستند، ابتدا باید آنها را به یک عدد مشترک بیاورید (نحوه انجام این کار در بالا مورد بحث قرار گرفت). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. تفریق دقیقاً از همان اصل پیروی می کند: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

ضرب و تقسیم. اقداماتضرب با کسر طبق اصل زیر انجام می شود: صورت و مخرج به طور جداگانه ضرب می شوند. به طور کلی، فرمول ضرب به این صورت است: a/b *c/d = a*c/b*d. علاوه بر این، با ضرب کردن، می توانید با حذف عوامل مشابه از صورت و مخرج، کسر را کاهش دهید. به عبارت دیگر، صورت و مخرج به یک عدد تقسیم می شوند: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

برای تقسیم یک کسر معمولی به کسر دیگر، باید صورت و مخرج مقسوم علیه را تغییر دهید و دو کسر را بر اساس اصل مورد بحث قبلی ضرب کنید: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

اعداد اعشاری

اعشار نسخه محبوبتر و پرکاربردتر کسری هستند. نوشتن آنها در یک خط یا ارائه آنها در رایانه آسان تر است. ساختار اعشار به این صورت است: ابتدا عدد کامل نوشته می شود و بعد از نقطه اعشار قسمت کسری نوشته می شود. در هسته خود، اعشار کسری مرکب هستند، اما قسمت کسری آنها با عددی تقسیم بر مضرب 10 نشان داده می شود. نام آنها از اینجا آمده است. عملیات با کسری اعشاری شبیه به عملیات با اعداد صحیح است، زیرا آنها همچنین در سیستم اعداد اعشاری نوشته می شوند. همچنین، بر خلاف کسرهای معمولی، اعشار می توانند غیرمنطقی باشند. این بدان معنی است که آنها می توانند بی پایان باشند. آنها اینگونه نوشته شده اند: 7، (3). مدخل زیر می گوید: هفت نقطه سه، سه دهم در یک دوره.

عملیات پایه با اعداد اعشاری

جمع و تفریق اعشار.کار با کسرها دشوارتر از کار با اعداد طبیعی کامل نیست. قوانین کاملاً مشابه قوانینی است که هنگام جمع یا تفریق اعداد طبیعی استفاده می شود. به همین ترتیب می توان آنها را به عنوان یک ستون حساب کرد، اما در صورت لزوم، مکان های گم شده را با صفر جایگزین کنید. به عنوان مثال: 5.5697 - 1.12. برای انجام تفریق ستون، باید تعداد اعداد بعد از نقطه اعشار را برابر کنید: (5.5697 - 1.1200). بنابراین، مقدار عددی تغییر نخواهد کرد و می توان آن را در یک ستون شمارش کرد.

اگر یکی از آنها شکل غیر منطقی داشته باشد، نمی توان عملیات با کسرهای اعشاری را انجام داد. برای انجام این کار، باید هر دو عدد را به کسرهای معمولی تبدیل کنید و سپس از تکنیک هایی که قبلا توضیح داده شد استفاده کنید.

ضرب و تقسیم.ضرب اعشار شبیه ضرب کسرهای طبیعی است. همچنین می توان آنها را در یک ستون به سادگی و بدون توجه به کاما ضرب کرد و سپس با کاما در مقدار نهایی همان تعداد ارقام را پس از اعشار در دو کسر اعشاری از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1.5 * 2.23 = 3.345. همه چیز بسیار ساده است و اگر قبلاً در ضرب اعداد طبیعی تسلط دارید، نباید مشکل ایجاد کند.

تقسیم نیز همان تقسیم اعداد طبیعی است اما با انحراف جزئی. برای تقسیم بر یک عدد اعشاری با یک ستون، باید نقطه اعشار را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید و تقسیم را در تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در مقسوم‌کننده ضرب کنید. سپس تقسیم را مانند اعداد طبیعی انجام دهید. هنگام تقسیم ناقص، می توانید صفرها را به سود سمت راست اضافه کنید، همچنین پس از نقطه اعشار، یک صفر به پاسخ اضافه کنید.

نمونه هایی از عملیات با اعشار.اعشار ابزار بسیار مناسبی برای محاسبات حسابی هستند. آنها راحتی اعداد طبیعی، اعداد کامل و دقت کسرها را ترکیب می کنند. علاوه بر این، تبدیل برخی کسرها به کسرهای دیگر بسیار آسان است. عملیات با کسری با عملیات اعداد طبیعی تفاوتی ندارد.

1. جمع: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. تفریق: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. ضرب: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. تقسیم: 3.6: 0.6 = 6

همچنین اعشار برای نشان دادن درصد مناسب هستند. بنابراین، 100٪ = 1; 60% = 0.6; و بالعکس: 0.659 = 65.9%.

این تمام چیزی است که باید در مورد کسرها بدانید. این مقاله دو نوع کسر - معمولی و اعشاری را مورد بررسی قرار داد. محاسبه هر دو بسیار ساده است و اگر به اعداد طبیعی و عملیات با آنها تسلط کامل دارید، می توانید با خیال راحت شروع به یادگیری کسر کنید.

اعمال با کسر.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

بنابراین، کسرها، انواع کسرها، تبدیلات چیست - ما به یاد آوردیم. بریم سر موضوع اصلی.

با کسرها چه کاری می توانید انجام دهید؟بله، همه چیز مانند اعداد معمولی است. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم.

همه این اقدامات با اعشاریکار با کسرها با اعداد کامل تفاوتی ندارد. در واقع، این چیزی است که در مورد آنها خوب است، اعشاری. تنها نکته این است که باید کاما را به درستی قرار دهید.

اعداد مختلطهمانطور که قبلاً گفتم، برای اکثر اقدامات مفید نیستند. آنها هنوز باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

اما اقدامات با کسرهای معمولیآنها حیله گر تر خواهند بود. و خیلی مهمتر! بگذارید یادآوری کنم: تمام اعمال با عبارات کسری با حروف، سینوس، مجهولات، و غیره و غیره هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند.! عملیات با کسرهای معمولی اساس همه جبر است. به همین دلیل است که ما در اینجا تمام این محاسبات را با جزئیات زیاد تحلیل خواهیم کرد.

جمع و تفریق کسرها.

همه می توانند کسرهایی را با مخرج یکسان جمع کنند (کسر کنند (من واقعا امیدوارم!). خوب، بگذارید به کسانی که کاملاً فراموشکار هستند یادآوری کنم: هنگام جمع (تفریق) مخرج تغییر نمی کند. شمارنده ها اضافه می شوند (کاهش می شوند) تا به نتیجه برسد. نوع:

به طور خلاصه، به طور کلی:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه؟ سپس با استفاده از ویژگی اصلی یک کسری (اینجا دوباره به کار می آید!)، مخرج ها را یکسان می کنیم! مثلا:

در اینجا باید از کسر 2/5 کسر را 4/10 کنیم. تنها به این منظور که مخرج ها یکسان شوند. اجازه دهید توجه داشته باشم، فقط در مورد، 2/5 و 4/10 هستند همان کسری! فقط 2/5 برای ما ناراحت کننده است و 4/10 واقعاً خوب است.

به هر حال، این جوهر حل هر مسئله ریاضی است. زمانی که ما از ناراحتما عبارات را انجام می دهیم همان چیزی است، اما برای حل راحت تر است.

مثالی دیگر:

وضعیت مشابه است. در اینجا ما از 16 عدد 48 را بدست می آوریم. با ضرب ساده در 3. این همه واضح است. اما به چیزی شبیه این برخورد کردیم:

چگونه بودن؟! سخت است که از هفت تا 9 بسازی! اما ما باهوشیم، قوانین را می دانیم! بیایید متحول شویم هرکسری به طوری که مخرج ها یکسان باشند. به این "کاهش به مخرج مشترک" می گویند:

وای! من از کجا با 63 آشنا شدم؟ بسیار ساده! 63 عددی است که همزمان بر 7 و 9 بخش پذیر است. چنین عددی همیشه با ضرب مخرج بدست می آید. اگر مثلاً عددی را در 7 ضرب کنیم، قطعاً حاصل بر 7 بخش پذیر خواهد بود!

در صورت نیاز به جمع (تفریق) چند کسر، نیازی به انجام آن به صورت جفت، مرحله به مرحله نیست. فقط باید مخرج مشترک همه کسرها را پیدا کنید و هر کسر را به همان مخرج کاهش دهید. مثلا:

و وجه مشترک چه خواهد بود؟ البته می توانید 2، 4، 8 و 16 را ضرب کنید. فهمیدن اینکه عدد 16 کاملا بر 2، 4 و 8 بخش پذیر است آسان تر است. بنابراین، از این اعداد به راحتی می توان 16 را بدست آورد. این عدد مخرج مشترک خواهد بود. بیایید 1/2 را به 8/16، 3/4 را به 12/16 و غیره تبدیل کنیم.

به هر حال، اگر 1024 را به عنوان مخرج مشترک بگیرید، همه چیز درست می شود، در نهایت همه چیز کاهش می یابد. اما همه به این هدف نمی رسند، زیرا محاسبات ...

خودتان مثال را کامل کنید. نه نوعی لگاریتم... باید 29/16 باشد.

بنابراین، جمع (تفریق) کسرها مشخص است، امیدوارم؟ البته، کار در یک نسخه کوتاه شده، با چند برابر اضافی آسان تر است. اما این لذت نصیب کسانی می شود که در مقاطع پایین صادقانه کار کردند... و چیزی را فراموش نکردند.

و اکنون همان اعمال را انجام خواهیم داد، اما نه با کسری، بلکه با عبارات کسری. چنگک جدید در اینجا کشف خواهد شد، بله...

بنابراین، باید دو عبارت کسری اضافه کنیم:

ما باید مخرج ها را یکسان کنیم. و فقط با کمک ضرب! این همان چیزی است که خاصیت اصلی یک کسری حکم می کند. بنابراین، من نمی توانم یک به X در کسر اول در مخرج اضافه کنم. (خوب خواهد بود!). اما اگر مخرج ها را ضرب کنید، می بینید که همه چیز با هم رشد می کند! بنابراین خط کسری را یادداشت می کنیم، یک فضای خالی در بالا می گذاریم، سپس آن را اضافه می کنیم و حاصلضرب مخرج ها را در زیر می نویسیم تا فراموش نکنیم:

و البته، ما چیزی را در سمت راست ضرب نمی کنیم، پرانتز را باز نمی کنیم! و اکنون، با نگاه به مخرج مشترک سمت راست، متوجه می شویم: برای به دست آوردن مخرج x(x+1) در کسر اول، باید صورت و مخرج این کسر را در (x+1) ضرب کنید. . و در کسر دوم - به x. این چیزیست که شما گرفتید:

توجه داشته باشید! اینجا پرانتز است! این همان چنگک است که بسیاری از افراد روی آن پا می گذارند. البته نه پرانتز، بلکه نبود آنها. پرانتز ظاهر می شود زیرا ما در حال ضرب هستیم همهشمارنده و همهمخرج! و نه تک تک آنها...

در صورت‌حساب سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، همه چیز مانند کسرهای عددی است، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی. همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. نیازی به باز کردن پرانتز در مخرج یا ضرب کردن چیزی نیست! به طور کلی، در مخرج (هر) محصول همیشه خوشایندتر است! ما گرفتیم:

پس جواب گرفتیم. این روند طولانی و دشوار به نظر می رسد، اما به تمرین بستگی دارد. وقتی مثال ها را حل کنید، به آن عادت کنید، همه چیز ساده می شود. کسانی که به موقع بر کسرها مسلط شده اند، تمام این عملیات را با یک دست چپ، به طور خودکار انجام می دهند!

و یک نکته دیگر بسیاری هوشمندانه با کسرها برخورد می کنند، اما در مثال هایی با آن گیر می کنند کلشماره. دوست دارم: 2 + 1/2 + 3/4 = ? دو تکه را کجا ببندیم؟ لازم نیست آن را در جایی ببندید، باید از دو کسری درست کنید. این آسان نیست، اما بسیار ساده است! 2=2/1. مثل این. هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نوشت. صورت خود عدد است، مخرج یک است. 7 برابر 7/1، 3 برابر 3/1 و غیره است. در مورد حروف هم همینطور است. (a+b) = (a+b)/1، x=x/1 و غیره. و سپس طبق تمام قوانین با این کسرها کار می کنیم.

خوب دانش جمع و تفریق کسرها تازه شد. تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر تکرار شد. شما همچنین می توانید بررسی شوید. کمی حلش کنیم؟)

محاسبه:

پاسخ ها (به هم ریخته):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب / تقسیم کسری - در درس بعدی. همچنین وظایفی برای همه عملیات با کسری وجود دارد.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

کسر- عددی که از یک عدد صحیح از کسرهای یک واحد تشکیل شده و به شکل a/b نمایش داده می شود.

شمارنده کسر (a)- عددی که در بالای خط کسری قرار دارد و تعداد سهامی که واحد به آنها تقسیم شده است را نشان می دهد.

مخرج کسری (ب)- عددی که در زیر خط کسر قرار دارد و نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است.

2. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

3. عملیات حسابی روی کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

3.2. تفریق کسرها

3.3. ضرب کسرهای مشترک

3.4. تقسیم کسرها

4. اعداد متقابل

5. اعداد اعشاری

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. اضافه کردن اعشار

6.2. تفریق اعشار

6.3. ضرب اعشار

6.4. تقسیم اعشاری

#1. خاصیت اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در عددی که برابر با صفر نیست ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

3/7=3*3/7*3=9/21، یعنی 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - این چیزی است که ویژگی اصلی یک کسری به نظر می رسد.

به عبارت دیگر، با ضرب یا تقسیم صورت و مخرج کسر اصلی بر همان عدد طبیعی، کسری برابر با کسری به دست می‌آوریم.

اگر آگهی=پیش از میلاد، سپس دو کسر a/b =c /d برابر در نظر گرفته می شوند.

برای مثال، کسرهای 3/5 و 9/15 برابر خواهند بود، زیرا 3*15=5*9، یعنی 45=45

کاهش کسریفرآیند جایگزینی کسری است که در آن کسر جدید برابر با کسر اصلی است، اما با صورت و مخرج کوچکتر.

مرسوم است که کسرها را بر اساس ویژگی اصلی کسر کاهش می دهند.

مثلا، 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (صورت و مخرج بر عدد 3، بر 5 و بر 15 تقسیم می شوند).

کسر تقلیل ناپذیرکسری از فرم است 3/4 ​ ​ ، که در آن صورت و مخرج اعداد اول هستند. هدف اصلی از کاهش کسر این است که کسر را تقلیل ناپذیر کند.

2. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر به مخرج مشترک، باید:

1) مخرج هر کسری را به عوامل اول تبدیل کنید.

2) صورت و مخرج کسر اول را در کسرهای از دست رفته ضرب کنید

عوامل ناشی از بسط مخرج دوم؛

3) صورت و مخرج کسر دوم را در ضرایب گمشده از بسط اول ضرب کنید.

مثال: کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید مخرج ها را به عوامل ساده تبدیل کنیم: 18=3∙3∙2، 15=3∙5

صورت و مخرج کسر را در ضریب گمشده 5 از بسط دوم ضرب کنید.

صورت و مخرج کسری به عوامل گمشده 3 و 2 از بسط اول.

= , 90 – مخرج مشترک کسرها.

3. عملیات حسابی روی کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

الف) اگر مخرج ها یکی باشند، صورت کسر اول به صورت کسر دوم اضافه می شود و مخرج همان باقی می ماند. همانطور که در مثال می بینید:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ب) برای مخرج‌های مختلف، کسرها ابتدا به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند و سپس بر اساس قانون الف اعداد جمع می‌شوند:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. تفریق کسرها

الف) اگر مخرج ها یکسان هستند، صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت کنید:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ب) اگر مخرج کسرها متفاوت باشد، ابتدا کسرها به مخرج مشترک آورده می شوند و سپس اعمال مانند نقطه الف تکرار می شوند.

3.3. ضرب کسرهای مشترک

ضرب کسرها از قانون زیر پیروی می کند:

a/b*c/d=a*c/b*d،

یعنی صورت و مخرج را جداگانه ضرب می کنند.

مثلا:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. تقسیم کسرها

کسری ها به روش زیر تقسیم می شوند:

a/b:c/d=a*d/b*c،

یعنی کسر a/b در کسر معکوس کسری داده شده ضرب می شود، یعنی در d/c ضرب می شود.

مثال: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. اعداد متقابل

اگر a*b=1،سپس عدد b است شماره متقابلبرای عدد a

مثال: برای عدد 9 متقابل است 1/9 ​ ​ ، از 9*1/9 = 1 ، برای عدد 5 - عدد معکوس 1/5 ​ ​ ، زیرا 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. اعشار

اعشاریکسر مناسبی است که مخرج آن برابر است 10، 1000، 10 000، …، 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

به عنوان مثال: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

به همین ترتیب، موارد نادرست با مخرج نوشته می شوند 10^nیا اعداد مختلط

برای مثال: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

هر کسری معمولی با مخرجی که مقسوم علیه توان معین 10 باشد به صورت کسری اعشاری نشان داده می شود.

یک تغییر دهنده که مقسوم علیه توان معینی از عدد 10 است.

مثال: 5 مقسوم علیه 100 است، پس کسری است 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. افزودن اعشار

برای جمع کردن دو کسر اعشاری باید آنها را طوری مرتب کنید که اعداد یکسان زیر یکدیگر و یک کاما در زیر کاما وجود داشته باشد و سپس کسرها را مانند اعداد معمولی جمع کنید.

6.2. تفریق اعشار

به همان روش اضافه انجام می شود.

6.3. ضرب اعشار

هنگام ضرب اعداد اعشاری کافی است اعداد داده شده را ضرب کنید بدون توجه به کاما (مانند اعداد طبیعی) و در جواب حاصل، یک کاما در سمت راست به تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو عامل جدا می شود. در مجموع.

بیایید 2.7 را در 1.3 ضرب کنیم. ما داریم 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . دو رقم سمت راست را با کاما از هم جدا می کنیم (اعداد اول و دوم یک رقم بعد از نقطه اعشار دارند. 1+1=2 1 + 1 = 2 ). در نتیجه بدست می آوریم 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

اگر نتیجه به دست آمده حاوی رقم های کمتری باشد که باید با کاما از هم جدا شوند، صفرهای از دست رفته در جلو نوشته می شوند، به عنوان مثال:

برای ضرب در 10، 100، 1000، باید اعشار 1، 2، 3 رقم را به سمت راست حرکت دهید (در صورت لزوم، تعداد معینی از صفر به سمت راست اختصاص داده می شود).

مثلا: 1.47\cdot 10000 = 14700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. تقسیم اعشاری

تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی مانند تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی انجام می شود. کاما در ضریب پس از اتمام تقسیم کل قسمت قرار می گیرد.

اگر قسمت صحیح سود از تقسیم کننده کوچکتر باشد، پاسخ صفر عدد صحیح است، به عنوان مثال:

بیایید تقسیم اعشار بر اعشار را بررسی کنیم. فرض کنید باید 2.576 را بر 1.12 تقسیم کنیم. اول از همه، بیایید تقسیم و مقسوم علیه کسری را در 100 ضرب کنیم، یعنی نقطه اعشار را در تقسیم به سمت راست و مقسوم علیه را به تعداد رقمی که در مقسوم علیه پس از اعشار وجود دارد، حرکت دهیم (در این مثال، دو). سپس باید کسری 257.6 را بر عدد طبیعی 112 تقسیم کنید، یعنی مشکل به حالتی که قبلاً در نظر گرفته شده کاهش می یابد:

این اتفاق می افتد که کسر اعشاری نهایی همیشه هنگام تقسیم یک عدد بر عدد دیگر بدست نمی آید. نتیجه یک کسر اعشاری نامتناهی است. در چنین مواردی به سراغ کسرهای معمولی می رویم.

به عنوان مثال، 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

جمع کردن کسری با مخرج مشابه

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. جمع کردن کسری با مخرج مشابه
2. جمع کسری با مخرج های مختلف

ابتدا جمع کسری با مخرج مشابه را بیاموزیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.کسر و .

جواب کسری نامناسب بود. هنگامی که پایان کار فرا می رسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. در مورد ما، کل قسمت به راحتی جدا می شود - دو تقسیم بر دو برابر یک:

اگر پیتزای دو قسمتی را به یاد بیاوریم، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .

دوباره اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید و پیتزای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و یک پیتزا دیگر دریافت می کنید.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان وجود ندارد. برای درک قوانین زیر کافی است:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا مخرج های یکسانی دارند.

اما کسرها را نمی توان فوراً اضافه کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

راه های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها به یکی از آنها نگاه خواهیم کرد، زیرا روش های دیگر ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا LCM مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود تا اولین عامل اضافی بدست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. بیایید کسرهای و را جمع کنیم

اول از همه، حداقل مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

حال به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین ضریب اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مورب کوچک روی کسری ایجاد کنید و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل، دومین ضریب اضافی است. آن را تا کسر دوم یادداشت می کنیم. مجدداً یک خط مایل کوچک روی کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون همه چیز را برای اضافه کردن آماده کرده ایم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

با دقت نگاه کنید که به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

این مثال را کامل می کند. معلوم می شود اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می‌تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با کاهش کسرها و به یک مخرج مشترک، کسرها و . این دو کسر با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).

اولین نقاشی نشان دهنده کسری (چهار قطعه از شش قطعه) و نقاشی دوم نشان دهنده یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) است. با اضافه کردن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نامناسب است، بنابراین کل قسمت آن را برجسته کردیم. در نتیجه، ما دریافت کردیم (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

لطفا توجه داشته باشید که ما این مثال را با جزئیات بیش از حد توضیح داده ایم. در مؤسسات آموزشی مرسوم نیست که با این جزئیات بنویسید. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت در صورت و مخرج خود ضرب کنید. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:

اما روی دیگری نیز برای سکه وجود دارد. اگر در مراحل اول مطالعه ریاضیات جزییات یادداشت برداری نکنید، سوالاتی از این دست ظاهر می شوند. «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های داده شده در بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را پیدا کنید

LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. مخرج کسرها اعداد 2 و 3 و 4 هستند

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسری یک عامل اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 6 به دست می آید. اولین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را بالای کسری اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. دومین عامل اضافی 4 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 به دست می آید. سومین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در ضرایب اضافی آنها ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن این کسرها است. جمع کردن:

اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد به سطر بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای سطر جدید قرار دهیم. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید

جواب ما کسر نامناسبی بود. ما باید یک بخش کامل از آن را برجسته کنیم. برجسته می کنیم:

جواب گرفتیم

تفریق کسری با مخرج مشابه

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسرها را با مخرج مشابه کم کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید، اما مخرج را ثابت بگذارید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید. بیا انجامش بدیم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید.

باز هم از صورت کسر اول، کسر دوم را کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد تفریق کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. برای درک قوانین زیر کافی است:

1. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، می توانید یک کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترک با استفاده از همان اصل که ما هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف استفاده می کردیم، پیدا می شود. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که بالای کسر اول نوشته شده است. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که بالای کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند، به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1.معنی عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

حالا به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. بالای کسر اول یک عدد چهار بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 بدست می آید. روی کسر دوم یک عدد سه بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

جواب گرفتیم

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا می گیرید

این نسخه دقیق راه حل است. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را کوتاه‌تر حل می‌کردیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک، کسرها و . این کسری ها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار آنها به سهم های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

تصویر اول کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده) و تصویر دوم کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

بیایید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنیم.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

حالا همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

معلوم شد که پاسخ کسری منظم است، و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما بیش از حد دست و پا گیر و زشت است. باید ساده ترش کنیم چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین، gcd اعداد 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر gcd یافت شده تقسیم می کنیم، یعنی بر 10.

جواب گرفتیم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب یک کسری در یک عدد، باید صورت کسری را در آن عدد ضرب کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

مثال 1. کسری را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به صورت نیمی از 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. دوباره، قانون ضرب یک عدد کامل و یک کسری کار می کند:

این نماد را می توان به عنوان گرفتن نیمی از یک درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو چهارم 4 بار درک کرد. به عنوان مثال، اگر 4 پیتزا بگیرید، دو پیتزا کامل دریافت خواهید کرد

و اگر ضریب و ضریب را عوض کنیم، عبارت . همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

مثال 1.مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفتیم. توصیه می شود این کسر را کاهش دهید. کسر را می توان 2 کاهش داد. سپس محلول نهایی به شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه از این نیمه دو سوم بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا درست میکنیم به یاد داشته باشید که وقتی پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود چه شکلی می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در مورد پیتزای هم اندازه صحبت می کنیم. بنابراین ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

جواب کسری منظم بود اما اگر کوتاه می شد خوب بود. برای کاهش این کسر باید صورت و مخرج این کسر را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 450 تقسیم کنید.

بنابراین، بیایید gcd اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را بر gcd که اکنون پیدا کرده ایم، یعنی بر 15 تقسیم می کنیم.

نمایش یک عدد کامل به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . این معنی پنج را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است و همانطور که می دانیم برابر با پنج است:

اعداد متقابل

حال با یک مبحث بسیار جالب در ریاضیات آشنا می شویم. به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد.

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب شود 5 یکی می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود امکان پذیر است. بیایید پنج را به صورت کسری تصور کنیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، بیایید کسر را در خودش ضرب کنیم، فقط وارونه:

در نتیجه این چه اتفاقی خواهد افتاد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 را در ضرب می کنیم یک به دست می آید.

متقابل یک عدد را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

شما همچنین می توانید متقابل هر کسری دیگر را پیدا کنید. برای انجام این کار، فقط آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نصف پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی بین دو تقسیم کنیم. هر نفر چقدر پیتزا می گیرد؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نصف پیتزا دو تکه مساوی به دست آمد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

تقسیم کسرها با استفاده از متقابل انجام می شود. اعداد متقابل به شما امکان می دهند تقسیم را با ضرب جایگزین کنید.

برای تقسیم کسری بر یک عدد باید کسر را در معکوس مقسوم علیه ضرب کرد.

با استفاده از این قانون تقسیم نصف پیتزا را به دو قسمت یادداشت می کنیم.

بنابراین، شما باید کسر را بر عدد 2 تقسیم کنید. در اینجا سود تقسیمی کسره و مقسوم علیه عدد 2 است.

برای تقسیم کسری بر عدد 2 باید این کسر را در متقابل مقسوم علیه 2 ضرب کنید. پس باید در آن ضرب کنید

شعار درس:"هرگز بدون تسلط بر قبلی، کار بعدی را انجام نده."I. Pavlov.

• جذب و تعمیم قواعد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرهای معمولی توسط دانش آموزان، ایجاد مهارت و توانایی برای استفاده از آنها در حل مسائل و معادلات.
• توسعه حافظه دانش آموزان، فرهنگ زبان شفاهی و علاقه شناختی دانش آموزان.
• برای پرورش نگرش مسئولانه نسبت به کار آکادمیک، استقلال و سخت کوشی.

تجهیزات:

کارت هایی با وظایف بازی "Field of Miracles"

کارت برای کارهای آزمایشی؛

کارت سیگنال برای تمرینات دهانی؛

مدل های گل.

ساختار درس

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی. اسلاید 1.

2. تعیین هدف درس و ایجاد انگیزه در فعالیت های یادگیری دانش آموزان.

اسلاید 2. بچه ها، امروز ما با شما در یک سفر غیر معمول خواهیم رفت، از کشور "کسری های معمولی" دیدن خواهیم کرد. در این کشور چندین توقف خواهیم داشت: از "دهکده تاریخی" بازدید خواهیم کرد، از "قلعه ضربدری" دیدن خواهیم کرد، به "Testodrome" نگاه خواهیم کرد، در "میدان معجزات" بازی خواهیم کرد، در "چمنزار قوانین" استراحت خواهیم کرد. "کوه های ذهن" را فتح کنید، در "جنگل افسانه" پرسه بزنید. در هر توقف، باید دانش خود را در مورد قوانین جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرهای معمولی، توانایی به کارگیری آنها در حل مسائل و معادلات و نشان دادن فعالیت، تدبیر و نبوغ نشان دهید.

اسلاید 3.با دور زدن «کسری مشترک» به کشور بروید روستای Istoricheskayaممنوع است. بنابراین، اولین توقف ما اینجا خواهد بود، جایی که گروهی از دانش آموزان در مورد تاریخچه کسرها صحبت خواهند کرد.

پیام دانشجویی: "تاریخچه پیدایش کسرهای معمولی."

3. بازتولید و تصحیح دانش پایه، تکرار و تحلیل حقایق اساسی.

اسلاید 4.توقف بعدی " قلعه جدول کلمات متقاطع”، در اینجا دانش آموزان باید جدول کلمات متقاطع را حل کنند.

عمودی: 1. نام کسری که به شکل نوشته شده چیست؟

به صورت افقی:

2. نام عددی که بالای خط کسری نوشته شده چیست؟

3. نام عددی که زیر خط کسر نوشته شده چیست؟

4. نام کسری که صورت و مخرج آن بر یک عدد تقسیم می شود چیست؟

5- کسری که صورت آن از مخرج آن کوچکتر است چیست؟

6. نام کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج آن باشد چیست؟

اسلاید 5.(پاسخ ها)

اسلاید 6.و اکنون ما به " تستودروم”، که در آن دانش آموزان باید با بالا نگه داشتن کارت سیگنال مربوطه، پاسخ های صحیح سوالات را پیدا کرده و نشان دهند.