اقدامات مختلف با ریشه نمونه هستند. ریشه درجه n: تعاریف اساسی

عبارات غیر منطقی و تبدیل آنها

آخرین باری که به یاد آوردیم (یا یاد گرفتیم، بسته به اینکه چه کسی) چیست ، نحوه استخراج چنین ریشه هایی را یاد گرفت، ویژگی های اساسی ریشه ها را قطعه به قطعه مرتب کرد و مثال های ساده را با ریشه حل کرد.

این درس در ادامه درس قبلی خواهد بود و به تبدیل انواع گسترده ای از عبارات حاوی انواع ریشه ها اختصاص خواهد داشت. چنین عباراتی نامیده می شود غیر منطقی. عبارات با حروف، شرایط اضافی، خلاص شدن از غیر منطقی در کسری، و برخی از تکنیک های پیشرفته برای کار با ریشه در اینجا ظاهر می شود. تکنیک هایی که در این درس مورد بحث قرار خواهند گرفت، مبنای خوبی برای حل مسائل USE (و نه تنها) تقریباً در هر سطح از پیچیدگی خواهند بود. پس بیایید شروع کنیم.

اول از همه، من در اینجا فرمول های اساسی و خواص ریشه ها را تکرار می کنم. برای اینکه از موضوعی به موضوع دیگر نپرید. آن ها اینجا هستند:

در

شما باید این فرمول ها را بشناسید و بتوانید از آنها استفاده کنید. و در هر دو جهت - هر دو از چپ به راست و از راست به چپ. بر روی آنها است که راه حل برای اکثر وظایف با ریشه های هر درجه از پیچیدگی است. بیایید در حال حاضر با ساده ترین چیز شروع کنیم - با استفاده مستقیم از فرمول ها یا ترکیب آنها.

کاربرد آسان فرمول ها

در این قسمت نمونه های ساده و بی ضرر – بدون حروف، شرایط اضافی و ترفندهای دیگر در نظر گرفته خواهد شد. با این حال، حتی در آنها، به عنوان یک قاعده، گزینه هایی وجود دارد. و هرچه مثال پیچیده تر باشد، چنین گزینه هایی بیشتر است. و دانش آموز بی تجربه با مشکل اصلی روبرو می شود - از کجا شروع کنیم؟ پاسخ در اینجا ساده است - اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه را که می توانید انجام دهید. تا زمانی که اعمال شما در صلح و هماهنگی با قواعد ریاضیات باشد و با آنها مغایرت نداشته باشد.) مثلاً این کار:

محاسبه:

حتی در یک مثال ساده، چندین راه ممکن برای پاسخ وجود دارد.

اولین مورد این است که به سادگی ریشه ها را در ویژگی اول ضرب کنید و ریشه را از نتیجه استخراج کنید:

گزینه دوم این است: ما آن را لمس نمی کنیم، ما با آن کار می کنیم. فاکتور را از زیر علامت ریشه خارج می کنیم و سپس - طبق ویژگی اول. مثل این:

شما می توانید هر چقدر که دوست دارید تصمیم بگیرید. در هر یک از گزینه ها، پاسخ یک - هشت است. به عنوان مثال، برای من راحت تر است که 4 و 128 را ضرب کنم و 512 به دست بیاورم، و ریشه مکعب را می توان به راحتی از این عدد استخراج کرد. اگر کسی به خاطر نمی آورد که 512 8 مکعبی است، مهم نیست: می توانید 512 را به عنوان 2 9 بنویسید (10 توان اول دو، امیدوارم یادتان باشد؟) و از فرمول ریشه توان استفاده کنید. :

مثالی دیگر.

محاسبه: .

اگر طبق ویژگی اول کار کنید (همه چیز را زیر یک ریشه قرار دهید)، یک عدد سنگین به دست خواهید آورد، که سپس می توان ریشه را از آن استخراج کرد - همچنین شکر نیست. و این یک واقعیت نیست که دقیقاً استخراج شود.) بنابراین در اینجا حذف عوامل از زیر ریشه در تعداد مفید است. و نهایت استفاده را ببرید:

و حالا همه چیز خوب است:

باقی مانده است که هشت و دو را زیر یک ریشه بنویسیم (طبق خاصیت اول) و کار تمام می شود. :)

حالا بیایید چند کسر اضافه کنیم.

محاسبه:

مثال کاملاً ابتدایی است، اما گزینه هایی نیز دارد. می توانید از ضریب برای تبدیل صورت و کاهش آن با مخرج استفاده کنید:

یا می توانید بلافاصله از فرمول تقسیم ریشه ها استفاده کنید:

همانطور که می بینیم، این طرف و آن طرف - همه چیز درست است.) اگر در نیمه راه نخورید و اشتباه نکنید. هر چند اینجا کجا میتونم اشتباه کنم...

اکنون به آخرین مثال از تکالیف درس گذشته نگاه می کنیم:

ساده کردن:

مجموعه ای کاملا غیرقابل تصور از ریشه ها، و حتی تو در تو. باید چکار کنم؟ نکته اصلی این است که نترسید! در اینجا ابتدا در زیر ریشه ها متوجه اعداد 2، 4 و 32 می شویم - توان های دو. اولین کاری که باید انجام دهید این است که همه اعداد را به دو تا کاهش دهید: به هر حال، هر چه اعداد یکسان در مثال بیشتر باشد و تعداد آنها کمتر باشد، آسان تر است.) اجازه دهید به طور جداگانه با عامل اول شروع کنیم:

عدد را می توان با کاهش دو زیر ریشه با چهار در توان ریشه ساده کرد:

حال با توجه به ریشه کار:

.

در عدد این دو را به عنوان علامت ریشه در می آوریم:

و با استفاده از ریشه فرمول ریشه با عبارت سروکار داریم:

بنابراین فاکتور اول به این صورت نوشته می شود:

ریشه های تو در تو ناپدید شده اند، اعداد کوچکتر شده اند، که در حال حاضر خشنود است. فقط ریشه ها متفاوت است، اما فعلاً آن را به همین صورت رها می کنیم. در صورت لزوم آنها را به همان ها تبدیل می کنیم. بیایید عامل دوم را در نظر بگیریم.)

عامل دوم را نیز با استفاده از فرمول ریشه محصول و ریشه ریشه به روشی مشابه تبدیل می کنیم. در صورت لزوم، شاخص ها را با استفاده از فرمول پنجم کاهش می دهیم:

ما همه چیز را در مثال اصلی قرار می دهیم و دریافت می کنیم:

ما محصول یک دسته کامل از ریشه های کاملاً متفاوت را به دست آوردیم. خوب است که همه آنها را به یک شاخص بیاوریم، و سپس خواهیم دید. خوب، کاملاً ممکن است. بزرگترین توان ریشه 12 است و بقیه - 2، 3، 4، 6 - مقسوم علیه عدد 12 هستند. بنابراین، ما تمام ریشه ها را طبق ویژگی پنجم به یک توان کاهش می دهیم - 12:

می شماریم و می گیریم:

ما عدد خوبی دریافت نکردیم، اما اشکالی ندارد. از ما پرسیده شد ساده کردنبیان، نه شمردن. ساده شده؟ قطعا! و نوع پاسخ (عدد صحیح یا خیر) دیگر در اینجا نقشی ندارد.

برخی از فرمول های جمع/ تفریق و ضرب اختصاری

متاسفانه فرمول های کلی برای جمع و تفریق ریشه هانه در ریاضیات با این حال، در وظایف، این اقدامات با ریشه اغلب یافت می شود. در اینجا لازم است درک کنیم که هر ریشه دقیقاً همان نمادهای ریاضی حروف در جبر است.) و همان تکنیک ها و قوانین برای ریشه ها مانند حروف اعمال می شود - پرانتز باز کردن، آوردن موارد مشابه، فرمول های ضرب اختصاری و غیره.

مثلاً برای همه روشن است که . مشابه همانریشه ها را می توان به راحتی به یکدیگر اضافه یا کم کرد:

اگر ریشه ها متفاوت هستند، پس ما به دنبال راهی برای یکسان کردن آنها هستیم - با جمع/تفریق یک ضریب یا استفاده از ویژگی پنجم. اگر به هیچ وجه ساده نشده باشد، شاید تحولات حیله گرانه تر باشند.

بیایید به مثال اول نگاه کنیم.

معنی عبارت را پیدا کنید: .

هر سه ریشه هر چند مکعبی هستند اما از ناهمسانشماره. آنها صرفاً استخراج نمی شوند و از یکدیگر اضافه یا کم می شوند. بنابراین، استفاده از فرمول های عمومی در اینجا کارساز نیست. باید چکار کنم؟ بیایید عوامل هر ریشه را برداریم. در هر صورت، بدتر نخواهد بود.) علاوه بر این، در واقع هیچ گزینه دیگری وجود ندارد:

به این معنا که، .

راه حل همین است. در اینجا ما با کمک از ریشه های مختلف به یک ریشه منتقل شدیم حذف ضریب از زیر ریشه. و سپس آنها به سادگی موارد مشابه را آوردند.) ما بیشتر تصمیم می گیریم.

مقدار یک عبارت را پیدا کنید:

مطمئناً هیچ کاری نمی توانید در مورد ریشه هفده انجام دهید. ما طبق ویژگی اول کار می کنیم - از محصول دو ریشه یک ریشه می سازیم:

حالا بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. زیر ریشه مکعب بزرگ ما چیست؟ تفاوت این است که ... خب، البته! تفاوت مربع ها:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه است: .

محاسبه:

در اینجا شما باید نبوغ ریاضی را نشان دهید.) ما تقریباً به صورت زیر فکر می کنیم: بنابراین، در مثال، محصول ریشه. زیر یک ریشه تفاوت است و در زیر ریشه دیگر مجموع است. بسیار شبیه به تفاوت مربعات فرمول. اما... ریشه ها فرق می کند! اولی مربع است و دومی درجه چهارم... خیلی خوب است که آنها را به همین شکل بسازید. با توجه به خاصیت پنجم به راحتی می توانید از یک جذر ریشه چهارم بسازید. برای انجام این کار کافی است که عبارت رادیکال را مربع کنیم.»

اگر شما هم به همین فکر می کردید، پس در نیمه راه موفقیت هستید. کاملا درسته! بیایید عامل اول را به ریشه چهارم تبدیل کنیم. مثل این:

اکنون، کاری برای انجام دادن وجود ندارد، اما باید فرمول مربع تفاوت را به خاطر بسپارید. فقط زمانی که روی ریشه ها اعمال شود. پس چی؟ چرا ریشه ها از اعداد یا عبارت های دیگر بدتر هستند؟! ما می سازیم:

"هوم، خوب، آنها آن را نصب کردند، پس چه؟ ترب از ترب شیرین تر نیست. متوقف کردن! و اگر چهار زیر ریشه را بیرون بیاورید؟ سپس همان عبارت زیر ریشه دوم ظاهر می شود، فقط با یک منهای، و این دقیقاً همان چیزی است که ما سعی می کنیم به آن برسیم!»

درست! بیایید چهار را در نظر بگیریم:

.

و اکنون - یک موضوع فناوری:

به این ترتیب مثال های پیچیده باز می شوند.) حالا وقت آن است که با کسرها تمرین کنیم.

محاسبه:

واضح است که صورتگر باید تبدیل شود. چگونه؟ البته با استفاده از فرمول مجذور مجموع. آیا گزینه دیگری داریم؟ :) ما آن را مربع می کنیم، عوامل را خارج می کنیم، شاخص ها را کاهش می دهیم (در صورت لزوم):

وای! ما دقیقاً مخرج کسر خود را بدست آوردیم.) این بدان معنی است که کل کسر آشکارا برابر با یک است:

مثالی دیگر. فقط اکنون فرمول دیگری برای ضرب اختصاری وجود دارد.)

محاسبه:

واضح است که باید از مربع تفاوت در عمل استفاده کرد. مخرج را جداگانه می نویسیم و - برویم!

عوامل را از زیر ریشه بیرون می آوریم:

از این رو،

اکنون همه چیز بد به طرز شگفت انگیزی کاهش یافته است و معلوم می شود:

خوب، اجازه دهید آن را به سطح بعدی ببریم. :)

نامه ها و شرایط اضافی

عبارات تحت اللفظی با ریشه چیز پیچیده تری نسبت به عبارات عددی هستند و منبعی تمام نشدنی از خطاهای آزاردهنده و بسیار جدی هستند. بیایید این منبع را ببندیم.) خطاها به دلیل این واقعیت است که چنین کارهایی اغلب شامل اعداد و عبارات منفی هستند. آنها یا مستقیماً در کار به ما داده می شوند یا در آن پنهان می شوند نامه ها و شرایط اضافی. و در فرآیند کار با ریشه ها، دائماً باید آن را در ریشه ها به خاطر بسپاریم حتی مدرکهم در زیر خود ریشه و هم در نتیجه استخراج ریشه باید وجود داشته باشد بیان غیر منفی. فرمول کلیدی در وظایف این بند، فرمول چهارم خواهد بود:

هیچ سوالی با ریشه درجات فرد وجود ندارد - همه چیز همیشه استخراج می شود، چه مثبت و چه منفی. و منهای، در صورت وجود، به جلو آورده می شود. بیایید مستقیماً به ریشه ها برسیم زوجدرجه.) به عنوان مثال، یک کار کوتاه.

ساده کردن: , اگر .

به نظر می رسد که همه چیز ساده است. فقط X خواهد بود.) اما چرا شرط اضافی? در چنین مواردی تخمین زدن با اعداد مفید است. صرفا برای خودم.) اگر، پس واضح است که x یک عدد منفی است. برای مثال منهای سه. یا منهای چهل. اجازه دهید . آیا می توانید منهای سه را به توان چهارم ببرید؟ قطعا! نتیجه 81 است. آیا می توان ریشه چهارم 81 را استخراج کرد؟ چرا که نه؟ می توان! سه تا میگیری حال بیایید کل زنجیره خود را تجزیه و تحلیل کنیم:

ما چه می بینیم؟ ورودی یک عدد منفی بود و خروجی قبلا مثبت بود. منهای سه بود، حالا به اضافه سه است.) به حروف برگردیم. بدون شک، مدول دقیقاً X خواهد بود، اما فقط X خود منهای است (به شرط!) و نتیجه استخراج (به دلیل ریشه حسابی!) باید مثبت باشد. چگونه می توان امتیاز مثبت گرفت؟ بسیار ساده! برای انجام این کار، فقط یک منهای را در مقابل یک عدد واضح منفی قرار دهید.) و راه حل صحیح به این صورت است:

به هر حال، اگر از فرمول استفاده می کردیم، با یادآوری تعریف یک ماژول، بلافاصله پاسخ صحیح را دریافت می کردیم. زیرا

|x| = -x در x<0.

فاکتور را از علامت ریشه خارج کنید: , جایی که .

اولین نگاه به بیان رادیکال است. اینجا همه چیز اوکی است. در هر صورت غیر منفی خواهد بود. بیایید استخراج را شروع کنیم. با استفاده از فرمول ریشه یک محصول، ریشه هر عامل را استخراج می کنیم:

فکر نمی‌کنم نیازی به توضیح باشد که ماژول‌ها از کجا آمده‌اند.) حالا اجازه دهید هر یک از ماژول‌ها را تحلیل کنیم.

ضرب کننده | آ | ما آن را بدون تغییر می گذاریم: ما هیچ شرطی برای نامه نداریمآ. نمی دانیم مثبت است یا منفی. ماژول بعدی |ب 2 | می توان با خیال راحت حذف شد: در هر صورت، عبارتب 2 غیر منفی اما در مورد |ج 3 | - قبلاً یک مشکل در اینجا وجود دارد.) If، سپس ج 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть با منهای: | ج 3 | = - ج 3 . در مجموع، راه حل صحیح این خواهد بود:

و اکنون - مشکل معکوس. ساده ترین نیست، فوراً به شما هشدار می دهم!

زیر علامت ریشه یک ضریب وارد کنید: .

اگر بلافاصله راه حل را به این صورت یادداشت کنید

سپس شما به دام افتاد. این تصمیم اشتباه! موضوع چیه؟

بیایید نگاهی دقیق تر به عبارت زیر ریشه بیندازیم. در زیر ریشه قدرت چهارم، همانطور که می دانیم، باید وجود داشته باشد غیر منفیاصطلاح. در غیر این صورت ریشه معنایی ندارد.) بنابراین و این نیز به نوبه خود به معنای آن است و بنابراین خود نیز غیر مثبت است: .

و اشتباه اینجاست که ما در حال معرفی از ریشه هستیم غیر مثبتعدد: درجه چهارم آن را تبدیل می کند غیر منفیو نتیجه اشتباه به دست می آید - در سمت چپ یک منهای عمدی وجود دارد و در سمت راست قبلاً یک مثبت وجود دارد. و آن را در ریشه قرار دهید زوجدرجه ما فقط حق داریم غیر منفیاعداد یا عبارات و منهای را در صورت وجود، جلوی ریشه بگذارید.) چگونه می توانیم یک عامل غیر منفی را در عدد تشخیص دهیم.، دانستن اینکه خود کاملاً منفی است؟ بله دقیقا همینطوره! یک منهای قرار دهید.) و برای اینکه چیزی تغییر نکند، آن را با یک منفی دیگر جبران کنید. مثل این:

و اکنون در حال حاضر غیر منفیطبق تمام قوانین با آرامش عدد (-b) را در زیر ریشه وارد می کنیم:

این مثال به وضوح نشان می دهد که برخلاف سایر شاخه های ریاضیات، در ریشه ها پاسخ صحیح همیشه به طور خودکار از فرمول ها خارج نمی شود. شما باید فکر کنید و شخصاً تصمیم درستی بگیرید.) باید به خصوص مراقب علائم موجود باشید معادلات و نابرابری های غیر منطقی.

بیایید در هنگام کار با ریشه به تکنیک مهم بعدی نگاه کنیم - رهایی از بی منطقی.

حذف غیرمنطقی بودن در کسری

اگر عبارت حاوی ریشه باشد، اجازه دهید یادآوری کنم که چنین عبارتی نامیده می شود بیان با بی منطقی. در برخی موارد، خلاص شدن از شر همین بی منطقی (یعنی ریشه ها) می تواند مفید باشد. چگونه می توانید ریشه را از بین ببرید؟ ریشه ما زمانی ناپدید می شود که به یک قدرت برسیم. با اندیکاتور یا برابر با اندیکاتور ریشه یا مضربی از آن. اما، اگر ریشه را به یک توان برسانیم (یعنی ریشه را به تعداد مورد نیاز در خودش ضرب کنیم)، عبارت تغییر می کند. خوب نیست.) با این حال، در ریاضیات موضوعاتی وجود دارد که در آنها ضرب کاملاً بدون درد است. به عنوان مثال در کسری. با توجه به ویژگی اصلی یک کسر، اگر صورت و مخرج در یک عدد ضرب (تقسیم) شوند، مقدار کسری تغییر نخواهد کرد.

فرض کنید به ما این کسر داده می شود:

آیا می توان از ریشه در مخرج خلاص شد؟ می توان! برای انجام این کار، ریشه باید مکعب شود. چه چیزی را در مخرج یک مکعب کامل از دست می دهیم؟ ما یک ضریب را از دست می دهیم، یعنی.. پس صورت و مخرج کسر را در ضرب می کنیم

ریشه در مخرج ناپدید شده است. اما ... او در صورتحساب ظاهر شد. هیچ کاری نمی توان کرد، سرنوشت چنین است.) این دیگر برای ما مهم نیست: از ما خواسته شد که مخرج را از ریشه رها کنیم. منتشر شد؟ بی شک.)

به هر حال، کسانی که قبلاً با مثلثات راحت هستند، ممکن است به این واقعیت توجه داشته باشند که مثلاً در برخی از کتاب‌های درسی و جداول، آنها به طور متفاوتی تعیین می‌کنند: جایی، و جایی. سوال این است - چه چیزی درست است؟ پاسخ: همه چیز درست است!) اگر حدس بزنید- این صرفاً نتیجه رهایی از غیرعقلانی در مخرج کسری است. :)

چرا باید به صورت کسری خود را از بی منطقی رها کنیم؟ چه فرقی می کند که ریشه در صورت باشد یا در مخرج؟ ماشین حساب به هر حال همه چیز را محاسبه می کند.) خوب، برای کسانی که از ماشین حساب جدا نمی شوند، واقعاً هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما حتی با حساب کردن روی یک ماشین حساب، می توانید به این نکته توجه کنید که تقسیم کردنبر کلشماره همیشه راحت تر و سریعتر از روشن است غیر منطقی. و من در مورد تقسیم به یک ستون سکوت خواهم کرد.)

مثال زیر فقط حرف من را تایید می کند.

چگونه می توانیم جذر مخرج را در اینجا حذف کنیم؟ اگر صورت و مخرج در عبارت ضرب شوند، مخرج مجذور جمع خواهد بود. مجموع مجذورهای اعداد اول و دوم فقط اعداد بدون ریشه به ما می دهد که بسیار خوشایند است. با این حال ... ظاهر می شود محصول دوگانهعدد اول به عدد دوم، جایی که ریشه سه همچنان باقی خواهد ماند. کانال نمیکنه باید چکار کنم؟ یک فرمول فوق العاده دیگر برای ضرب اختصاری را به خاطر بسپارید! جایی که هیچ محصول دوتایی وجود ندارد، بلکه فقط مربع وجود دارد:

عبارتی که وقتی در یک مجموع (یا تفاوت) معین ضرب شود، تولید می کند تفاوت مربع ها، همچنین به نام بیان مزدوج. در مثال ما، عبارت مزدوج تفاوت خواهد بود. پس صورت و مخرج را در این اختلاف ضرب می کنیم:

چه می توانم بگویم؟ در نتیجه دستکاری های ما نه تنها ریشه مخرج ناپدید شد، بلکه کسر به کلی ناپدید شد! :) حتی با ماشین حساب، کم کردن ریشه سه از سه راحت تر از محاسبه کسری با ریشه در مخرج است. مثالی دیگر.

خود را از غیرمنطقی بودن در مخرج کسری رها کنید:

چگونه از این وضعیت خارج شویم؟ فرمول های ضرب اختصاری با مربع فوراً کار نمی کنند - حذف ریشه ها به طور کامل امکان پذیر نخواهد بود زیرا این بار ریشه ما مربع نیست، اما مکعبی. لازم است که ریشه به نحوی به شکل یک مکعب بلند شود. بنابراین باید از یکی از فرمول های مکعبی استفاده کرد. کدام یک؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم. مخرج جمع است. چگونه می توانیم به یک مکعب از ریشه دست پیدا کنیم؟ ضربدر اختلاف مجذور جزئی! بنابراین، ما فرمول را اعمال خواهیم کرد مجموع مکعب ها. این یکی:

مانند آما سه، و به عنوان یک کیفیت ب– ریشه مکعب پنج:

و دوباره کسر ناپدید شد.) چنین موقعیت‌هایی که وقتی از غیرعقلانی بودن مخرج کسری رها می‌شوند، خود کسر به‌طور کامل همراه با ریشه‌ها ناپدید می‌شود، اغلب اتفاق می‌افتد. این مثال را چگونه دوست دارید!

محاسبه:

فقط سعی کنید این سه کسر را اضافه کنید! بدون اشتباه! :) یک مخرج مشترک ارزشش را دارد. اگر بخواهیم خود را از غیرمنطقی بودن مخرج هر کسری رها کنیم چه؟ خوب بیایید سعی کنیم:

وای چه جالب! همه کسری ها رفته اند! به صورت کامل. و اکنون مثال را می توان به دو روش حل کرد:

ساده و شیک. و بدون محاسبات طولانی و خسته کننده. :)

به همین دلیل است که باید بتوان عملیات رهایی از غیرعقلانی را به صورت کسری انجام داد. در چنین نمونه‌های پیچیده‌ای، این تنها چیزی است که باعث صرفه‌جویی می‌شود، بله.) البته، هیچ‌کس توجه را لغو نکرد. وظایفی وجود دارد که از شما خواسته می شود تا از شر غیرمنطقی خلاص شوید صورت کسر. این وظایف با موارد در نظر گرفته شده تفاوتی ندارند، فقط شمارنده از ریشه پاک می شود.)

نمونه های پیچیده تر

باقی مانده است که برخی از تکنیک های خاص برای کار با ریشه ها را در نظر بگیرید و ساده ترین نمونه ها را باز نکنید. و سپس اطلاعات دریافت شده برای حل وظایف با ریشه های هر سطح از پیچیدگی کافی خواهد بود. بنابراین - ادامه دهید.) ابتدا بیایید بفهمیم وقتی فرمول ریشه از ریشه کار نمی کند با ریشه های تو در تو چه کنیم. به عنوان مثال، این یک مثال است.

محاسبه:

ریشه در زیر ریشه است... علاوه بر این، در زیر ریشه جمع یا تفاوت است. بنابراین، فرمول ریشه ریشه (با ضرب توان) در اینجا آمده است این کار نمی کند. پس باید کاری کرد عبارات رادیکال: ما هیچ گزینه دیگری نداریم. در چنین نمونه هایی، اغلب ریشه بزرگ رمزگذاری می شود مربع کاملهر مقدار. یا تفاوت ها. و ریشه یک مربع را می توان کاملاً استخراج کرد! و اکنون وظیفه ما رمزگشایی آن است.) چنین رمزگشایی به زیبایی از طریق انجام می شود سیستم معادلات. حالا همه چیز را خودتان خواهید دید.)

بنابراین، در زیر ریشه اول این عبارت را داریم:

اگر درست حدس نزده باشید چه؟ بیایید بررسی کنیم! با استفاده از فرمول مجذور مجموع آن را مربع می کنیم:

درست است.) اما... این عبارت را از کجا آوردم؟ از آسمان؟

خیر.) صادقانه آن را کمی پایین تر خواهیم گرفت. به سادگی با استفاده از این عبارت، من دقیقا نشان می‌دهم که نویسندگان وظیفه چگونه چنین مربع‌هایی را رمزگذاری می‌کنند. :) 54 چیست؟ این مجموع مربع های اعداد اول و دوم. و، توجه کنید، در حال حاضر بدون ریشه! و ریشه در آن باقی می ماند محصول دوگانه، که در مورد ما برابر است با . بنابراین، کشف چنین نمونه هایی با جستجو برای محصول دوگانه آغاز می شود. اگر با انتخاب معمولی از هم جدا شوید. و به هر حال، در مورد علائم. اینجا همه چیز ساده است. اگر قبل از دو برابر یک مثبت وجود داشته باشد، آنگاه مجذور مجموع است. اگر منهای است، پس تفاوت ها.) ما یک مثبت داریم - که به معنای مربع مجموع است.) و اکنون - روش تحلیلی وعده داده شده رمزگشایی. از طریق سیستم.)

بنابراین، در زیر ریشه ما به وضوح بیان وجود دارد (الف + ب) 2، و وظیفه ما یافتن است آو ب. در مورد ما، مجموع مربع ها 54 می شود. بنابراین می نویسیم:

حالا محصول را دو برابر کنید. ما داریمش. پس آن را یادداشت می کنیم:

ما این سیستم را دریافت کردیم:

ما با روش جایگزینی معمول حل می کنیم. برای مثال از معادله دوم بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله اول می کنیم:

بیایید معادله اول را حل کنیم:

بدست آورد دوطرفهمعادله نسبیآ . تفکیک کننده را محاسبه می کنیم:

به معنای،

ما حداکثر چهار مقدار ممکن را دریافت کردیمآ. ما نمی ترسیم. اکنون همه چیزهای غیر ضروری را حذف می کنیم.) اگر اکنون مقادیر مربوطه را برای هر یک از چهار مقدار یافت شده محاسبه کنیم، چهار راه حل برای سیستم خود خواهیم داشت. آن ها اینجا هستند:

و در اینجا این سوال مطرح می شود - کدام راه حل برای ما مناسب است؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم. راه حل های منفی را می توان بلافاصله کنار گذاشت: هنگام مربع کردن، منفی ها "سوخته می شوند" و کل بیان رادیکال به طور کلی تغییر نمی کند.) دو گزینه اول باقی می مانند. می‌توانید آنها را کاملاً دلخواه انتخاب کنید: مرتب کردن مجدد عبارت‌ها هنوز مجموع را تغییر نمی‌دهد.) اجازه دهید، برای مثال، a.

در مجموع، مربع حاصل جمع زیر را در زیر ریشه بدست می آوریم:

همه چیز روشن است.)

بی جهت نیست که من روند تصمیم گیری را با این جزئیات شرح می دهم. برای اینکه روشن شود رمزگشایی چگونه رخ می دهد.) اما یک مشکل وجود دارد. روش تحلیلی رمزگشایی، اگرچه قابل اعتماد است، اما بسیار طولانی و دست و پا گیر است: شما باید یک معادله دو درجه ای را حل کنید، چهار راه حل برای سیستم به دست آورید و سپس هنوز فکر کنید که کدام یک را انتخاب کنید... مشکل؟ موافقم، دردسر ساز است. این روش در اکثر این نمونه ها بی عیب و نقص عمل می کند. با این حال، اغلب اوقات می توانید کارهای زیادی را برای خود ذخیره کنید و هر دو شماره را خلاقانه پیدا کنید. با انتخاب.) بله، بله! اکنون با استفاده از مثال جمله دوم (ریشه دوم) راه ساده‌تر و سریع‌تری را برای جداسازی مربع کامل زیر ریشه نشان خواهم داد.

بنابراین اکنون ما این ریشه را داریم: .

بیایید اینگونه فکر کنیم: به احتمال زیاد در زیر ریشه یک مربع کامل رمزگذاری شده وجود دارد. هنگامی که قبل از دو برابر یک منهای وجود دارد، به معنای مربع اختلاف است. مجموع مربع های عدد اول و دوم عدد را به ما می دهد 54. اما این ها چه نوع مربع هایی هستند؟ 1 و 53؟ 49 و 5 ? گزینه های زیادی وجود دارد ... نه، بهتر است با دو برابر محصول شروع به گره گشایی کنید. مارا می توان به صورت . یک بار محصول دو برابر شد، سپس بلافاصله این دو را دور می اندازیم. سپس نامزدهای این نقش a و b باقی می ماند 7 و . چه می شود اگر 14 باشد و/2 ? ممکن است. اما ما همیشه با یک چیز ساده شروع می کنیم!»بنابراین، اجازه دهید، یک . بیایید آنها را از نظر مجموع مربعات بررسی کنیم:

اتفاق افتاد! این بدان معنی است که بیان رادیکال ما در واقع مربع تفاوت است:

در اینجا یک راه ساده برای جلوگیری از بهم ریختن سیستم وجود دارد. همیشه کار نمی کند، اما در بسیاری از این مثال ها کاملاً کافی است. بنابراین، در زیر ریشه ها مربع های کامل وجود دارد. تنها چیزی که باقی می ماند استخراج صحیح ریشه ها و محاسبه مثال است:

حالا بیایید به یک کار غیر استانداردتر در ریشه نگاه کنیم.)

ثابت کنید که عدد A- عدد صحیح، اگر .

هیچ چیز مستقیم استخراج نمی شود، ریشه ها تعبیه شده اند و حتی درجات مختلف... یک کابوس! با این حال، کار منطقی است.) بنابراین، یک کلید برای حل آن وجود دارد.) و کلید اینجا این است. برابری ما را در نظر بگیرید

چگونه معادله نسبی آ. بله بله! خوب است که از شر ریشه ها خلاص شوید. ریشه های ما مکعب هستند، پس بیایید هر دو طرف معادله را مکعب کنیم. طبق فرمول مکعب از مجموع:

مکعب ها و ریشه های مکعبی یکدیگر را خنثی می کنند و در زیر هر ریشه بزرگ یک براکت از مربع برداشته و حاصلضرب اختلاف و مجموع را به تفاضل مربع جمع می کنیم:

به طور جداگانه، تفاوت مربع های زیر ریشه ها را محاسبه می کنیم:

وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس ویژگی های ریشه ها، به ویژه، بر تساوی هستند، که برای هر عدد غیر منفی b صادق است.

در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.

شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.

در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.

بیا شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟

جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی یک پس زمینه خاکستری قرار دارد، با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.

به عنوان مثال، بیایید نحوه استفاده از جدول مکعبی برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها می یابیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، .

واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که ریشه ها را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کنید. در این موارد باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. اجازه دهید این نکته را روشن کنیم.

ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. عدد b را مانند هر عدد طبیعی می توان به صورت حاصلضرب تمام عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m و عدد رادیکال a در این مورد نشان داد. به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n نشان داده می شود. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند.

توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.

بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.

مثال.

جذر 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.

اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.

تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:

یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، .

با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .

پاسخ:

برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، .

پاسخ:

مثال.

آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.

ما 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل را نمی توان به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد، زیرا توان ضریب اول 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

وقت آن است که بفهمیم چگونه ریشه یک عدد کسری را استخراج کنیم. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.

مثال.

جذر کسری مشترک 25/169 چقدر است؟

راه حل.

با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس . این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.

پاسخ:

ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.

راه حل.

بیایید کسر اعشاری اصلی را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم: 474.552=474552/1000. سپس . باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس و . تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است .

پاسخ:

.

ریشه گرفتن یک عدد منفی

شایان ذکر است که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، . این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: . حالا عدد مختلط را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: . ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: . باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: .

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

در حالت کلی، در زیر ریشه یک عدد وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.

اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.

برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را می گیریم و آنها را مربع می کنیم تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.

تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر بیت ها را شرح دهیم.

ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال تجاوز کند، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی پیدا شده در نظر گرفته می شود و اگر این اتفاق نیفتد، انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود. پس مقدار این رقم 9 است.

اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است:

بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید:

به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.

بیایید ارزش آن را تعیین کنیم.

از 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها.

بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین.

از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم، مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد.

در این مرحله، مقدار ریشه به صدم مشخص می شود: .

در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

آیا باید محاسبات پیچیده ای انجام دهید، اما یک دستگاه محاسبات الکترونیکی در دست ندارید؟ از یک برنامه آنلاین استفاده کنید - یک ماشین حساب ریشه. او کمک خواهد کرد:

• ریشه های مربع یا مکعب اعداد داده شده را پیدا کنید.
• انجام عملیات ریاضی با توان های کسری.

جذر چیست

هر عمل ریاضی یک واکنش دارد: جمع → تفریق، ضرب → تقسیم، توان → ریشه.

جذر یک عدد آعددی وجود خواهد داشت که مربع آن برابر است آ. این مستلزم پاسخ به این سوال است که چگونه ریشه یک عدد را محاسبه کنیم؟ شما باید عددی را انتخاب کنید که به توان دوم برابر با مقدار زیر ریشه باشد.

معمولا 2 بالای علامت ریشه نوشته نمی شود. از آنجایی که این کوچکترین توان است، و بر این اساس، اگر عددی وجود نداشته باشد، توان آن 2 است. ما حل می کنیم: برای محاسبه جذر 16، باید عددی را پیدا کنید که وقتی به توان دوم افزایش می یابد، نتیجه می شود. 16.

ما محاسبات را به صورت دستی انجام می دهیم

محاسبات با استفاده از روش فاکتورسازی بسته به عدد رادیکال به دو روش انجام می شود:

1. یک عدد صحیح که می توان آن را به مربع تقسیم کرد و یک پاسخ دقیق دریافت کرد.

اعداد مربع اعدادی هستند که می توان ریشه از آنها بدون باقی ماندن باقیمانده استخراج کرد. و فاکتورها اعدادی هستند که وقتی ضرب می شوند، عدد اصلی را می دهند.

مثلا:

25، 36، 49 اعداد مربع هستند زیرا:

معلوم می شود که عوامل مربع عواملی هستند که اعداد مربع هستند.

بیایید 784 را برداریم و ریشه را از آن استخراج کنیم.

عدد را به فاکتورهای مربعی تبدیل می کنیم. عدد 784 مضرب 4 است، یعنی اولین ضریب مربع 4 x 4 = 16 است.
بیایید قانون را اعمال کنیم هر ضریب مربع را ریشه می گیریم، نتایج را ضرب می کنیم و جواب می گیریم.	پاسخ.

2. تقسیم ناپذیر. نمی توان آن را به فاکتورهای مربعی تقسیم کرد.

چنین نمونه هایی بیشتر از اعداد صحیح رخ می دهند. راه حل آنها دقیق، به عبارت دیگر، کامل نخواهد بود. کسری و تقریبی خواهد بود. برای ساده کردن مسئله، تجزیه عدد رادیکال به یک ضریب مربع و عددی که از آن ریشه دوم قابل استخراج نیست کمک خواهد کرد.

عدد 252 را به مربع و ضریب منظم تجزیه می کنیم.
ما ارزش ریشه را تخمین می زنیم. برای انجام این کار، دو عدد مربع را انتخاب می کنیم که در جلو و پشت عدد رادیکال روی خط کش دیجیتال قرار دارند.	عدد رادیکال 7 است. به این معنی که نزدیکترین عدد مربع بزرگتر 8 و کوچکتر 4 خواهد بود. بین 2 و 4
ارزیابی ارزش	به احتمال زیاد √7 به 2 نزدیکتر است، آن را طوری انتخاب می کنیم که وقتی این عدد در خودش ضرب شد، نتیجه 7 شود. 2.7 x 2.7 = 7.2. مناسب نیست، چون 7.2>7، کوچکتر را 2.6 x 2.6 = 6.76 بگیرید. ما آن را ترک می کنیم، زیرا 6.76 ~ 7.
ریشه را محاسبه کنید

چگونه ریشه یک عدد مختلط را محاسبه کنیم؟ همچنین با استفاده از روش تخمین مقادیر ریشه.

هنگام تقسیم به یک ستون، دقیق ترین پاسخ هنگام استخراج ریشه به دست می آید.

یک برگه بردارید و آن را طوری بکشید که خط عمودی در وسط و خط افقی در سمت راست و زیر ابتدا قرار گیرد.
عدد رادیکال را به جفت اعداد بشکنید. کسرهای اعشاری به صورت زیر تقسیم می شوند: - کل قسمت از راست به چپ؛ - عدد بعد از نقطه اعشار از چپ به راست.	مثال: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 مجاز است که یک عدد جفت نشده در ابتدا باقی بماند.
برای اولین عدد (یا جفت)، بزرگترین عدد n را انتخاب می کنیم. مربع آن باید کمتر یا مساوی با مقدار عدد اول (جفت اعداد) باشد. ریشه √n را از این عدد بگیرید. نتیجه را در بالا سمت راست و مربع این عدد را در سمت راست پایین بنویسید. اولین عدد ما 7 است. نزدیکترین عدد مربع 4 است. کمتر از 7 است و 4 =
مربع پیدا شده عدد n را از عدد اول (جفت) کم کنید. نتیجه را زیر 7 بنویسید. و عدد بالایی سمت راست را دو برابر کنید و عبارت 4_x_=_ را در سمت راست بنویسید. توجه: اعداد باید یکسان باشند.
یک عدد برای عبارت با خط تیره انتخاب می کنیم. برای انجام این کار، عددی را پیدا کنید که حاصل ضرب حاصل از عدد فعلی در سمت چپ بزرگتر یا مساوی نباشد. در مورد ما 8 است.
عددی را که در گوشه سمت راست بالا پیدا کردید یادداشت کنید. این دومین عدد از ریشه مورد نظر است. جفت اعداد بعدی را بردارید و آنها را در کنار تفاوت حاصل در سمت چپ یادداشت کنید.
محصول سمت راست را از عدد سمت چپ کم کنید. عدد واقع در بالا سمت راست را دو برابر کنید و عبارت را با خط تیره بنویسید.
ما چند عدد دیگر را به تفاوت حاصل اضافه می کنیم. اگر اینها اعداد قسمت کسری هستند، یعنی در پشت کاما قرار دارند، در گوشه سمت راست بالا نزدیک آخرین رقم ریشه مربع مورد نظر یک کاما قرار می دهیم. خط تیره های عبارت سمت راست را پر می کنیم و عدد را طوری انتخاب می کنیم که حاصلضرب کمتر یا مساوی با تفاوت عبارت سمت چپ باشد.
اگر به ارقام اعشاری بیشتری نیاز دارید، سپس به عدد فعلی در سمت چپ اضافه کنید و مراحل را تکرار کنید: از سمت چپ کم کنید، عدد را در گوشه بالا سمت راست دو برابر کنید، عبارت را با خط تیره بنویسید، فاکتورهای آن را انتخاب کنید و غیره .

فکر می کنید چقدر برای چنین محاسباتی وقت می گذارید؟ دشوار، طولانی، گیج کننده. پس چرا کار را برای خود آسانتر نمی کنید؟ از برنامه ما استفاده کنید، که به شما کمک می کند محاسبات سریع و دقیق انجام دهید.

الگوریتم اقدامات

1. تعداد اعشار مورد نظر را وارد کنید.

2. درجه ریشه را نشان دهید (اگر بیشتر از 2 باشد).

3. شماره ای را که قصد دارید ریشه را از آن استخراج کنید وارد کنید.

4. روی دکمه "حل" کلیک کنید.

محاسبه پیچیده ترین عملیات ریاضی با ماشین حساب آنلاین ساده خواهد شد!

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خصوصیات فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در زیر علائم ریشه فرموله و اثبات می شوند.

قضیه 1. ریشه n (n=2، 3، 4،...) حاصل ضرب دو تراشه غیر منفی برابر است با حاصلضرب ریشه nام این اعداد:

اظهار نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس تساوی درست است

قضیه 1 به ما اجازه می دهد که t را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با شاخص مشابه.

قضیه 3.اگر ,k یک عدد طبیعی و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس تساوی صحیح است

به عبارت دیگر، برای بالا بردن ریشه در یک قدرت طبیعی، کافی است که بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، به عنوان مثال، برای k = 3 به دست می آوریم: ما می توانیم دقیقاً به همان روش در مورد هر مقدار طبیعی دیگری از توان k استدلال کنیم.

قضیه 4.اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 هستند، پس تساوی درست است

به عبارت دیگر برای استخراج ریشه از ریشه کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنیم.
مثلا،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، به جای نوشتن Really، اما واضح است که

قضیه 5.اگر شاخص های ریشه و بیان رادیکال در همان عدد طبیعی ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 2.محاسبه
راه حل.یک عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 )، ما گرفتیم:

مثال 3.محاسبه:

راه حل.همانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آنها را در شکل نشان داد و برعکس، می تواند با عبارت جایگزین شود. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این، بیایید محاسبات را انجام دهیم.

از این مقاله یاد خواهید گرفت:

• "استخراج ریشه" چیست؛
• در چه مواردی حذف می شود
• اصول یافتن مقدار ریشه؛
• روشهای اساسی استخراج ریشه از اعداد طبیعی و کسری

استخراج ریشه چیست؟

ابتدا بیایید تعریف «استخراج ریشه» را معرفی کنیم.

تعریف 1

استخراج ریشه فرآیند یافتن ارزش ریشه است.

هنگام گرفتن ریشه n یک عدد، عدد b را پیدا می کنیم که توان n آن برابر با a است. اگر چنین عدد b را پیدا کنیم، می توان گفت که ریشه استخراج شده است.

یادداشت 1

عبارات "استخراج ریشه" و "پیدا کردن ارزش ریشه" معادل هستند.

ریشه در چه مواردی استخراج می شود؟

ریشه nام را می توان دقیقاً از یک عدد استخراج کرد اگر a را بتوان به عنوان توان n ام برخی از عدد b نشان داد.

مثال 1

4 = 2 × 2، بنابراین، جذر عدد 4 را دقیقا می توان گرفت، یعنی 2.

تعریف 3

وقتی ریشه n ام یک عدد را نمی توان به عنوان توان n ام b نشان داد، آنگاه چنین ریشه ای استخراج نشده استیا فقط مقدار تقریبی بازیابی می شود ریشهدقیق به هر رقم اعشار

مثال 2

2 ≈ 1 , 4142 .

اصول یافتن مقادیر ریشه و روشهای استخراج آنها

• استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.
• تجزیه یک عبارت رادیکال (عدد) به عوامل اول
• ریشه گرفتن یک عدد منفی

باید فهمید که معنای ریشه ها با چه اصولی تعیین می شود و چگونه استخراج می شوند.

تعریف 4

اصل اصلی یافتن مقدار ریشه ها این است که بر اساس ویژگی های ریشه ها از جمله برابری: b n n = b که برای هر عدد غیر منفی b معتبر است.

شما باید با ساده ترین و واضح ترین روش شروع کنید: جداول مربع، مکعب و غیره

وقتی جدولی در دست ندارید، روش تجزیه یک عدد رادیکال به فاکتورهای اول به شما کمک می کند (روش ساده است).

توجه به استخراج ریشه یک عدد منفی که برای ریشه هایی با توان فرد امکان پذیر است، ارزش دارد.

بیایید بیاموزیم که چگونه از کسرها، از جمله اعداد مختلط، کسرها و اعشاری ریشه بگیریم.

و ما به آرامی روش یافتن مقدار ریشه را بیت به بیت در نظر خواهیم گرفت - پیچیده ترین و چند مرحله ای.

استفاده از جدول مربع، مکعب و غیره

جدول مربع ها شامل تمام اعداد از 0 تا 99 است و از 2 منطقه تشکیل شده است: در منطقه اول می توانید هر عددی را تا 99 با استفاده از یک ستون عمودی با ده ها و یک ردیف افقی با واحدها ایجاد کنید، منطقه دوم شامل تمام مربع های اعداد تشکیل شده

جدول مربع ها

جداول مکعب ها، قدرت های چهارم و ... نیز وجود دارد که بر اساس اصل مشابه جدول مربع ها ایجاد شده اند.

میز مکعبی

اصل عملکرد چنین جداول ساده است، اما آنها اغلب در دسترس نیستند، که روند استخراج ریشه را بسیار پیچیده می کند، بنابراین شما باید حداقل چندین روش استخراج ریشه را بدانید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

راحت ترین راه برای یافتن مقدار ریشه بعد از جدول مربع ها و مکعب ها.

تعریف 5

روش تجزیه یک عدد رادیکال به عوامل اول شامل نمایش عدد به عنوان یک توان با توان لازم است که به ما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آوریم.

مثال 3

بیایید جذر 144 را در نظر بگیریم.

بیایید 144 را به فاکتورهای اول فاکتور کنیم:

بنابراین: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2. بنابراین، 144 = 12 2 = 12.

همچنین، هنگام استفاده از ویژگی های قدرت ها و ریشه ها، می توانید تبدیل را کمی متفاوت بنویسید:

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

144 = 12 پاسخ نهایی است.

استخراج ریشه از اعداد کسری

به یاد بیاوریم: هر عدد کسری باید به صورت کسری نوشته شود.

تعریف 6

به دنبال خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر معتبر است:

p q n = p n q n . بر اساس این برابری لازم است استفاده شود قانون استخراج ریشه کسری:ریشه یک کسر برابر است با ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

مثال 4

بیایید نمونه ای از استخراج ریشه از کسری اعشاری را در نظر بگیریم، زیرا می توانید با استفاده از جدول یک ریشه را از یک کسری معمولی استخراج کنید.

لازم است ریشه مکعب 474، 552 استخراج شود. اول از همه، بیایید کسر اعشاری را به عنوان یک کسری معمولی تصور کنیم: 474، 552 = 474552 / 1000. از این نتیجه می شود: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3. سپس می توانید فرآیند استخراج ریشه های مکعبی صورت و مخرج را آغاز کنید:

474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 و 1000 = 10 3، سپس

474552 3 = 78 3 3 = 78 و 1000 3 = 10 3 3 = 10.

ما محاسبات را کامل می کنیم: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7، 8.

ریشه یابی اعداد منفی

اگر مخرج عددی فرد باشد، ممکن است عدد زیر علامت ریشه منفی باشد. از این نتیجه می شود: برای یک عدد منفی - a و یک توان فرد از ریشه 2 n - 1، تساوی زیر برقرار است:

A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1

تعریف 7

قانون استخراج توان های فرد از اعداد منفی:برای استخراج ریشه یک عدد منفی، باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی آن علامت منفی قرار دهید.

مثال 5

12 209 243 5. ابتدا باید عبارت را طوری تبدیل کنید که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 ​​​​​​

سپس باید عدد مختلط را با یک کسر معمولی جایگزین کنید:

12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5

با استفاده از قانون استخراج ریشه از یک کسر معمولی، استخراج می کنیم:

3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5

ما ریشه ها را در صورت و مخرج محاسبه می کنیم:

3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3

خلاصه ای از راه حل:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .

پاسخ: - 12 209 243 5 = - 1 2 3.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

مواردی وجود دارد که در زیر ریشه عددی وجود دارد که نمی توان آن را به عنوان توان n یک عدد معین نشان داد. اما باید ارزش ریشه را تا یک علامت خاص دانست.

در این صورت لازم است از الگوریتمی برای یافتن بیت به بیت مقدار ریشه استفاده کنید که به کمک آن می توانید تعداد کافی از مقادیر را به دست آورید.

مثال 6

بیایید ببینیم که چگونه این اتفاق می افتد با استفاده از مثال استخراج جذر 5.

ابتدا باید مقدار عدد واحد را پیدا کنید. برای انجام این کار، اجازه دهید از طریق مقادیر 0، 1، 2، شروع کنیم. . . , 9 , در حین محاسبه 0 2 , 1 2 , . . . ، 9 2 به مقدار مورد نیاز، که بزرگتر از عدد رادیکال 5 است. ارائه همه اینها در قالب یک جدول راحت است:

مقدار یک ردیف از واحدها 2 است (از 2 2< 5 , а 2 3 >5) . بیایید به دسته دهمی ها برویم - اعداد 2، 0، 2، 1، 2، 2، را مربع خواهیم کرد. . . ، 2، 9، مقایسه مقادیر به دست آمده با عدد 5.

از 2، 2 2< 5 , а 2 , 3 2 >5، سپس مقدار دهم ها 2 است. بیایید به یافتن مقدار صدم ها ادامه دهیم:

بنابراین، مقدار ریشه پنج پیدا می شود - 2، 23. می توانید مقادیر ریشه را بیشتر پیدا کنید:

2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .

بنابراین، ما چندین مورد از رایج‌ترین روش‌های یافتن ارزش ریشه را مطالعه کرده‌ایم که در هر شرایطی می‌توان از آنها استفاده کرد.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید