نمونه هایی از حل مسئله انتظارات ریاضی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

ویژگی های عددی پایه متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته: انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار. خواص و نمونه های آنها.

قانون توزیع (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی ویژگی های عددی مقدار مورد مطالعه (مثلاً مقدار میانگین آن و انحراف احتمالی از آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. بیایید ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.

تعریف 7.1.انتظارات ریاضییک متغیر تصادفی گسسته مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آنها است:

م(ایکس) = ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p p p.(7.1)

اگر تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی بی نهایت باشد، اگر سری حاصل کاملاً همگرا شود.

یادداشت 1.گاهی اوقات انتظار ریاضی نامیده می شود میانگین وزنی، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش.

تبصره 2.از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست.

نکته 3.انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته است غیر تصادفی(ثابت. بعداً خواهیم دید که همین امر برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز صادق است.

مثال 1. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین سه قطعه انتخاب شده از یک دسته 10 قطعه، شامل 2 قطعه معیوب. بیایید یک سری توزیع برای ایکس. از شرایط مشکل چنین برمی آید که ایکسمی تواند مقادیر 1، 2، 3 را بگیرد. سپس

مثال 2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکس- تعداد پرتاب سکه قبل از اولین ظاهر شدن نشان. این کمیت می تواند بی نهایت مقدار به خود بگیرد (مجموعه مقادیر ممکن مجموعه اعداد طبیعی است). سری توزیع آن به شکل زیر است:

+ (هنگام محاسبه، فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی دو بار استفاده شد: , از کجا ).

ویژگی های انتظار ریاضی

1) انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت:

م(با) = با.(7.2)

اثبات اگر در نظر بگیریم بابه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته که فقط یک مقدار را می گیرد بابا احتمال آر= 1، پس م(با) = با?1 = با.

2) عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

م(CX) = سانتی متر(ایکس). (7.3)

اثبات اگر متغیر تصادفی ایکسارائه شده توسط سری توزیع

سپس م(CX) = Cx 1 آر 1 + Cx 2 آر 2 + … + Cx p p p = با(ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p r p) = سانتی متر(ایکس).

تعریف 7.2.دو متغیر تصادفی نامیده می شوند مستقل، اگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیری که دیگری گرفته است بستگی ندارد. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته.

تعریف 7.3.بیا تماس بگیریم حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Y متغیر تصادفی XY، که مقادیر ممکن آن برابر با محصولات همه مقادیر ممکن است ایکسبرای تمام مقادیر ممکن Y، و احتمالات مربوطه برابر است با حاصل ضرب احتمالات عوامل.

3) انتظار ریاضی حاصل ضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است:

م(XY) = م(ایکس)م(Y). (7.4)

اثبات برای ساده کردن محاسبات، خود را به این مورد محدود می کنیم که ایکسو Yفقط دو مقدار ممکن را بگیرید:

از این رو، م(XY) = ایکس 1 y 1 ?پ 1 g 1 + ایکس 2 y 1 ?پ 2 g 1 + ایکس 1 y 2 ?پ 1 g 2 + ایکس 2 y 2 ?پ 2 g 2 = y 1 g 1 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) + + y 2 g 2 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = م(ایکس)?م(Y).

یادداشت 1.این ویژگی را می توان به طور مشابه برای تعداد بیشتری از مقادیر احتمالی فاکتورها اثبات کرد.

تبصره 2.خاصیت 3 برای حاصل ضرب هر تعداد متغیر تصادفی مستقل صادق است که با روش استقرای ریاضی ثابت می شود.

تعریف 7.4.تعریف کنیم مجموع متغیرهای تصادفی ایکسو Y به عنوان یک متغیر تصادفی X+Yکه مقادیر ممکن آن برابر با مجموع هر مقدار ممکن است ایکسبا هر مقدار ممکن Y; احتمالات چنین مبالغی برابر است با حاصلضرب احتمالات شرایط (برای متغیرهای تصادفی وابسته - حاصلضرب احتمال یک جمله با احتمال شرطی دوم).

4) انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات:

م (X+Y) = م (ایکس) + م (Y). (7.5)

اثبات

اجازه دهید دوباره متغیرهای تصادفی تعریف شده توسط سری توزیع ارائه شده در اثبات ویژگی 3 را در نظر بگیریم. سپس مقادیر ممکن X+Yهستند ایکس 1 + در 1 , ایکس 1 + در 2 , ایکس 2 + در 1 , ایکس 2 + در 2. اجازه دهید احتمالات آنها را به ترتیب نشان دهیم آر 11 , آر 12 , آر 21 و آر 22. پیدا خواهیم کرد م(ایکس+Y) = (ایکس 1 + y 1)پ 11 + (ایکس 1 + y 2)پ 12 + (ایکس 2 + y 1)پ 21 + (ایکس 2 + y 2)پ 22 =

= ایکس 1 (پ 11 + پ 12) + ایکس 2 (پ 21 + پ 22) + y 1 (پ 11 + پ 21) + y 2 (پ 12 + پ 22).

این را ثابت کنیم آر 11 + آر 22 = آر 1 . در واقع، رویدادی که X+Yارزش ها را خواهد گرفت ایکس 1 + در 1 یا ایکس 1 + در 2 و احتمال آن است آر 11 + آر 22 مصادف با رویدادی است که ایکس = ایکس 1 (احتمال آن است آر 1). به طریق مشابه ثابت می شود که پ 21 + پ 22 = آر 2 , پ 11 + پ 21 = g 1 , پ 12 + پ 22 = g 2. به معنای،

م(X+Y) = ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = م (ایکس) + م (Y).

اظهار نظر. از خاصیت 4 نتیجه می شود که مجموع هر تعداد متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.

مثال. انتظار ریاضی از مجموع تعداد امتیازهای به دست آمده هنگام پرتاب پنج تاس را بیابید.

بیایید انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده هنگام پرتاب یک تاس را پیدا کنیم:

م(ایکس 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) همین عدد برابر است با انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده روی هر تاس. بنابراین به وسیله خاصیت 4 م(ایکس)=

پراکندگی.

برای داشتن ایده ای از رفتار یک متغیر تصادفی، دانستن تنها انتظارات ریاضی آن کافی نیست. دو متغیر تصادفی را در نظر بگیرید: ایکسو Y، توسط سری های توزیع فرم مشخص شده است

پیدا خواهیم کرد م(ایکس) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. همانطور که می بینید، انتظارات ریاضی از هر دو کمیت برابر است، اما اگر برای HM(ایکس) به خوبی رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند، که محتمل ترین مقدار ممکن آن است (و مقادیر باقیمانده تفاوت زیادی با 50 ندارند)، سپس مقادیر Yبه طور قابل توجهی از م(Y). بنابراین، در کنار انتظارات ریاضی، مطلوب است بدانیم که مقادیر متغیر تصادفی چقدر از آن انحراف دارد. برای مشخص کردن این شاخص از واریانس استفاده می شود.

تعریف 7.5.پراکندگی (پراکندگی)یک متغیر تصادفی انتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی آن است:

D(ایکس) = م (X-M(ایکس))². (7.6)

بیایید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنیم ایکس(تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده) در مثال 1 این سخنرانی. بیایید مجذور انحراف هر مقدار ممکن از انتظار ریاضی را محاسبه کنیم:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. از این رو،

یادداشت 1.در تعیین پراکندگی، انحراف از خود میانگین ارزیابی نمی شود، بلکه مربع آن است. این کار به گونه ای انجام می شود که انحرافات علائم مختلف یکدیگر را خنثی نکنند.

تبصره 2.از تعریف پراکندگی نتیجه می شود که این کمیت فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد.

نکته 3.فرمولی برای محاسبه واریانس وجود دارد که برای محاسبات راحت تر است که اعتبار آن در قضیه زیر ثابت می شود:

قضیه 7.1.D(ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس). (7.7)

اثبات

با استفاده از چه م(ایکس) یک مقدار ثابت است، و ویژگی های انتظار ریاضی، فرمول (7.6) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

D(ایکس) = م(X-M(ایکس))² = م(ایکس² - 2 X?M(ایکس) + م²( ایکس)) = م(ایکس 2) - 2 م(ایکس)?م(ایکس) + م²( ایکس) =

= م(ایکس 2) - 2 م²( ایکس) + م²( ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس) چیزی بود که باید ثابت می شد.

مثال. بیایید واریانس متغیرهای تصادفی را محاسبه کنیم ایکسو Yدر ابتدای این بخش مورد بحث قرار گرفت. م(ایکس) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

م(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. بنابراین، واریانس دومین متغیر تصادفی چندین هزار بار بیشتر از واریانس متغیر اول است. بنابراین، حتی بدون دانستن قوانین توزیع این کمیت ها، بر اساس مقادیر پراکندگی شناخته شده می توانیم بیان کنیم که ایکسکمی از انتظارات ریاضی خود منحرف می شود، در حالی که برای Yاین انحراف کاملاً قابل توجه است.

خواص پراکندگی.

1) واریانس یک مقدار ثابت بابرابر با صفر:

D (سی) = 0. (7.8)

اثبات D(سی) = م((سانتی متر(سی))²) = م((C-C)²) = م(0) = 0.

2) ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

D(CX) = سی² D(ایکس). (7.9)

اثبات D(CX) = م((CX-M(CX))²) = م((CX-CM(ایکس))²) = م(سی²( X-M(ایکس))²) =

= سی² D(ایکس).

3) واریانس مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها:

D(X+Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.10)

اثبات D(X+Y) = م(ایکس² + 2 XY + Y²) - ( م(ایکس) + م(Y))² = م(ایکس 2) + 2 م(ایکس)م(Y) +

+ م(Y²) - م²( ایکس) - 2م(ایکس)م(Y) - م²( Y) = (م(ایکس²) - م²( ایکس)) + (م(Y²) - م²( Y)) = D(ایکس) + D(Y).

نتیجه 1.واریانس مجموع چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با مجموع واریانس آنها.

نتیجه 2.واریانس مجموع یک متغیر ثابت و یک متغیر تصادفی برابر با واریانس متغیر تصادفی است.

4) واریانس تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها:

D(X-Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.11)

اثبات D(X-Y) = D(ایکس) + D(-Y) = D(ایکس) + (-1)² D(Y) = D(ایکس) + D(ایکس).

واریانس مقدار میانگین مجذور انحراف یک متغیر تصادفی را از میانگین می دهد. برای ارزیابی خود انحراف از مقداری به نام انحراف استاندارد استفاده می شود.

تعریف 7.6.انحراف معیارσ متغیر تصادفی ایکسجذر واریانس نامیده می شود:

مثال. در مثال قبلی، انحرافات استاندارد ایکسو Yبه ترتیب برابر هستند

انتظار توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، نمونه، انتظار شرطی، محاسبه، خواص، مسائل، تخمین انتظار، پراکندگی، تابع توزیع، فرمول‌ها، مثال‌های محاسبه

مطالب را گسترش دهید

جمع کردن محتوا

انتظارات ریاضی تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضی و نظریه احتمال، مشخص کردن توزیع مقادیر یا احتمالات یک متغیر تصادفی است. به طور معمول به عنوان میانگین وزنی تمام پارامترهای ممکن یک متغیر تصادفی بیان می شود. به طور گسترده در تحلیل تکنیکال، مطالعه سری های اعداد و مطالعه فرآیندهای مستمر و وقت گیر استفاده می شود. در ارزیابی ریسک‌ها، پیش‌بینی شاخص‌های قیمت هنگام معامله در بازارهای مالی مهم است و در توسعه استراتژی‌ها و روش‌های تاکتیک‌های بازی در تئوری قمار استفاده می‌شود.

انتظار ریاضی استمیانگین مقدار یک متغیر تصادفی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظار ریاضی استاندازه گیری مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده با M(x).

انتظار ریاضی است

انتظار ریاضی استدر نظریه احتمال، میانگین وزنی تمام مقادیر ممکن که یک متغیر تصادفی می تواند بگیرد.

انتظار ریاضی استمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر.

انتظار ریاضی استمیانگین سود از یک تصمیم خاص، مشروط بر اینکه بتوان چنین تصمیمی را در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفت.

انتظار ریاضی استدر تئوری قمار، میزان بردی که یک بازیکن می تواند به طور متوسط ​​برای هر شرط به دست آورد یا از دست بدهد. در اصطلاح قمار، گاهی اوقات به آن "لبه بازیکن" (اگر برای بازیکن مثبت باشد) یا "لبه خانه" (اگر برای بازیکن منفی باشد) می گویند.

انتظار ریاضی استدرصد سود به ازای هر برد ضرب در سود متوسط، منهای احتمال ضرر ضرب در میانگین ضرر.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی آن است. اجازه دهید مفهوم سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی کنیم. بیایید مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیریم که نتایج همان آزمایش تصادفی هستند. اگر یکی از مقادیر ممکن سیستم باشد، آنگاه رویداد با احتمال خاصی مطابقت دارد که بدیهیات کولموگروف را برآورده می کند. تابعی که برای هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی تعریف می شود، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این تابع به شما امکان می دهد تا احتمالات هر رویدادی را از آن محاسبه کنید. به طور خاص، قانون توزیع مشترک متغیرهای تصادفی و که مقادیری از مجموعه و با احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظار ریاضی" توسط پیر سیمون مارکیز د لاپلاس (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار برنده" می آید که برای اولین بار در قرن هفدهم در نظریه قمار در آثار بلز پاسکال و کریستیان ظاهر شد. هویگنس. با این حال، اولین درک نظری و ارزیابی کامل از این مفهوم توسط پافنوتی لوویچ چبیشف (اواسط قرن نوزدهم) ارائه شد.

قانون توزیع متغیرهای عددی تصادفی (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از خصوصیات عددی کمیت مورد مطالعه (مثلاً مقدار متوسط ​​و انحراف احتمالی آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی عبارتند از انتظار ریاضی، واریانس، حالت و میانه.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. گاهی اوقات انتظارات ریاضی را میانگین وزنی می نامند، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش. از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظار ریاضی معنای فیزیکی ساده ای دارد: اگر یک واحد جرم را روی یک خط مستقیم قرار دهید، جرم خاصی را در برخی نقاط قرار دهید (برای توزیع گسسته)، یا آن را با چگالی معین «لکه کنید» (برای توزیع کاملاً پیوسته) ، سپس نقطه متناظر با انتظارات ریاضی مختصات "مرکز ثقل" مستقیم خواهد بود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی عدد معینی است که همان طور که گفته شد «نماینده» آن است و در محاسبات تقریباً تقریبی جایگزین آن می‌شود. وقتی می گوییم: "متوسط ​​زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط ​​نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا شده است"، مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که مکان آن را توصیف می کند. روی محور عددی، یعنی. "ویژگی های موقعیت".

از ویژگی های یک موقعیت در نظریه احتمال، مهمترین نقش را انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایفا می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود.

متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، داشتن مقادیر ممکن x1، x2، …، xnبا احتمالات p1, p2, …, pn. ما باید موقعیت مقادیر یک متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور، طبیعی است که از به اصطلاح «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود xi، و هر مقدار xi در طول میانگین گیری باید با "وزن" متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد ایکس، که به آن اشاره می کنیم M |X|:

این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال - مفهوم انتظار ریاضی را در نظر گرفتیم. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

بگذارید تولید شود نآزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها ارزش ایکسارزش خاصی به خود می گیرد. بیایید فرض کنیم که ارزش x1ظاهر شد m1بار، ارزش x2ظاهر شد متر مربعیک بار به معنای عام xiبارها ظاهر شد اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از مقدار X را محاسبه کنیم که بر خلاف انتظارات ریاضی M|X|نشان می دهیم M*|X|:

با افزایش تعداد آزمایشات نفرکانس ها پیبه احتمالات مربوطه نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی M|X|با افزایش تعداد آزمایش‌ها، به انتظارات ریاضی خود نزدیک می‌شود (احتمال همگرایی). ارتباط بین میانگین حسابی و انتظارات ریاضی که در بالا فرموله شد، محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می دهد.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که برخی از میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان کمیت صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا غیر تصادفی" می شود و با تثبیت به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

پایداری میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش را می توان به راحتی به صورت تجربی تأیید کرد. به عنوان مثال، هنگام توزین یک بدن در آزمایشگاه بر روی ترازوهای دقیق، در نتیجه توزین هر بار مقدار جدیدی به دست می آید. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (توزین)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش، عملاً تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که مهمترین مشخصه موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود. با این حال، چنین مواردی برای تمرین جالب نیست. به طور معمول، متغیرهای تصادفی که با آنها سروکار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظار ریاضی دارند.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - در عمل، گاهی اوقات از سایر ویژگی های موقعیت به ویژه حالت و میانه متغیر تصادفی استفاده می شود.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین مقدار" به طور دقیق فقط در مورد کمیت های ناپیوسته کاربرد دارد. برای یک کمیت پیوسته، حالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. شکل ها به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چندضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع «چند وجهی» نامیده می شود.

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که یک حداقل در وسط دارند نه حداکثر. چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند.

در حالت کلی، حالت و انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در حالت خاص، وقتی توزیع متقارن و مدال است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از مشخصه های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته تعریف کرد. از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محصور شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود.

در مورد توزیع مودال متقارن، میانه با انتظار و حالت ریاضی منطبق است.

انتظارات ریاضی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است - یک مشخصه عددی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی. در کلی ترین حالت، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است X(w)به عنوان انتگرال Lebesgue با توجه به اندازه گیری احتمال تعریف می شود آردر فضای احتمال اصلی:

انتظارات ریاضی را می توان به عنوان انتگرال Lebesgue نیز محاسبه کرد ایکسبا توزیع احتمال pxمقادیر ایکس:

مفهوم متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی بی نهایت را می توان به روشی طبیعی تعریف کرد. یک مثال معمولی زمان بازگشت برخی از پیاده روی های تصادفی است.

با استفاده از انتظارات ریاضی، بسیاری از ویژگی های عددی و تابعی یک توزیع تعیین می شود (به عنوان انتظار ریاضی توابع متناظر یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تابع مولد، تابع مشخصه، گشتاورهای هر مرتبه، به ویژه پراکندگی، کوواریانس. .

انتظارات ریاضی مشخصه مکان مقادیر یک متغیر تصادفی (مقدار متوسط ​​توزیع آن) است. در این ظرفیت، انتظار ریاضی به عنوان برخی از پارامترهای توزیع "معمولی" عمل می کند و نقش آن مشابه نقش لحظه ایستا - مختصات مرکز ثقل توزیع جرم - در مکانیک است. از دیگر ویژگی های مکان که با کمک آنها توزیع به طور کلی توصیف می شود - میانه ها، حالت ها، انتظارات ریاضی در مقدار بیشتری که آن و مشخصه پراکندگی مربوطه - پراکندگی - در قضایای حدی نظریه احتمال دارند متفاوت است. معنای انتظار ریاضی به طور کامل توسط قانون اعداد بزرگ (نابرابری چبیشف) و قانون تقویت شده اعداد بزرگ آشکار می شود.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بتواند یکی از چندین مقدار عددی را بگیرد (به عنوان مثال، تعداد امتیازها هنگام پرتاب تاس می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب در عمل، برای چنین مقداری، این سوال مطرح می شود: با تعداد زیادی تست، چه مقداری به طور متوسط ​​می گیرد؟ میانگین درآمد (یا ضرر) ما از هر یک از معاملات پرخطر چقدر خواهد بود؟

فرض کنید نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم بفهمیم که آیا شرکت در آن سودآور است یا نه (یا حتی شرکت مکرر و منظم). بیایید بگوییم که هر بلیط چهارم برنده است، جایزه 300 روبل و قیمت هر بلیط 100 روبل خواهد بود. با تعداد بی نهایت زیاد مشارکت، این اتفاق می افتد. در سه چهارم موارد ما ضرر خواهیم کرد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه خواهد داشت. در هر چهارمین مورد 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی برای چهار شرکت به طور متوسط ​​100 روبل از دست می دهیم، برای یک - به طور متوسط ​​25 روبل. در مجموع، میانگین نرخ خرابی ما برای هر بلیط 25 روبل خواهد بود.

تاس ها را می اندازیم. اگر تقلب نباشد (بدون جابجایی مرکز ثقل و غیره)، پس به طور میانگین در یک زمان چند امتیاز خواهیم داشت؟ از آنجایی که احتمال هر گزینه به یک اندازه است، به سادگی میانگین حسابی را می گیریم و 3.5 می گیریم. از آنجایی که این میانگین است، نیازی به عصبانیت نیست که هیچ رول خاصی 3.5 امتیاز نمی دهد - خوب، این مکعب با چنین عددی صورت ندارد!

حال بیایید نمونه های خود را خلاصه کنیم:

بیایید به تصویر ارائه شده نگاه کنیم. در سمت چپ جدولی از توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد. مقدار X می تواند یکی از n مقدار ممکن را بگیرد (نشان داده شده در خط بالا). معانی دیگری نمی تواند وجود داشته باشد. در زیر هر مقدار ممکن، احتمال آن در زیر نوشته شده است. در سمت راست فرمول است که در آن M(X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی آزمون (با نمونه بزرگ)، مقدار متوسط ​​به همان انتظار ریاضی تمایل پیدا می کند.

بیایید دوباره به همان مکعب بازی برگردیم. انتظار ریاضی تعداد امتیاز هنگام پرتاب 3.5 است (اگر باور ندارید، خودتان با استفاده از فرمول آن را محاسبه کنید). فرض کنید شما آن را چند بار پرتاب کردید. نتایج 4 و 6 بود. میانگین 5 بود که با 3.5 فاصله زیادی دارد. یه بار دیگه انداختن 3 یعنی به طور متوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... یه جورایی دور از انتظار ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه انجام دهید - مکعب را 1000 بار بچرخانید! و حتی اگر میانگین دقیقاً 3.5 نباشد، نزدیک به آن خواهد بود.

بیایید انتظارات ریاضی برای قرعه کشی که در بالا توضیح داده شد را محاسبه کنیم. صفحه به شکل زیر خواهد بود:

سپس انتظارات ریاضی همانطور که در بالا مشخص کردیم خواهد بود:

چیز دیگر این است که انجام آن "روی انگشتان" بدون فرمول، در صورت وجود گزینه های بیشتر دشوار خواهد بود. خوب، بیایید بگوییم که 75 درصد بلیت های از دست رفته، 20 درصد بلیت های برنده و 5 درصد به ویژه بلیت های برنده وجود دارد.

در حال حاضر برخی از ویژگی های انتظار ریاضی.

اثبات آن آسان است:

عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد، یعنی:

این یک مورد خاص از ویژگی خطی بودن انتظار ریاضی است.

پیامد دیگر خطی بودن انتظار ریاضی:

یعنی انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی.

اجازه دهید X، Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، سپس:

این نیز به راحتی قابل اثبات است) کار کنید XYخود یک متغیر تصادفی است، و اگر مقادیر اولیه می تواند باشد nو متربر این اساس ارزش می دهد، پس XYمی تواند مقادیر nm را بگیرد. احتمال هر مقدار بر اساس چند برابر شدن احتمالات رویدادهای مستقل محاسبه می شود. در نتیجه این را دریافت می کنیم:

انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی هایی مانند چگالی توزیع (چگالی احتمال) هستند. اساساً وضعیتی را مشخص می کند که یک متغیر تصادفی مقادیری را از مجموعه اعداد واقعی اغلب و برخی دیگر را کمتر می گیرد. برای مثال این نمودار را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس- متغیر تصادفی واقعی، f(x)- چگالی توزیع با قضاوت در این نمودار، در طول آزمایش مقدار ایکساغلب عددی نزدیک به صفر خواهد بود. شانس بیش از حد است 3 یا کوچکتر باشد -3 نه صرفا نظری

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود داشته باشد:

این کاملاً با درک شهودی سازگار است. فرض کنید، اگر تعداد زیادی اعداد واقعی تصادفی با توزیع یکنواخت دریافت کنیم، هر یک از بخش ها |0; 1| ، پس میانگین حسابی باید حدود 0.5 باشد.

ویژگی‌های انتظار ریاضی - خطی بودن و غیره که برای متغیرهای تصادفی گسسته قابل اعمال هستند، در اینجا نیز قابل استفاده هستند.

رابطه بین انتظارات ریاضی و سایر شاخص های آماری

در تجزیه و تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، سیستمی از شاخص های وابسته به هم وجود دارد که همگنی پدیده ها و پایداری فرآیندها را منعکس می کند. شاخص های تنوع اغلب معنای مستقلی ندارند و برای تجزیه و تحلیل بیشتر داده ها استفاده می شوند. استثنا ضریب تغییرات است که مشخص کننده همگنی داده ها است که یک مشخصه آماری ارزشمند است.

درجه تغییرپذیری یا پایداری فرآیندها در علم آمار را می توان با استفاده از چند شاخص اندازه گیری کرد.

مهمترین شاخصی که تغییرپذیری یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، می باشد پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیم ترین ارتباط را با انتظارات ریاضی دارد. این پارامتر به طور فعال در انواع دیگر تحلیل های آماری (آزمایش فرضیه، تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی و غیره) استفاده می شود. مانند میانگین انحراف خطی، واریانس نیز میزان پراکندگی داده ها در اطراف مقدار میانگین را منعکس می کند.

ترجمه زبان نشانه ها به زبان کلمات مفید است. معلوم می شود که پراکندگی میانگین مربعات انحرافات است. یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین گرفته شده، مربع، اضافه شده و سپس بر تعداد مقادیر موجود در جامعه تقسیم می شود. تفاوت بین یک مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مجذور آن طوری است که همه انحرافات منحصراً به اعداد مثبت تبدیل می شوند و هنگام جمع کردن آنها از تخریب متقابل انحرافات مثبت و منفی جلوگیری می شود. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم. میانگین - مربع - انحرافات. انحرافات مجذور و میانگین محاسبه می شود. پاسخ به کلمه جادویی "پراکندگی" فقط در سه کلمه نهفته است.

با این حال، در شکل خالص آن، مانند میانگین حسابی، یا شاخص، پراکندگی استفاده نمی شود. این بیشتر یک شاخص کمکی و میانی است که برای انواع دیگر تحلیل های آماری استفاده می شود. حتی یک واحد اندازه گیری معمولی هم ندارد. با قضاوت بر اساس فرمول، این مربع واحد اندازه گیری داده اصلی است.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

یا تاس را چند بار می اندازیم. تعداد نقاطی که با هر پرتاب روی تاس ظاهر می شود یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 بگیرد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. در این مورد Mx = 3.5.

چگونه به این مقدار رسیدید؟ بگذار وارد شود نتست ها n1 1 امتیاز یک بار رول می شود n2یک بار - 2 امتیاز و غیره. سپس تعداد نتایجی که در آنها یک امتیاز کاهش یافته است:

به طور مشابه برای نتایج زمانی که 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز داده می شود.

اکنون فرض می کنیم که قانون توزیع متغیر تصادفی x را می دانیم، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی x می تواند مقادیر x1، x2، ...، xk را با احتمالات p1، p2، ​​...، بگیرد. pk.

انتظار ریاضی Mx از یک متغیر تصادفی x برابر است با:

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین حقوق، منطقی‌تر است که از مفهوم میانه استفاده کنیم، یعنی مقداری که تعداد افرادی که حقوق کمتر از میانه و بیشتر دریافت می‌کنند منطبق باشند.

احتمال p1 که متغیر تصادفی x کمتر از x1/2 باشد و احتمال p2 که متغیر تصادفی x بزرگتر از x1/2 باشد، یکسان و برابر با 1/2 است. میانه برای همه توزیع ها به طور یکتا تعیین نمی شود.

استاندارد یا انحراف استاندارددر آمار به درجه انحراف داده ها یا مجموعه های مشاهده ای از مقدار AVERAGE گفته می شود. با حروف s یا s مشخص می شود. یک انحراف معیار کوچک نشان می دهد که داده ها در اطراف میانگین خوشه می شوند، در حالی که یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می دهد که داده های اولیه دور از آن قرار دارند. انحراف معیار برابر است با جذر کمیتی به نام واریانس. میانگین مجذور مجذور اختلاف داده های اولیه است که از مقدار متوسط ​​منحرف می شود. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی جذر واریانس است:

مثال. در شرایط آزمایش هنگام شلیک به یک هدف، پراکندگی و انحراف استاندارد متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرپذیری ارزش یک مشخصه در بین واحدهای جمعیت. مقادیر عددی منفرد یک مشخصه که در جمعیت مورد مطالعه یافت می شود، انواع مقادیر نامیده می شود. ناکافی بودن مقدار متوسط ​​برای توصیف کامل جمعیت ما را مجبور می کند که مقادیر متوسط ​​را با شاخص هایی تکمیل کنیم که به ما امکان می دهد با اندازه گیری تغییرپذیری (تغییر) مشخصه مورد مطالعه ویژگی این میانگین ها را ارزیابی کنیم. ضریب تغییرات با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

محدوده تنوع(R) نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در جمعیت مورد مطالعه است. این شاخص کلی ترین ایده را در مورد تغییرپذیری مشخصه مورد مطالعه ارائه می دهد، زیرا تنها تفاوت بین حداکثر مقادیر گزینه ها را نشان می دهد. وابستگی به مقادیر شدید یک مشخصه به دامنه تغییرات یک شخصیت ناپایدار و تصادفی می دهد.

میانگین انحراف خطینشان دهنده میانگین حسابی انحرافات مطلق (مدول) همه مقادیر جمعیت مورد تجزیه و تحلیل از مقدار متوسط ​​آنها است:

انتظار در نظریه قمار

انتظار ریاضی استمیانگین مقدار پولی که یک قمارباز می تواند در یک شرط بندی برنده یا ببازد. این یک مفهوم بسیار مهم برای بازیکن است زیرا برای ارزیابی بیشتر موقعیت های بازی اساسی است. انتظارات ریاضی نیز ابزار بهینه برای تجزیه و تحلیل طرح‌بندی کارت‌ها و موقعیت‌های بازی است.

فرض کنید در حال انجام یک بازی سکه ای با یک دوست هستید و هر بار بدون توجه به آنچه پیش می آید، شرط مساوی 1 دلار انجام می دهید. دم به معنای برنده شدن است، سر یعنی باخت. شانس بالا رفتن یک به یک است، بنابراین شما 1 دلار به 1 دلار شرط می بندید. بنابراین، انتظارات ریاضی شما صفر است، زیرا از نقطه نظر ریاضی، شما نمی توانید بدانید که آیا بعد از دو پرتاب پیشروی می کنید یا می بازید یا بعد از 200.

سود ساعتی شما صفر است. برنده های ساعتی مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه را 500 بار در یک ساعت پرتاب کنید، اما نه برنده خواهید شد و نه بازنده زیرا... شانس شما نه مثبت است و نه منفی. اگر به آن نگاه کنید، از دید یک بازیکن جدی، این سیستم شرط بندی بد نیست. اما این به سادگی اتلاف وقت است.

اما فرض کنید شخصی می خواهد در همان بازی 2 دلار در برابر 1 دلار شما شرط بندی کند. سپس شما بلافاصله یک انتظار مثبت 50 سنت از هر شرط دارید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، یک شرط را برنده می شوید و شرط دوم را می بازید. دلار اول را شرط بندی کنید و 1 دلار از دست بدهید، دومی را شرط بندی کنید و 2 دلار برنده شوید. شما دو بار 1 دلار شرط می بندید و 1 دلار جلوتر هستید. بنابراین هر شرط یک دلاری شما 50 سنت به شما داد.

اگر یک سکه 500 بار در یک ساعت ظاهر شود، برنده ساعتی شما در حال حاضر 250 دلار خواهد بود، زیرا ... به طور متوسط، شما یک دلار را 250 بار باختید و دو دلار را 250 بار بردید. 500 دلار منهای 250 دلار معادل 250 دلار است که کل بردها است. لطفاً توجه داشته باشید که ارزش مورد انتظار، که میانگین مبلغی است که در هر شرط برنده می‌شوید، 50 سنت است. شما با 500 بار شرط‌بندی یک دلار، 250 دلار بردید، که معادل 50 سنت در هر شرط است.

انتظارات ریاضی ربطی به نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف شما که تصمیم گرفته 2 دلار علیه شما شرط بندی کند، می تواند شما را در ده رول اول متوالی شکست دهد، اما شما با داشتن مزیت شرط بندی 2 به 1، در شرایطی که همه چیزها برابر باشند، در هر شرط 1 دلاری، 50 سنت به دست خواهید آورد. موقعیت. فرقی نمی‌کند که یک شرط برنده شوید یا ببازید یا چند شرط، تا زمانی که پول نقد کافی برای پوشش راحت هزینه‌ها داشته باشید. اگر به همان روش به شرط بندی ادامه دهید، در طی یک دوره زمانی طولانی، برد شما به مجموع انتظارات در پرتاب های فردی نزدیک می شود.

هر بار که بهترین شرط بندی را انجام می دهید (شرطی که ممکن است در درازمدت سودآور باشد)، زمانی که شانس به نفع شما باشد، مطمئناً چیزی را برنده خواهید شد، مهم نیست که آن را ببازید یا نه. دست داده شده برعکس، اگر در زمانی که احتمالات علیه شما وجود دارد، یک شرط بندی ضعیف انجام دهید (شرطی که در درازمدت سودآور نیست)، بدون در نظر گرفتن اینکه برنده شوید یا ببازید، چیزی را از دست می دهید.

اگر انتظارات شما مثبت باشد، شرط بندی را با بهترین نتیجه انجام می دهید، و اگر شانس به سمت شما باشد، این شرط بندی مثبت است. وقتی شرط بندی می کنید که بدترین نتیجه را داشته باشد، یک انتظار منفی دارید، که زمانی اتفاق می افتد که شانس با شما مخالف باشد. بازیکنان جدی فقط روی بهترین نتیجه شرط می‌بندند، اگر بدترین اتفاق بیفتد. شانس به نفع شما به چه معناست؟ ممکن است در نهایت بیشتر از شانس های واقعی برنده شوید. شانس واقعی فرود هد 1 به 1 است، اما به دلیل نسبت شانس، 2 به 1 می گیرید. در این مورد، شانس به نفع شماست. شما قطعا بهترین نتیجه را با انتظار مثبت 50 سنت در هر شرط می گیرید.

در اینجا یک مثال پیچیده تر از انتظارات ریاضی وجود دارد. یکی از دوستان اعداد یک تا پنج را می نویسد و 5 دلار در برابر 1 دلار شما شرط می بندد که عدد را حدس نزنید. آیا باید با چنین شرط بندی موافقت کنید؟ در اینجا چه انتظاری وجود دارد؟

به طور متوسط ​​چهار بار اشتباه خواهید کرد. بر این اساس، احتمال اینکه شما عدد را حدس بزنید 4 به 1 است. احتمال از دست دادن یک دلار در یک بار تلاش وجود دارد. با این حال، شما 5 بر 1 برنده می شوید، با احتمال باخت 4 بر 1. بنابراین شانس به نفع شما است، می توانید شرط را بپذیرید و به بهترین نتیجه امیدوار باشید. اگر این شرط را پنج بار انجام دهید، به طور متوسط ​​1 دلار چهار بار باخت و 5 دلار یک بار برنده خواهید شد. بر این اساس، برای هر پنج تلاش، 1 دلار با انتظار ریاضی مثبت 20 سنت در هر شرط به دست خواهید آورد.

بازیکنی که قرار است بیش از آنچه شرط بندی می کند برنده شود، مانند مثال بالا، در حال گرفتن شانس است. برعکس، زمانی که انتظار دارد کمتر از آنچه شرط بندی می کند، برنده شود، شانس خود را از بین می برد. یک شرط‌بند می‌تواند انتظار مثبت یا منفی داشته باشد، که بستگی به برنده شدن یا خراب کردن شانس دارد.

اگر 50 دلار برای برنده شدن 10 دلار با شانس 4 به 1 شرط بندی کنید، انتظار منفی 2 دلار خواهید داشت زیرا ... به طور متوسط، چهار بار 10 دلار برنده می شوید و یک بار 50 دلار از دست می دهید، که نشان می دهد ضرر هر شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر 30 دلار برای بردن 10 دلار شرط بندی کنید، با همان شانس 4 بر 1 برنده شدن، در این صورت انتظار مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره 10 دلار چهار بار برنده می شوید و یک بار 30 دلار از دست می دهید، برای سود 10 دلار. این مثال ها نشان می دهد که شرط اول بد است و شرط دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر موقعیت بازی است. زمانی که یک شرکت شرط‌بندی هواداران فوتبال را تشویق می‌کند که ۱۱ دلار شرط ببندند تا ۱۰ دلار برنده شوند، انتظار مثبت ۵۰ سنت از هر ۱۰ دلار دارد. اگر کازینو حتی پولی را از خط عبور به صورت craps پرداخت کند، انتظار مثبت کازینو تقریباً 1.40 دلار برای هر 100 دلار خواهد بود، زیرا ساختار این بازی به گونه ای است که هر کسی که روی این خط شرط بندی می کند به طور متوسط ​​50.7 درصد بازنده است و 49.3 درصد از کل زمان برنده می شود. بدون شک، همین انتظارات مثبت به ظاهر حداقلی است که سود هنگفتی را برای صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. همانطور که باب استوپاک، صاحب کازینو وگاس ورلد اشاره کرد، "یک هزارم یک درصد احتمال منفی در یک مسافت طولانی، ثروتمندترین مرد جهان را نابود خواهد کرد."

انتظارات هنگام بازی پوکر

بازی پوکر گویاترین و گویاترین مثال از منظر استفاده از تئوری و ویژگیهای انتظار ریاضی است.

ارزش مورد انتظار در پوکر میانگین سود حاصل از یک تصمیم خاص است، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفته شود. یک بازی پوکر موفق این است که همیشه حرکاتی را با ارزش مورد انتظار مثبت بپذیرید.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر این است که ما اغلب هنگام تصمیم گیری با متغیرهای تصادفی مواجه می شویم (ما نمی دانیم که حریف چه کارت هایی در دست دارد، چه کارت هایی در دورهای بعدی شرط بندی خواهد آمد). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر بگیریم، که بیان می کند که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن تمایل دارد.

در میان فرمول های خاص برای محاسبه انتظارات ریاضی، موارد زیر در پوکر بیشتر کاربرد دارند:

هنگام بازی پوکر، ارزش مورد انتظار را می توان برای شرط ها و تماس ها محاسبه کرد. در مورد اول، برابری سهام باید در نظر گرفته شود، در مورد دوم، شانس خود بانک. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی از یک حرکت خاص، باید به یاد داشته باشید که یک فولد همیشه انتظار صفر دارد. بنابراین، دور انداختن کارت‌ها همیشه یک تصمیم سودآورتر از هر حرکت منفی خواهد بود.

انتظارات به شما می گوید که برای هر دلاری که ریسک می کنید چه انتظاری دارید (سود یا ضرر). کازینوها پول در می آورند زیرا انتظارات ریاضی از همه بازی هایی که در آنها انجام می شود به نفع کازینو است. با یک سری بازی به اندازه کافی طولانی، می توانید انتظار داشته باشید که مشتری پول خود را از دست بدهد، زیرا "شانس" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه‌ای کازینو بازی‌های خود را به دوره‌های زمانی کوتاه محدود می‌کنند و در نتیجه شانس را به نفع خود افزایش می‌دهند. در مورد سرمایه گذاری هم همینطور. اگر انتظارات شما مثبت است، می توانید با انجام معاملات زیاد در مدت زمان کوتاه، درآمد بیشتری کسب کنید. انتظار عبارت است از درصد سود در هر برد ضربدر میانگین سود شما، منهای احتمال ضرر ضربدر میانگین ضرر شما.

پوکر را می توان از نقطه نظر انتظارات ریاضی نیز در نظر گرفت. ممکن است تصور کنید که یک حرکت خاص سودآور است، اما در برخی موارد ممکن است بهترین نباشد زیرا حرکت دیگری سودآورتر است. فرض کنید در پوکر پنج کارتی به یک خانه کامل رسیدید. حریف شما شرط بندی می کند. شما می دانید که اگر شرط را افزایش دهید، او پاسخ خواهد داد. بنابراین به نظر می رسد بالا بردن بهترین تاکتیک باشد. اما اگر شرط را افزایش دهید، دو بازیکن باقی مانده قطعا تا می شوند. اما اگر تماس بگیرید، اطمینان کامل دارید که دو بازیکن دیگر پشت سر شما نیز همین کار را خواهند کرد. وقتی شرط خود را افزایش می دهید یک واحد دریافت می کنید و وقتی فقط تماس می گیرید دو واحد دریافت می کنید. بنابراین، تماس ارزش مورد انتظار مثبت بالاتری به شما می دهد و بهترین تاکتیک خواهد بود.

انتظارات ریاضی همچنین می‌تواند ایده‌ای در مورد اینکه کدام تاکتیک‌های پوکر سود کمتری دارند و کدامیک سودآورتر هستند، ارائه دهد. به عنوان مثال، اگر یک دست خاص بازی می کنید و فکر می کنید ضرر شما به طور متوسط ​​75 سنت با احتساب آنت است، باید آن دست را بازی کنید زیرا این بهتر از تا کردن زمانی است که آنت 1 دلار است.

یکی دیگر از دلایل مهم برای درک مفهوم ارزش مورد انتظار این است که به شما احساس آرامش می‌دهد، چه برنده شوید یا نه: اگر شرط‌بندی خوبی انجام دادید یا در زمان مناسب آن را انجام دادید، می‌دانید که کسب کرده‌اید یا مقدار معینی پول را پس انداز کرد که بازیکن ضعیفتر نتوانست پس انداز کند. اگر ناراحت هستید، فولد کردن بسیار سخت تر است زیرا حریف شما دست قوی تری کشید. با همه اینها، پولی که با بازی نکردن به جای شرط بندی پس انداز می کنید، به بردهای شما در شب یا ماه اضافه می شود.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دست خود را تغییر می دادید، حریف شما را صدا می زد و همانطور که در مقاله قضیه اساسی پوکر خواهید دید، این تنها یکی از مزایای شماست. وقتی این اتفاق می افتد باید خوشحال باشید. حتی می توانید یاد بگیرید که از از دست دادن یک دست لذت ببرید زیرا می دانید که بازیکنان دیگر در موقعیت شما بسیار بیشتر از این دست را از دست داده اند.

همانطور که در مثال بازی سکه در ابتدا ذکر شد، نرخ سود ساعتی با انتظارات ریاضی مرتبط است و این مفهوم به ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. وقتی به بازی پوکر می روید، باید به طور ذهنی تخمین بزنید که در یک ساعت بازی چقدر می توانید برنده شوید. در بیشتر موارد باید به شهود و تجربه خود تکیه کنید، اما می توانید از ریاضیات نیز استفاده کنید. به عنوان مثال، شما در حال بازی کردن در لوبال هستید و می بینید که سه بازیکن 10 دلار شرط بندی می کنند و سپس دو کارت را مبادله می کنند که تاکتیک بسیار بدی است، می توانید بفهمید که هر بار که 10 دلار شرط بندی می کنند، حدود 2 دلار از دست می دهند. هر کدام از آنها این کار را هشت بار در ساعت انجام می دهند، یعنی هر سه آنها تقریباً 48 دلار در ساعت ضرر می کنند. شما یکی از چهار بازیکن باقیمانده هستید که تقریباً برابر هستند، بنابراین این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار تقسیم کنید و هر ساعت سودی معادل 12 دلار داشته باشد. شانس ساعتی شما در این مورد به سادگی برابر با سهم شما از مقدار پولی است که سه بازیکن بد در یک ساعت از دست داده اند.

در یک دوره زمانی طولانی، کل بردهای بازیکن مجموع انتظارات ریاضی او در دستان فردی است. هر چه دست های بیشتری با انتظارات مثبت بازی کنید، بیشتر برنده می شوید و بالعکس، هر چه دست های بیشتری با انتظارات منفی بازی کنید، بیشتر بازنده می شوید. در نتیجه، باید بازی‌ای را انتخاب کنید که بتواند انتظارات مثبت شما را به حداکثر برساند یا پیش‌بینی منفی‌تان را خنثی کند تا بتوانید برنده‌های ساعتی خود را به حداکثر برسانید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می‌دانید چگونه کارت‌ها را بشمارید، می‌توانید نسبت به کازینو برتری داشته باشید، اگر متوجه نشوند و شما را بیرون نکنند. کازینوها عاشق بازیکنان مست هستند و بازیکنان شمارش کارت را تحمل نمی کنند. یک مزیت به شما این امکان را می دهد که بیشتر از آنچه در طول زمان باختید، برنده شوید. مدیریت خوب پول با استفاده از محاسبات ارزش مورد انتظار می تواند به شما کمک کند سود بیشتری را از لبه خود استخراج کنید و زیان خود را کاهش دهید. بدون مزیت، بهتر است پول را به خیریه بدهید. در بازی در بورس، مزیت سیستم بازی است که نسبت به ضرر، اختلاف قیمت و پورسانت سود بیشتری ایجاد می کند. هیچ مقدار مدیریت پول نمی تواند یک سیستم بازی بد را نجات دهد.

انتظار مثبت به عنوان مقداری بزرگتر از صفر تعریف می شود. هر چه این عدد بزرگتر باشد، انتظارات آماری قوی تر است. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظار ریاضی نیز منفی خواهد بود. هر چه ماژول مقدار منفی بزرگتر باشد، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، انتظار به سر می‌رسد. شما فقط زمانی می توانید برنده شوید که یک انتظار ریاضی مثبت و یک سیستم بازی معقول داشته باشید. بازی با شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظارات ریاضی و معاملات سهام

انتظارات ریاضی یک شاخص آماری نسبتاً پرکاربرد و محبوب در هنگام انجام معاملات مبادلاتی در بازارهای مالی است. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت معاملات استفاده می شود. حدس زدن اینکه هر چه این مقدار بالاتر باشد، دلایل بیشتری برای موفقیت آمیز بودن تجارت مورد مطالعه دشوار نیست. البته، تجزیه و تحلیل کار یک معامله گر را نمی توان به تنهایی با استفاده از این پارامتر انجام داد. با این حال، مقدار محاسبه شده، در ترکیب با سایر روش های ارزیابی کیفیت کار، می تواند دقت تجزیه و تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب معاملاتی محاسبه می شود که به شما امکان می دهد به سرعت کار انجام شده روی سپرده را ارزیابی کنید. استثناها شامل استراتژی هایی می شود که از معاملات بی سود «نشستن» استفاده می کنند. یک معامله گر ممکن است برای مدتی خوش شانس باشد و بنابراین ممکن است هیچ ضرری در کار او وجود نداشته باشد. در این صورت نمی توان تنها با انتظارات ریاضی هدایت کرد، زیرا ریسک های به کار رفته در کار در نظر گرفته نمی شود.

در معاملات بازار، انتظارات ریاضی اغلب هنگام پیش‌بینی سودآوری هر استراتژی معاملاتی یا پیش‌بینی درآمد معامله‌گر بر اساس داده‌های آماری از معاملات قبلی او استفاده می‌شود.

با توجه به مدیریت پول، درک این نکته بسیار مهم است که هنگام انجام معاملات با انتظارات منفی، هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که مطمئناً بتواند سود بالایی به همراه داشته باشد. اگر تحت این شرایط به بازی در بازار سهام ادامه دهید، بدون در نظر گرفتن اینکه چگونه پول خود را مدیریت می کنید، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که در ابتدا چقدر بزرگ باشد.

این اصل نه تنها برای بازی ها یا معاملات با انتظارات منفی صادق است، بلکه برای بازی هایی با شانس برابر نیز صادق است. بنابراین، تنها زمانی که فرصتی برای سود در بلندمدت دارید این است که معاملاتی با ارزش مورد انتظار مثبت انجام دهید.

تفاوت بین انتظارات منفی و انتظارات مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست انتظارات چقدر مثبت یا منفی هستند. تنها چیزی که مهم است مثبت یا منفی بودن آن است. بنابراین، قبل از در نظر گرفتن مدیریت پول، باید یک بازی با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر آن بازی را نداشته باشید، پس تمام مدیریت پول در جهان شما را نجات نخواهد داد. از سوی دیگر، اگر انتظار مثبتی دارید، می توانید با مدیریت صحیح پول، آن را به یک تابع رشد تصاعدی تبدیل کنید. مهم نیست توقع مثبت چقدر کوچک باشد! به عبارت دیگر، مهم نیست که یک سیستم معاملاتی بر اساس یک قرارداد چقدر سودآور باشد. اگر سیستمی دارید که در هر معامله 10 دلار در هر قرارداد برنده می شود (پس از کمیسیون و لغزش)، می توانید از تکنیک های مدیریت پول برای سودآوری بیشتر از سیستمی استفاده کنید که میانگین آن 1000 دلار در هر معامله است (پس از کسر کمیسیون و لغزش).

مهم این نیست که سیستم چقدر سودآور بوده است، بلکه این است که چقدر می توان گفت که سیستم حداقل سود را در آینده نشان می دهد. بنابراین، مهم ترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که اطمینان حاصل کند که سیستم ارزش مورد انتظار مثبتی را در آینده نشان خواهد داد.

برای داشتن ارزش مورد انتظار مثبت در آینده، بسیار مهم است که درجات آزادی سیستم خود را محدود نکنید. این امر نه تنها با حذف یا کاهش تعداد پارامترهایی که باید بهینه شوند، بلکه با کاهش هر چه بیشتر قوانین سیستم به دست می آید. هر پارامتری که اضافه می کنید، هر قانونی که ایجاد می کنید، هر تغییر کوچکی که در سیستم ایجاد می کنید، تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما باید یک سیستم نسبتاً ابتدایی و ساده بسازید که به طور مداوم تقریباً در هر بازاری سودهای کمی ایجاد کند. باز هم، برای شما مهم است که درک کنید که سودآوری سیستم تا زمانی که سودآور باشد، مهم نیست. پولی که در معاملات به دست می آورید از طریق مدیریت موثر پول به دست می آید.

یک سیستم معاملاتی به سادگی ابزاری است که به شما ارزش مورد انتظار مثبت می دهد تا بتوانید از مدیریت پول استفاده کنید. سیستم‌هایی که فقط در یک یا چند بازار کار می‌کنند (حداقل حداقل سود را نشان می‌دهند)، یا قوانین یا پارامترهای متفاوتی برای بازارهای مختلف دارند، به احتمال زیاد برای مدت طولانی در زمان واقعی کار نخواهند کرد. مشکل اکثر معامله‌گران فنی این است که زمان و تلاش زیادی را صرف بهینه‌سازی قوانین و مقادیر پارامترهای مختلف سیستم معاملاتی می‌کنند. این نتایج کاملاً متضاد می دهد. به جای هدر دادن انرژی و زمان رایانه ای برای افزایش سود سیستم معاملاتی، انرژی خود را به سمت افزایش سطح اطمینان کسب حداقل سود هدایت کنید.

با علم به اینکه مدیریت پول فقط یک بازی اعدادی است که مستلزم استفاده از انتظارات مثبت است، یک معامله گر می تواند جستجو برای " جام مقدس" معاملات سهام را متوقف کند. در عوض، او می تواند شروع به آزمایش روش معاملاتی خود کند، بفهمد این روش چقدر منطقی است و آیا انتظارات مثبتی را به همراه دارد یا خیر. روش‌های مناسب مدیریت پول، که برای هر روش معاملاتی حتی بسیار متوسطی اعمال می‌شود، بقیه کار را خودشان انجام خواهند داد.

برای موفقیت در کار خود، هر معامله گر باید سه کار مهم را حل کند: . برای اطمینان از اینکه تعداد تراکنش های موفق بیش از اشتباهات و محاسبات نادرست اجتناب ناپذیر است. سیستم معاملاتی خود را طوری تنظیم کنید که تا حد امکان فرصت کسب درآمد داشته باشید. به نتایج مثبت پایدار از عملیات خود دست یابید.

و در اینجا، برای ما تاجران شاغل، انتظارات ریاضی می تواند کمک بزرگی باشد. این اصطلاح یکی از موارد کلیدی در نظریه احتمال است. با کمک آن می توانید یک تخمین متوسط ​​از مقداری تصادفی ارائه دهید. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مشابه مرکز ثقل است، اگر همه احتمالات ممکن را به صورت نقاطی با جرم های مختلف تصور کنید.

در رابطه با یک استراتژی معاملاتی، انتظار ریاضی سود (یا زیان) اغلب برای ارزیابی اثربخشی آن استفاده می شود. این پارامتر به عنوان مجموع محصولات سطوح معین سود و زیان و احتمال وقوع آنها تعریف می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجاری توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از کل معاملات سود به همراه خواهد داشت و قسمت باقیمانده - 63٪ - بی سود خواهد بود. در عین حال، متوسط ​​درآمد حاصل از یک تراکنش موفق 7 دلار و میانگین ضرر آن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید انتظارات ریاضی معامله را با استفاده از این سیستم محاسبه کنیم:

این عدد به چه معناست؟ می گوید که با رعایت قوانین این سیستم، به طور متوسط ​​از هر تراکنش بسته 1708 دلار دریافت خواهیم کرد. از آنجایی که رتبه بازده حاصل بیشتر از صفر است، چنین سیستمی را می توان برای کار واقعی استفاده کرد. اگر در نتیجه محاسبه، انتظار ریاضی منفی باشد، این نشان دهنده ضرر متوسط ​​است و چنین معاملاتی منجر به خرابی می شود.

مقدار سود هر تراکنش را نیز می توان به صورت یک مقدار نسبی در قالب % بیان کرد. مثلا:

- درصد درآمد به ازای هر تراکنش - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62%؛

– درصد ضرر در هر 1 تراکنش - 3%؛

- درصد تراکنش های ناموفق - 38٪؛

یعنی میانگین تجارت 1.96 درصد به ارمغان خواهد آورد.

می توان سیستمی را توسعه داد که علیرغم غلبه معاملات بی سود، نتیجه مثبتی را به همراه داشته باشد، زیرا MO>0 آن است.

با این حال، انتظار به تنهایی کافی نیست. اگر سیستم سیگنال های معاملاتی بسیار کمی بدهد، کسب درآمد دشوار است. در این صورت سودآوری آن با سود بانکی قابل مقایسه خواهد بود. بگذارید هر عملیات به طور متوسط ​​فقط 0.5 دلار تولید کند، اما اگر سیستم شامل 1000 عملیات در سال باشد، چه؟ این مبلغ در مدت زمان نسبتاً کوتاهی بسیار جدی خواهد بود. منطقاً از این نتیجه می‌شود که یکی دیگر از ویژگی‌های متمایز یک سیستم معاملاتی خوب را می‌توان دوره کوتاه نگه داشتن موقعیت‌ها در نظر گرفت.

منابع و لینک ها

dic.academic.ru – فرهنگ لغت آنلاین آکادمیک

mathematics.ru – وب سایت آموزشی ریاضیات

nsu.ru - وب سایت آموزشی دانشگاه دولتی نووسیبیرسک

webmath.ru یک پورتال آموزشی برای دانش آموزان، متقاضیان و دانش آموزان مدرسه است.

وب سایت ریاضی آموزشی exponenta.ru

ru.tradimo.com – آموزشگاه تجارت آنلاین رایگان

crypto.hut2.ru - منبع اطلاعات چند رشته ای

poker-wiki.ru – دایره المعارف رایگان پوکر

sernam.ru – کتابخانه علمی منتخب انتشارات علوم طبیعی

reshim.su – وب سایت ما مشکلات دروس آزمون را حل خواهیم کرد

unfx.ru – فارکس در UNFX: آموزش، سیگنال های تجاری، مدیریت اعتماد

slovopedia.com – دیکشنری بزرگ دایره المعارفی اسلووپدیا

pokermansion.3dn.ru – راهنمای شما در دنیای پوکر

statanaliz.info – وبلاگ اطلاعاتی “تجزیه و تحلیل داده های آماری”

forex-trader.rf – پورتال Forex-Trader

megafx.ru – تجزیه و تحلیل فعلی فارکس

fx-by.com - همه چیز برای یک معامله گر

وظیفه 1.احتمال جوانه زدن بذر گندم 0.9 است. احتمال اینکه از چهار دانه کاشته شده حداقل سه بذر جوانه بزند چقدر است؟

راه حل. اجازه دهید رویداد آ- از 4 دانه حداقل 3 دانه جوانه می زند. رویداد که در- از 4 دانه 3 دانه جوانه می زند. رویداد با– از 4 دانه 4 دانه جوانه می زند. با قضیه جمع احتمالات

احتمالات
و
ما با فرمول برنولی که در مورد زیر اعمال می شود، تعیین می کنیم. بگذارید سریال برگزار شود پآزمون های مستقلی که در طی هر یک از آنها احتمال وقوع رویداد ثابت و برابر است آر، و احتمال عدم وقوع این رویداد برابر است با
. سپس احتمال این که رویداد آ V پتست ها دقیقا ظاهر می شوند بار، با استفاده از فرمول برنولی محاسبه می شود

,

جایی که
- تعداد ترکیبات پعناصر توسط . سپس

احتمال مورد نیاز

وظیفه 2.احتمال جوانه زدن بذر گندم 0.9 است. این احتمال را پیدا کنید که از 400 بذر کاشته شده، 350 بذر جوانه بزند.

راه حل. احتمال مورد نیاز را محاسبه کنید
استفاده از فرمول برنولی به دلیل دست و پا گیر بودن محاسبات دشوار است. بنابراین، ما یک فرمول تقریبی را اعمال می کنیم که قضیه محلی لاپلاس را بیان می کند:

,

جایی که
و
.

از شرایط مشکل. سپس

.

از جدول 1 پیوست ها می یابیم. احتمال مورد نیاز برابر است با

وظیفه 3.دانه های گندم حاوی 0.02 درصد علف های هرز هستند. احتمال اینکه اگر 10000 بذر به صورت تصادفی انتخاب شود، 6 بذر علف هرز پیدا شود چقدر است؟

راه حل. کاربرد قضیه محلی لاپلاس به دلیل احتمال کم
منجر به انحراف قابل توجهی از احتمال از مقدار دقیق می شود
. بنابراین، در مقادیر کوچک آربرای محاسبه
از فرمول مجانبی پواسون استفاده کنید

، جایی که .

این فرمول زمانی استفاده می شود که
، و کمتر آرو بیشتر پ، نتیجه دقیق تر است.

با توجه به شرایط مشکل
;
. سپس

وظیفه 4.درصد جوانه زنی بذر گندم 90 درصد است. این احتمال را پیدا کنید که از 500 بذر کاشته شده، 400 تا 440 بذر جوانه بزند.

راه حل. اگر احتمال وقوع یک رویداد وجود داشته باشد آدر هرکدام پآزمون ها ثابت و مساوی است آر، سپس احتمال
که رویداد آدر چنین آزمون هایی کمتر نخواهد بود یک بار و نه بیشتر زمان تعیین شده توسط قضیه انتگرال لاپلاس با فرمول زیر:

، جایی که

,
.

تابع
تابع لاپلاس نامیده می شود. ضمائم (جدول 2) مقادیر این تابع را برای
. در
تابع
. برای مقادیر منفی ایکسبه دلیل عجیب بودن تابع لاپلاس
. با استفاده از تابع لاپلاس داریم:

با توجه به شرایط تکلیف. با استفاده از فرمول های بالا متوجه می شویم
و :

وظیفه 5.قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته داده شده است ایکس:

2. پیدا کنید: 1) انتظارات ریاضی. 2) پراکندگی؛ 3) انحراف معیار

راه حل. 1) اگر قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته توسط جدول داده شود

2. در جایی که خط اول حاوی مقادیر متغیر تصادفی x و خط دوم حاوی احتمالات این مقادیر است، انتظارات ریاضی با استفاده از فرمول محاسبه می‌شود.

2) واریانس
متغیر تصادفی گسسته ایکسانتظار ریاضی انحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن نامیده می شود.

این مقدار میانگین مقدار مورد انتظار انحراف مجذور را مشخص می کند ایکساز جانب
. از آخرین فرمولی که داریم

واریانس
را می توان به روش دیگری بر اساس ویژگی زیر یافت: پراکندگی
برابر با تفاوت بین انتظارات ریاضی مربع متغیر تصادفی است ایکسو مجذور انتظارات ریاضی آن
، به این معنا که

برای محاسبه
بیایید قانون زیر را برای توزیع کمیت ترسیم کنیم
:

3) برای مشخص کردن پراکندگی مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی حول مقدار میانگین آن، انحراف معیار معرفی شده است.
متغیر تصادفی ایکس، برابر با جذر واریانس است
، به این معنا که

.

از این فرمول داریم:

وظیفه 6.متغیر تصادفی پیوسته ایکستوسط تابع توزیع تجمعی ارائه می شود

پیدا کنید: 1) تابع توزیع دیفرانسیل
; 2) انتظارات ریاضی
; 3) واریانس
.

راه حل. 1) تابع توزیع دیفرانسیل
متغیر تصادفی پیوسته ایکسمشتق تابع توزیع تجمعی نامیده می شود
، به این معنا که

.

تابع دیفرانسیل مورد نظر به شکل زیر است:

2) اگر یک متغیر تصادفی پیوسته ایکستوسط تابع داده شده است
، سپس انتظارات ریاضی آن با فرمول تعیین می شود

از آنجایی که تابع
در
و در
برابر با صفر است، سپس از آخرین فرمولی که داریم

.

3) واریانس
ما با فرمول تعیین خواهیم کرد

وظیفه 7.طول قطعه یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی با انتظار ریاضی 40 میلی متر و انحراف استاندارد 3 میلی متر است. پیدا کنید: 1) احتمال اینکه طول قطعه ای که خودسرانه گرفته شده بیشتر از 34 میلی متر و کمتر از 43 میلی متر باشد. 2) احتمال انحراف طول قطعه از انتظارات ریاضی آن بیش از 1.5 میلی متر.

راه حل. 1) اجازه دهید ایکس- طول قطعه اگر متغیر تصادفی ایکستوسط یک تابع دیفرانسیل داده می شود
، سپس این احتمال وجود دارد که ایکسمقادیر متعلق به بخش را خواهد گرفت
، با فرمول تعیین می شود

.

احتمال نابرابری های شدید
با همین فرمول تعیین می شود. اگر متغیر تصادفی ایکسپس طبق قانون عادی توزیع می شود

, (1)

جایی که
- تابع لاپلاس،
.

در وظیفه. سپس

2) با توجه به شرایط مسئله، کجا
. با جایگزینی (1)، داریم

. (2)

از فرمول (2) داریم.

هر مقدار جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین برای حل مسائل عملی، دانستن چندین ویژگی عددی کافی است که به لطف آنها می توان ویژگی های اصلی یک متغیر تصادفی را به صورت کوتاه ارائه کرد.

این مقادیر در درجه اول شامل می شود ارزش مورد انتظارو پراکندگی .

ارزش مورد انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. به عنوان مشخص شده است.

به ساده ترین روش، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی X(w)، چگونگی را پیدا کنید انتگراللبگدر رابطه با معیار احتمال آر اصلی فضای احتمال

همچنین می توانید انتظارات ریاضی یک مقدار را به عنوان پیدا کنید انتگرال Lebesgueاز جانب ایکسبا توزیع احتمال R Xمقادیر ایکس:

مجموعه تمام مقادیر ممکن کجاست ایکس.

انتظارات ریاضی توابع از یک متغیر تصادفی ایکساز طریق توزیع یافت می شود R X. مثلا، اگر ایکس- یک متغیر تصادفی با مقادیر در و f(x)- بدون ابهام بورلتابع ایکس ، این که:

اگر F(x)- تابع توزیع ایکس، پس انتظار ریاضی قابل نمایش است انتگرالLebesgue - Stieltjes (یا Riemann - Stieltjes):

در این مورد یکپارچگی ایکسبه لحاظ ( * ) مربوط به محدود بودن انتگرال است

در موارد خاص، اگر ایکسدارای توزیع گسسته با مقادیر احتمالی است x k, k=1، 2، . ، و احتمالات، سپس

اگر ایکستوزیع کاملاً پیوسته با چگالی احتمال دارد p(x)، آن

در این حالت، وجود یک انتظار ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال مربوطه است.

ویژگی های انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی.

• انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این مقدار است:

سی- ثابت؛

• M=C.M[X]

• انتظارات ریاضی از مجموع مقادیر تصادفی گرفته شده برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

• انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل = حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M=M[X]+M[Y]

اگر ایکسو Yمستقل.

اگر سری همگرا شوند:

الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی.

ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: همه مقادیر آنها را می توان با اعداد طبیعی شماره گذاری کرد. به هر مقدار یک احتمال غیر صفر اختصاص دهید.

1. جفت ها را یک به یک ضرب کنید: x iبر p i.

2. محصول هر جفت را اضافه کنید x i p i.

مثلا، برای n = 4 :

تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهگام به گام، در نقاطی که احتمالات آنها علامت مثبت دارد، ناگهان افزایش می یابد.

مثال:انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول پیدا کنید.

نظریه احتمال شاخه خاصی از ریاضیات است که فقط توسط دانشجویان مؤسسات آموزش عالی مطالعه می شود. آیا محاسبات و فرمول ها را دوست دارید؟ آیا از دورنمای آشنایی با توزیع نرمال، آنتروپی مجموعه، انتظارات ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته نمی ترسید؟ سپس این موضوع برای شما بسیار جالب خواهد بود. بیایید با چند مورد از مهمترین مفاهیم اساسی این شاخه از علم آشنا شویم.

بیایید اصول اولیه را به خاطر بسپاریم

حتی اگر ساده ترین مفاهیم نظریه احتمال را به خاطر دارید، از پاراگراف های اول مقاله غافل نشوید. نکته این است که بدون درک روشنی از اصول اولیه، نمی توانید با فرمول های مورد بحث در زیر کار کنید.

بنابراین، یک رویداد تصادفی رخ می دهد، یک آزمایش. در نتیجه اقداماتی که انجام می‌دهیم، می‌توانیم چندین نتیجه به دست آوریم - برخی از آنها بیشتر اتفاق می‌افتند، برخی دیگر کمتر. احتمال یک رویداد، نسبت تعداد پیامدهای واقعی یک نوع به تعداد کل نتایج ممکن است. فقط با دانستن تعریف کلاسیک این مفهوم می توانید شروع به مطالعه انتظارات ریاضی و پراکندگی متغیرهای تصادفی پیوسته کنید.

میانگین

در مدرسه، در طول درس ریاضی، کار با میانگین حسابی را شروع کردید. این مفهوم به طور گسترده در نظریه احتمال استفاده می شود و بنابراین نمی توان آن را نادیده گرفت. نکته اصلی برای ما در حال حاضر این است که در فرمول های انتظار ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی با آن مواجه خواهیم شد.

ما دنباله ای از اعداد داریم و می خواهیم میانگین حسابی را پیدا کنیم. تنها چیزی که از ما خواسته می شود این است که همه چیزهای موجود را خلاصه کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم کنیم. اعداد از 1 تا 9 را داشته باشیم. مجموع عناصر برابر با 45 خواهد بود و این مقدار را بر 9 تقسیم می کنیم. پاسخ: - 5.

پراکندگی

از نظر علمی، پراکندگی میانگین مربع انحراف مقادیر بدست آمده یک مشخصه از میانگین حسابی است. با یک حرف لاتین بزرگ D مشخص می شود. برای محاسبه آن چه چیزی لازم است؟ برای هر عنصر دنباله، تفاوت بین عدد موجود و میانگین حسابی را محاسبه کرده و آن را مربع می کنیم. برای رویدادی که در نظر داریم دقیقاً به همان اندازه ارزش وجود خواهد داشت. بعد، همه چیزهای دریافتی را جمع می کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم می کنیم. اگر پنج نتیجه ممکن داریم، تقسیم بر پنج کنیم.

پراکندگی همچنین دارای ویژگی هایی است که برای استفاده در هنگام حل مسائل باید به خاطر بسپارید. به عنوان مثال، هنگامی که یک متغیر تصادفی را به X برابر افزایش می‌دهیم، واریانس به اندازه X برابر مجذور افزایش می‌یابد (یعنی X*X). هرگز کمتر از صفر نیست و به جابجایی مقادیر به بالا یا پایین به مقدار مساوی بستگی ندارد. علاوه بر این، برای آزمایش‌های مستقل، واریانس مجموع برابر با مجموع واریانس‌ها است.

اکنون قطعاً باید نمونه هایی از واریانس یک متغیر تصادفی گسسته و انتظارات ریاضی را در نظر بگیریم.

فرض کنید 21 آزمایش انجام دادیم و 7 نتیجه متفاوت گرفتیم. هر کدام را به ترتیب 1، 2، 2، 3، 4، 4 و 5 بار مشاهده کردیم. واریانس برابر با چه خواهد بود؟

اول، بیایید میانگین حسابی را محاسبه کنیم: مجموع عناصر، البته، 21 است. آن را بر 7 تقسیم کنید و عدد 3 را بدست آورید. حالا از هر عدد در دنباله اصلی 3 کم کنید، هر مقدار را مربع کنید و نتایج را با هم جمع کنید. نتیجه 12 است. اکنون تنها کاری که باید انجام دهیم این است که عدد را بر تعداد عناصر تقسیم کنیم، و به نظر می رسد، همین است. اما یک گرفتاری وجود دارد! بیایید در مورد آن بحث کنیم.

وابستگی به تعداد آزمایش

معلوم می شود که هنگام محاسبه واریانس، مخرج می تواند شامل یکی از دو عدد باشد: N یا N-1. در اینجا N تعداد آزمایش های انجام شده یا تعداد عناصر در دنباله (که اساساً یکسان است) است. این به چه چیزی بستگی دارد؟

اگر تعداد تست ها به صدها اندازه گیری شود، باید N را در مخرج اگر قرار دهیم، سپس N-1. دانشمندان تصمیم گرفتند مرز را کاملاً نمادین ترسیم کنند: امروز از عدد 30 می گذرد. ​​اگر کمتر از 30 آزمایش انجام دادیم، مقدار را بر N-1 و اگر بیشتر بود، بر N تقسیم می کنیم.

وظیفه

بیایید به مثال خود در مورد حل مسئله واریانس و انتظارات ریاضی برگردیم. ما یک عدد متوسط ​​12 گرفتیم که باید بر N یا N-1 تقسیم می شد. از آنجایی که ما 21 آزمایش انجام دادیم که کمتر از 30 آزمایش است، گزینه دوم را انتخاب می کنیم. بنابراین پاسخ این است: واریانس 12/2 = 2 است.

ارزش مورد انتظار

بریم سراغ مفهوم دوم که باید در این مقاله به آن توجه کنیم. انتظارات ریاضی نتیجه جمع کردن تمام نتایج ممکن ضربدر احتمالات مربوطه است. درک این نکته مهم است که مقدار به دست آمده و همچنین نتیجه محاسبه واریانس، صرف نظر از اینکه چند نتیجه در آن در نظر گرفته می شود، تنها یک بار برای کل مسئله به دست می آید.

فرمول انتظارات ریاضی بسیار ساده است: ما نتیجه را می گیریم، آن را در احتمال آن ضرب می کنیم، همان را برای نتیجه دوم، سوم و غیره اضافه می کنیم. محاسبه همه چیز مربوط به این مفهوم دشوار نیست. به عنوان مثال، مجموع مقادیر مورد انتظار برابر است با مقدار مورد انتظار مجموع. در مورد کار هم همینطور است. هر کمیتی در تئوری احتمال به شما امکان انجام چنین عملیات ساده ای را نمی دهد. بیایید مسئله را در نظر بگیریم و معنای دو مفهومی را که در آن واحد مطالعه کرده ایم محاسبه کنیم. علاوه بر این، تئوری حواسمان را پرت کرده بود - وقت آن است که تمرین کنیم.

یک مثال دیگر

ما 50 کارآزمایی انجام دادیم و 10 نوع نتیجه - اعداد از 0 تا 9 - در درصدهای مختلف به دست آوردیم. اینها به ترتیب عبارتند از: 2٪، 10٪، 4٪، 14٪، 2٪، 18٪، 6٪، 16٪، 10٪، 18٪. به یاد بیاورید که برای به دست آوردن احتمالات، باید مقادیر درصد را بر 100 تقسیم کنید. بنابراین، 0.02 دریافت می کنیم. 0.1 و غیره اجازه دهید مثالی از حل مسئله برای واریانس یک متغیر تصادفی و انتظار ریاضی ارائه دهیم.

میانگین حسابی را با استفاده از فرمولی که از دبستان به خاطر داریم محاسبه می کنیم: 50/10 = 5.

حالا بیایید احتمالات را به تعداد پیامدهای «تکه‌ای» تبدیل کنیم تا شمارش آسان‌تر شود. 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9 به دست می آید. از هر مقدار به دست آمده، میانگین حسابی را کم می کنیم و پس از آن هر یک از نتایج به دست آمده را مربع می کنیم. نحوه انجام این کار را با استفاده از عنصر اول به عنوان مثال ببینید: 1 - 5 = (-4). بعد: (-4) * (-4) = 16. برای مقادیر دیگر، این عملیات را خودتان انجام دهید. اگر همه چیز را به درستی انجام دادید، پس از جمع کردن همه آنها، 90 دریافت خواهید کرد.

بیایید محاسبه واریانس و مقدار مورد انتظار را با تقسیم 90 بر N ادامه دهیم. چرا به جای N-1 N را انتخاب می کنیم؟ درست است، زیرا تعداد آزمایش های انجام شده بیش از 30 است. بنابراین: 90/10 = 9. ما واریانس را دریافت کردیم. اگر شماره دیگری دریافت کردید، ناامید نشوید. به احتمال زیاد، شما یک اشتباه ساده در محاسبات مرتکب شده اید. آنچه را که نوشتید دوباره بررسی کنید، احتمالاً همه چیز سر جای خود قرار می گیرد.

در نهایت، فرمول انتظارات ریاضی را به خاطر بسپارید. ما تمام محاسبات را نمی دهیم، فقط پاسخی را می نویسیم که می توانید پس از انجام تمام مراحل مورد نیاز بررسی کنید. مقدار مورد انتظار 5.48 خواهد بود. بگذارید فقط نحوه انجام عملیات را با استفاده از عناصر اول به عنوان مثال به یاد بیاوریم: 0*0.02 + 1*0.1... و غیره. همانطور که می بینید، ما به سادگی مقدار نتیجه را در احتمال آن ضرب می کنیم.

انحراف

مفهوم دیگری که ارتباط نزدیکی با پراکندگی و انتظارات ریاضی دارد انحراف معیار است. یا با حروف لاتین sd یا با حروف کوچک یونانی "sigma" نشان داده می شود. این مفهوم نشان می دهد که مقادیر به طور متوسط ​​چقدر از ویژگی مرکزی انحراف دارند. برای یافتن مقدار آن، باید جذر واریانس را محاسبه کنید.

اگر نمودار توزیع نرمال را رسم کنید و بخواهید انحراف مجذور را مستقیماً روی آن ببینید، این کار را می توان در چند مرحله انجام داد. نیمی از تصویر را به سمت چپ یا راست حالت (مقدار مرکزی) بگیرید، یک عمود بر محور افقی بکشید تا مساحت شکل های حاصل برابر باشد. اندازه بخش بین وسط توزیع و برآمدگی حاصل بر روی محور افقی نشان دهنده انحراف استاندارد خواهد بود.

نرم افزار

همانطور که از توضیحات فرمول ها و مثال های ارائه شده مشخص است، محاسبه واریانس و انتظارات ریاضی ساده ترین روش از نظر حسابی نیست. برای اینکه زمان را هدر ندهید، استفاده از برنامه مورد استفاده در موسسات آموزش عالی منطقی است - به آن "R" می گویند. دارای توابعی است که به شما امکان می دهد مقادیر بسیاری از مفاهیم را از آمار و تئوری احتمال محاسبه کنید.

به عنوان مثال، شما یک بردار از مقادیر را مشخص می کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: برداری<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

سرانجام

پراکندگی و انتظارات ریاضی بدون آنها محاسبه هر چیزی در آینده دشوار است. در دوره اصلی سخنرانی ها در دانشگاه ها، آنها قبلاً در ماه های اول مطالعه موضوع مورد بحث قرار می گیرند. دقیقاً به دلیل عدم درک این مفاهیم ساده و ناتوانی در محاسبه آنها است که بسیاری از دانش آموزان بلافاصله شروع به عقب افتادن از برنامه می کنند و بعداً در پایان جلسه نمره بدی دریافت می کنند که آنها را از بورسیه محروم می کند.

حداقل یک هفته و نیم ساعت در روز تمرین کنید و مشکلاتی مشابه آنچه در این مقاله ارائه شده است را حل کنید. سپس، در هر آزمونی در تئوری احتمال، می توانید بدون نکات اضافی و برگه های تقلب با مثال ها کنار بیایید.