متوازی الاضلاع وجود دارد. مجموع زاویه ها و مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه کنید: خصوصیات و ویژگی ها

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

مدرسه راهنمایی ساوینسکایا

پژوهش

متوازی الاضلاع و ویژگی های جدید آن

تکمیل شده توسط: دانش آموز پایه 8B

مدرسه متوسطه MBOU Savinskaya

کوزنتسوا سوتلانا، 14 ساله

سرپرست: معلم ریاضی

تولچوسکایا N.A.

منطقه ایوانوو، روسیه

2016

من. مقدمه _________________________________________________صفحه 3

II. از تاریخچه متوازی الاضلاع _________________________________صفحه 4

III ویژگی های اضافی متوازی الاضلاع ________________________________صفحه 4

IV. اثبات خواص ____________________________________ صفحه ۵

V. حل مسائل با استفاده از ویژگی های اضافی __________صفحه 8

VI. کاربرد خواص متوازی الاضلاع در زندگی ___________________صفحه ۱۱

VII. نتیجه گیری _________________________________________________صفحه 12

هشتم. ادبیات _________________________________________________صفحه 13

معرفی

"در میان ذهن های برابر

در برابری سایر شرایط

کسی که هندسه می داند برتر است"

(بلز پاسکال).

در حین مطالعه مبحث متوازی الاضلاع در درس هندسه، دو ویژگی متوازی الاضلاع و سه ویژگی را بررسی کردیم، اما وقتی شروع به حل مسائل کردیم، معلوم شد که این کافی نیست.

من یک سوال داشتم: آیا متوازی الاضلاع ویژگی های دیگری دارد و چگونه در حل مسائل کمک می کند؟

و من تصمیم گرفتم خواص اضافی متوازی الاضلاع را مطالعه کنم و نشان دهم که چگونه می توان از آنها برای حل مسائل استفاده کرد.

موضوع مطالعه : متوازی الاضلاع

موضوع مطالعه : خواص متوازی الاضلاع
هدف کار:

فرمول بندی و اثبات خواص اضافی متوازی الاضلاع که در مدرسه مطالعه نمی شود.

استفاده از این ویژگی ها برای حل مشکلات.

وظایف:

تاریخچه ظهور متوازی الاضلاع و تاریخچه توسعه خواص آن را مطالعه کنید.

یافتن ادبیات اضافی در مورد موضوع مورد مطالعه؛

خواص اضافی متوازی الاضلاع را مطالعه کنید و آنها را اثبات کنید.

کاربرد این ویژگی ها را برای حل مسائل نشان دهید.

کاربرد خواص متوازی الاضلاع را در زندگی در نظر بگیرید.
روش های پژوهش:

کار با ادبیات آموزشی و علمی عامه پسند، منابع اینترنتی؛

مطالعه مطالب نظری؛

شناسایی طیفی از مسائلی که می توان با استفاده از خواص اضافی متوازی الاضلاع حل کرد.

مشاهده، مقایسه، تحلیل، قیاس.

مدت زمان مطالعه : 3 ماه: ژانویه تا مارس 2016

در یک کتاب هندسه تعریف زیر را از متوازی الاضلاع می خوانیم: متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند.

کلمه "متوازی الاضلاع" به عنوان "خطوط موازی" ترجمه شده است (از کلمات یونانی Parallelos - موازی و gram - خط) ، این اصطلاح توسط اقلیدس معرفی شد. اقلیدس در کتاب "عناصر" ویژگی های زیر را برای متوازی الاضلاع ثابت کرد: اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع با هم برابر هستند و قطر آن را نصف می کند. اقلیدس نقطه تلاقی متوازی الاضلاع را ذکر نمی کند. فقط در اواخر قرون وسطی یک نظریه کامل متوازی الاضلاع ایجاد شد و فقط در قرن هفدهم قضایای متوازی الاضلاع در کتاب های درسی ظاهر شد که با استفاده از قضیه اقلیدس در مورد ویژگی های متوازی الاضلاع اثبات شده است.

III خواص اضافی متوازی الاضلاع

در کتاب هندسه فقط 2 خاصیت متوازی الاضلاع آورده شده است:

زوایای مقابل و اضلاع برابر هستند

قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و با نقطه تقاطع نصف می شوند.

در منابع مختلف هندسه می توانید ویژگی های اضافی زیر را بیابید:

مجموع زوایای مجاور متوازی الاضلاع 180 0 است

نیمساز زاویه متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند.

نیمسازهای زوایای متوازی الاضلاع روی خطوط موازی قرار دارند.

نیمسازهای زوایای مجاور متوازی الاضلاع در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند.

وقتی نیمسازهای تمام زوایای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند، یک مستطیل تشکیل می دهند.

فواصل از گوشه های متوازی الاضلاع تا همان قطر برابر است.

اگر رئوس متوازی الاضلاع را به وسط اضلاع مقابل وصل کنید متوازی الاضلاع دیگری به دست می آید.

مجموع مربعات مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربعات اضلاع مجاور آن.

اگر ارتفاعات را از دو زاویه مخالف در متوازی الاضلاع رسم کنید، یک مستطیل به دست می آید.

IV اثبات خواص متوازی الاضلاع

مجموع زوایای مجاور متوازی الاضلاع 180 است 0

داده شده:

ABCD - متوازی الاضلاع

ثابت كردن:

A+
B=

اثبات:

A و
ب – زوایای یک طرفه داخلی با خطوط مستقیم موازی قبل از میلاد AD و secant AB که به معنی
A+
B=

داده شده:آ ب پ ت - متوازی الاضلاع،

نیمساز AK
آ.

ثابت كردن: AVK - متساوی الساقین

اثبات:

1)
1=
3 (به صورت متقاطع در BC بعد از میلاد و بخش AK)،

2)
2=
3 زیرا AK یک نیمساز است،

یعنی 1=
2.

3) ABC - متساوی الساقین است زیرا 2 زاویه یک مثلث برابر است

. نیمساز زاویه متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند

داده شده: ABCD متوازی الاضلاع است،

AK - نیمساز A،

CP - نیمساز C.

ثابت كردن: AK ║ SR

اثبات:

1) 1=2 چون AK نیمساز است

2) 4=5 زیرا CP – نیمساز

3) 3=1 (زوایای خوابیده متقاطع در

قبل از میلاد ║ پس از میلاد و AK-secant)،

4) A =C (با خاصیت متوازی الاضلاع) که به معنای 2=3=4=5 است.

4) از پاراگراف های 3 و 4 نتیجه می شود که 1 = 4 و این زوایا مربوط به خطوط مستقیم AK و CP و مقطع BC است.

این یعنی AK ║ CP (بر اساس موازی بودن خطوط)

. نیمسازهای زوایای متوازی الاضلاع روی خطوط موازی قرار دارند

نیمسازهای زوایای مجاور متوازی الاضلاع در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند

داده شده: ABCD - متوازی الاضلاع،

نیمساز AK A،

نیمساز DP D

ثابت كردن: DP AK

اثبات:

1) 1=2، زیرا AK - نیمساز

بگذارید 1=2=x، سپس A=2x،

2) 3=4، زیرا D Р - نیمساز

اجازه دهید 3=4=y، سپس D=2y

3) A + D = 180 0، زیرا مجموع زوایای مجاور متوازی الاضلاع 180 است

2) در نظر بگیرید یک OD

1+3=90 0 پس
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. نیمسازهای تمام زوایای متوازی الاضلاع در هنگام قطع یک مستطیل تشکیل می دهند.

داده شده: ABCD - متوازی الاضلاع، نیمساز AK A،

نیمساز DP،

نیمساز CM،

BF - نیمساز B.

ثابت كردن: KRNS - مستطیل

اثبات:

بر اساس ویژگی قبلی 8=7=6=5=90 0،

یعنی KRNS یک مستطیل است.

فواصل از گوشه های متوازی الاضلاع تا همان قطر برابر است.

داده شده: ABCD-متوازی الاضلاع، AC-مورب.

VC AC، D.P. A.C.

ثابت كردن: BC=DP

اثبات: 1) DCP = KAB، به عنوان تلاقی های داخلی که با AB ║ CD و سکنت AC قرار دارند.

2) AKB= CDP (در امتداد ضلع و دو زاویه مجاور AB=CD CD P=AB K).

و در مثلث های مساوی اضلاع متناظر با هم برابرند یعنی DP=BK.

اگر رئوس متوازی الاضلاع را به وسط اضلاع مقابل وصل کنید متوازی الاضلاع دیگری به دست می آید.

داده شده:متوازی الاضلاع ABCD.

ثابت كردن: VKDR متوازی الاضلاع است.

اثبات:

1) BP=KD (AD=BC، نقاط K و P

این اضلاع را به نصف تقسیم کنید)

2) BP ║ KD (دروغ در AD قبل از میلاد مسیح)

اگر اضلاع مقابل یک چهار ضلعی مساوی و موازی باشند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اگر ارتفاعات را از دو زاویه مخالف در متوازی الاضلاع رسم کنید، یک مستطیل به دست می آید.

مجموع مربعات مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربعات اضلاع مجاور آن.

داده شده: ABCD متوازی الاضلاع است. BD و AC مورب هستند.

ثابت كردن: AC 2 +VD 2 =2(AB 2 + میلادی 2 )

اثبات: 1)پرسیدن: A.C. ²=
+

2)ب آردی : BD 2 = ب آر 2 + آردی 2 (طبق قضیه فیثاغورث)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+آ K²+ب Р²+Рدی ²

4) SC = BP = N(ارتفاع )

5) AC 2 +Bدی 2 = اچ 2 + آ به 2 + اچ 2 +صدی 2

6) اجازه دهید دی K=آ P=x، سپس سی بهدی : اچ 2 = سی دی 2 - ایکس 2 طبق قضیه فیثاغورث )

7) AC²+Bدی ² = Cدی 2 - x²+ AK 1 ²+ سی دی 2 -ایکس 2 +صدی 2 ,

AC²+Bدی ²=2Сدی 2 -2x 2 + آ به 2 +صدی 2

8) الف به=AD+ ایکس, آرD=AD- ایکس,

AC²+Bدی ² = 2سی دی 2 -2x 2 +(آگهی +x) 2 +(آگهی -ایکس) 2 ,

AC²+ که درD²=2 باD2-2 ایکس² +AD 2 +2AD ایکس+ ایکس 2 +میلادی 2 -2 بعد از میلاد ایکس+ ایکس 2 ,
AC²+ که درD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +میلادی 2 ).

V . حل مسائل با استفاده از این ویژگی ها

نقطه تقاطع نیمسازهای دو زاویه متوازی الاضلاع مجاور یک ضلع متعلق به ضلع مقابل است. کوتاه ترین ضلع متوازی الاضلاع است 5 . طرف بزرگ آن را پیدا کنید.

داده شده: ABCD متوازی الاضلاع است،

AK - نیمساز
آ،

D K - نیمساز
D، AB=5

پیدا کردن: آفتاب

تصمیم گیری

راه حل

زیرا AK - نیمساز
و سپس ABC متساوی الساقین است.

زیرا D K - نیمساز
D، سپس DCK - متساوی الساقین

DC = C K = 5

سپس BC=VC+SC=5+5 = 10

جواب: 10

2. اگر نیمساز یکی از زوایای متوازی الاضلاع، ضلع متوازی الاضلاع را به قطعات 7 سانتی متر و 14 سانتی متر تقسیم کند، محیط متوازی الاضلاع را بیابید.

1 مورد

داده شده:
آ،

VK=14 سانتی متر، KS=7 سانتی متر

پیدا کردن:متوازی الاضلاع P

راه حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سانتی متر)

زیرا AK - نیمساز
و سپس ABC متساوی الساقین است.

AB=BK= 14 سانتی متر

سپس P=2 (14+21) =70 (سانتی متر)

اتفاق می افتد

داده شده: ABCD متوازی الاضلاع است،

D K - نیمساز
دی

VK=14 سانتی متر، KS=7 سانتی متر

پیدا کردن: متوازی الاضلاع P

راه حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سانتی متر)

زیرا D K - نیمساز
D، سپس DCK - متساوی الساقین

DC =C K = 7

سپس، P = 2 (21+7) = 56 (سانتی متر)

پاسخ: 70 یا 56 سانتی متر

3. اضلاع متوازی الاضلاع 10 سانتی متر و 3 سانتی متر است نیمسازهای دو زاویه مجاور ضلع بزرگتر، ضلع مقابل را به سه قسمت تقسیم می کنند. این بخش ها را پیدا کنید.

1 مورد:نیمسازها خارج از متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند

داده شده: ABCD – متوازی الاضلاع، AK – نیمساز
آ،

D K - نیمساز
D، AB=3 سانتی متر، BC=10 سانتی متر

پیدا کردن: VM، MN، NC

راه حل

زیرا AM - نیمساز
و سپس AVM متساوی الساقین است.

زیرا DN - نیمساز
D، سپس DCN - متساوی الساقین

DC=CN=3

سپس MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 سانتی متر

مورد 2:نیمسازها در داخل متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند

زیرا AN - نیمساز
و سپس ABN متساوی الساقین است.

AB=Bن = 3 دی

و توری کشویی باید به فاصله مورد نیاز در درب منتقل شود

مکانیسم متوازی الاضلاع- مکانیزم چهار میله ای که پیوندهای آن متوازی الاضلاع را تشکیل می دهند. برای اجرای حرکت انتقالی توسط مکانیسم های لولایی استفاده می شود.

متوازی الاضلاع با پیوند ثابت- یک پیوند بی حرکت است، یکی مقابل یک حرکت تکان دهنده انجام می دهد و موازی با پیوند بی حرکت می ماند. دو متوازی الاضلاع که یکی پس از دیگری به هم متصل شده اند، به پیوند انتهایی دو درجه آزادی می دهند و آن را موازی با پیوند ثابت می گذارند.

به عنوان مثال: برف پاک کن اتوبوس، لیفتراک، سه پایه، آویز، سیستم تعلیق خودرو.

متوازی الاضلاع با مفصل ثابت- از خاصیت متوازی الاضلاع برای حفظ نسبت ثابت فاصله بین سه نقطه استفاده می شود. مثال: طراحی پانتوگراف - وسیله ای برای مقیاس بندی نقشه ها.

لوزی- طول همه پیوندها یکسان است، نزدیک شدن (انقباض) یک جفت لولا مخالف منجر به جدا شدن دو لولای دیگر می شود. همه لینک ها به صورت فشرده کار می کنند.

مثال ها - جک الماسی شکل خودرو، پانتوگراف تراموا.

قیچییا مکانیزم X شکل، همچنین به عنوان شناخته شده است قیچی نورنبرگ- نسخه لوزی - دو پیوند در وسط توسط یک لولا به هم متصل شده اند. مزایای مکانیزم فشرده بودن و سادگی است، نقطه ضعف آن وجود دو جفت کشویی است. دو (یا بیشتر) چنین مکانیزم هایی که به صورت سری به هم متصل شده اند، یک الماس (های) را در وسط تشکیل می دهند. در آسانسورها و اسباب بازی های کودکان استفاده می شود.

VII نتیجه

چه کسی از کودکی ریاضی می خواند؟

او توجه را توسعه می دهد، مغز خود را تمرین می دهد،

اراده خود، استقامت را پرورش می دهد

و پشتکار در رسیدن به اهداف

آ. مارکوشویچ

در طول کار، من خواص اضافی متوازی الاضلاع را ثابت کردم.

من متقاعد شدم که با استفاده از این ویژگی ها می توانید مشکلات را سریعتر حل کنید.

من نشان دادم که چگونه این ویژگی ها با استفاده از مثال هایی از حل مسائل خاص اعمال می شوند.

من چیزهای زیادی در مورد متوازی الاضلاع یاد گرفتم که در کتاب هندسه ما نیست

من متقاعد شدم که دانش هندسه در زندگی از طریق مثال هایی از کاربرد خواص متوازی الاضلاع بسیار مهم است.

هدف از کار تحقیقاتی من به پایان رسیده است.

اهميت دانش رياضي با اين حقيقت مشهود است كه براي كسي كه كتابي درباره شخصي منتشر مي‌كند كه تمام عمر خود را بدون كمك رياضي گذرانده است، جايزه تعيين شده است. هنوز حتی یک نفر این جایزه را دریافت نکرده است.

هشتم ادبیات

و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟

با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای و است (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).

و باز هم چون لوزی متوازی الاضلاع است پس باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

خواص لوزی

به تصویر نگاه کن:

همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها متمایز هستند، یعنی برای هر یک از این ویژگی ها می توان نتیجه گرفت که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه یک لوزی است.

نشانه های الماس

و دوباره توجه کنید: نه فقط یک چهارضلعی که قطرهای آن عمود هستند، بلکه باید متوازی الاضلاع وجود داشته باشد. مطمئن شوید:

خیر البته اگرچه قطرهای آن عمود بر هم هستند و قطر آن نیمساز زوایا و. اما... مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم نمی شوند، بنابراین - متوازی الاضلاع نیست، و بنابراین لوزی نیست.

یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ - لوزی نیمساز زاویه A است که برابر است با. این به این معنی است که در امتداد به دو زاویه تقسیم می شود (و همچنین).

خوب، کاملاً واضح است: قطرهای یک مستطیل برابر هستند. مورب های یک لوزی عمود بر هم هستند و به طور کلی متوازی الاضلاع مورب ها بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

سطح متوسط

خواص چهارضلعی. متوازی الاضلاع

خواص متوازی الاضلاع

توجه! کلمات " خواص متوازی الاضلاع"یعنی اگر در وظیفه شماست وجود داردمتوازی الاضلاع، سپس تمام موارد زیر را می توان استفاده کرد.

قضیه خصوصیات متوازی الاضلاع.

در هر متوازی الاضلاع:

بیایید درک کنیم که چرا این همه درست است، به عبارت دیگر ما ثابت خواهیم کردقضیه

پس چرا 1) درست است؟

اگر متوازی الاضلاع باشد، پس:

مثل صلیب دراز کشیده
مثل صلیب دراز کشیده

این یعنی (طبق معیار II: و - عمومی.)

خوب، همین است، همین است! - ثابت.

اما اتفاقا! ما هم ثابت کردیم 2)!

چرا؟ اما (به تصویر نگاه کنید)، یعنی دقیقاً به این دلیل.

فقط 3 عدد باقی مانده است).

برای انجام این کار، شما هنوز هم باید مورب دوم را بکشید.

و اکنون می بینیم که - با توجه به ویژگی II (زوایای و ضلع "بین" آنها).

خواص ثابت شده! بیایید به نشانه ها برویم.

نشانه های متوازی الاضلاع

به یاد بیاورید که علامت متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهد که "از کجا می دانید که یک شکل متوازی الاضلاع است؟"

در آیکون ها به این صورت است:

چرا؟ خوب است که بفهمیم چرا - همین کافی است. اما نگاه کن:

خوب، فهمیدیم که چرا علامت 1 درست است.

خوب، این حتی ساده تر است! بیایید دوباره یک مورب رسم کنیم.

یعنی:

واین نیز آسان است. اما... متفاوت!

به معنای، . وای! اما همچنین - داخلی یک طرفه با سکانت!

بنابراین این واقعیت به این معنی است که.

و اگر از طرف دیگر نگاه کنید، پس - داخلی یک طرفه با یک سکنت! و بنابراین.

میبینی چقدر عالیه؟!

و باز هم ساده:

دقیقا همینطوره و

توجه کنید:اگر پیدا کردی حداقلیک علامت متوازی الاضلاع در مشکل شما، پس شما دارید دقیقامتوازی الاضلاع و می توانید استفاده کنید هر کسخواص متوازی الاضلاع

برای وضوح کامل، به نمودار نگاه کنید:

خواص چهارضلعی. مستطیل.

خواص مستطیل:

نکته 1) کاملاً واضح است - پس از همه، علامت 3 () به سادگی انجام می شود

و نکته 2) - خیلی مهم. پس بیایید این را ثابت کنیم

این یعنی در دو طرف (و - عمومی).

خوب، از آنجایی که مثلث ها مساوی هستند، پس هیپوتانوس آنها نیز برابر هستند.

ثابت کرد که!

و تصور کنید، تساوی قطرها یک ویژگی متمایز یک مستطیل در بین تمام متوازی الاضلاع است. یعنی این گفته درست است^

بیایید بفهمیم چرا؟

یعنی (منظور زوایای متوازی الاضلاع است). اما اجازه دهید یک بار دیگر به یاد داشته باشیم که متوازی الاضلاع است و بنابراین.

به معنای، . خوب، البته، نتیجه می شود که هر یک از آنها! بالاخره باید در کل بدهند!

بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاعناگهان (!) مورب ها برابر می شوند، سپس این دقیقا یک مستطیل.

ولی! توجه کن!این در مورد است متوازی الاضلاع! نه فقط هر کسییک چهار ضلعی با قطرهای مساوی مستطیل است و فقطمتوازی الاضلاع!

خواص چهارضلعی. لوزی

و دوباره سوال: آیا لوزی متوازی الاضلاع است یا نه؟

با راست کامل - متوازی الاضلاع، زیرا دارای (ویژگی 2 ما را به خاطر بسپارید).

و باز هم، چون لوزی متوازی الاضلاع است، باید تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معناست که در یک لوزی، زوایای مقابل برابر، اضلاع مقابل موازی و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

اما خواص ویژه ای نیز وجود دارد. بیایید آن را فرموله کنیم.

خواص لوزی

چرا؟ خوب، از آنجایی که یک لوزی متوازی الاضلاع است، بنابراین قطرهای آن به نصف تقسیم می شوند.

چرا؟ بله، به همین دلیل است!

به عبارت دیگر، مورب ها نیمساز گوشه های لوزی بودند.

همانطور که در مورد یک مستطیل، این ویژگی ها هستند متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.

نشانه های الماس

چرا این هست؟ و نگاه کن،

یعنی هر دواین مثلث ها متساوی الساقین هستند.

برای لوزی بودن، یک چهارضلعی ابتدا باید متوازی الاضلاع شود و سپس ویژگی 1 یا 2 را نشان دهد.

خواص چهارضلعی. مربع

یعنی مربع در آن واحد مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ای است که برابر است با. این بدان معنی است که آن را به دو زاویه در امتداد تقسیم می کند (و همچنین).

چرا؟ خوب، فقط قضیه فیثاغورث را برای ...

خلاصه و فرمول های اساسی

خواص متوازی الاضلاع:

اضلاع مقابل برابرند: , .
زوایای مقابل برابر هستند: , .
زوایای یک طرف جمع می شوند: , .
مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند: .

خواص مستطیل:

قطرهای مستطیل برابر است: .
مستطیل متوازی الاضلاع است (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).

خواص لوزی:

قطرهای لوزی عمود بر هم هستند: .
قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند: ; ; ; .
لوزی متوازی الاضلاع است (برای لوزی تمام خصوصیات متوازی الاضلاع برآورده می شود).

خواص مربع:

مربع لوزی و مستطیل در یک زمان است، بنابراین، برای یک مربع تمام ویژگی های یک مستطیل و یک لوزی برآورده می شود. و.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب قاعده (a) و ارتفاع (h) آن. همچنین می توانید مساحت آن را از طریق دو ضلع و یک زاویه و از طریق مورب ها پیدا کنید.

خواص متوازی الاضلاع

1. طرف مقابل یکسان است

اول از همه، بیایید قطر \(AC\) را رسم کنیم. ما دو مثلث داریم: \(ABC\) و \(ADC\).

از آنجایی که \(ABCD\) متوازی الاضلاع است، موارد زیر درست است:

\(میلادی || قبل از میلاد \پیکان راست \زاویه 1 = \زاویه 2\)مثل دراز کشیدن متقاطع

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\)مثل دراز کشیدن متقاطع

بنابراین، (با توجه به معیار دوم: و \(AC\) رایج است).

و این یعنی \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)، سپس \(AB = CD\) و \(AD = BC\) .

2. زوایای مقابل یکسان هستند

با توجه به اثبات خواص 1ما آن را میدانیم \(\ زاویه 1 = \ زاویه 2 ، \ زاویه 3 = \ زاویه 4\). بنابراین مجموع زوایای مقابل برابر است با: \(\ زاویه 1 + \ زاویه 3 = \ زاویه 2 + \ زاویه 4\). با توجه به اینکه \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)\(\زاویه A = \زاویه C \) ، \(\زاویه B = \زاویه D \) را دریافت می کنیم.

3. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند

توسط دارایی 1می دانیم که اضلاع مقابل یکسان هستند: \(AB = CD\) . یک بار دیگر، زوایای مساوی متقاطع را یادداشت کنید.

بنابراین واضح است که \(\مثلث AOB = \مثلث COD\)با توجه به معیار دوم تساوی مثلث ها (دو زاویه و ضلع بین آنها). یعنی \(BO = OD\) (در مقابل زوایای \(\زاویه 2\) و \(\زاویه 1\) ) و \(AO = OC\) (در مقابل زاویه \(\زاویه 3\) و به ترتیب \( \زاویه 4\)).

نشانه های متوازی الاضلاع

اگر فقط یک ویژگی در مشکل شما وجود داشته باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام ویژگی های این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر، توجه داشته باشید که علامت متوازی الاضلاع به سؤال زیر پاسخ می دهد - "چگونه بفهمیم؟". یعنی چگونه می توان فهمید که یک شکل داده شده متوازی الاضلاع است.

1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که دو ضلع آن برابر و موازی باشند

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- متوازی الاضلاع.

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. چرا \(میلادی || قبل از میلاد \)؟

\(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)توسط دارایی 1: \(AB = CD \) , \(\زاویه 1 = \زاویه 2 \) در حالت متقاطع زمانی که \(AB \) و \(CD \) و سکانت \(AC \) موازی هستند.

اما اگر \(\مثلث ABC = \مثلث ADC\)، سپس \(\زاویه 3 = \زاویه 4 \) (در مقابل \(میلادی || قبل از میلاد \) (\(\زاویه 3 \) و \(\زاویه 4 \) - آنهایی که به صورت ضربدری قرار دارند نیز برابر هستند.

اولین علامت صحیح است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با هم برابر باشند

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) متوازی الاضلاع است.

بیایید این علامت را در نظر بگیریم. بیایید دوباره مورب \(AC\) را رسم کنیم.

توسط دارایی 1\(\مثلث ABC = \مثلث ACD\).

نتیجه می شود که: \(\زاویه 1 = \زاویه 2 \پیکان راست پس از میلاد || قبل از میلاد \)و \(\ زاویه 3 = \ زاویه 4 \ فلش راست AB || CD \)، یعنی \(ABCD\) متوازی الاضلاع است.

علامت دوم درست است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که زوایای مقابل آن برابر است

\(\زاویه A = \زاویه C\), \(\ زاویه B = \ زاویه D \ فلش راست ABCD\)- متوازی الاضلاع.

\(2 \آلفا + 2 \بتا = 360^(\circ) \)(از آنجایی که \(\ زاویه A = \زاویه C\) ، \(\زاویه B = \زاویه D\) بر اساس شرط).

معلوم می شود، . اما \(\alpha \) و \(\beta \) در سکنت \(AB \) یک طرفه داخلی هستند.

و چی \(\آلفا + \بتا = 180^(\circ) \)همچنین می گوید که \(میلادی || قبل از میلاد \) .

همانطور که در هندسه اقلیدسی، یک نقطه و یک خط مستقیم عناصر اصلی نظریه صفحات هستند، متوازی الاضلاع نیز یکی از اشکال کلیدی چهارضلعی های محدب است. مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی از آن، مانند نخ های یک توپ، جاری می شود.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی محدب،متشکل از پاره هایی که هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

متوازی الاضلاع کلاسیک چگونه به نظر می رسد توسط یک ABCD چهار ضلعی نشان داده می شود. اضلاع را قاعده (AB، BC، CD و AD)، عمود کشیده شده از هر راس به سمت مقابل این راس ارتفاع (BE و BF)، خطوط AC و BD را مورب می نامند.

توجه!مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

اضلاع و زوایا: ویژگی های رابطه

خواص کلیدی، به طور کلی، توسط خود نامگذاری از پیش تعیین شده است، با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

اضلاع که مقابل هم هستند جفت یکسان هستند.
زوایای روبروی هم به صورت جفت مساوی هستند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD با خط مستقیم AC به دست می آیند. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، زیرا AC برای آنها رایج است (زوایای عمودی برای BC||AD و AB||CD، به ترتیب). از این نتیجه می شود: ∆ABC = ∆ADC (دومین علامت تساوی مثلث ها).

پاره های AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند، به این معنی که آنها یکسان هستند: AB = CD، BC = AD. بنابراین، ∠B با ∠D مطابقت دارد و آنها برابر هستند. از آنجایی که ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، که آنها نیز به صورت جفتی یکسان هستند، پس ∠A = ∠C. ملک ثابت شده است.

ویژگی های قطرهای یک شکل

ویژگی اصلیاز این خطوط متوازی الاضلاع: نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند.

اثبات: به عنوان مثال نقطه تلاقی قطرهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب - ∆ABE و ∆CDE را تشکیل می دهند.

AB=CD چون متضاد هستند. با توجه به سطرها و خطوط، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

با معیار دوم برابری، ∆ABE = ∆CDE. این بدان معناست که عناصر ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE و در عین حال اجزای متناسب AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

اضلاع مجاور مجموع زوایای آنها برابر با 180 درجه است، از آنجایی که آنها در یک سمت خطوط موازی و یک عرضی قرار دارند. برای ABCD چهار ضلعی:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ویژگی های نیمساز:

، به یک طرف پایین آمده، عمود هستند.
رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
مثلثی که با رسم نیمساز به دست می آید متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین ویژگی های متوازی الاضلاع با استفاده از قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن که به شرح زیر است ناشی می شود: یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوددر صورتی که قطرهای آن قطع شود و این نقطه آنها را به قطعات مساوی تقسیم می کند.

اثبات: اجازه دهید خطوط AC و BD چهارضلعی ABCD در i.e. قطع شوند. از آنجایی که ∠AED = ∠BEC، و AE+CE=AC BE+DE=BD، پس ∆AED = ∆BEC (با اولین معیار برای تساوی مثلث ها). یعنی ∠EAD = ∠ECB. آنها همچنین زوایای متقاطع داخلی مقطع AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین، با تعریف موازی - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز مشتق شده است. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این شکل با چندین روش یافت می شودیکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C رسم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند، زیرا AB = CD و BE = CF. اندازه ABCD با مستطیل EBCF برابر است، زیرا از ارقام متناسبی تشکیل شده است: S ABE و S EBCD، و همچنین S DCF و S EBCD. از این نتیجه می شود که مساحت این شکل هندسی با مساحت یک مستطیل یکسان است:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

برای تعیین فرمول کلی مساحت متوازی الاضلاع، اجازه دهید ارتفاع را به صورت مشخص کنیم hb، و طرف - ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات مساحت از طریق اضلاع متوازی الاضلاع و زاویه، که آنها تشکیل می دهند، دومین روش شناخته شده است.

Spr-ma - منطقه؛

a و b اضلاع آن هستند

α زاویه بین قطعات a و b است.

این روش عملا بر اساس روش اول است، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه یک مثلث قائم الزاویه را قطع می کند که پارامترهای آن با هویت های مثلثاتی پیدا می شوند، یعنی. با تبدیل رابطه، دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ارتفاع را با این حاصلضرب جایگزین می کنیم و دلیلی بر صحت این فرمول به دست می آوریم.

از طریق قطرهای متوازی الاضلاع و زاویه،که آنها هنگام تقاطع ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD با هم قطع می شوند و چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مجموع آنها برابر است با مساحت این چهارضلعی.

مساحت هر یک از این ∆ها را می توان با عبارت پیدا کرد که a=BE، b=AE، ∠γ =∠AEB. از آنجایی که محاسبات از یک مقدار سینوسی استفاده می کنند. به این معنا که . از آنجایی که AE+CE=AC=d1 و BE+DE=BD=d2، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

کاربرد در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهارضلعی در جبر برداری، یعنی جمع دو بردار کاربرد پیدا کرده است. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارها داده شودونهخطی هستند، سپس مجموع آنها برابر با قطر این شکل خواهد بود که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از آغازی که خودسرانه انتخاب شده است - یعنی. - ساخت بردارها و . سپس، یک متوازی الاضلاع OASV می سازیم، که در آن بخش های OA و OB اضلاع هستند. بنابراین، سیستم عامل بر روی بردار یا مجموع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر ارائه می شود:

a و b، α - اضلاع و زاویه بین آنها.
d 1 و d 2، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها.
h a و h b - ارتفاعات به دو طرف a و b کاهش یافته است.

پارامتر	فرمول
پیدا کردن طرفین
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
در امتداد مورب ها و اضلاع
از طریق ارتفاع و راس مخالف
پیدا کردن طول قطرها
در طرفین و اندازه راس بین آنها
در امتداد اضلاع و یکی از مورب ها	نتیجه متوازی الاضلاع، به عنوان یکی از ارقام کلیدی هندسه، در زندگی، به عنوان مثال، در ساخت و ساز هنگام محاسبه مساحت یک سایت یا اندازه گیری های دیگر استفاده می شود. بنابراین، دانش در مورد ویژگی های متمایز و روش های محاسبه پارامترهای مختلف آن می تواند در هر زمانی از زندگی مفید باشد.

موضوع درس

ویژگی های قطرهای متوازی الاضلاع.

اهداف درس

با تعاریف جدید آشنا شوید و برخی را که قبلاً مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید.
خصوصیت قطرهای متوازی الاضلاع را بیان کرده و ثابت کنید.
یاد بگیرید که در هنگام حل مسائل از خصوصیات اشکال استفاده کنید.
رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.

اهداف درس

مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.

طرح درس

معرفی.
تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.
متوازی الاضلاع، خواص و ویژگی های آن.
نمونه هایی از وظایف
خود چک کردن.

معرفی

"یک اکتشاف علمی بزرگ راه حلی برای یک مشکل بزرگ ارائه می دهد، اما در حل هر مشکلی دانه ای از کشف وجود دارد."

ویژگی اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع دارای اضلاع مقابل هم هستند.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. و اجازه دهید قطرهای آن در نقطه O قطع شوند.
از آنجایی که Δ AOB = Δ COD با اولین معیار تساوی مثلث ها (∠ AOB = ∠ COD، به عنوان عمودی، AO=OC، DO=OB، با خاصیت قطرهای متوازی الاضلاع)، سپس AB=CD. به همین ترتیب از برابری مثلث های BOC و DOA نتیجه می شود که BC = DA. قضیه ثابت شده است.

ویژگی زوایای متوازی الاضلاع

در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. و اجازه دهید قطرهای آن در نقطه O قطع شوند.
از آنچه در قضیه در مورد خواص اضلاع متوازی الاضلاع Δ ABC = Δ CDA در سه ضلع ثابت شد (AB=CD، BC=DA از آنچه ثابت شد، AC – کلی). از تساوی مثلث ها نتیجه می شود که ∠ ABC = ∠ CDA.
همچنین ثابت شده است که ∠ DAB = ∠ BCD، که از ∠ ABD = ∠ CDB می آید. قضیه ثابت شده است.

ویژگی قطرهای متوازی الاضلاع

قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و در نقطه تقاطع نصف می شوند.

اثبات

فرض کنید ABCD متوازی الاضلاع داده شده باشد. بیایید قطر AC را رسم کنیم. بیایید O وسط را روی آن علامت گذاری کنیم در ادامه بخش DO، قطعه OB 1 را برابر با DO کنار می گذاریم.
طبق قضیه قبلی، AB 1 CD یک متوازی الاضلاع است. بنابراین، خط AB 1 موازی با DC است. اما از طریق نقطه A فقط یک خط موازی با DC می توان رسم کرد. این بدان معنی است که مستقیم AB 1 با مستقیم AB منطبق است.
همچنین ثابت شده است که 1 قبل از میلاد مصادف با قبل از میلاد است. این بدان معنی است که نقطه C با C 1 منطبق است. متوازی الاضلاع ABCD با متوازی الاضلاع AB 1 CD منطبق است. در نتیجه قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و در نقطه تقاطع نصف می شوند. قضیه ثابت شده است.

در کتاب های درسی مدارس عادی (مثلاً در Pogorelovo) اینگونه ثابت شده است: مورب ها متوازی الاضلاع را به 4 مثلث تقسیم می کنند. بیایید یک جفت را در نظر بگیریم و بفهمیم - آنها مساوی هستند: پایه های آنها طرف مقابل هستند، زوایای مربوطه در مجاورت آن برابر هستند، مانند زوایای عمودی با خطوط موازی. یعنی قسمت های مورب به صورت جفت با هم برابرند. همه.

آیا این همه است؟
در بالا ثابت شد که نقطه تقاطع مورب ها را نصف می کند - اگر وجود داشته باشد. استدلال فوق به هیچ وجه وجود آن را ثابت نمی کند. یعنی بخشی از قضیه "قطرهای متوازی الاضلاع قطع می شوند" اثبات نشده باقی می ماند.

نکته خنده دار این است که اثبات این قسمت بسیار سخت تر است. اتفاقاً این نتیجه از یک نتیجه کلی‌تر ناشی می‌شود: هر چهارضلعی محدب دارای قطرهایی است که متقاطع می‌شوند، اما هر چهارضلعی غیر محدب اینطور نیست.

در تساوی مثلث ها در امتداد یک ضلع و دو زاویه مجاور (دوم علامت تساوی مثلث ها) و دیگران.

تالس کاربرد عملی مهمی برای قضیه تساوی دو مثلث در امتداد یک ضلع و دو زاویه مجاور یافت. یک مسافت یاب در بندر میلتوس برای تعیین فاصله تا یک کشتی در دریا ساخته شد. از سه میخ A، B و C (AB = BC) و یک خط مستقیم مشخص شده SC، عمود بر CA تشکیل شده است. هنگامی که یک کشتی در خط مستقیم SK ظاهر شد، نقطه D را به گونه ای یافتیم که نقاط D، .B و E در یک خط مستقیم قرار داشتند. همانطور که از نقاشی مشخص است، فاصله CD روی زمین، فاصله مورد نظر تا کشتی است.

سوالات

آیا قطرهای مربع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند؟
آیا قطرهای متوازی الاضلاع برابر هستند؟
آیا زوایای مقابل متوازی الاضلاع برابرند؟
تعریف متوازی الاضلاع را بیان کنید؟
چند علامت متوازی الاضلاع است؟
آیا لوزی می تواند متوازی الاضلاع باشد؟

فهرست منابع استفاده شده

Kuznetsov A.V.، معلم ریاضیات (کلاس 5-9)، کیف
“آزمون یکپارچه دولتی 2006. ریاضیات. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی دانش آموزان / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. "حل مسائل اصلی مسابقه در ریاضیات مجموعه ویرایش شده توسط M. I. Skanavi"
L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I. Yudina "هندسه، 7-9: کتاب درسی برای موسسات آموزشی"

روی درس کار کردیم

Kuznetsov A.V.

پوتورناک اس.ا.

اوگنی پتروف

می توانید در مورد آموزش مدرن سؤالی مطرح کنید، ایده ای را بیان کنید یا یک مشکل مبرم را حل کنید انجمن آموزشی، جایی که شورای آموزشی اندیشه و عمل تازه در سطح بین المللی تشکیل جلسه می دهد. ایجاد کرده است وبلاگ،شما نه تنها وضعیت خود را به عنوان یک معلم شایسته بهبود خواهید بخشید، بلکه سهم قابل توجهی در توسعه مدرسه آینده خواهید داشت. انجمن صنفی رهبران آموزشیدرها را به روی متخصصان درجه یک باز می کند و آنها را به همکاری در ایجاد بهترین مدارس در جهان دعوت می کند.

دروس > ریاضی > ریاضی پایه هشتم