خطوط موازی، علائم و شرایط خطوط موازی. شرط تعلق دو خط به یک صفحه بررسی کنید که خطوط در یک صفحه قرار بگیرند

در این درس، مفاد اصلی نظریه را تکرار می کنیم و مسائل پیچیده تری را در مبحث "موازی خطوط و صفحات" حل می کنیم.
در ابتدای درس، تعریف خط مستقیم، موازی با صفحه و قضیه - نشانه موازی خط مستقیم و صفحه را یادآوری می کنیم. ما همچنین تعریف صفحات موازی و قضیه - علامت صفحات موازی را به یاد می آوریم. در مرحله بعد، تعریف خطوط اریب و قضیه-ویژگی خطوط اریب و همچنین این قضیه را به یاد می آوریم که از طریق هر یک از خطوط اریب می توان صفحه ای موازی با خط دیگری رسم کرد. ما از این قضیه نتیجه می گیریم - این بیانیه که دو خط اریب با یک جفت صفحه موازی مطابقت دارند.
در مرحله بعد، چندین مسئله پیچیده تر را با استفاده از تئوری مکرر حل می کنیم.

موضوع: موازی خطوط و صفحات

درس: تکرار نظریه. حل مسائل پیچیده تر در مورد "موازی خطوط و صفحات"

در این درس، مفاد اصلی تئوری را تکرار می کنیم و مسائل پیچیده تری را در مورد موضوع حل می کنیم "موازی خطوط و صفحات".

تعریف.خط و صفحه اگر نقطه مشترکی نداشته باشند موازی نامیده می شوند.

اگر خطی که در یک صفحه معین قرار ندارد موازی با خطی باشد که در این صفحه قرار دارد، آنگاه با صفحه داده شده موازی است.

بگذارید یک خط مستقیم داده شود آو صفحه (شکل 1). یک خط مستقیم در هواپیما وجود دارد ب، که موازی با خط است آ. از خطوط موازی آو بخط موازی دنبال می شود آو هواپیماها

1. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، تصحیح و تکمیل - م.: منموزینا، 1387. - 288 ص: ill.

تکالیف 9، 10 ص 23

2. سه خط به صورت جفت یکدیگر را قطع می کنند. آیا هر صفحه ای می تواند موازی همه این خطوط باشد؟

3. فقط یک خط مستقیم را می توان از نقطه M به موازات صفحات α و β ترسیم کرد. آیا این هواپیماها موازی هستند؟

4. دو ذوزنقه خط وسط مشترک دارند. صفحه α از پایه های کوچکتر ذوزنقه و صفحه β از پایه های بزرگتر ذوزنقه عبور می کند. آیا صفحات α و β موازی هستند؟

5. آ ب پ ت- چهار ضلعی نقطه M خارج از صفحه آن قرار دارد. آیا نقاط وسط قطعات در یک صفحه قرار دارند؟ MA، MV، MS، Mدی?

برای دو خط مستقیم در فضا، چهار حالت ممکن است:

خطوط مستقیم مطابقت دارند.

خطوط موازی هستند (اما یکسان نیستند).

خطوط همدیگر را قطع می کنند.

خطوط همدیگر را قطع می کنند، یعنی. نقاط مشترکی ندارند و موازی نیستند.

دو روش برای توصیف خطوط در نظر بگیرید: معادلات متعارف و معادلات عمومی. بگذارید خطوط L 1 و L 2 با معادلات متعارف به دست آیند:

L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1، L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6.9)

برای هر خط مستقیم از معادلات متعارف آن، بلافاصله نقطه ای را روی آن تعیین می کنیم M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ∈ L 2 و مختصات بردارهای جهت s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) برای L 1 , s 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) برای L 2 .

اگر خطوط منطبق یا موازی باشند، بردارهای جهت آنها s 1 و s 2 خطی هستند که معادل برابری نسبت های مختصات این بردارها است:

l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (6.10)

اگر خطوط بر هم منطبق باشند، بردارهای جهت نیز با بردار M 1 M 2 هم خط هستند:

(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

این تساوی دوگانه همچنین به این معنی است که نقطه M 2 متعلق به خط L 1 است. بنابراین شرط منطبق بودن خطوط، تحقق همزمان برابری های (6.10) و (6.11) است.

اگر خطوط قطع یا متقاطع شوند، بردارهای جهت آنها غیر خطی هستند، یعنی. شرط (6.10) نقض شده است. خطوط متقاطع در یک صفحه قرار دارند و بنابراین، بردارها s 1، s 2 و M 1 M 2 هستند هم صفحهتعیین کننده مرتبه سوممتشکل از مختصات آنها (نگاه کنید به 3.2):

شرط (6.12) در سه مورد از چهار مورد برآورده می شود، زیرا برای Δ ≠ 0 خطوط به یک صفحه تعلق ندارند و بنابراین قطع می شوند.

بیایید همه شرایط را با هم بیاوریم:

ترتیب متقابل خطوط با تعداد راه حل های سیستم مشخص می شود (6.13). اگر خطوط منطبق باشند، سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد. اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. هیچ راه حل مستقیمی در مورد راه حل های موازی یا متقاطع مستقیم وجود ندارد. دو مورد آخر را می توان با یافتن بردارهای جهت خطوط جدا کرد. برای این کار کافی است دو عدد محاسبه شود وکتور کار می کند n 1 × n 2 و n 3 × n 4، که در آن n i = (A i؛ B i؛ C i)، i = 1، 2، 3.4. اگر بردارهای به دست آمده به صورت هم خط باشند، خطوط داده شده موازی هستند. در غیر این صورت آنها در حال آمیختگی هستند.

مثال 6.4.

بردار هدایت کننده s 1 خط مستقیم L 1 توسط معادلات متعارف این خط مستقیم یافت می شود: s 1 = (1; 3; -2). بردار هدایت کننده s 2 خط مستقیم L 2 با استفاده از حاصلضرب بردار بردارهای عادی صفحات محاسبه می شود که تقاطع آنها عبارت است از:

از آنجایی که s 1 \u003d -s 2 است، پس خطوط موازی یا منطبق هستند. اجازه دهید دریابیم که کدام یک از این موقعیت ها برای خطوط داده شده تحقق می یابد. برای انجام این کار، مختصات نقطه M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 را در معادلات کلی خط L 2 قرار می دهیم. برای اولین آنها، 1 = 0 را به دست می آوریم. بنابراین، نقطه M 0 متعلق به خط L 2 نیست و خطوط مورد بررسی موازی هستند.

زاویه بین خطوط. زاویه بین دو خط را می توان با استفاده از بردارهای جهتمستقیم. زاویه حاد بین خطوط برابر با زاویه بین بردارهای جهت آنها است (شکل 6.5) یا اگر زاویه بین بردارهای جهت منفرد باشد، مکمل آن است. بنابراین، اگر برای خطوط L 1 و L 2 بردار جهت آنها s x و s 2 مشخص باشد، زاویه تند φ بین این خطوط از طریق حاصل ضرب اسکالر تعیین می شود:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

به عنوان مثال، اجازه دهید s i = (l i؛ m i؛ n i)، i = 1، 2. با استفاده از فرمول های (2.9) و (2.14) برای محاسبه طول برداریو حاصل ضرب اسکالر در مختصات، دریافت می کنیم

فصل چهارم. خطوط و هواپیماها در فضا چند وجهی

§ 46. آرایش متقابل خطوط در فضا

در فضا، دو خط مجزا ممکن است در یک صفحه قرار بگیرند یا نباشند. بیایید نمونه های مربوطه را در نظر بگیریم.

اجازه دهید نقاط A، B، C روی یک خط مستقیم قرار نگیرند. از میان آنها یک هواپیما بکشید آرو نقطه S را انتخاب کنید که به هواپیما تعلق ندارد آر(شکل 130).

سپس خطوط AB و BC در همان صفحه قرار دارند، یعنی در صفحه آر، خطوط AS و CB در یک صفحه قرار نمی گیرند. در واقع، اگر آنها در یک صفحه قرار بگیرند، نقاط A، B، C، S نیز در این صفحه قرار می گیرند، که غیرممکن است، زیرا S در صفحه ای که از نقاط A، B، C می گذرد، قرار ندارد.

دو خط متمایز که در یک صفحه قرار دارند و قطع نمی شوند موازی نامیده می شوند. خطوط منطبق را موازی نیز می گویند. اگر مستقیم 1 1 و 1 2 موازی، سپس بنویسید 1 1 || 1 2 .

به این ترتیب، 1 1 || 1 2 اگر اولاً هواپیما وجود داشته باشد آربه طوری که
1 1 آرو 1 2 آرو دوم، یا 1 1 1 2 = یا 1 1 = 1 2 .

دو خطی که در یک صفحه قرار نگیرند خطوط متقاطع نامیده می شوند. بدیهی است که خطوط اریب همدیگر را قطع نمی کنند و موازی نیستند.

اجازه دهید یک ویژگی مهم خطوط موازی را ثابت کنیم که گذرا بودن موازی نامیده می شود.

قضیه. اگر دو خط با یک سوم موازی باشند، پس آنها با یکدیگر موازی هستند.

اجازه دهید 1 1 || 1 2 و 1 2 || 1 3 . ما باید این را ثابت کنیم 1 1 || 1 3

اگر مستقیم 1 1 , 1 2 , 1 3 در یک صفحه قرار می گیرند، سپس این جمله در پلان سنجی ثابت می شود. ما فرض می کنیم که خطوط 1 1 , 1 2 , 1 3 در یک هواپیما دراز نکشید.

از طریق خطوط مستقیم 1 1 و 1 2 یک هواپیما بکشید آر 1 و از طریق 1 2 و 1 3 - هواپیما آر 2 (شکل 131).

توجه داشته باشید که خط مستقیم 1 3 حاوی حداقل یک نقطه M است که به صفحه تعلق ندارد
آر 1 .

یک صفحه از خط و نقطه M رسم کنید آر 3 که با هواپیما تلاقی می کند آر 2 در امتداد یک خط ل. این را ثابت کنیم لمصادف است با 1 3 . ما "روش را با تناقض" اثبات خواهیم کرد.

بیایید فرض کنیم که خط 1 با خط مطابقت ندارد 1 3 . سپس 1 از خط عبور می کند 1 2 در نقطه ای A. این نشان می دهد که هواپیما آر 3 از نقطه A عبور می کند آر 1 و مستقیم 1 1 آر 1 و بنابراین با هواپیما منطبق است آریکی . این نتیجه گیری با این واقعیت که نقطه M آر 3 متعلق به هواپیما نیست آر 1 .
بنابراین، فرض ما اشتباه است و بنابراین 1 = 1 3 .

بنابراین، ثابت می شود که خطوط 1 1 و 1 3 در یک هواپیما دراز بکشند آر 3 . اجازه دهید ثابت کنیم که خطوط 1 1 و 1 3 قطع نمی شود.

در واقع، اگر 1 1 و 1 3 مثلاً در نقطه B و سپس صفحه را قطع می کنند آر 2 از یک خط مستقیم عبور می کند 1 2 و از طریق نقطه B 1 1 و بنابراین، با آر 1 که غیر ممکن است.

یک وظیفه.ثابت کنید که زوایای با اضلاع هم جهت مساوی هستند.

بگذارید زوایای MAN و M 1 A 1 N 1 دارای اضلاع هم جهت باشند: پرتو AM به پرتو A 1 M 1 و پرتو AN به پرتو A 1 N 1 هم جهت می شود (شکل 1). 132).

روی پرتوهای AM و A 1 M 1 قطعات AB و A 1 B 1 را با طول مساوی کنار می گذاریم. سپس

|| و |BB 1 | = |AA 1 |

به عنوان اضلاع مخالف متوازی الاضلاع

به طور مشابه، در پرتوهای AN و A 1 N 1 قطعات AC و A 1 C 1 را با طول مساوی کنار می گذاریم. سپس

|| و |CC 1 | = |AA 1 |

از گذرا بودن توازی به دست می آید که || . و از آنجایی که |BB 1 | = |CC 1 | ، سپس BB 1 C 1 C متوازی الاضلاع است و بنابراین |BC| = |B 1 C 1 |.
در نتیجه، /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 و .

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام مباحث لازم برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان ریاضی با امتیاز 60-65 می باشد. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه حل مسائل پیچیده قسمت 2 آزمون.

خطوط در همان صفحه قرار دارند. اگر 1) متقاطع شوند؛ 2) موازی باشند.

برای تعلق خطوط L 1: و L 2: به یک صفحه  به طوری که بردارها م 1 م 2 \u003d (x 2 -x 1؛ y 2 -y 1؛ z 2 -z 1)، q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) و q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) همسطح بودند. یعنی با شرط همسانی سه بردار، حاصلضرب مخلوط م 1 م 2 س 1 س 2 =Δ==0 (8)

زیرا شرط موازی بودن دو خط به این صورت است: , سپس برای تقاطع خطوط L 1 و L 2  به طوری که شرط (8) را برآورده کنند و حداقل یکی از نسبت ها نقض شود.

مثال. موقعیت نسبی خطوط را کاوش کنید:

بردار جهت خط مستقیم L 1 – q 1 =(1;3;-2). خط L 2 به عنوان تقاطع 2 صفحه α 1 تعریف می شود: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. زیرا خط L 2 در هر دو صفحه قرار دارد، سپس آن، و از این رو بردار جهت آن، عمود بر نرمال است. n 1 و n 2 . بنابراین، بردار جهت س 2 حاصل ضرب بردارها است n 1 و n 2 ، یعنی q 2 =n 1 ایکس n 2 ==-من-3j+2ک.

که س 1 =-س 2 , یعنی خطوط موازی یا منطبق هستند.

برای بررسی اینکه آیا خطوط منطبق هستند یا خیر، مختصات نقطه M 0 (1;2;-1)L 1 را در معادلات کلی L 2 جایگزین می کنیم: 1-2+2+1=0 - برابری های نادرست، یعنی. نقطه M 0 L 2،

بنابراین خطوط موازی هستند.

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

فاصله از نقطه M 1 (x 1; y 1; z 1) تا خط L داده شده توسط معادله متعارف L: را می توان با استفاده از ضرب ضربدر محاسبه کرد.

از معادله متعارف خط مستقیم نتیجه می شود که نقطه M 0 (x 0; y 0; z 0) L و بردار جهت دهنده خط مستقیم q=(l;m;n)

بیایید متوازی الاضلاع روی بردارها بسازیم qو م 0 م 1 . سپس فاصله نقطه M 1 تا خط L برابر با ارتفاع h این متوازی الاضلاع است. زیرا S=| qایکس م 0 م 1 |=h| q|، سپس

h= (9)

فاصله بین دو خط مستقیم در فضا.

L 1: و L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 و L 2 - عبور

d=

آرایش متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه در فضا.

برای قرار گرفتن یک خط مستقیم و یک صفحه در فضا، 3 مورد ممکن است:

خط و صفحه در یک نقطه قطع می شوند.

خط و صفحه موازی هستند.

خط در یک هواپیما قرار دارد.

اجازه دهید خط مستقیم با معادله متعارف آن و صفحه - با کلی ارائه شود

α: Ax+By+Cz+D=0

معادلات خط مستقیم نقطه M 0 (x 0; y 0; z 0) L و بردار جهت را نشان می دهد. q=(l;m;n)، و معادله صفحه یک بردار عادی است n=(A;B;C).

1. تقاطع یک خط و یک صفحه.

اگر یک خط و یک صفحه قطع شوند، بردار جهت خط qموازی با صفحه α نیست، و بنابراین متعامد با بردار نرمال صفحه نیست nآن ها محصول نقطه آنها nq≠0 یا بر حسب مختصات آنها،

Am+Bn+Cp≠0 (10)

مختصات نقطه M را تعیین کنید - نقاط تقاطع خط L و صفحه α.

بیایید از معادله متعارف خط مستقیم به پارامتری حرکت کنیم: , tR

ما این روابط را در معادله هواپیما جایگزین می کنیم

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0,z 0 شناخته شده اند، بیایید پارامتر t را پیدا کنیم:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

اگر Am+Bn+Cp≠0، معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد که مختصات نقطه M را تعیین می کند:

t M = -→ (11)

زاویه بین یک خط و یک صفحه. شرایط توازی و عمود بودن.

زاویه φ بین خط L :

با وکتور راهنما q=(l;m;n) و صفحه

: Ax+By+Cz+D=0 با بردار نرمال n=(A;B;C) از 0˚ (در مورد خط و صفحه موازی) تا 90˚ (در صورت عمود بودن خط و صفحه) متغیر است. (زاویه بین بردار qو برآمدگی آن بر روی صفحه α).

 – زاویه بین بردارها qو n

زیرا زاویه  بین خط L و صفحه  مکمل زاویه  است، سپس sin φ=sin(-)=cos =- (مقدار مطلق در نظر گرفته می شود زیرا زاویه φ sin حاد φ=sin(- است. ) یا sin φ =sin(+) بسته به جهت خط مستقیم L)