حجم حقوق هرم مثلثی. فرمول های حجم یک هرم مثلثی منظم

اهداف و اهداف درس:

• فرمول های حجم هرم را با استفاده از فرمول اصلی حجم اجسام و حجم هرم کوتاه شده استخراج کنید.
• دانش نظری را در مورد یافتن حجم یک هرم نظام مند کنید.
• مهارت یافتن حجم هرمی را که راس آن به مرکز دایره ای که در نزدیکی قاعده محاط شده یا محصور شده است، پیش بینی شده است.
• مهارت‌هایی را در حل مسائل استاندارد با استفاده از فرمول‌های حجم یک هرم و یک هرم کوتاه ایجاد کنید.

در طول کلاس ها

من.توضیحمواد جدید

اثبات قضیه با استفاده از پروژکتور چند رسانه ای انجام می شود

بیایید قضیه را ثابت کنیم: حجم هرم استیک سوم حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع.

اثبات:

ابتدا قضیه را برای یک هرم مثلثی و سپس برای یک هرم دلخواه اثبات می کنیم.

1. یک هرم مثلثی را در نظر بگیرید OABCبا حجم V، مساحت پایه اسو ارتفاع ساعت. بیایید محور را رسم کنیم اوه (OM 2- ارتفاع)، بخش را در نظر بگیرید A 1 B 1 C 1هرمی با صفحه ای عمود بر محور اوهو بنابراین موازی با صفحه پایه است. اجازه دهید با نشان دادن ایکسنقطه آبسیسا م 1 تقاطع این صفحه با محور x و از طریق S(ایکس)- سطح مقطع بیان کنیم S(ایکس)از طریق اس, ساعتو ایکس. توجه کنید که

در واقع , از این رو، .

مثلث های قائم الزاویه ، همچنین مشابه هستند (آنها یک زاویه حاد مشترک با راس دارند در باره).

اجازه دهید فرمول اصلی را برای محاسبه حجم اجسام در اعمال کنیم آ = 0, b =ساعتما گرفتیم

2. اکنون قضیه را برای یک هرم دلخواه با ارتفاع ثابت می کنیم ساعتو مساحت پایه اس. چنین هرمی را می توان به اهرام مثلثی با ارتفاع کلی تقسیم کرد ساعتاجازه دهید حجم هر هرم مثلثی را با استفاده از فرمولی که ثابت کرده ایم بیان کنیم و این حجم ها را اضافه کنیم. با برداشتن عامل مشترک از براکت ها، در براکت ها مجموع قاعده های هرم های مثلثی را به دست می آوریم، یعنی. ناحیه S از پایه های هرم اصلی.

بنابراین، حجم هرم اصلی است. قضیه ثابت می شود.

II. حل مسائل با استفاده از نقشه های آماده

وظیفه 1. (شکل 3)

داده شده:ABCD- هرم منظم AB = 3; AD= . پیدا کردن:آ) اسپایه ای; ب) JSC; V) انجام دادنز) V .

وظیفه 2. (شکل 4)

داده شده:ABCDF- هرم منظم .

وظیفه 3. (شکل 5)

داده شده:ABCDEKF- هرم منظم

پیدا کردن: آ) اسپایه ای ; ب) V.

وظیفه4. (شکل. 6)

پیدا کردن: V.

آزمایش مشکلات با استفاده از یک پروژکتور چند رسانه ای با تجزیه و تحلیل دقیق یک راه حل گام به گام انجام می شود.

وظیفه 1. (شکل 3)

الف) (از فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث منظم استفاده می شود)
AB = = 3، داریم

ب) (فرمول شعاع دایره محصور با استفاده از ضلع مثلث متساوی الاضلاع) .

وظیفه 2. (شکل 4)

1) بنابراین بیایید در نظر بگیریم
- متساوی الساقین، OS = FO = 2.

وظیفه 3. (شکل 5)

وظیفه 4. (شکل 6)

III. بررسی خروجی فرمول برای محاسبه حجم هرم کوتاه شده (پیام دانش آموز در تخته سیاه با استفاده از پروژکتور چند رسانه ای انجام می شود)

پاسخ دانش آموز:

حجم هرم ناقص به عنوان تفاوت بین حجم هرم کامل و هرم که توسط صفحه موازی با قاعده از آن جدا می شود در نظر گرفته می شود (شکل 1).

بیایید این عبارت را جایگزین کنیم ایکسبه فرمول اول،

کار در قالب یک آزمایش، با تأیید از طریق یک پروژکتور چند رسانه ای.

1. در یک منشور مایل، لبه جانبی 7 سانتی متر است، بخش عمود بر آن یک مثلث قائم الزاویه با پاها: 4 سانتی متر و 3 سانتی متر حجم منشور را بیابید.

الف) 10 سانتی متر 3، ب) 42 سانتی متر 3، ج) 60 سانتی متر 3، د) 30 سانتی متر 3.

2. در هرم شش ضلعی منتظم ضلع قاعده آن 2 سانتی متر است حجم هرم 6 سانتی متر است. ارتفاع چقدر است؟

3. حجم هرم 56 سانتی متر 3، مساحت پایه 14 سانتی متر مربع است. ارتفاع چقدر است؟

الف) 14 سانتی متر، ب) 12 سانتی متر، ج) 16 سانتی متر.

4. در هرم مثلثی منتظم ارتفاع 5 سانتی متر، اضلاع قاعده 3 سانتی متر حجم هرم چقدر است؟

5. در یک هرم چهار گوش، ارتفاع 9 سانتی متر است.

الف) 50 سانتی متر 3، ب) 48 سانتی متر 3، ج) 16 سانتی متر 3.

6. حجم هرم چهار گوش منتظم 27 سانتی متر 3، ارتفاع 9 سانتی متر است.

الف) 12 سانتی متر، ب) 9 سانتی متر، ج) 3 سانتی متر.

7. حجم هرم ناقص 210 سانتی متر مکعب است، مساحت قاعده پایینی آن 36 سانتی متر مربع، قسمت بالایی آن 9 سانتی متر مربع است. ارتفاع هرم را پیدا کنید.

الف) 1 سانتی متر، ب) 15 سانتی متر، ج) 10 سانتی متر.

8. یک منشور هم اندازه و یک هرم چهار گوش منتظم دارای ارتفاع مساوی هستند. اگر مساحت قاعده منشور S باشد ضلع قاعده هرم چیست؟

جدول پاسخ.

تکلیف: 1. حل المسائل شماره 695v، شماره 697، شماره 690

2. وظایف اساسی را در نظر بگیرید

وظیفه 1.

ثابت کنید که اگر لبه های جانبی هرم مساوی باشند (یا زوایای مساوی با صفحه قاعده ایجاد کنند)، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور شده در اطراف پایه کشیده می شود.

ثابت کنید که اگر زوایای دو وجهی در قاعده هرم مساوی باشد (یا مساوی ارتفاع وجوه جانبی ترسیم شده از رأس هرم باشد)، آنگاه راس هرم به مرکز دایره محاط شده در هرم بیرون زده می شود. پایه هرم

در اینجا به نمونه های مرتبط با مفهوم حجم نگاه می کنیم. برای حل چنین کارهایی باید فرمول حجم یک هرم را بدانید:

اس

h - ارتفاع هرم

پایه می تواند هر چند ضلعی باشد. اما در اکثر مشکلات در آزمون یکپارچه دولتی، معمولاً شرایط مربوط به اهرام معمولی است. یکی از خواص آن را یادآوری کنم:

بالای یک هرم منظم به مرکز قاعده آن کشیده شده است

به برآمدگی اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم نگاه کنید (TOP VIEW):

می توانید در وبلاگ، جایی که مشکلات مربوط به یافتن حجم یک هرم مورد بحث قرار گرفت.بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

27087. حجم یک هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 1 و ارتفاع آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

بیایید مساحت پایه هرم را پیدا کنیم، این یک مثلث منظم است. بیایید از فرمول استفاده کنیم - مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

پاسخ: 0.25

27088. ارتفاع هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 2 و حجم آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

مفاهیمی مانند ارتفاع هرم و ویژگی های پایه آن با فرمول حجمی مرتبط هستند:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما خود حجم را می دانیم، می توانیم مساحت پایه را پیدا کنیم، زیرا اضلاع مثلث را که پایه است، می شناسیم. با دانستن مقادیر مشخص شده، به راحتی می توانیم ارتفاع را پیدا کنیم.

برای پیدا کردن مساحت پایه، از فرمول استفاده می کنیم - مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

بنابراین، با جایگزین کردن این مقادیر در فرمول حجم، می توانیم ارتفاع هرم را محاسبه کنیم:

ارتفاع سه است.

پاسخ: 3

27109. در هرم چهار گوش منتظم، ارتفاع 6 و لبه کناری آن 10 است. حجم آن را بیابید.

حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما ارتفاع را می دانیم. شما باید مساحت پایه را پیدا کنید. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که بالای یک هرم منظم به مرکز پایه آن کشیده شده است. قاعده هرم چهار گوش منظم مربع است. ما می توانیم قطر آن را پیدا کنیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (که با رنگ آبی مشخص شده است):

پاره ای که مرکز مربع را به نقطه B متصل می کند، پایه ای است که برابر با نصف قطر مربع است. ما می توانیم این پا را با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کنیم:

این به معنای BD = 16 است. بیایید مساحت مربع را با استفاده از فرمول مساحت یک چهارضلعی محاسبه کنیم:

از این رو:

بنابراین، حجم هرم برابر است با:

جواب: 256

27178. در یک هرم چهار گوش منتظم ارتفاع 12 و حجم آن 200 است. لبه کناری این هرم را پیدا کنید.

ارتفاع هرم و حجم آن مشخص است، یعنی می توانیم مساحت مربع را که قاعده است، پیدا کنیم. با دانستن مساحت یک مربع، می توانیم قطر آن را پیدا کنیم. در مرحله بعد، با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث، لبه کناری را محاسبه می کنیم:

بیایید مساحت مربع (پایه هرم) را پیدا کنیم:

بیایید قطر مربع را محاسبه کنیم. از آنجایی که مساحت آن 50 است، ضلع برابر با ریشه پنجاه خواهد بود و طبق قضیه فیثاغورث:

نقطه O BD مورب را به نصف تقسیم می کند، که به معنای ساق مثلث قائم الزاویه OB = 5 است.

بنابراین، می توانیم محاسبه کنیم که لبه کناری هرم برابر است با:

جواب: 13

245353. حجم هرم نشان داده شده در شکل را بیابید. قاعده آن چند ضلعی است که اضلاع مجاور آن عمود هستند و یکی از یال های کناری آن عمود بر صفحه قاعده و برابر با 3 است.

همانطور که بارها گفته شد، حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

لبه کناری عمود بر قاعده برابر با سه است، یعنی ارتفاع هرم سه است. قاعده هرم چند ضلعی است که مساحت آن برابر است با:

بدین ترتیب:

جواب: 27

27086. قاعده هرم مستطیلی است با اضلاع 3 و 4 حجم آن 16 است ارتفاع این هرم را بیابید.

همین. موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

یکی از ساده‌ترین شکل‌های سه‌بعدی، هرم مثلثی است، زیرا از کمترین تعداد چهره‌هایی تشکیل شده است که می‌توان از آنها یک شکل در فضا تشکیل داد. در این مقاله به فرمول هایی می پردازیم که می توان از آنها برای یافتن حجم یک هرم منظم مثلثی استفاده کرد.

هرم مثلثی

طبق تعریف کلی، هرم چند ضلعی است که تمام رئوس آن به نقطه ای متصل است که در صفحه این چند ضلعی قرار ندارد. اگر دومی یک مثلث باشد، کل شکل یک هرم مثلثی نامیده می شود.

هرم مورد بحث از یک قاعده (مثلث) و سه وجه جانبی (مثلث) تشکیل شده است. به نقطه ای که سه وجه جانبی به هم متصل می شوند راس شکل می گویند. عمودی که از این راس به قاعده افتاده است، ارتفاع هرم است. اگر نقطه تلاقی عمود بر قاعده با نقطه تلاقی وسط مثلث در قاعده منطبق باشد، در این صورت از یک هرم منتظم صحبت می کنیم. در غیر این صورت کج می شود.

همانطور که گفته شد، قاعده یک هرم مثلثی می تواند یک نوع مثلث کلی باشد. با این حال ، اگر متساوی الاضلاع باشد و خود هرم مستقیم باشد ، آنها از یک شکل سه بعدی منظم صحبت می کنند.

هر هرم مثلثی دارای 4 وجه، 6 لبه و 4 رأس است. اگر طول تمام لبه ها برابر باشد، چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

حجم یک هرم مثلثی کلی

قبل از نوشتن فرمول حجم یک هرم مثلثی منتظم، بیانی برای این کمیت فیزیکی برای هرم نوع عمومی ارائه می دهیم. این عبارت به نظر می رسد:

در این مورد: "Global Finance": بررسی های شرکت از سوی کارمندان و مشتریان

در اینجا S o مساحت پایه است، h ارتفاع شکل است. این برابری برای هر نوع پایه چند ضلعی هرمی و همچنین برای مخروط معتبر خواهد بود. اگر در قاعده مثلثی با طول ضلع a و ارتفاع h o پایین آمده باشد، فرمول حجم به صورت زیر نوشته می شود:

V = 1/6*a*h o *h.

فرمول های حجم یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منظم دارای یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده است. مشخص است که ارتفاع این مثلث با تساوی به طول ضلع آن مربوط می شود:

با جایگزینی این عبارت به فرمول حجم یک هرم مثلثی که در پاراگراف قبل نوشته شده است، به دست می آوریم:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

حجم هرم منظم با قاعده مثلثی تابعی از طول ضلع قاعده و ارتفاع شکل است.

از آنجایی که هر چند ضلعی منظم را می توان در دایره ای نوشت که شعاع آن به طور منحصر به فرد طول ضلع چند ضلعی را تعیین می کند، پس این فرمول را می توان بر حسب شعاع r متناظر نوشت:

V = √3/4*h*r 2 .

این فرمول را می توان به راحتی از فرمول قبلی بدست آورد، اگر در نظر بگیریم که شعاع r دایره محدود شده در طول ضلع a مثلث با عبارت تعیین می شود:

مشکل تعیین حجم چهار وجهی

ما نحوه استفاده از فرمول های بالا را هنگام حل مسائل هندسی خاص نشان خواهیم داد.

مشخص است که یک چهار وجهی دارای طول لبه 7 سانتی متر است، حجم یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید.

به یاد بیاورید که چهار وجهی یک هرم مثلثی منظم است که در آن همه پایه ها با یکدیگر برابر هستند. برای استفاده از فرمول حجم یک هرم مثلثی منظم، باید دو مقدار را محاسبه کنید:

در این مورد: این مواد غیرعادی به زودی برای ساخت صندلی ماشین استفاده خواهند شد

• طول ضلع مثلث؛
• ارتفاع شکل

مقدار اول از شرایط مشکل شناخته می شود:

برای تعیین ارتفاع، شکل نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید.

مثلث علامت گذاری شده ABC یک مثلث قائم الزاویه است که در آن زاویه ABC 90 درجه است. سمت AC هیپوتانوس و طول آن a است. با استفاده از استدلال هندسی ساده می توان نشان داد که ضلع BC دارای طول است:

توجه داشته باشید که طول BC شعاع دایره ای است که به دور مثلث محصور شده است.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

اکنون می توانید h و a را به فرمول مربوطه برای حجم جایگزین کنید:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

بنابراین، فرمول حجم یک چهار وجهی را به دست آورده ایم. مشاهده می شود که حجم فقط به طول لبه بستگی دارد. اگر مقدار شرط مشکل را به عبارت جایگزین کنیم، پاسخ را می گیریم:

V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 سانتی متر 3.

اگر این مقدار را با حجم یک مکعب با لبه یکسان مقایسه کنیم، متوجه می شویم که حجم چهار وجهی 8.5 برابر کمتر است. این نشان می دهد که چهار وجهی یک شکل فشرده است که در برخی از مواد طبیعی وجود دارد. به عنوان مثال، مولکول متان یک شکل چهار وجهی دارد و هر اتم کربن در الماس به چهار اتم دیگر متصل می شود تا یک چهار وجهی تشکیل دهد.

مشکل هرم همتز

هرم یک چندوجهی است که در قاعده آن یک چندضلعی قرار دارد. همه وجوه به نوبه خود مثلث هایی را تشکیل می دهند که در یک راس همگرا می شوند. اهرام مثلثی، چهار گوش و غیره هستند. برای اینکه مشخص کنید کدام هرم در مقابل شما قرار دارد، کافی است تعداد زوایای قاعده آن را بشمارید. تعریف "ارتفاع هرم" اغلب در مسائل هندسه در برنامه درسی مدرسه یافت می شود. در این مقاله سعی می کنیم راه های مختلفی را برای یافتن آن بررسی کنیم.

بخش هایی از هرم

هر هرم از عناصر زیر تشکیل شده است:

• وجه های جانبی که سه گوشه دارند و در راس همگرا هستند.
• آپوتم نشان دهنده ارتفاعی است که از راس آن پایین می آید.
• بالای هرم نقطه ای است که دنده های جانبی را به هم متصل می کند ، اما در صفحه پایه قرار ندارد.
• پایه یک چند ضلعی است که راس روی آن قرار ندارد.
• ارتفاع هرم قطعه ای است که بالای هرم را قطع می کند و با قاعده آن زاویه قائمه تشکیل می دهد.

چگونه می توان ارتفاع یک هرم را در صورتی که حجم آن مشخص باشد، پیدا کرد؟

از طریق فرمول V = (S*h)/3 (در فرمول V حجم است، S مساحت قاعده، h ارتفاع هرم است) در می یابیم که h = (3*V)/ اس. برای تجمیع مواد، بیایید بلافاصله مشکل را حل کنیم. پایه مثلثی 50 سانتی متر مربع است در حالی که حجم آن 125 سانتی متر مکعب است. ارتفاع هرم مثلثی ناشناخته است، این همان چیزی است که ما باید پیدا کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما داده ها را در فرمول خود وارد می کنیم. h = (3*125)/50 = 7.5 سانتی متر بدست می آوریم.

اگر طول قطر و لبه های آن مشخص باشد چگونه ارتفاع هرم را پیدا کنیم؟

همانطور که به یاد داریم، ارتفاع هرم با قاعده آن یک زاویه قائمه تشکیل می دهد. این بدان معنی است که ارتفاع، لبه و نیمی از قطر با هم تشکیل می دهند، البته بسیاری از قضیه فیثاغورث را به یاد دارند. با دانستن دو بعد، یافتن کمیت سوم دشوار نخواهد بود. اجازه دهید قضیه شناخته شده a² = b² + c² را به یاد بیاوریم، که در آن a فرضیه و در مورد ما لبه هرم است. ب - پایه اول یا نیمه مورب و ج - به ترتیب پایه دوم یا ارتفاع هرم. از این فرمول c² = a² - b².

اکنون مشکل: در یک هرم معمولی قطر آن 20 سانتی متر است، زمانی که طول لبه 30 سانتی متر است، باید ارتفاع را پیدا کنید. ما حل می کنیم: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. بنابراین c = √ 500 = حدود 22.4.

چگونه ارتفاع یک هرم کوتاه را پیدا کنیم؟

این یک چند ضلعی است که مقطعی موازی با قاعده آن دارد. ارتفاع هرم ناقص قسمتی است که دو پایه آن را به هم متصل می کند. اگر طول قطرهای هر دو قاعده و همچنین لبه هرم مشخص باشد، ارتفاع را می توان برای یک هرم منظم پیدا کرد. فرض کنید مورب پایه بزرگتر d1 باشد، در حالی که قطر پایه کوچکتر d2 است و یال دارای طول l است. برای یافتن ارتفاع، می توانید ارتفاعات را از دو نقطه مقابل بالای نمودار تا پایه آن پایین بیاورید. می بینیم که دو مثلث قائم الزاویه داریم. برای انجام این کار، قطر کوچکتر را از قطر بزرگتر کم کنید و بر 2 تقسیم کنید. بنابراین یک پا را خواهیم یافت: a = (d1-d2)/2. پس از آن، طبق قضیه فیثاغورث، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که پای دوم را که ارتفاع هرم است، پیدا کنیم.

حالا بیایید در عمل به کل این موضوع نگاه کنیم. ما وظیفه ای در پیش داریم. هرم کوتاه در قاعده خود دارای مربع است، طول مورب پایه بزرگتر 10 سانتی متر است، در حالی که هرم کوچکتر 6 سانتی متر است و لبه آن 4 سانتی متر است. ابتدا یک پا را می یابیم: a = (10-6)/2 = 2 سانتی متر یک پا برابر است با 2 سانتی متر، و ضخامت آن 4 سانتی متر است. 4 = 12، یعنی h = √12 = حدود 3.5 سانتی متر.