زاویه بین خطوط داده شده را در فضا پیدا کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما

این ماده به مفهومی مانند زاویه بین دو خط متقاطع اختصاص داده شده است. در پاراگراف اول توضیح خواهیم داد که چیست و آن را در تصاویر نشان می دهیم. سپس نگاه می کنیم که چگونه می توانید سینوس، کسینوس این زاویه و خود زاویه را پیدا کنید (مواردی را به طور جداگانه با یک صفحه و فضای سه بعدی در نظر می گیریم)، ​​فرمول های لازم را می دهیم و با مثال نشان می دهیم که دقیقا چگونه هستند. در عمل استفاده می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1

برای اینکه بفهمیم زاویه ای که هنگام تلاقی دو خط تشکیل می شود چیست، باید دقیقاً تعریف زاویه، عمودگرایی و نقطه تقاطع را به خاطر بسپاریم.

تعریف 1

ما دو خط را متقاطع می نامیم اگر یک نقطه مشترک داشته باشند. به این نقطه نقطه تلاقی دو خط می گویند.

هر خط مستقیم توسط یک نقطه تقاطع به پرتوها تقسیم می شود. هر دو خط مستقیم 4 زاویه را تشکیل می دهند که دو تای آنها عمودی و دو تای مجاور هستند. اگر اندازه یکی از آنها را بدانیم، می توانیم بقیه را تعیین کنیم.

فرض کنید می دانیم یکی از زوایا برابر با α است. در این صورت زاویه ای که نسبت به آن عمودی است نیز برابر با α خواهد بود. برای یافتن زوایای باقیمانده، باید اختلاف 180 درجه - α را محاسبه کنیم. اگر α برابر 90 درجه باشد، تمام زوایا قائم الزاویه خواهند بود. خطوطی که در زوایای قائمه متقاطع می شوند، عمود نامیده می شوند (مقاله جداگانه ای به مفهوم عمود بودن اختصاص داده شده است).

به تصویر نگاه کنید:

بیایید به تدوین تعریف اصلی برویم.

تعریف 2

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع تشکیل می شود، اندازه کوچکتر از 4 زاویه تشکیل دهنده این دو خط است.

یک نتیجه مهم باید از تعریف گرفته شود: اندازه زاویه در این مورد با هر عدد واقعی در بازه (0, 90] بیان می شود. اگر خطوط عمود باشند، زاویه بین آنها در هر صورت خواهد بود. برابر 90 درجه

توانایی یافتن اندازه گیری زاویه بین دو خط متقاطع برای حل بسیاری از مسائل کاربردی مفید است. روش حل را می توان از چندین گزینه انتخاب کرد.

برای شروع، می توانیم روش های هندسی را در نظر بگیریم. اگر چیزی در مورد زوایای مکمل بدانیم، می‌توانیم آن‌ها را با استفاده از ویژگی‌های اعداد مساوی یا مشابه به زاویه مورد نیاز خود مرتبط کنیم. به عنوان مثال، اگر اضلاع یک مثلث را بشناسیم و باید زاویه بین خطوطی را که این ضلع ها روی آنها قرار دارند محاسبه کنیم، قضیه کسینوس برای حل ما مناسب است. اگر در شرایط خود یک مثلث قائم الزاویه داشته باشیم، برای محاسبات باید سینوس، کسینوس و مماس زاویه را نیز بدانیم.

روش مختصات نیز برای حل مسائل از این نوع بسیار راحت است. اجازه دهید نحوه استفاده صحیح از آن را توضیح دهیم.

ما یک سیستم مختصات مستطیلی (دکارتی) O x y داریم که در آن دو خط مستقیم آورده شده است. بیایید آنها را با حروف a و b نشان دهیم. خطوط مستقیم را می توان با استفاده از برخی معادلات توصیف کرد. خطوط اصلی دارای نقطه تقاطع M هستند. چگونه می توان زاویه مورد نیاز (بیایید آن را با α مشخص کنیم) بین این خطوط مستقیم؟

بیایید با فرمول بندی اصل اساسی یافتن زاویه در شرایط معین شروع کنیم.

می دانیم که مفهوم خط مستقیم با مفاهیمی مانند بردار جهت و بردار عادی ارتباط نزدیکی دارد. اگر معادله ای از یک خط مشخص داشته باشیم، می توانیم مختصات این بردارها را از آن بگیریم. ما می توانیم این کار را برای دو خط متقاطع همزمان انجام دهیم.

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع متقاطع می شود را می توان با استفاده از:

• زاویه بین بردارهای جهت.
• زاویه بین بردارهای عادی؛
• زاویه بین بردار معمولی یک خط و بردار جهت دیگری.

حالا بیایید هر روش را جداگانه بررسی کنیم.

1. فرض کنید یک خط a با بردار جهت a → = (a x, a y) و یک خط b با بردار جهت b → (b x, b y) داریم. حالا دو بردار a → و b → را از نقطه تقاطع رسم می کنیم. پس از این خواهیم دید که هر کدام در خط مستقیم خود قرار خواهند گرفت. سپس چهار گزینه برای چیدمان نسبی آنها داریم. تصویر را ببینید:

اگر زاویه بین دو بردار منفرد نباشد، این زاویه ای است که ما بین خطوط متقاطع a و b نیاز داریم. اگر منفرد باشد، زاویه مورد نظر برابر با زاویه مجاور زاویه a →، b → ^ خواهد بود. بنابراین، α = a →، b → ^ اگر a →، b → ^ ≤ 90 درجه، و α = 180 ° - a →، b → ^ اگر a →، b → ^ > 90 °.

بر اساس این واقعیت که کسینوس های زوایای مساوی برابر هستند، می توانیم تساوی های حاصل را به صورت زیر بازنویسی کنیم: cos α = cos a →، b → ^، اگر a →، b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^، اگر a →، b → ^ > 90 °.

در مورد دوم از فرمول های کاهش استفاده شد. بدین ترتیب،

cos α cos a →، b → ^، cos a →، b → ^ ≥ 0 - cos a →، b → ^، cos a →، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

بیایید آخرین فرمول را در کلمات بنویسیم:

تعریف 3

کسینوس زاویه ای که توسط دو خط مستقیم متقاطع تشکیل شده است برابر با مدول کسینوس زاویه بین بردارهای جهت آن خواهد بود.

شکل کلی فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) به صورت زیر است:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

از آن می توانیم فرمول کسینوس زاویه بین دو خط مستقیم داده شده را استخراج کنیم:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

سپس خود زاویه را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

در اینجا a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط داده شده هستند.

بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 1

در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، دو خط متقاطع a و b آورده شده است. آنها را می توان با معادلات پارامتری x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3 توصیف کرد. زاویه بین این خطوط را محاسبه کنید.

راه حل

ما در شرایط خود یک معادله پارامتری داریم، به این معنی که برای این خط می توانیم مختصات بردار جهت آن را بلافاصله یادداشت کنیم. برای انجام این کار، باید مقادیر ضرایب را برای پارامتر، یعنی. خط مستقیم x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R یک بردار جهت خواهد داشت a → = (4، 1).

خط دوم با استفاده از معادله متعارف x 5 = y - 6 - 3 توصیف شده است. در اینجا می توانیم مختصات را از مخرج بگیریم. بنابراین، این خط دارای یک بردار جهت b → = (5، - 3) است.

بعد، مستقیماً به سمت یافتن زاویه حرکت می کنیم. برای انجام این کار، کافی است مختصات موجود دو بردار را در فرمول فوق جایگزین کنید α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . موارد زیر را دریافت می کنیم:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 درجه

پاسخ: این خطوط مستقیم زاویه 45 درجه را تشکیل می دهند.

می‌توانیم با پیدا کردن زاویه بین بردارهای معمولی مشکل مشابهی را حل کنیم. اگر یک خط a با بردار نرمال n a → = (n a x , n a y) و یک خط b با بردار نرمال n b → = (n b x , n b y) داشته باشیم، زاویه بین آنها برابر با زاویه بین n a → و n b → یا زاویه ای که در مجاورت n a →، n b → ^ خواهد بود. این روش در تصویر نشان داده شده است:

فرمول های محاسبه کسینوس زاویه بین خطوط متقاطع و خود این زاویه با استفاده از مختصات بردارهای عادی به این صورت است:

cos α = cos n a → n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by + n by 2 2

در اینجا n a → و n b → بردارهای عادی دو خط داده شده را نشان می دهند.

مثال 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی، دو خط مستقیم با استفاده از معادلات 3 x + 5 y - 30 = 0 و x + 4 y - 17 = 0 مشخص می شوند. سینوس و کسینوس زاویه بین آنها و بزرگی خود این زاویه را بیابید.

راه حل

خطوط اصلی با استفاده از معادلات خط معمولی به شکل Ax + B y + C = 0 مشخص می شوند. بردار نرمال را n → = (A, B) نشان می دهیم. مختصات اولین بردار نرمال را برای یک خط پیدا کرده و آنها را بنویسیم: n a → = (3, 5) . برای خط دوم x + 4 y - 17 = 0، بردار عادی دارای مختصات n b → = (1، 4) خواهد بود. حالا بیایید مقادیر به دست آمده را به فرمول اضافه کرده و کل را محاسبه کنیم:

cos α = cos n a → ، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

اگر کسینوس یک زاویه را بدانیم، می‌توانیم سینوس آن را با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه α تشکیل شده توسط خطوط مستقیم منفرد نیست، پس sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

در این مورد، α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

پاسخ: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

بیایید مورد آخر را تجزیه و تحلیل کنیم - اگر مختصات بردار جهت یک خط مستقیم و بردار معمولی دیگر را بدانیم، زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنیم.

فرض کنید خط مستقیم a دارای بردار جهت a → = (a x , a y) است و خط مستقیم b دارای بردار نرمال n b → = (nb x , n b y) است. ما باید این بردارها را از نقطه تقاطع کنار بگذاریم و همه گزینه ها را برای موقعیت های نسبی آنها در نظر بگیریم. در تصویر ببینید:

اگر زاویه بین بردارهای داده شده بیشتر از 90 درجه نباشد، معلوم می شود که زاویه بین a و b را تا یک زاویه قائمه تکمیل می کند.

a → , n b → ^ = 90 ° - α اگر a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

اگر کمتر از 90 درجه باشد، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

a →، n b → ^ > 90 درجه، سپس a →، n b → ^ = 90 ° + α

با استفاده از قانون تساوی کسینوس های زوایای مساوی می نویسیم:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = گناه α برای a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α برای a →، n b → ^ > 90 °.

بدین ترتیب،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

اجازه دهید یک نتیجه گیری را تدوین کنیم.

تعریف 4

برای پیدا کردن سینوس زاویه بین دو خط متقاطع در یک صفحه، باید مدول کسینوس زاویه بین بردار جهت خط اول و بردار معمولی دوم را محاسبه کنید.

بیایید فرمول های لازم را بنویسیم. پیدا کردن سینوس یک زاویه:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

پیدا کردن خود زاویه:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

در اینجا a → بردار جهت خط اول است و n b → بردار عادی خط دوم است.

مثال 3

دو خط متقاطع با معادلات x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0 به دست می آیند. زاویه تقاطع را پیدا کنید.

راه حل

مختصات بردار راهنما و نرمال را از معادلات داده شده می گیریم. معلوم می شود a → = (- 5، 3) و n → b = (1، 4). فرمول α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 را گرفته و محاسبه می کنیم:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لطفاً توجه داشته باشید که ما معادلات مسئله قبلی را گرفتیم و دقیقاً همان نتیجه را به دست آوردیم اما به روشی متفاوت.

پاسخ:α = a r c sin 7 2 34

اجازه دهید راه دیگری برای یافتن زاویه مورد نظر با استفاده از ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم داده شده ارائه کنیم.

ما یک خط a داریم که در یک سیستم مختصات مستطیلی با استفاده از معادله y = k 1 x + b 1 و یک خط b که به صورت y = k 2 x + b 2 تعریف می شود. اینها معادلات خطوط با شیب هستند. برای یافتن زاویه تقاطع از فرمول استفاده می کنیم:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1، که در آن k 1 و k 2 شیب خطوط داده شده هستند. برای به دست آوردن این رکورد از فرمول های تعیین زاویه از طریق مختصات بردارهای نرمال استفاده شد.

مثال 4

دو خط در یک صفحه وجود دارد که با معادلات y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4 به دست می آیند. مقدار زاویه تقاطع را محاسبه کنید.

راه حل

ضرایب زاویه ای خطوط ما برابر با k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4 است. بیایید آنها را به فرمول α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 اضافه کنیم و محاسبه کنیم:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

پاسخ:α = a r c cos 23 2 34

در نتیجه گیری این پاراگراف، لازم به ذکر است که فرمول های یافتن زاویه ارائه شده در اینجا لازم نیست از روی قلب یاد بگیرند. برای این کار کافی است مختصات راهنماها و/یا بردارهای معمولی خطوط داده شده را بدانیم و بتوانیم با استفاده از انواع مختلف معادلات آنها را تعیین کنیم. اما بهتر است فرمول های محاسبه کسینوس یک زاویه را به خاطر بسپارید یا یادداشت کنید.

نحوه محاسبه زاویه بین خطوط متقاطع در فضا

محاسبه چنین زاویه ای را می توان به محاسبه مختصات بردارهای جهت و تعیین بزرگی زاویه تشکیل شده توسط این بردارها تقلیل داد. برای چنین مثال هایی از همان استدلالی که قبلاً آوردیم استفاده می شود.

بیایید فرض کنیم که یک سیستم مختصات مستطیلی داریم که در فضای سه بعدی قرار دارد. شامل دو خط مستقیم a و b با نقطه تقاطع M است. برای محاسبه مختصات بردارهای جهت، باید معادلات این خطوط را بدانیم. اجازه دهید بردارهای جهت a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) را نشان دهیم. برای محاسبه کسینوس زاویه بین آنها از فرمول استفاده می کنیم:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

برای یافتن خود زاویه به این فرمول نیاز داریم:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

ما یک خط داریم که در فضای سه بعدی با استفاده از معادله x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 تعریف شده است. مشخص است که با محور O z تقاطع دارد. زاویه قطع و کسینوس آن زاویه را محاسبه کنید.

راه حل

اجازه دهید زاویه ای را که باید محاسبه شود با حرف α نشان می دهیم. بیایید مختصات بردار جهت را برای اولین خط مستقیم بنویسیم - a → = (1, - 3, - 2) . برای محور کاربردی، می توانیم بردار مختصات k → = (0, 0, 1) را به عنوان راهنما در نظر بگیریم. ما داده های لازم را دریافت کرده ایم و می توانیم آن را به فرمول مورد نظر اضافه کنیم:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

در نتیجه متوجه شدیم که زاویه مورد نیاز برابر با rc cos 1 2 = 45 درجه خواهد بود.

پاسخ: cos α = 1 2 , α = 45 درجه .

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک برای Dummies : لطفا علامت تقاطع ریاضی را به خاطر بسپارید، اغلب ظاهر می شود. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برآورده می شود

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و مورد سوم، هنگامی که خطوط قطع می شوند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشدیعنی هیچ مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: , که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت هم خط هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از رابطه بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، من هیچ فایده ای برای ارائه یک راه حل مستقل نمی بینم، بهتر است یک آجر مهم دیگر در زیربنای هندسی قرار دهیم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

نمونه هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را در نظر بگیریم که از برنامه درسی مدرسه برای شما بسیار آشناست:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل است سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

بفرمایید معنای هندسی یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول- این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت قرار داشته باشد.

بنابراین، جستجوی نقطه تقاطع با استفاده از روش تحلیلی به مصلحت‌تر است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم ایجاد کنید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

حل کامل و پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این یکی بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: به شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار جهت دهنده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را پیدا کنید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. چندین عمل در مسئله وجود دارد، بنابراین فرموله کردن راه حل نقطه به نقطه راحت است.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

روبروی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می‌کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما یک الگوریتم راه‌حل با نتایج متوسط ​​را شرح می‌دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه میانی یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز محاسبه گر کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را محاسبه کنید. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من به شما یک اشاره کوچک می کنم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک گیره است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب و غریب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ شما، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. در اینجا یک تصویر هندسی است:

تعجب آور نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. ، و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

زاویه بین هواپیماها

دو صفحه α 1 و α 2 را در نظر بگیرید که به ترتیب با معادلات تعریف می شوند:

زیر زاویهبین دو صفحه یکی از زوایای دو وجهی تشکیل شده توسط این صفحات را خواهیم فهمید. بدیهی است که زاویه بین بردارهای عادی و سطوح α1 و α2 برابر با یکی از زوایای دو وجهی مجاور مشخص شده است یا . از همین رو . زیرا و ، آن

.

مثال.زاویه بین صفحات را تعیین کنید ایکس+2y-3z+4=0 و 2 ایکس+3y+z+8=0.

شرط موازی بودن دو صفحه.

دو صفحه α 1 و α 2 موازی هستند اگر و فقط اگر بردارهای عادی آنها موازی باشند و بنابراین .

بنابراین، دو صفحه موازی با یکدیگر هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب مختصات مربوطه متناسب باشند:

یا

شرایط عمود بودن صفحات.

واضح است که دو صفحه عمود بر هم هستند اگر و فقط اگر بردارهای عادی آنها عمود بر هم باشند، و بنابراین، یا .

بدین ترتیب، .

مثال ها.

مستقیم در فضا.

معادله برداری برای یک خط.

معادلات مستقیم پارامتریک

موقعیت یک خط در فضا به طور کامل با تعیین هر یک از نقاط ثابت آن مشخص می شود م 1 و یک بردار موازی با این خط.

بردار موازی با یک خط نامیده می شود راهنماهابردار این خط

بنابراین اجازه دهید خط مستقیم لاز نقطه ای عبور می کند م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) روی خطی موازی با بردار دراز کشیده است.

یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید M(x،y،z)روی یک خط مستقیم از شکل مشخص است که .

بردارها و خطی هستند، بنابراین چنین عددی وجود دارد تی, چیست , ضریب کجاست تیبسته به موقعیت نقطه می تواند هر مقدار عددی را بگیرد مروی یک خط مستقیم عامل تیپارامتر نامیده می شود. با تعیین بردار شعاع نقاط م 1 و مبه ترتیب، از طریق و، به دست می آوریم. این معادله نامیده می شود بردارمعادله یک خط مستقیم نشان می دهد که برای هر مقدار پارامتر تیبا بردار شعاع یک نقطه مطابقت دارد م، روی یک خط مستقیم دراز کشیده است.

بیایید این معادله را به صورت مختصات بنویسیم. توجه کنید که ، و از اینجا

معادلات به دست آمده نامیده می شوند پارامتریکمعادلات یک خط مستقیم

هنگام تغییر یک پارامتر تیمختصات تغییر می کند ایکس, yو zو دوره مدر یک خط مستقیم حرکت می کند

معادلات متعارف مستقیم

اجازه دهید م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) - نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار دارد ل، و بردار جهت آن است. اجازه دهید دوباره یک نقطه دلخواه در خط را در نظر بگیریم M(x،y،z)و بردار را در نظر بگیرید.

واضح است که بردارها هم خطی هستند، بنابراین مختصات متناظر آنها باید متناسب باشد، بنابراین،

– ابتداییمعادلات یک خط مستقیم

یادداشت 1.توجه داشته باشید که با حذف پارامتر می توان معادلات متعارف خط را از معادلات پارامتریک بدست آورد. تی. در واقع از معادلات پارامتری بدست می آوریم یا .

مثال.معادله خط را بنویسید به صورت پارامتریک

بیایید نشان دهیم ، از اینجا ایکس = 2 + 3تی, y = –1 + 2تی, z = 1 –تی.

تبصره 2.بگذارید خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات مثلاً محور باشد گاو نر. سپس بردار جهت خط عمود است گاو نراز این رو، متر=0. در نتیجه، معادلات پارامتریک خط شکل خواهد گرفت

حذف پارامتر از معادلات تی، معادلات خط را در فرم به دست می آوریم

با این حال، در این مورد نیز موافقیم که معادلات متعارف خط را به صورت رسمی بنویسیم . بنابراین، اگر مخرج یکی از کسرها صفر باشد، به این معنی است که خط مستقیم بر محور مختصات مربوطه عمود است.

مشابه معادلات متعارف مربوط به یک خط مستقیم عمود بر محورها است گاو نرو اوهیا موازی با محور اوز.

مثال ها.

معادلات کلی یک خط مستقیم به عنوان خطوط تقاطع دو صفحه

از طریق هر خط مستقیم در فضا هواپیماهای بی شماری وجود دارد. هر دو تا از آنها، که متقاطع شوند، آن را در فضا تعریف می کنند. در نتیجه، معادلات هر دو چنین صفحه ای که با هم در نظر گرفته شوند، معادلات این خط را نشان می دهند.

به طور کلی، هر دو صفحه غیر موازی که توسط معادلات کلی داده می شود

خط مستقیم تقاطع آنها را تعیین کنید. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلیسر راست.

مثال ها.

خطی بسازید که با معادلات داده می شود

برای ساختن یک خط مستقیم کافی است هر دو نقطه از آن را پیدا کنید. ساده ترین راه انتخاب نقاط تقاطع یک خط مستقیم با صفحات مختصات است. به عنوان مثال، نقطه تقاطع با هواپیما xOyما از معادلات خط مستقیم با فرض به دست می آوریم z= 0:

پس از حل این سیستم، نکته را پیدا می کنیم م 1 (1;2;0).

به همین ترتیب، با فرض y= 0، نقطه تقاطع خط با صفحه را می گیریم xOz:

از معادلات کلی یک خط مستقیم می توان به معادلات متعارف یا پارامتریک آن رفت. برای این کار باید نقطه ای را پیدا کنید م 1 روی یک خط مستقیم و بردار جهت یک خط مستقیم.

مختصات نقطه م 1 را از این سیستم معادلات بدست می آوریم و به یکی از مختصات مقدار دلخواه می دهیم. برای یافتن بردار جهت، توجه داشته باشید که این بردار باید بر هر دو بردار معمولی عمود باشد و . بنابراین، فراتر از بردار جهت خط مستقیم لمی توانید حاصل ضرب برداری بردارهای عادی را بگیرید:

.

مثال.معادلات کلی خط را بیاورید به شکل متعارف

بیایید نقطه ای را پیدا کنیم که روی یک خط قرار دارد. برای انجام این کار، ما به طور دلخواه یکی از مختصات را انتخاب می کنیم، به عنوان مثال، y= 0 و سیستم معادلات را حل کنید:

بردارهای عادی صفحاتی که خط را مشخص می کنند دارای مختصاتی هستند بنابراین، بردار جهت مستقیم خواهد بود

. از این رو، ل: .

زاویه بین استرایت ها

زاویهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط در فاصله داده شود:

بدیهی است که زاویه φ بین خطوط مستقیم را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و . از آنجا که، پس با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها به دست می آوریم

فرض کنید دو خط مستقیم l و m در یک صفحه در یک سیستم مختصات دکارتی با معادلات کلی داده شوند: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

بردارهای عادی به این خطوط: = (A 1 , B 1) - به خط l،

= (A 2 , B 2) - به خط m.

فرض کنید j زاویه بین خطوط l و m باشد.

از آنجایی که زوایای با اضلاع عمود بر یکدیگر یا مساوی هستند یا به p جمع می شوند، پس ، یعنی cos j = .

بنابراین، قضیه زیر را ثابت کردیم.

قضیه.فرض کنید j زاویه بین دو خط روی صفحه باشد، و اجازه دهید این خطوط در سیستم مختصات دکارتی با معادلات کلی A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 مشخص شوند. = 0. سپس cos j = .

تمرینات

1) فرمولی برای محاسبه زاویه بین خطوط مستقیم بدست آورید اگر:

(1) هر دو خط به صورت پارامتری مشخص می شوند. (2) هر دو خط توسط معادلات متعارف داده شده است. (3) یک خط به صورت پارامتری مشخص می شود، خط دیگر توسط یک معادله کلی مشخص می شود. (4) هر دو خط با یک معادله با شیب داده می شوند.

2) فرض کنید j زاویه بین دو خط مستقیم در یک صفحه باشد و اجازه دهید این خطوط مستقیم در یک سیستم مختصات دکارتی با معادلات y = k 1 x + b 1 و y =k 2 x + b 2 تعریف شوند.

سپس tan j = .

3) موقعیت نسبی دو خط مستقیم را که توسط معادلات کلی در سیستم مختصات دکارتی به دست می‌آید را بررسی کنید و جدول را پر کنید:

فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم در یک صفحه.

بگذارید خط مستقیم l روی صفحه ای در سیستم مختصات دکارتی با معادله کلی Ax + By + C = 0 به دست آید. اجازه دهید فاصله نقطه M(x 0 , y 0) تا خط مستقیم l را پیدا کنیم.

فاصله نقطه M تا خط مستقیم l طول HM عمود بر (H О l, HM ^ l) است.

بردار و بردار معمولی خط l خطی هستند، بنابراین | | = | | | | و | | = .

مختصات نقطه H (x,y) باشد.

از آنجایی که نقطه H متعلق به خط l است، پس Ax + By + C = 0 (*).

مختصات بردارها و: = (x 0 - x, y 0 - y)، = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - توسط، (*) را ببینید)

قضیه.بگذارید خط مستقیم l در سیستم مختصات دکارتی با معادله کلی Ax + By + C = 0 مشخص شود. سپس فاصله نقطه M(x 0 , y 0) تا این خط مستقیم با فرمول: r ( M; l) = .

تمرینات

1) یک فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط استخراج کنید اگر: (1) خط به صورت پارامتری داده شود. (2) خط به معادلات متعارف داده می شود. (3) خط مستقیم با معادله ای با ضریب زاویه ای به دست می آید.

2) معادله یک دایره مماس بر خط 3x – y = 0، با مرکز در نقطه Q(-2،4) بنویسید.

3) معادلات خطوط تقسیم زوایای تشکیل شده از تقاطع خطوط 2x + y - 1 = 0 و x + y + 1 = 0 را به نصف بنویسید.

§ 27. تعریف تحلیلی صفحه در فضا

تعریف. بردار عادی به هواپیمابردار غیر صفر را که هر نماینده آن عمود بر یک صفحه معین باشد، می نامیم.

اظهار نظر.واضح است که اگر حداقل یک نماینده از بردار عمود بر صفحه باشد، تمام نمایندگان دیگر بردار عمود بر این صفحه هستند.

اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی در فضا داده شود.

اجازه دهید یک صفحه داده شود، = (A، B، C) - بردار نرمال این صفحه، نقطه M (x 0 , y 0 , z 0) متعلق به صفحه a است.

برای هر نقطه N(x، y، z) صفحه a، بردارها و متعامد هستند، یعنی حاصلضرب اسکالر آنها برابر با صفر است: = 0. اجازه دهید آخرین تساوی را در مختصات بنویسیم: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

اجازه دهید -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D، سپس Ax + By + Cz + D = 0.

اجازه دهید یک نقطه K (x, y) را طوری در نظر بگیریم که Ax + By + Cz + D = 0. از آنجایی که D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0، پس A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.از آنجایی که مختصات بخش جهت داده شده = (x - x 0، y - y 0، z - z 0)، آخرین تساوی به این معنی است که ^، و بنابراین، K О a.

بنابراین، قضیه زیر را ثابت کردیم:

قضیه.هر صفحه ای در فضا در سیستم مختصات دکارتی را می توان با معادله ای به شکل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) مشخص کرد، که در آن (A, B, C) عبارتند از مختصات بردار نرمال به این صفحه.

مخالفش هم درست است.

قضیه.هر معادله ای به شکل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) در دستگاه مختصات دکارتی صفحه معینی را مشخص می کند و (A, B, C) مختصات عادی هستند. بردار به این هواپیما

اثبات

یک نقطه M (x 0 , y 0 , z 0) به گونه ای بگیرید که Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 و بردار = (A, B, C) ( ≠ q).

یک صفحه (و تنها یک) از نقطه M عمود بر بردار عبور می کند. طبق قضیه قبلی، این صفحه با معادله Ax + By + Cz + D = 0 به دست می آید.

تعریف.معادله ای به شکل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) نامیده می شود. معادله صفحه عمومی.

مثال.

معادله صفحه ای را که از نقاط M (0،2،4)، N (1،-1،0) و K (-1،0،5) عبور می کند، بنویسیم.

1. مختصات بردار نرمال به صفحه (MNK) را بیابید. از آنجایی که حاصلضرب برداری ´ متعامد بر بردارهای غیر خطی است و پس بردار هم خطی ´ است.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11، 3، -5).

بنابراین، به عنوان بردار عادی، بردار = (-11، 3، -5) را می گیریم.

2. اکنون از نتایج قضیه اول استفاده می کنیم:

معادله این صفحه A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0، که در آن (A, B, C) مختصات بردار نرمال هستند (x 0 , y 0 , z 0) - مختصات یک نقطه واقع در صفحه (به عنوان مثال، نقطه M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

پاسخ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

تمرینات

1) معادله هواپیما اگر را بنویسید

(1) صفحه از نقطه M (-2،3،0) موازی با صفحه 3x + y + z = 0 عبور می کند.

(2) صفحه شامل محور (Ox) و عمود بر صفحه x + 2y – 5z + 7 = 0 است.

2) معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند را بنویسید.

§ 28. تعریف تحلیلی نیم فاصله*

اظهار نظر*. بگذارید چند هواپیما درست شود. زیر نیم فضامجموعه نقاطی را که در یک طرف یک صفحه معین قرار دارند، درک خواهیم کرد، یعنی اگر قطعه ای که آنها را به هم متصل می کند صفحه داده شده را قطع نکند، دو نقطه در یک نیمه فاصله قرار دارند. این هواپیما نام دارد مرز این نیم فضا. اتحاد این هواپیما و نیم فضا نامیده می شود نیم فاصله بسته.

بگذارید یک سیستم مختصات دکارتی در فضا ثابت باشد.

قضیه.اجازه دهید صفحه a با معادله کلی Ax + By + Cz + D = 0 به دست آید. سپس یکی از دو نیمه فضایی که صفحه a فضا را به آن تقسیم می کند با نامعادله Ax + By + Cz + D > 0 به دست می آید. ، و نیمه فاصله دوم با نامساوی Ax + By + Cz + D داده می شود< 0.

اثبات

اجازه دهید بردار نرمال = (A, B, C) را به صفحه a از نقطه M (x 0 , y 0 , z 0) که روی این صفحه قرار دارد رسم کنیم: = , M О a, MN ^ a. هواپیما فضا را به دو نیم فاصله تقسیم می کند: b 1 و b 2. واضح است که نقطه N متعلق به یکی از این نیم فاصله ها است. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که N О b 1 .

اجازه دهید ثابت کنیم که نیم فاصله b 1 با نابرابری Ax + By + Cz + D > 0 تعریف می شود.

1) یک نقطه K(x,y,z) در نیم فاصله b 1 بگیرید. زاویه Ð NMK زاویه بین بردارها و - حاد است، بنابراین حاصل ضرب اسکالر این بردارها مثبت است: > 0. اجازه دهید این نابرابری را در مختصات بنویسیم: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0، یعنی Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

از آنجایی که M О b 1، سپس Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0، بنابراین -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. بنابراین، آخرین نابرابری را می توان به صورت زیر نوشت: Ax + By + Cz + D > 0.

2) نقطه L(x,y) را طوری بگیرید که Ax + By + Cz + D > 0.

بیایید نابرابری را بازنویسی کنیم و D را با (-Ax 0 - By 0 - C z 0) جایگزین کنیم (از M О b 1، سپس Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

بردار با مختصات (x - x 0، y - y 0، z - z 0) یک بردار است، بنابراین عبارت A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) را می توان به عنوان یک محصول اسکالر از بردارها و . از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر بردارها و مثبت است، زاویه بین آنها تند و نقطه L О b 1 است.

به طور مشابه، می توانیم ثابت کنیم که نیم فاصله b 2 با نابرابری Ax + By + Cz + D داده می شود.< 0.

یادداشت.

1) واضح است که اثبات ارائه شده در بالا به انتخاب نقطه M در صفحه a بستگی ندارد.

2) واضح است که نیم فاصله یکسان را می توان با نابرابری های مختلف تعریف کرد.

مخالفش هم درست است.

قضیه.هر نابرابری خطی به شکل Ax + By + Cz + D > 0 (یا Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

اثبات

معادله Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) در فضا صفحه مشخصی a را تعریف می کند (نگاه کنید به § ...). همانطور که در قضیه قبل ثابت شد، یکی از دو نیمه فضایی که صفحه فضا را به آن تقسیم می کند با نامعادله Ax Ax + By + Cz + D > 0 به دست می آید.

یادداشت.

1) واضح است که یک نیمه فضای بسته را می توان با یک نابرابری خطی غیر دقیق تعریف کرد و هر نابرابری خطی غیر دقیق در سیستم مختصات دکارتی یک نیمه فضای بسته را تعریف می کند.

2) هر چند وجهی محدب را می توان به عنوان تقاطع نیمه فضاهای بسته (مرزهای آن صفحاتی حاوی وجوه چند وجهی) تعریف کرد، یعنی از نظر تحلیلی - توسط سیستمی از نابرابری های خطی غیر دقیق.

تمرینات

1) دو قضیه ارائه شده برای یک سیستم مختصات وابسته دلخواه را ثابت کنید.

2) آیا برعکس این است که هر سیستمی از نابرابری های خطی غیر دقیق یک چندضلعی محدب را تعریف می کند؟

1) موقعیت های نسبی دو صفحه که با معادلات کلی در سیستم مختصات دکارتی تعریف شده اند را بررسی کنید و جدول را پر کنید.

با استفاده از این ماشین حساب آنلاین می توانید زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید. راه حل مفصل همراه با توضیحات ارائه شده است. برای محاسبه زاویه بین خطوط مستقیم، بعد را تنظیم کنید (اگر خط مستقیم در صفحه در نظر گرفته شود 2، اگر خط مستقیم در فضا در نظر گرفته شود 3)، عناصر معادله را در خانه ها وارد کرده و روی "حل" کلیک کنید. دکمه. بخش تئوری را در زیر ببینید.

×

هشدار

همه سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعشاری هستند. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

1. زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه

خطوط با معادلات متعارف تعریف می شوند

1.1. تعیین زاویه بین خطوط مستقیم

خطوط را در فضای دو بعدی بگذارید L 1 و L

بنابراین، از فرمول (1.4) می توانیم زاویه بین خطوط را پیدا کنیم L 1 و L 2. همانطور که از شکل 1 مشاهده می شود، خطوط متقاطع زوایای مجاور را تشکیل می دهند φ و φ 1 . اگر زاویه یافت شده بیشتر از 90 درجه باشد، می توانید حداقل زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید L 1 و L 2: φ 1 =180-φ .

از فرمول (1.4) می توان شرایط موازی بودن و عمود بودن دو خط مستقیم را استخراج کرد.

مثال 1. زاویه بین خطوط را تعیین کنید

بیایید ساده کنیم و حل کنیم:

1.2. شرایط برای خطوط موازی

اجازه دهید φ =0. سپس cosφ=1. در این حالت عبارت (1.4) به شکل زیر خواهد بود:

مثال 2: موازی بودن خطوط را مشخص کنید

برابری (1.9) برآورده می شود، بنابراین خطوط (1.10) و (1.11) موازی هستند.

پاسخ. خطوط (1.10) و (1.11) موازی هستند.

1.3. شرط عمود بودن خطوط

اجازه دهید φ =90 درجه سپس cosφ=0. در این حالت عبارت (1.4) به شکل زیر خواهد بود:

مثال 3. عمود بودن خطوط را مشخص کنید

شرط (1.13) برقرار است، بنابراین خطوط (1.14) و (1.15) عمود هستند.

پاسخ. خطوط (1.14) و (1.15) عمود هستند.

خطوط با معادلات کلی تعریف می شوند

1.4. تعیین زاویه بین خطوط مستقیم

بگذارید دو خط مستقیم L 1 و L 2 با معادلات کلی به دست می آید

از تعریف حاصل ضرب اسکالر دو بردار داریم:

مثال 4. زاویه بین خطوط را پیدا کنید

جایگزینی مقادیر آ 1 , ب 1 , آ 2 , ب 2 در (1.23)، دریافت می کنیم:

این زاویه بیشتر از 90 درجه است. بیایید حداقل زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنیم. برای انجام این کار، این زاویه را از 180 کم کنید:

از سوی دیگر، شرط خطوط موازی L 1 و L 2 معادل شرط همخطی بودن بردارها است n 1 و n 2 و می توان به صورت زیر نمایش داد:

برابری (1.24) برآورده می شود، بنابراین خطوط (1.26) و (1.27) موازی هستند.

پاسخ. خطوط (1.26) و (1.27) موازی هستند.

1.6. شرط عمود بودن خطوط

شرط عمود بودن خطوط L 1 و L 2 را می توان از فرمول (1.20) با جایگزینی استخراج کرد cos(φ )=0. سپس محصول اسکالر ( n 1 ,n 2) = 0. جایی که

برابری (1.28) برآورده می شود، بنابراین خطوط (1.29) و (1.30) عمود هستند.

پاسخ. خطوط (1.29) و (1.30) عمود هستند.

2. زاویه بین خطوط مستقیم در فضا

2.1. تعیین زاویه بین خطوط مستقیم

بگذارید خطوط مستقیم در فضا وجود داشته باشد L 1 و L 2 توسط معادلات متعارف به دست می آید

کجا | q 1 | و | q 2 | ماژول های بردار جهت q 1 و q 2 به ترتیب، φ -زاویه بین بردارها q 1 و q 2 .

از عبارت (2.3) بدست می آوریم:

.

بیایید ساده کنیم و حل کنیم:

.

بیایید زاویه را پیدا کنیم φ