پیدا کردن زاویه بین خطوط مستقیم زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه

دستورالعمل ها

توجه داشته باشید

دوره مماس تابع مثلثاتی برابر با 180 درجه است، به این معنی که زوایای شیب خطوط مستقیم نمی توانند در مقدار مطلق از این مقدار تجاوز کنند.

مشاوره مفید

اگر ضرایب زاویه ای با یکدیگر برابر باشند، زاویه بین چنین خطوطی 0 است، زیرا چنین خطوطی یا منطبق هستند یا موازی هستند.

برای تعیین مقدار زاویه بین خطوط متقاطع، لازم است هر دو خط (یا یکی از آنها) را با استفاده از روش ترجمه موازی به موقعیت جدیدی منتقل کنید تا زمانی که قطع شوند. پس از این، باید زاویه بین خطوط متقاطع حاصل را پیدا کنید.

شما نیاز خواهید داشت

• خط کش، مثلث قائم الزاویه، مداد، نقاله.

دستورالعمل ها

بنابراین، اجازه دهید بردار V = (a، b، c) و صفحه A x + B y + C z = 0 داده شود، که در آن A، B و C مختصات N نرمال هستند. سپس کسینوس زاویه α بین بردارهای V و N برابر است با: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

برای محاسبه زاویه بر حسب درجه یا رادیان، باید تابع معکوس به کسینوس را از عبارت حاصل محاسبه کنید، یعنی. آرکوزین:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

مثال: پیدا کردن گوشهبین بردار(5، -3، 8) و سطح، با معادله کلی 2 x – 5 y + 3 z = 0 به دست می آید. راه حل: مختصات بردار نرمال صفحه N = (2، -5، 3) را بنویسید. همه مقادیر شناخته شده را در فرمول داده شده جایگزین کنید: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 درجه.

ویدیو در مورد موضوع

خط مستقیمی که یک نقطه مشترک با یک دایره دارد بر دایره مماس است. یکی دیگر از ویژگی های مماس این است که همیشه بر شعاع رسم شده به نقطه تماس عمود است، یعنی مماس و شعاع یک خط مستقیم تشکیل می دهند. گوشه. اگر دو مماس بر یک دایره AB و AC از یک نقطه A رسم شوند، آنگاه آنها همیشه با یکدیگر مساوی هستند. تعیین زاویه بین مماس ها ( گوشه ABC) با استفاده از قضیه فیثاغورث ساخته شده است.

دستورالعمل ها

برای تعیین زاویه، باید شعاع دایره OB و OS و فاصله نقطه شروع مماس از مرکز دایره - O را بدانید. بنابراین، زاویه های ABO و ASO برابر هستند، شعاع OB برابر است. به عنوان مثال، 10 سانتی متر، و فاصله تا مرکز دایره AO 15 سانتی متر است، طول مماس را مطابق با قضیه فیثاغورث تعیین کنید: AB = ریشه دوم AO2 - OB2 یا 152 - 102 = 225 -. 100 = 125;

این ماده به مفهومی مانند زاویه بین دو خط متقاطع اختصاص داده شده است. در پاراگراف اول توضیح خواهیم داد که چیست و آن را در تصاویر نشان می دهیم. سپس به روش هایی که می توانید سینوس، کسینوس این زاویه و خود زاویه را بیابید نگاه می کنیم (مواردی با صفحه و فضای سه بعدی را جداگانه در نظر می گیریم)، ​​فرمول های لازم را می دهیم و با مثال دقیقاً نشان می دهیم. نحوه استفاده از آنها در عمل

Yandex.RTB R-A-339285-1

برای اینکه بفهمیم زاویه ای که هنگام تلاقی دو خط تشکیل می شود چیست، باید دقیقاً تعریف زاویه، عمودگرایی و نقطه تقاطع را به خاطر بسپاریم.

تعریف 1

ما دو خط را متقاطع می نامیم اگر یک نقطه مشترک داشته باشند. به این نقطه نقطه تلاقی دو خط می گویند.

هر خط مستقیم توسط یک نقطه تقاطع به پرتوها تقسیم می شود. هر دو خط مستقیم 4 زاویه را تشکیل می دهند که دو تای آنها عمودی و دو تای مجاور هستند. اگر اندازه یکی از آنها را بدانیم، می توانیم بقیه را تعیین کنیم.

فرض کنید می دانیم یکی از زوایا برابر با α است. در این صورت زاویه ای که نسبت به آن عمودی است نیز برابر با α خواهد بود. برای یافتن زوایای باقیمانده، باید اختلاف 180 درجه - α را محاسبه کنیم. اگر α برابر 90 درجه باشد، تمام زوایا قائم الزاویه خواهند بود. خطوطی که در زوایای قائمه متقاطع می شوند، عمود نامیده می شوند (مقاله جداگانه ای به مفهوم عمود بودن اختصاص داده شده است).

به تصویر نگاه کنید:

بیایید به تدوین تعریف اصلی برویم.

تعریف 2

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع تشکیل می شود، اندازه کوچکتر از 4 زاویه تشکیل دهنده این دو خط است.

یک نتیجه مهم باید از تعریف گرفته شود: اندازه زاویه در این مورد با هر عدد واقعی در بازه (0, 90] بیان می شود. اگر خطوط عمود باشند، زاویه بین آنها در هر صورت خواهد بود. برابر 90 درجه

توانایی یافتن اندازه گیری زاویه بین دو خط متقاطع برای حل بسیاری از مسائل کاربردی مفید است. روش حل را می توان از چندین گزینه انتخاب کرد.

برای شروع، می توانیم از روش های هندسی استفاده کنیم. اگر چیزی در مورد زوایای تکمیلی بدانیم، می‌توانیم با استفاده از ویژگی‌های اعداد مساوی یا مشابه، آن‌ها را به زاویه‌ای که نیاز داریم مرتبط کنیم. به عنوان مثال، اگر اضلاع یک مثلث را بشناسیم و نیاز به محاسبه زاویه بین خطوطی که این ضلع ها روی آنها قرار دارند، داشته باشیم، قضیه کسینوس برای حل ما مناسب است. اگر در شرایط خود یک مثلث قائم الزاویه داشته باشیم، برای محاسبات باید سینوس، کسینوس و مماس زاویه را نیز بدانیم.

روش مختصات نیز برای حل مسائل از این نوع بسیار راحت است. اجازه دهید نحوه استفاده صحیح از آن را توضیح دهیم.

ما یک سیستم مختصات مستطیلی (دکارتی) O x y داریم که در آن دو خط مستقیم آورده شده است. بیایید آنها را با حروف a و b نشان دهیم. خطوط مستقیم را می توان با استفاده از برخی معادلات توصیف کرد. خطوط اصلی دارای نقطه تقاطع M هستند. چگونه می توان زاویه مورد نیاز (بیایید آن را با α مشخص کنیم) بین این خطوط مستقیم؟

بیایید با فرمول بندی اصل اساسی یافتن زاویه در شرایط معین شروع کنیم.

می دانیم که مفهوم خط مستقیم با مفاهیمی مانند بردار جهت و بردار عادی ارتباط نزدیکی دارد. اگر معادله ای از یک خط مشخص داشته باشیم، می توانیم مختصات این بردارها را از آن بگیریم. ما می توانیم این کار را برای دو خط متقاطع همزمان انجام دهیم.

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع متقاطع می شود را می توان با استفاده از:

• زاویه بین بردارهای جهت.
• زاویه بین بردارهای عادی؛
• زاویه بین بردار معمولی یک خط و بردار جهت دیگری.

حالا بیایید هر روش را جداگانه بررسی کنیم.

1. فرض کنید یک خط a با بردار جهت a → = (a x, a y) و یک خط b با بردار جهت b → (b x, b y) داریم. حالا دو بردار a → و b → را از نقطه تقاطع رسم می کنیم. پس از این خواهیم دید که هر کدام در خط مستقیم خود قرار خواهند گرفت. سپس چهار گزینه برای چیدمان نسبی آنها داریم. تصویر را ببینید:

اگر زاویه بین دو بردار منفرد نباشد، این زاویه ای خواهد بود که بین خطوط متقاطع a و b به آن نیاز داریم. اگر منفرد باشد، زاویه مورد نظر برابر با زاویه مجاور زاویه a →، b → ^ خواهد بود. بنابراین، α = a →، b → ^ اگر a →، b → ^ ≤ 90 درجه، و α = 180 ° - a →، b → ^ اگر a →، b → ^ > 90 °.

بر اساس این واقعیت که کسینوس های زوایای مساوی برابر هستند، می توانیم تساوی های حاصل را به صورت زیر بازنویسی کنیم: cos α = cos a →، b → ^، اگر a →، b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^، اگر a →، b → ^ > 90 °.

در مورد دوم از فرمول های کاهش استفاده شد. بدین ترتیب،

cos α cos a →، b → ^، cos a →، b → ^ ≥ 0 - cos a →، b → ^، cos a →، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

بیایید آخرین فرمول را در کلمات بنویسیم:

تعریف 3

کسینوس زاویه ای که توسط دو خط مستقیم متقاطع تشکیل شده است برابر با مدول کسینوس زاویه بین بردارهای جهت آن خواهد بود.

شکل کلی فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) به صورت زیر است:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

از آن می توانیم فرمول کسینوس زاویه بین دو خط مستقیم داده شده را استخراج کنیم:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

سپس خود زاویه را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

در اینجا a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط داده شده هستند.

بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 1

در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، دو خط متقاطع a و b آورده شده است. آنها را می توان با معادلات پارامتری x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3 توصیف کرد. زاویه بین این خطوط را محاسبه کنید.

راه حل

ما در شرایط خود یک معادله پارامتری داریم، به این معنی که برای این خط می توانیم مختصات بردار جهت آن را بلافاصله یادداشت کنیم. برای انجام این کار، باید مقادیر ضرایب را برای پارامتر، یعنی. خط مستقیم x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R یک بردار جهت خواهد داشت a → = (4، 1).

خط دوم با استفاده از معادله متعارف x 5 = y - 6 - 3 توصیف شده است. در اینجا می توانیم مختصات را از مخرج بگیریم. بنابراین، این خط دارای یک بردار جهت b → = (5، - 3) است.

بعد، مستقیماً به سمت یافتن زاویه حرکت می کنیم. برای انجام این کار، کافی است مختصات موجود دو بردار را در فرمول فوق جایگزین کنید α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . موارد زیر را دریافت می کنیم:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 درجه

پاسخ: این خطوط مستقیم زاویه 45 درجه را تشکیل می دهند.

می‌توانیم با پیدا کردن زاویه بین بردارهای معمولی مشکل مشابهی را حل کنیم. اگر یک خط a با بردار نرمال n a → = (n a x , n a y) و یک خط b با بردار نرمال n b → = (n b x , n b y) داشته باشیم، زاویه بین آنها برابر با زاویه بین n a → و n b → یا زاویه ای که در مجاورت n a →، n b → ^ خواهد بود. این روش در تصویر نشان داده شده است:

فرمول های محاسبه کسینوس زاویه بین خطوط متقاطع و خود این زاویه با استفاده از مختصات بردارهای عادی به این صورت است:

cos α = cos n a → n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by + n by 2 2

در اینجا n a → و n b → بردارهای عادی دو خط داده شده را نشان می دهند.

مثال 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی، دو خط مستقیم با استفاده از معادلات 3 x + 5 y - 30 = 0 و x + 4 y - 17 = 0 مشخص می شوند. سینوس و کسینوس زاویه بین آنها و بزرگی خود این زاویه را بیابید.

راه حل

خطوط اصلی با استفاده از معادلات خط معمولی به شکل Ax + B y + C = 0 مشخص می شوند. بردار نرمال را n → = (A, B) نشان می دهیم. مختصات اولین بردار نرمال را برای یک خط پیدا کرده و آنها را بنویسیم: n a → = (3, 5) . برای خط دوم x + 4 y - 17 = 0، بردار عادی دارای مختصات n b → = (1، 4) خواهد بود. حالا بیایید مقادیر به دست آمده را به فرمول اضافه کرده و کل را محاسبه کنیم:

cos α = cos n a → ، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

اگر کسینوس یک زاویه را بدانیم، می‌توانیم سینوس آن را با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه α تشکیل شده توسط خطوط مستقیم منفرد نیست، پس sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

در این مورد، α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

پاسخ: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

بیایید مورد آخر را تجزیه و تحلیل کنیم - اگر مختصات بردار جهت یک خط مستقیم و بردار معمولی دیگر را بدانیم، زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنیم.

فرض کنید خط مستقیم a دارای بردار جهت a → = (a x , a y) است و خط مستقیم b دارای بردار نرمال n b → = (nb x , n b y) است. ما باید این بردارها را از نقطه تقاطع کنار بگذاریم و همه گزینه ها را برای موقعیت های نسبی آنها در نظر بگیریم. در تصویر ببینید:

اگر زاویه بین بردارهای داده شده بیشتر از 90 درجه نباشد، معلوم می شود که زاویه بین a و b را تا یک زاویه قائم تکمیل می کند.

a → , n b → ^ = 90 ° - α اگر a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

اگر کمتر از 90 درجه باشد، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

a →، n b → ^ > 90 درجه، سپس a →، n b → ^ = 90 ° + α

با استفاده از قانون تساوی کسینوس های زوایای مساوی می نویسیم:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = گناه α برای a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α برای a →، n b → ^ > 90 °.

بدین ترتیب،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

اجازه دهید یک نتیجه گیری را تدوین کنیم.

تعریف 4

برای پیدا کردن سینوس زاویه بین دو خط متقاطع در یک صفحه، باید مدول کسینوس زاویه بین بردار جهت خط اول و بردار معمولی دوم را محاسبه کنید.

بیایید فرمول های لازم را بنویسیم. پیدا کردن سینوس یک زاویه:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

پیدا کردن خود زاویه:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

در اینجا a → بردار جهت خط اول است و n b → بردار عادی خط دوم است.

مثال 3

دو خط متقاطع با معادلات x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0 به دست می آیند. زاویه تقاطع را پیدا کنید.

راه حل

مختصات بردار راهنما و نرمال را از معادلات داده شده می گیریم. معلوم می شود a → = (- 5، 3) و n → b = (1، 4). فرمول α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 را گرفته و محاسبه می کنیم:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لطفاً توجه داشته باشید که ما معادلات مسئله قبلی را گرفتیم و دقیقاً همان نتیجه را به دست آوردیم اما به روشی متفاوت.

پاسخ:α = a r c sin 7 2 34

اجازه دهید راه دیگری برای یافتن زاویه مورد نظر با استفاده از ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم داده شده ارائه کنیم.

ما یک خط a داریم که در یک سیستم مختصات مستطیلی با استفاده از معادله y = k 1 x + b 1 و یک خط b که به صورت y = k 2 x + b 2 تعریف می شود. اینها معادلات خطوط مستقیم با شیب هستند. برای یافتن زاویه تقاطع از فرمول استفاده می کنیم:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1، که در آن k 1 و k 2 شیب خطوط داده شده هستند. برای به دست آوردن این رکورد از فرمول های تعیین زاویه از طریق مختصات بردارهای نرمال استفاده شد.

مثال 4

دو خط در یک صفحه وجود دارد که با معادلات y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4 به دست می آیند. مقدار زاویه تقاطع را محاسبه کنید.

راه حل

ضرایب زاویه ای خطوط ما برابر با k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4 است. بیایید آنها را به فرمول α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 اضافه کنیم و محاسبه کنیم:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

پاسخ:α = a r c cos 23 2 34

در نتیجه گیری این پاراگراف، لازم به ذکر است که فرمول های یافتن زاویه ارائه شده در اینجا لازم نیست از روی قلب یاد بگیرند. برای این کار کافی است مختصات راهنماها و/یا بردارهای معمولی خطوط داده شده را بدانیم و بتوانیم با استفاده از انواع مختلف معادلات آنها را تعیین کنیم. اما بهتر است فرمول های محاسبه کسینوس یک زاویه را به خاطر بسپارید یا یادداشت کنید.

نحوه محاسبه زاویه بین خطوط متقاطع در فضا

محاسبه چنین زاویه ای را می توان به محاسبه مختصات بردارهای جهت و تعیین بزرگی زاویه تشکیل شده توسط این بردارها تقلیل داد. برای چنین مثال هایی از همان استدلالی که قبلاً آوردیم استفاده می شود.

بیایید فرض کنیم که یک سیستم مختصات مستطیلی داریم که در فضای سه بعدی قرار دارد. شامل دو خط مستقیم a و b با نقطه تقاطع M است. برای محاسبه مختصات بردارهای جهت، باید معادلات این خطوط را بدانیم. اجازه دهید بردارهای جهت a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) را نشان دهیم. برای محاسبه کسینوس زاویه بین آنها از فرمول استفاده می کنیم:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

برای یافتن خود زاویه به این فرمول نیاز داریم:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

ما یک خط داریم که در فضای سه بعدی با استفاده از معادله x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 تعریف شده است. مشخص است که با محور O z تقاطع دارد. زاویه قطع و کسینوس آن زاویه را محاسبه کنید.

راه حل

زاویه ای که باید محاسبه شود را با حرف α نشان می دهیم. بیایید مختصات بردار جهت را برای اولین خط مستقیم بنویسیم - a → = (1, - 3, - 2) . برای محور کاربردی، می توانیم بردار مختصات k → = (0, 0, 1) را به عنوان راهنما در نظر بگیریم. ما داده های لازم را دریافت کرده ایم و می توانیم آن را به فرمول مورد نظر اضافه کنیم:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

در نتیجه متوجه شدیم که زاویه مورد نیاز برابر با rc cos 1 2 = 45 درجه خواهد بود.

پاسخ: cos α = 1 2 , α = 45 درجه .

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد:

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک برای آدمک ها : لطفا علامت تقاطع ریاضی را به خاطر بسپارید، اغلب ظاهر می شود. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برآورده می شود

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و مورد سوم، هنگامی که خطوط قطع می شوند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشدیعنی هیچ مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، من هیچ فایده ای برای ارائه یک راه حل مستقل نمی بینم، بهتر است یک آجر مهم دیگر در زیربنای هندسی قرار دهیم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

مثال هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را در نظر بگیریم که از برنامه درسی مدرسه برای شما بسیار آشناست:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

بفرمایید معنای هندسی یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول- این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکی این است که به سادگی این خطوط را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست، و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه نوت بوک قرار داشته باشد.

بنابراین، جستجوی نقطه تقاطع با استفاده از روش تحلیلی به مصلحت‌تر است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع شدن پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله خط مستقیم ایجاد کنید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

حل کامل و پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این یکی بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: به شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار جهت دهنده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را بیابید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. چندین عمل در مسئله وجود دارد، بنابراین راحت است که راه حل را نقطه به نقطه فرموله کنید.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

روبه روی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما الگوریتم حل را با نتایج متوسط ​​بیان می کنم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه میانی یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز محاسبه گر کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را محاسبه کنید. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من به شما یک اشاره کوچک می کنم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک چوب است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول یک زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در نقاشی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ شما، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. این یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه جهت گیری منفی داشته باشد، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

مختصر می گویم. زاویه بین دو خط مستقیم برابر است با زاویه بین بردارهای جهت آنها. بنابراین، اگر بتوانید مختصات بردارهای جهت a = (x 1 ; y 1 ; z 1) و b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) را پیدا کنید، می توانید زاویه را پیدا کنید. به طور دقیق تر، کسینوس زاویه طبق فرمول:

بیایید ببینیم این فرمول با استفاده از مثال های خاص چگونه کار می کند:

وظیفه. در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، نقاط E و F مشخص شده اند - نقاط میانی لبه های A 1 B 1 و B 1 C 1 به ترتیب. زاویه بین خطوط AE و BF را پیدا کنید.

از آنجایی که لبه مکعب مشخص نیست، اجازه دهید AB = 1 را تنظیم کنیم. ما یک سیستم مختصات استاندارد را معرفی می کنیم: مبدا در نقطه A است، محورهای x، y، z به ترتیب در امتداد AB، AD و AA 1 هدایت می شوند. پاره واحد برابر با AB = 1 است. حال بیایید مختصات بردارهای جهت خطوط خود را پیدا کنیم.

بیایید مختصات بردار AE را پیدا کنیم. برای این ما به نقاط A = (0; 0; 0) و E = (0.5; 0; 1) نیاز داریم. از آنجایی که نقطه E وسط قطعه A 1 B 1 است، مختصات آن برابر است با میانگین حسابی مختصات انتهایی. توجه داشته باشید که مبدأ بردار AE با مبدا مختصات منطبق است، بنابراین AE = (0.5; 0; 1).

حالا بیایید به بردار BF نگاه کنیم. به طور مشابه، ما نقاط B = (1؛ 0؛ 0) و F = (1؛ 0.5؛ 1) را تجزیه و تحلیل می کنیم، زیرا F وسط قطعه B 1 C 1 است. ما داریم:
BF = (1 - 1؛ 0.5 - 0؛ 1 - 0) = (0؛ 0.5؛ 1).

بنابراین، بردارهای جهت آماده هستند. کسینوس زاویه بین خطوط مستقیم، کسینوس زاویه بین بردارهای جهت است، بنابراین داریم:

وظیفه. در یک منشور مثلثی منظم ABCA 1 B 1 C 1، که تمام لبه های آن برابر با 1 است، نقاط D و E مشخص شده اند - نقاط میانی لبه های A 1 B 1 و B 1 C 1 به ترتیب. زاویه بین خطوط AD و BE را پیدا کنید.

بیایید یک سیستم مختصات استاندارد را معرفی کنیم: مبدا در نقطه A است، محور x در امتداد AB، z - در امتداد AA 1 هدایت می شود. بیایید محور y را طوری هدایت کنیم که صفحه OXY با صفحه ABC منطبق شود. پاره واحد برابر با AB = 1 است. اجازه دهید مختصات بردارهای جهت خطوط مورد نیاز را پیدا کنیم.

ابتدا مختصات بردار AD را پیدا می کنیم. نقاط را در نظر بگیرید: A = (0; 0; 0) و D = (0.5; 0; 1)، زیرا د - وسط قطعه A 1 B 1. از آنجایی که ابتدای بردار AD با مبدأ مختصات منطبق است، AD = (0.5؛ 0؛ 1) را به دست می آوریم.

حالا مختصات بردار BE را پیدا می کنیم. محاسبه نقطه B = (1؛ 0؛ 0) آسان است. با نقطه E - وسط بخش C 1 B 1 - کمی پیچیده تر است. ما داریم:

باقی مانده است که کسینوس زاویه را پیدا کنیم:

وظیفه. در یک منشور شش ضلعی منظم ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ، که تمام لبه های آن برابر با 1 است ، نقاط K و L مشخص شده اند - نقاط میانی یال های A 1 B 1 و B 1 C 1 به ترتیب . زاویه بین خطوط AK و BL را پیدا کنید.

اجازه دهید یک سیستم مختصات استاندارد برای یک منشور معرفی کنیم: مبدأ مختصات را در مرکز پایه پایینی قرار می دهیم، محور x در امتداد FC هدایت می شود، محور y از طریق نقاط میانی قطعات AB و DE هدایت می شود، و محور z به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود. بخش واحد دوباره برابر با AB = 1 است. بیایید مختصات نقاط مورد نظر خود را بنویسیم:

نقاط K و L به ترتیب نقاط میانی پاره های A 1 B 1 و B 1 C 1 هستند، بنابراین مختصات آنها از طریق میانگین حسابی پیدا می شود. با دانستن نقاط، مختصات بردارهای جهت AK و BL را پیدا می کنیم:

حال بیایید کسینوس زاویه را پیدا کنیم:

وظیفه. در یک هرم چهارگوش منظم SABCD، که تمام لبه های آن برابر با 1 است، نقاط E و F مشخص شده اند - به ترتیب وسط اضلاع SB و SC. زاویه بین خطوط AE و BF را پیدا کنید.

بیایید یک سیستم مختصات استاندارد را معرفی کنیم: مبدا در نقطه A است، محورهای x و y به ترتیب در امتداد AB و AD هدایت می شوند و محور z به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود. قطعه واحد برابر با AB = 1 است.

نقاط E و F به ترتیب نقاط میانی بخش های SB و SC هستند، بنابراین مختصات آنها به عنوان میانگین حسابی انتهای آن ها یافت می شود. بیایید مختصات نقاط مورد علاقه خود را بنویسیم:
A = (0; 0; 0)؛ B = (1; 0; 0)

با دانستن نقاط، مختصات بردارهای جهت AE و BF را پیدا می کنیم:

مختصات بردار AE با مختصات نقطه E منطبق است، زیرا نقطه A مبدا است. باقی مانده است که کسینوس زاویه را پیدا کنیم:

زاویهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط در فاصله داده شود:

بدیهی است که زاویه φ بین خطوط مستقیم را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و . از آنجا که، پس با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها به دست می آوریم

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم معادل شرایط موازی و عمود بردارهای جهت آنهاست و:

دوتا مستقیم موازیاگر و فقط اگر ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی. ل 1 موازی ل 2 اگر و فقط اگر موازی باشد .

دوتا مستقیم عمود براگر و فقط اگر مجموع حاصل ضرب ضرایب مربوطه برابر با صفر باشد: .

U هدف بین خط و صفحه

بگذارید مستقیم باشد د- عمود بر صفحه θ نیست.
د"- طرح ریزی یک خط دبه صفحه θ؛
کوچکترین زاویه بین خطوط مستقیم دو د"ما تماس خواهیم گرفت زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه.
بیایید آن را به صورت φ=( د,θ)
اگر د⊥θ، سپس ( د,θ)=π/2

اوه→j→ک→– سیستم مختصات مستطیلی.
معادله صفحه:

θ: تبر+توسط+Cz+D=0

فرض می کنیم که خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار جهت تعریف می شود: د[م 0,پ→]
بردار n→(آ,ب,سی)⊥θ
سپس برای یافتن زاویه بین بردارها باقی مانده است n→ و پ→، اجازه دهید آن را با γ=( n→,پ→).

اگر زاویه γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

اگر زاویه γ>π/2 باشد، زاویه مورد نظر φ=γ−π/2 است

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

سپس، زاویه بین خط مستقیم و صفحهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √آ 2+ب 2+سی 2√پ 21+پ 22+پ 23

سوال 29. مفهوم فرم درجه دوم. قطعیت علامت اشکال درجه دوم.

شکل درجه دوم j (x 1، x 2، ...، x n) n متغیر واقعی x 1، x 2، ...، x nمجموع فرم نامیده می شود
, (1)

جایی که یک ij - برخی از اعداد به نام ضریب. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم چنین فرض کنیم یک ij = یک جی.

شکل درجه دوم نامیده می شود معتبر،اگر یک ij Î GR. ماتریس فرم درجه دومبه ماتریسی می گویند که از ضرایب آن تشکیل شده است. شکل درجه دوم (1) با تنها ماتریس متقارن مطابقت دارد
به این معنا که A T = A. در نتیجه، فرم درجه دوم (1) را می توان به شکل ماتریس j نوشت ( ایکس) = x T Ah، جایی که x T = (ایکس 1 ایکس 2 … x n). (2)

و برعکس، هر ماتریس متقارن (2) با یک شکل درجه دوم منحصر به فرد تا نماد متغیرها مطابقت دارد.

رتبه فرم درجه دومرتبه ماتریس آن نامیده می شود. شکل درجه دوم نامیده می شود غیر منحط،اگر ماتریس آن غیر مفرد باشد آ. (به یاد بیاورید که ماتریس آاگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، غیر منحط نامیده می شود. در غیر این صورت، شکل درجه دوم منحط است.

مثبت قطعی(یا کاملاً مثبت) اگر

j( ایکس) > 0 ، برای هرکس ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n), بجز ایکس = (0, 0, …, 0).

ماتریس آشکل درجه دوم قطعی مثبت j ( ایکس) را قطعی مثبت نیز می گویند. بنابراین، یک شکل درجه دوم قطعی مثبت با یک ماتریس قطعی مثبت منحصر به فرد مطابقت دارد و بالعکس.

شکل درجه دوم (1) نامیده می شود منفی تعریف شده است(یا کاملاً منفی) اگر

j( ایکس) < 0, для любого ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n)، بجز ایکس = (0, 0, …, 0).

به طور مشابه مانند بالا، یک ماتریس از شکل درجه دوم قطعی منفی نیز قطعی منفی نامیده می شود.

بنابراین، شکل درجه دوم قطعی مثبت (منفی) j ( ایکس) به حداقل (حداکثر) مقدار j می رسد ( ایکس*) = 0 در ایکس* = (0, 0, …, 0).

توجه داشته باشید که اکثر اشکال درجه دوم، علامت معین نیستند، یعنی نه مثبت هستند و نه منفی. چنین اشکال درجه دوم نه تنها در مبدأ سیستم مختصات، بلکه در نقاط دیگر نیز به 0 تبدیل می شوند.

چه زمانی n> 2، معیارهای خاصی برای بررسی علامت یک فرم درجه دوم مورد نیاز است. بیایید به آنها نگاه کنیم.

خردسالان عمدهشکل درجه دوم را مینور می گویند:

یعنی اینها جزئی از مرتبه 1، 2، ...، nماتریس ها آ، واقع در گوشه سمت چپ بالا، آخرین آنها با تعیین کننده ماتریس منطبق است آ.

معیار قطعیت مثبت (معیار سیلوستر)

ایکس) = x T Ahمثبت و قطعی بود، لازم و کافی است که همه ماتریس های اصلی ماتریس باشند آمثبت بودند، یعنی: م 1 > 0, م 2 > 0, …, منگنز > 0. معیار قطعیت منفی به منظور شکل درجه دوم j ( ایکس) = x T Ahقطعی منفی بود، لازم و کافی است که صغیر اصلی آن از مرتبه زوج مثبت و به ترتیب فرد – منفی باشد، یعنی: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)n