پیدا کردن مساحت یک مخروط مساحت سطح جانبی و کل مخروط

مساحت سطح یک مخروط (یا به سادگی سطح یک مخروط) برابر است با مجموع مساحت های پایه و سطح جانبی.

مساحت سطح جانبی مخروط با فرمول محاسبه می شود: S = πR ل، که در آن R شعاع قاعده مخروط است و ل- تشکیل یک مخروط

از آنجایی که مساحت پایه مخروط برابر با πR 2 (به عنوان مساحت یک دایره) است، مساحت کل سطح مخروط برابر است: πR 2 + πR ل= πR(R+ ل).

بدست آوردن فرمول مساحت سطح جانبی مخروط را می توان با استدلال زیر توضیح داد. اجازه دهید نقاشی توسعه سطح جانبی یک مخروط را نشان دهد. اجازه دهید کمان AB را تا حد امکان به قسمت های مساوی تقسیم کنیم و تمام نقاط تقسیم را به مرکز قوس و نقاط همسایه را با آکورد به یکدیگر متصل کنیم.

یک سری مثلث مساوی بدست می آوریم. مساحت هر مثلث است آه / 2 کجا آ- طول قاعده مثلث، الف ساعت- اوجش

مجموع مساحت تمام مثلث ها به صورت زیر خواهد بود: آه / 2 n = آنه / 2 کجا n- تعداد مثلث ها

با تعداد زیادی تقسیم، مجموع مساحت مثلث ها به ناحیه توسعه، یعنی مساحت سطح جانبی مخروط بسیار نزدیک می شود. مجموع قاعده های مثلث ها، یعنی. یک، به طول قوس AB، یعنی به محیط قاعده مخروط بسیار نزدیک می شود. ارتفاع هر مثلث به شعاع قوس، یعنی به ژنراتیکس مخروط بسیار نزدیک می شود.

با نادیده گرفتن تفاوت های جزئی در اندازه این مقادیر، فرمول مساحت سطح جانبی مخروط (S) را به دست می آوریم:

S=C ل / 2، که در آن C محیط قاعده مخروط است، ل- تشکیل یک مخروط

با دانستن اینکه C = 2πR، که در آن R شعاع دایره قاعده مخروط است، به دست می آوریم: S = πR ل.

توجه داشته باشید.در فرمول S=C ل / 2 نشانه ای از برابری دقیق و نه تقریبی وجود دارد، اگرچه بر اساس استدلال فوق می توانیم این برابری را تقریبی بدانیم. اما در دبیرستان ثابت شده است که برابری

S=C ل / 2 دقیق است، تقریبی نیست.

قضیه. سطح جانبی مخروط برابر است با حاصل ضرب محیط قاعده و نیمی از ژنراتیکس.

اجازه دهید مقداری هرم منظم را در مخروط حک کنیم (شکل) و آن را با حروف مشخص کنیم آرو لاعدادی که طول محیط قاعده و آپوتم این هرم را بیان می کنند.

سپس سطح جانبی آن به صورت حاصلضرب 1/2 بیان می شود آر ل .

اکنون فرض می کنیم که تعداد اضلاع چند ضلعی محاط شده در پایه بدون محدودیت افزایش می یابد. سپس محیط آربه حدی که به عنوان طول C محیط پایه و آپوتم در نظر گرفته می شود، تمایل دارد لبه عنوان حد، ژنراتیکس مخروط را خواهد داشت (از آنجایی که ΔSAK نتیجه می شود که SA - SK
1 / 2 آر ل، به حد 1/2 درجه سانتیگراد تمایل خواهد داشت L. این حد به عنوان اندازه سطح جانبی مخروط در نظر گرفته می شود. با تعیین سطح جانبی مخروط با حرف S می توانیم بنویسیم:

S = 1/2 C L = C 1/2 لیتر

عواقب.
1) از آنجا که C = 2 π R، سپس سطح جانبی مخروط با فرمول بیان می شود:

S = 1/2 2π آر L= π R.L.

2) اگر سطح جانبی را به ناحیه پایه اضافه کنیم، سطح کامل مخروط را به دست می آوریم. بنابراین، با نشان دادن سطح کامل با T، خواهیم داشت:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

قضیه. سطح جانبی مخروط کوتاه شده برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع طول دایره های پایه و مولد.

اجازه دهید مقداری هرم منقطع منظم را در مخروط بریده شده حک کنیم (شکل) و آن را با حروف مشخص کنیم. r, r 1 و لاعدادی که طول محیط قاعده های پایین و فوقانی و آپوتم این هرم را به واحدهای خطی یکسان بیان می کنند.

سپس سطح جانبی هرم محاطی برابر با 1/2 ( p + p 1) ل

با افزایش نامحدود در تعداد وجوه جانبی هرم محاطی، محیط آرو آر 1 تمایل دارد به حدودی که به عنوان طول های C و C 1 دایره های پایه در نظر گرفته شده است، و آپوتم لبه عنوان حد، مولد L یک مخروط کوتاه است. در نتیجه، اندازه سطح جانبی هرم محاطی به حدی برابر با (C + C 1) L میل می کند. این حد به عنوان اندازه سطح جانبی مخروط بریده در نظر گرفته می شود. با نشان دادن سطح جانبی مخروط کوتاه شده با حرف S، داریم:

S = 1/2 (C + C 1) L

عواقب.
1) اگر R و R 1 به معنای شعاع دایره های پایه های پایین و بالایی باشند، سطح جانبی مخروط بریده شده به صورت زیر خواهد بود:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) اگر در ذوزنقه OO 1 A 1 A (شکل)، که از چرخش آن یک مخروط کوتاه به دست می آید، خط وسط BC را رسم کنیم، سپس به دست می آوریم:

BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1)،

R + R 1 = 2VS.

از این رو،

S=2 π BC L،

یعنی سطح جانبی مخروط کوتاه شده برابر است با حاصلضرب محیط بخش میانی و ژنراتیکس.

3) سطح T کل مخروط کوتاه شده به صورت زیر بیان می شود:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

در اینجا مشکلات مخروط ها وجود دارد، این وضعیت به مساحت سطح آن مربوط می شود. به طور خاص، در برخی از مشکلات، بحث تغییر منطقه هنگام افزایش (کاهش) ارتفاع مخروط یا شعاع پایه آن وجود دارد. نظریه برای حل مسائل در . بیایید وظایف زیر را در نظر بگیریم:

27135. محیط قاعده مخروط 3، ژنراتور 2 است. مساحت سطح جانبی مخروط را پیدا کنید.

مساحت سطح جانبی مخروط برابر است با:

جایگزینی داده ها:

75697. اگر مولد آن 36 برابر شود و شعاع قاعده ثابت بماند، مساحت سطح جانبی مخروط چند برابر می شود؟

سطح جانبی مخروط:

ژنراتیکس 36 برابر افزایش می یابد. شعاع ثابت می ماند، به این معنی که محیط پایه تغییر نکرده است.

این بدان معنی است که سطح جانبی مخروط اصلاح شده به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین 36 برابر افزایش می یابد.

*رابطه مستقیم است، بنابراین این مشکل را می توان به راحتی به صورت شفاهی حل کرد.

27137. اگر 1.5 برابر شعاع قاعده مخروط کاهش یابد، مساحت سطح جانبی مخروط چند برابر کاهش می یابد؟

سطح جانبی مخروط برابر است با:

شعاع 1.5 برابر کاهش می یابد، یعنی:

مشخص شد که سطح جانبی 1.5 برابر کاهش یافته است.

27159. ارتفاع مخروط 6 است، ژنراتیکس 10 است، مساحت کل سطح آن را تقسیم بر پی بیابید.

سطح مخروط کامل:

شما باید شعاع را پیدا کنید:

ارتفاع و ژنراتیکس مشخص است، با استفاده از قضیه فیثاغورث، شعاع را محاسبه می کنیم:

بدین ترتیب:

نتیجه را بر عدد Pi تقسیم کنید و جواب را یادداشت کنید.

76299. مساحت کل مخروط 108 است. یک مقطع به موازات قاعده مخروط کشیده می شود و ارتفاع را به نصف تقسیم می کند. کل سطح مخروط برش را پیدا کنید.

بخش از وسط ارتفاع به موازات پایه عبور می کند. به این معنی که شعاع پایه و ژنراتیکس مخروط برش 2 برابر کمتر از شعاع و ژنراتیکس مخروط اصلی خواهد بود. اجازه دهید سطح مخروط بریده شده را بنویسیم:

متوجه شدیم که 4 برابر کمتر از مساحت سطح اصلی خواهد بود، یعنی 108:4 = 27.

*از آنجایی که مخروط اصلی و بریده شده بدنه‌های مشابهی دارند، می‌توان از خاصیت مشابهت نیز استفاده کرد:

27167. شعاع قاعده مخروط 3 و ارتفاع آن 4 است. کل سطح مخروط را تقسیم بر پی بیابید.

فرمول کل سطح یک مخروط:

شعاع مشخص است، لازم است ژنراتیکس را پیدا کنیم.

طبق قضیه فیثاغورث:

بدین ترتیب:

نتیجه را بر عدد Pi تقسیم کنید و جواب را یادداشت کنید.

وظیفه. مساحت سطح جانبی مخروط چهار برابر مساحت پایه است. کسینوس زاویه بین ژنراتیکس مخروط و صفحه قاعده را پیدا کنید.

مساحت پایه مخروط عبارت است از:

یعنی کسینوس برابر با:

پاسخ: 0.25

خودتان تصمیم بگیرید:

27136. مساحت سطح جانبی مخروط اگر 3 برابر شود چند برابر افزایش می یابد؟

27160. مساحت سطح جانبی مخروط دو برابر مساحت پایه است. زاویه بین ژنراتیکس مخروط و صفحه قاعده را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید. .

27161. مساحت کل مخروط 12 است. یک مقطع به موازات پایه مخروط کشیده می شود و ارتفاع را به نصف تقسیم می کند. کل سطح مخروط برش را پیدا کنید.

همین. موفق باشی!

با احترام، اسکندر.

*اطلاعات سایت را از طریق شبکه های اجتماعی با دوستان خود به اشتراک بگذارید.

ما می دانیم که مخروط چیست، بیایید سعی کنیم سطح آن را پیدا کنیم. چرا باید چنین مشکلی را حل کنید؟ به عنوان مثال، باید بدانید که چقدر خمیر برای ساختن یک مخروط وافل صرف می شود؟ یا چند آجر برای ساخت سقف قلعه آجری لازم است؟

اندازه گیری سطح جانبی یک مخروط به سادگی قابل انجام نیست. اما بیایید همان شاخ را در پارچه تصور کنیم. برای پیدا کردن مساحت یک تکه پارچه، باید آن را برش دهید و روی میز بگذارید. نتیجه یک شکل صاف است، ما می توانیم مساحت آن را پیدا کنیم.

برنج. 1. مقطعی از یک مخروط در امتداد ژنراتیکس

بیایید همین کار را با مخروط انجام دهیم. برای مثال، اجازه دهید سطح جانبی آن را در امتداد هر ژنراتریسی "برش" دهیم (شکل 1 را ببینید).

حالا بیایید سطح جانبی را روی یک هواپیما "باز کنیم". ما یک بخش می گیریم. مرکز این بخش راس مخروط است، شعاع بخش برابر با ژنراتیکس مخروط است و طول قوس آن با محیط قاعده مخروط منطبق است. چنین بخشی را توسعه سطح جانبی مخروط می نامند (شکل 2 را ببینید).

برنج. 2. توسعه سطح جانبی

برنج. 3. اندازه گیری زاویه بر حسب رادیان

بیایید سعی کنیم با استفاده از داده های موجود، منطقه این بخش را پیدا کنیم. ابتدا، اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: اجازه دهید زاویه راس بخش بر حسب رادیان باشد (شکل 3 را ببینید).

در مشکلات اغلب باید با زاویه بالای جارو مقابله کنیم. در حال حاضر، بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم: آیا این زاویه نمی تواند بیش از 360 درجه باشد؟ یعنی آیا معلوم نمی شود که جارو با خودش همپوشانی داشته باشد؟ البته که نه. بیایید این را به صورت ریاضی ثابت کنیم. اجازه دهید اسکن روی خودش "سوپرپوز" شود. این بدان معنی است که طول قوس جارویی بزرگتر از طول دایره شعاع است. اما همانطور که قبلا ذکر شد، طول قوس جارویی طول دایره شعاع است. و البته شعاع قاعده مخروط از ژنراتیکس کمتر است، برای مثال، زیرا ساق یک مثلث قائم الزاویه از هیپوتنوس کمتر است.

سپس دو فرمول از درس پلان سنجی را به یاد بیاوریم: طول قوس. حوزه بخش: .

در مورد ما، نقش توسط مولد بازی می شود , و طول قوس برابر است با محیط قاعده مخروط یعنی. ما داریم:

در نهایت می گیریم: .

همراه با سطح جانبی، سطح کل را نیز می توان یافت. برای انجام این کار، مساحت پایه باید به ناحیه سطح جانبی اضافه شود. اما پایه دایره ای با شعاع است که مساحت آن طبق فرمول برابر است با .

در نهایت داریم: , جایی که شعاع قاعده سیلندر، ژنراتیکس است.

بیایید چند مشکل را با استفاده از فرمول های داده شده حل کنیم.

برنج. 4. زاویه مورد نیاز

مثال 1. توسعه سطح جانبی مخروط یک بخش با زاویه در راس است. اگر ارتفاع مخروط 4 سانتی متر و شعاع پایه 3 سانتی متر باشد، این زاویه را پیدا کنید (شکل 4 را ببینید).

برنج. 5. مثلث قائم الزاویه تشکیل مخروط

با اولین اقدام، طبق قضیه فیثاغورث، مولد را پیدا می کنیم: 5 سانتی متر (به شکل 5 مراجعه کنید). بعد، ما می دانیم که .

مثال 2. سطح مقطع محوری مخروط برابر است با ارتفاع برابر است. کل سطح را بیابید (شکل 6 را ببینید).