فرمول انتظارات ریاضی انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی، علاوه بر قوانین توزیع، نیز قابل توصیف هستند ویژگی های عددی .

انتظارات ریاضی M (x) یک متغیر تصادفی را مقدار میانگین آن می گویند.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته با استفاده از فرمول محاسبه می شود

جایی که – مقادیر متغیر تصادفی، p من-احتمالات آنها

بیایید ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیریم:

1. انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت

2. اگر یک متغیر تصادفی در عدد معینی k ضرب شود، انتظار ریاضی در همان عدد ضرب خواهد شد.

M (kx) = کیلومتر (x)

3. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها.

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. برای متغیرهای تصادفی مستقل x 1، x 2، ... x n، انتظار ریاضی محصول برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها.

M (x 1، x 2، … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

بیایید انتظارات ریاضی برای متغیر تصادفی را از مثال 11 محاسبه کنیم.

M(x) = = .

مثال 12.اجازه دهید متغیرهای تصادفی x 1, x 2 بر این اساس توسط قوانین توزیع مشخص شوند:

x 1 جدول 2

x 2 جدول 3

بیایید M (x 1) و M (x 2) را محاسبه کنیم.

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

انتظارات ریاضی هر دو متغیر تصادفی یکسان است - آنها برابر با صفر هستند. با این حال، ماهیت توزیع آنها متفاوت است. اگر مقادیر x 1 با انتظارات ریاضی آنها کمی متفاوت باشد، مقادیر x 2 تا حد زیادی با انتظارات ریاضی آنها متفاوت است و احتمال چنین انحرافاتی کم نیست. این مثال‌ها نشان می‌دهند که نمی‌توان از روی مقدار متوسط ​​تعیین کرد که کدام انحراف از آن کوچکتر و بزرگتر رخ می‌دهد. بنابراین با میانگین یکسان بارش سالانه در دو منطقه نمی توان گفت که این مناطق به یک اندازه برای کارهای کشاورزی مساعد هستند. به همین ترتیب، بر اساس شاخص میانگین حقوق، نمی توان درباره سهم کارگران پردرآمد و کم دستمزد قضاوت کرد. بنابراین، یک مشخصه عددی معرفی می شود - پراکندگی D(x) , که درجه انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را مشخص می کند:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

پراکندگی انتظار ریاضی انحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی است. برای یک متغیر تصادفی گسسته، واریانس با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

D(x)= = (3)

از تعریف پراکندگی چنین بر می آید که D (x) 0.

خواص پراکندگی:

1. واریانس ثابت صفر است

2. اگر یک متغیر تصادفی در عدد معینی k ضرب شود، واریانس در مجذور این عدد ضرب خواهد شد.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) - M 2 (x)

4. برای متغیرهای تصادفی مستقل جفتی x 1 , x 2 , … x n واریانس مجموع برابر با مجموع واریانس ها است.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

بیایید واریانس متغیر تصادفی را از مثال 11 محاسبه کنیم.

انتظارات ریاضی M (x) = 1. بنابراین، طبق فرمول (3) داریم:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4 = 1/2

توجه داشته باشید که اگر از ویژگی 3 استفاده کنید، محاسبه واریانس آسان تر است:

D (x) = M (x 2) - M 2 (x).

بیایید واریانس های متغیرهای تصادفی x 1 , x 2 را از مثال 12 با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم. انتظارات ریاضی هر دو متغیر تصادفی صفر است.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (20-) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 + 20 = 260

هر چه مقدار واریانس به صفر نزدیکتر باشد، گستردگی متغیر تصادفی نسبت به مقدار میانگین کمتر است.

کمیت نامیده می شود انحراف معیار. حالت متغیر تصادفیایکس نوع گسسته Mdمقدار متغیر تصادفی که بیشترین احتمال را دارد نامیده می شود.

حالت متغیر تصادفیایکس نوع پیوسته Md، یک عدد واقعی است که به عنوان نقطه حداکثر چگالی توزیع احتمال f(x) تعریف می شود.

میانه یک متغیر تصادفیایکس نوع پیوسته Mnیک عدد واقعی است که معادله را برآورده می کند

مفهوم انتظار ریاضی را می توان با استفاده از مثال پرتاب قالب در نظر گرفت. با هر پرتاب، امتیازات حذف شده ثبت می شود. برای بیان آنها از مقادیر طبیعی در محدوده 1 تا 6 استفاده می شود.

پس از تعداد مشخصی پرتاب، با استفاده از محاسبات ساده، می توانید میانگین حسابی نقاط نورد شده را پیدا کنید.

درست مانند وقوع هر یک از مقادیر در محدوده، این مقدار نیز تصادفی خواهد بود.

اگر تعداد پرتاب ها را چندین بار افزایش دهید چه؟ با تعداد پرتاب زیاد، میانگین حسابی نقاط به عدد خاصی نزدیک می شود که در نظریه احتمال به آن انتظار ریاضی می گویند.

بنابراین، منظور از انتظار ریاضی، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است. این شاخص همچنین می تواند به عنوان مجموع وزنی مقادیر مقادیر احتمالی ارائه شود.

این مفهوم چندین مترادف دارد:

• مقدار متوسط؛
• مقدار متوسط؛
• شاخص گرایش مرکزی؛
• اولین لحظه

به عبارت دیگر، چیزی بیش از یک عدد نیست که مقادیر یک متغیر تصادفی حول آن توزیع می شود.

در حوزه های مختلف فعالیت انسانی، رویکردهای درک انتظارات ریاضی تا حدودی متفاوت خواهد بود.

می توان آن را این گونه در نظر گرفت:

• میانگین سود حاصل از تصمیم گیری، زمانی که چنین تصمیمی از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر گرفته شود.
• مقدار احتمالی برد یا باخت (نظریه قمار) که به طور میانگین برای هر شرط محاسبه می شود. در زبان عامیانه، آنها مانند "مزیت بازیکن" (مثبت برای بازیکن) یا "مزیت کازینو" (منفی برای بازیکن) به نظر می رسند.
• درصد سود دریافتی از برنده شدن

انتظار برای مطلقاً همه متغیرهای تصادفی اجباری نیست. برای کسانی که در مجموع یا انتگرال مربوطه اختلاف دارند وجود ندارد.

ویژگی های انتظار ریاضی

مانند هر پارامتر آماری، انتظارات ریاضی دارای ویژگی های زیر است:

فرمول های اساسی برای انتظارات ریاضی

محاسبه انتظارات ریاضی را می توان هم برای متغیرهای تصادفی که با هم پیوستگی (فرمول A) و هم گسستگی (فرمول B) مشخص می شوند، انجام داد:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi، که در آن xi مقادیر متغیر تصادفی است، pi احتمالات است:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx، که در آن f(x) چگالی احتمال داده شده است.

نمونه هایی از محاسبه انتظارات ریاضی

مثال الف.

آیا می توان میانگین قد کوتوله ها را در افسانه سفید برفی فهمید؟ مشخص است که هر یک از 7 کوتوله دارای ارتفاع مشخصی بودند: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 و 0.81 متر.

الگوریتم محاسبه بسیار ساده است:

• مجموع تمام مقادیر شاخص رشد (متغیر تصادفی) را پیدا می کنیم:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• مقدار حاصل را بر تعداد گنوم ها تقسیم کنید:
  6,31:7=0,90.

بنابراین، میانگین قد کوتوله ها در یک افسانه 90 سانتی متر است به عبارت دیگر، این انتظار ریاضی رشد کوتوله ها است.

فرمول کاری - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

اجرای عملی انتظارات ریاضی

محاسبه شاخص آماری انتظارات ریاضی در زمینه های مختلف فعالیت عملی مورد استفاده قرار می گیرد. اول از همه، ما در مورد حوزه تجاری صحبت می کنیم. از این گذشته ، معرفی این شاخص توسط هویگنز با تعیین شانس هایی مرتبط است که می تواند برای برخی رویدادها مطلوب یا برعکس نامطلوب باشد.

این پارامتر به طور گسترده ای برای ارزیابی ریسک ها، به ویژه زمانی که صحبت از سرمایه گذاری های مالی می شود، استفاده می شود.
بنابراین، در تجارت، محاسبه انتظارات ریاضی به عنوان روشی برای ارزیابی ریسک هنگام محاسبه قیمت ها عمل می کند.

این شاخص همچنین می تواند برای محاسبه اثربخشی اقدامات خاص، به عنوان مثال، حفاظت از کار استفاده شود. به لطف آن، می توانید احتمال وقوع یک رویداد را محاسبه کنید.

حوزه دیگر کاربرد این پارامتر مدیریت است. همچنین می توان آن را در طول کنترل کیفیت محصول محاسبه کرد. به عنوان مثال، استفاده از حصیر. انتظارات، شما می توانید تعداد احتمالی قطعات معیوب تولید شده را محاسبه کنید.

انتظارات ریاضی نیز هنگام انجام پردازش آماری نتایج به دست آمده در طول تحقیقات علمی ضروری است. این به شما امکان می دهد احتمال یک نتیجه مطلوب یا نامطلوب یک آزمایش یا مطالعه را بسته به سطح دستیابی به هدف محاسبه کنید. به هر حال، دستاورد آن می تواند با سود و منفعت همراه باشد و شکست آن می تواند با ضرر یا زیان همراه باشد.

استفاده از انتظارات ریاضی در فارکس

کاربرد عملی این پارامتر آماری هنگام انجام معاملات در بازار ارز امکان پذیر است. با کمک آن می توانید موفقیت معاملات تجاری را تجزیه و تحلیل کنید. علاوه بر این، افزایش در ارزش انتظارات نشان دهنده افزایش موفقیت آنها است.

همچنین مهم است که به یاد داشته باشید که انتظارات ریاضی نباید به عنوان تنها پارامتر آماری مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل عملکرد یک معامله گر در نظر گرفته شود. استفاده از چندین پارامتر آماری به همراه مقدار متوسط، دقت تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش می دهد.

این پارامتر به خوبی خود را در نظارت بر مشاهدات حساب های تجاری ثابت کرده است. به لطف آن، ارزیابی سریع از کار انجام شده در حساب سپرده انجام می شود. در مواردی که فعالیت معامله گر موفقیت آمیز باشد و از ضرر و زیان جلوگیری کند، استفاده از محاسبه انتظارات ریاضی منحصراً توصیه نمی شود. در این موارد ریسک ها در نظر گرفته نمی شود که باعث کاهش اثربخشی تحلیل می شود.

مطالعات انجام شده در مورد تاکتیک های معامله گران نشان می دهد که:

• موثرترین تاکتیک ها آنهایی هستند که بر اساس ورود تصادفی هستند.
• کمترین اثربخشی، تاکتیک‌هایی است که مبتنی بر ورودی‌های ساختاری هستند.

در دستیابی به نتایج مثبت به همان اندازه مهم است:

• تاکتیک های مدیریت پول؛
• استراتژی های خروج

با استفاده از شاخصی مانند انتظار ریاضی، می توانید پیش بینی کنید که هنگام سرمایه گذاری 1 دلار سود یا زیان چقدر خواهد بود. مشخص است که این شاخص، محاسبه شده برای تمام بازی های انجام شده در کازینو، به نفع تاسیس است. این چیزی است که به شما امکان می دهد پول دربیاورید. در مورد یک سری بازی طولانی، احتمال از دست دادن پول مشتری به طور قابل توجهی افزایش می یابد.

بازی هایی که توسط بازیکنان حرفه ای انجام می شود محدود به مدت زمان کوتاهی است که احتمال برد را افزایش می دهد و خطر باخت را کاهش می دهد. در هنگام انجام عملیات سرمایه گذاری نیز همین الگو مشاهده می شود.

یک سرمایه گذار با داشتن انتظارات مثبت و انجام تعداد زیادی تراکنش در مدت زمان کوتاه می تواند درآمد قابل توجهی داشته باشد.

انتظار را می توان به عنوان تفاوت بین درصد سود (PW) ضرب در سود متوسط ​​(AW) و احتمال ضرر (PL) ضرب در ضرر متوسط ​​(AL) در نظر گرفت.

به عنوان مثال موارد زیر را در نظر بگیرید: موقعیت - 12.5 هزار دلار، پرتفوی - 100 هزار دلار، ریسک سپرده - 1٪. سودآوری معاملات 40 درصد موارد با میانگین سود 20 درصد است. در صورت ضرر، میانگین ضرر 5 درصد است. محاسبه انتظارات ریاضی برای تراکنش، مقدار 625 دلار را به دست می‌دهد.

ویژگی های عددی پایه متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته: انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار. خواص و نمونه های آنها.

قانون توزیع (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از ویژگی های عددی مقدار مورد بررسی (مثلاً مقدار میانگین آن و انحراف احتمالی از آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. بیایید ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.

تعریف 7.1.انتظارات ریاضییک متغیر تصادفی گسسته مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آنها است:

م(ایکس) = ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p p p.(7.1)

اگر تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی بی نهایت باشد، اگر سری حاصل کاملاً همگرا شود.

یادداشت 1.گاهی اوقات انتظار ریاضی نامیده می شود میانگین وزنی، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش.

تبصره 2.از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست.

نکته 3.انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته است غیر تصادفی(ثابت. بعداً خواهیم دید که همین امر برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز صادق است.

مثال 1. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین سه قطعه انتخاب شده از یک دسته 10 قطعه، شامل 2 قطعه معیوب. بیایید یک سری توزیع برای ایکس. از شرایط مشکل چنین برمی آید که ایکسمی تواند مقادیر 1، 2، 3 را بگیرد. سپس

مثال 2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکس- تعداد پرتاب سکه قبل از اولین ظاهر شدن نشان. این کمیت می تواند بی نهایت مقدار به خود بگیرد (مجموعه مقادیر ممکن مجموعه اعداد طبیعی است). سری توزیع آن به شکل زیر است:

+ (هنگام محاسبه، فرمول مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش دو بار استفاده شد: , از کجا ).

ویژگی های انتظار ریاضی

1) انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت:

م(با) = با.(7.2)

اثبات اگر در نظر بگیریم بابه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته که فقط یک مقدار را می گیرد بابا احتمال آر= 1، پس م(با) = با?1 = با.

2) عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

م(CX) = سانتی متر(ایکس). (7.3)

اثبات اگر متغیر تصادفی ایکسارائه شده توسط سری توزیع

سپس م(CX) = Cx 1 آر 1 + Cx 2 آر 2 + … + Cx p p p = با(ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p r p) = سانتی متر(ایکس).

تعریف 7.2.دو متغیر تصادفی نامیده می شوند مستقل، اگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیری که دیگری گرفته است بستگی ندارد. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته.

تعریف 7.3.بیا تماس بگیریم حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Y متغیر تصادفی XY، که مقادیر ممکن آن برابر با محصولات همه مقادیر ممکن است ایکسبرای تمام مقادیر ممکن Y، و احتمالات مربوطه برابر است با حاصل ضرب احتمالات عوامل.

3) انتظار ریاضی حاصل ضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است:

م(XY) = م(ایکس)م(Y). (7.4)

اثبات برای ساده کردن محاسبات، ما خود را به این مورد محدود می کنیم که ایکسو Yفقط دو مقدار ممکن را بگیرید:

از این رو، م(XY) = ایکس 1 y 1 ?پ 1 g 1 + ایکس 2 y 1 ?پ 2 g 1 + ایکس 1 y 2 ?پ 1 g 2 + ایکس 2 y 2 ?پ 2 g 2 = y 1 g 1 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) + + y 2 g 2 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = م(ایکس)?م(Y).

یادداشت 1.این ویژگی را می توان به طور مشابه برای تعداد بیشتری از مقادیر احتمالی فاکتورها اثبات کرد.

تبصره 2.خاصیت 3 برای حاصل ضرب هر تعداد متغیر تصادفی مستقل صادق است که با روش استقرای ریاضی ثابت می شود.

تعریف 7.4.تعریف کنیم مجموع متغیرهای تصادفی ایکسو Y به عنوان یک متغیر تصادفی X+Yکه مقادیر ممکن آن برابر با مجموع هر مقدار ممکن است ایکسبا هر مقدار ممکن Y; احتمالات چنین مبالغی برابر است با حاصلضرب احتمالات شرایط (برای متغیرهای تصادفی وابسته - حاصلضرب احتمال یک جمله با احتمال شرطی دوم).

4) انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات:

م (X+Y) = م (ایکس) + م (Y). (7.5)

اثبات

اجازه دهید دوباره متغیرهای تصادفی تعریف شده توسط سری توزیع داده شده در اثبات ویژگی 3 را در نظر بگیریم. سپس مقادیر ممکن X+Yهستند ایکس 1 + در 1 , ایکس 1 + در 2 , ایکس 2 + در 1 , ایکس 2 + در 2. اجازه دهید احتمالات آنها را به ترتیب نشان دهیم آر 11 , آر 12 , آر 21 و آر 22. پیدا خواهیم کرد م(ایکس+Y) = (ایکس 1 + y 1)پ 11 + (ایکس 1 + y 2)پ 12 + (ایکس 2 + y 1)پ 21 + (ایکس 2 + y 2)پ 22 =

= ایکس 1 (پ 11 + پ 12) + ایکس 2 (پ 21 + پ 22) + y 1 (پ 11 + پ 21) + y 2 (پ 12 + پ 22).

این را ثابت کنیم آر 11 + آر 22 = آر 1 . در واقع، رویدادی که X+Yارزش ها را خواهد گرفت ایکس 1 + در 1 یا ایکس 1 + در 2 و احتمال آن است آر 11 + آر 22 مصادف با رویدادی است که ایکس = ایکس 1 (احتمال آن است آر 1). به طریق مشابه ثابت می شود که پ 21 + پ 22 = آر 2 , پ 11 + پ 21 = g 1 , پ 12 + پ 22 = g 2. به معنای،

م(X+Y) = ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = م (ایکس) + م (Y).

اظهار نظر. از خاصیت 4 نتیجه می شود که مجموع هر تعداد متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.

مثال. انتظار ریاضی از مجموع تعداد امتیازهای به دست آمده هنگام پرتاب پنج تاس را بیابید.

بیایید انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده هنگام پرتاب یک تاس را پیدا کنیم:

م(ایکس 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) همین عدد برابر است با انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده روی هر تاس. بنابراین به وسیله خاصیت 4 م(ایکس)=

پراکندگی.

برای داشتن ایده ای از رفتار یک متغیر تصادفی، دانستن تنها انتظارات ریاضی آن کافی نیست. دو متغیر تصادفی را در نظر بگیرید: ایکسو Y، توسط سری های توزیع فرم مشخص شده است

پیدا خواهیم کرد م(ایکس) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. همانطور که می بینید، انتظارات ریاضی هر دو کمیت برابر است، اما اگر برای HM(ایکس) به خوبی رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند، که محتمل ترین مقدار ممکن آن است (و مقادیر باقی مانده تفاوت زیادی با 50 ندارند)، سپس مقادیر Yبه طور قابل توجهی از م(Y). بنابراین، در کنار انتظارات ریاضی، مطلوب است بدانیم که مقادیر یک متغیر تصادفی چقدر از آن انحراف دارد. برای مشخص کردن این شاخص از واریانس استفاده می شود.

تعریف 7.5.پراکندگی (پراکندگی)یک متغیر تصادفی انتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی آن است:

D(ایکس) = م (X-M(ایکس))². (7.6)

بیایید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنیم ایکس(تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده) در مثال 1 این سخنرانی. بیایید مجذور انحراف هر مقدار ممکن از انتظار ریاضی را محاسبه کنیم:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. از این رو،

یادداشت 1.در تعیین پراکندگی، انحراف از خود میانگین ارزیابی نمی شود، بلکه مربع آن است. این کار به گونه ای انجام می شود که انحرافات علائم مختلف یکدیگر را خنثی نکنند.

تبصره 2.از تعریف پراکندگی نتیجه می شود که این کمیت فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد.

نکته 3.فرمولی برای محاسبه واریانس وجود دارد که برای محاسبات راحت تر است که اعتبار آن در قضیه زیر ثابت می شود:

قضیه 7.1.D(ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس). (7.7)

اثبات

با استفاده از چه م(ایکس) یک مقدار ثابت است و ویژگی های انتظار ریاضی، فرمول (7.6) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

D(ایکس) = م(X-M(ایکس))² = م(ایکس² - 2 X?M(ایکس) + م²( ایکس)) = م(ایکس 2) - 2 م(ایکس)?م(ایکس) + م²( ایکس) =

= م(ایکس 2) - 2 م²( ایکس) + م²( ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس) چیزی بود که باید ثابت می شد.

مثال. بیایید واریانس متغیرهای تصادفی را محاسبه کنیم ایکسو Yدر ابتدای این بخش مورد بحث قرار گرفت. م(ایکس) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

م(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. بنابراین، واریانس دومین متغیر تصادفی چندین هزار بار بیشتر از واریانس متغیر اول است. بنابراین، حتی بدون دانستن قوانین توزیع این کمیت ها، بر اساس مقادیر پراکندگی شناخته شده می توانیم بیان کنیم که ایکسکمی از انتظارات ریاضی خود منحرف می شود، در حالی که برای Yاین انحراف کاملاً قابل توجه است.

خواص پراکندگی.

1) واریانس یک مقدار ثابت بابرابر با صفر:

D (سی) = 0. (7.8)

اثبات D(سی) = م((سانتی متر(سی))²) = م((C-C)²) = م(0) = 0.

2) ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

D(CX) = سی² D(ایکس). (7.9)

اثبات D(CX) = م((CX-M(CX))²) = م((CX-CM(ایکس))²) = م(سی²( X-M(ایکس))²) =

= سی² D(ایکس).

3) واریانس مجموع دو متغیر تصادفی مستقل با مجموع واریانس آنها برابر است:

D(X+Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.10)

اثبات D(X+Y) = م(ایکس² + 2 XY + Y²) - ( م(ایکس) + م(Y))² = م(ایکس 2) + 2 م(ایکس)م(Y) +

+ م(Y²) - م²( ایکس) - 2م(ایکس)م(Y) - م²( Y) = (م(ایکس²) - م²( ایکس)) + (م(Y²) - م²( Y)) = D(ایکس) + D(Y).

نتیجه 1.واریانس مجموع چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر با مجموع واریانس آنها است.

نتیجه 2.واریانس مجموع یک متغیر ثابت و یک متغیر تصادفی برابر با واریانس متغیر تصادفی است.

4) واریانس تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها:

D(X-Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.11)

اثبات D(X-Y) = D(ایکس) + D(-Y) = D(ایکس) + (-1)² D(Y) = D(ایکس) + D(ایکس).

واریانس مقدار میانگین مجذور انحراف یک متغیر تصادفی را از میانگین می دهد. برای ارزیابی خود انحراف از مقداری به نام انحراف استاندارد استفاده می شود.

تعریف 7.6.انحراف معیارσ متغیر تصادفی ایکسجذر واریانس نامیده می شود:

مثال. در مثال قبلی، انحرافات استاندارد ایکسو Yبه ترتیب برابر هستند

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

راه حل: انتظار ریاضی برابر است با مجموع حاصل از همه مقادیر ممکن X و احتمالات آنها:

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

مثالی برای حل آن خودتان (می توانید از ماشین حساب استفاده کنید).
انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته X را که توسط قانون توزیع مشخص شده است، بیابید:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

انتظارات ریاضی دارای ویژگی های زیر است.

ویژگی 1. انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر است با خود ثابت: M(C)=C.

خاصیت 2. عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد: M(CX)=CM(X).

ویژگی 3. انتظار ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل متقابل برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی عوامل: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

خاصیت 4. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارات: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

مسئله 189. اگر انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: Z = X+2Y، M(X) = 5، M(Y) = 3.

راه‌حل: با استفاده از ویژگی‌های انتظار ریاضی (انتظار ریاضی مجموع برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت‌ها؛ عامل ثابت را می‌توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد)، M(Z) را به دست می‌آوریم. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. با استفاده از ویژگی های انتظار ریاضی ثابت کنید که: الف) M(X - Y) = M(X) - M (Y); ب) انتظار ریاضی انحراف X-M(X) برابر با صفر است.

191. یک متغیر تصادفی گسسته X سه مقدار ممکن را می گیرد: x1= 4 با احتمال p1 = 0.5. xЗ = 6 با احتمال P2 = 0.3 و x3 با احتمال p3. با دانستن اینکه M(X)=8: x3 و p3 را پیدا کنید.

192. لیستی از مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی گسسته X داده شده است: x1 = -1، x2 = 0، x3 = 1 انتظارات ریاضی این مقدار و مربع آن نیز شناخته شده است: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. احتمالات p1, p2, p3 مربوط به مقادیر ممکن xi را پیدا کنید

194. یک دسته 10 قسمتی شامل سه قطعه غیر استاندارد است. دو بخش به صورت تصادفی انتخاب شدند. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته X را بیابید - تعداد قطعات غیر استاندارد در بین دو قطعه انتخاب شده.

196. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید-تعداد X از این گونه پرتاب های پنج تاس که در هر یک از آنها یک نقطه روی دو تاس ظاهر می شود، اگر تعداد کل پرتاب ها بیست باشد.

راه حل:

6.1.2 ویژگی های انتظار ریاضی

1. انتظار ریاضی یک مقدار ثابت با خود ثابت برابر است.

2. عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد.

3. انتظار ریاضی حاصل ضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است.

این ویژگی برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی صادق است.

4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات.

این ویژگی برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی نیز صادق است.

مثال: M(X) = 5, M(Y)= 2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ز، به کار بردن خواص انتظار ریاضی، در صورتی که معلوم باشد که Z=2X+3Y.

راه حل: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) انتظار ریاضی از مجموع برابر است با مجموع انتظارات ریاضی

2) عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد

اجازه دهید n آزمایش مستقل انجام شود، احتمال وقوع رویداد A که در آن برابر با p است. سپس قضیه زیر برقرار است:

قضیه. انتظار ریاضی M(X) از تعداد وقوع رویداد A در n آزمایش مستقل برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع رویداد در هر آزمایش.

6.1.3 پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته

انتظارات ریاضی نمی تواند به طور کامل یک فرآیند تصادفی را مشخص کند. علاوه بر انتظار ریاضی، لازم است مقداری وارد شود که انحراف مقادیر متغیر تصادفی از انتظار ریاضی را مشخص کند.

این انحراف برابر است با تفاوت بین متغیر تصادفی و انتظار ریاضی آن. در این حالت، انتظار ریاضی انحراف صفر است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که برخی از انحرافات احتمالی مثبت هستند، برخی دیگر منفی هستند و در نتیجه لغو متقابل آنها صفر به دست می آید.

پراکندگی (پراکندگی)یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی مجذور انحراف متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است.

در عمل، این روش محاسبه واریانس ناخوشایند است، زیرا منجر به محاسبات دست و پا گیر برای تعداد زیادی از مقادیر متغیر تصادفی می شود.

بنابراین از روش دیگری استفاده می شود.

قضیه. واریانس برابر است با تفاوت بین انتظار ریاضی مربع متغیر تصادفی X و مربع انتظار ریاضی آن.

اثبات با در نظر گرفتن این واقعیت که انتظار ریاضی M(X) و مربع انتظار ریاضی M2(X) کمیت های ثابت هستند، می توان نوشت:

مثال. واریانس یک متغیر تصادفی گسسته که توسط قانون توزیع داده شده است را بیابید.

راه حل: .

6.1.4 خواص پراکندگی

1. واریانس یک مقدار ثابت صفر است. .

2. ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد. .

3. واریانس مجموع دو متغیر تصادفی مستقل با مجموع واریانس این متغیرها برابر است. .

4. واریانس تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس این متغیرها. .

قضیه. واریانس تعداد وقوع رویداد A در n کارآزمایی مستقل که در هر یک از آنها احتمال p وقوع رویداد ثابت است، برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش‌ها با احتمال وقوع و غیر. وقوع رویداد در هر آزمایش

مثال: واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در 2 کارآزمایی مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویداد در این کارآزمایی ها یکسان است و معلوم است که M(X) = 1.2.

اجازه دهید قضیه 6.1.2 را اعمال کنیم:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. بیایید پیدا کنیم پ:

1,2 = 2∙پ

پ = 1,2/2

q = 1 – پ = 1 – 0,6 = 0,4

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول پیدا کنیم:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته

انحراف معیارمتغیر تصادفی X را جذر واریانس می گویند.

(25)

قضیه. انحراف معیار مجموع تعداد محدودی از متغیرهای تصادفی مستقل متقابل برابر است با جذر مجذور مجذور انحراف معیار این متغیرها.

6.1.6 حالت و میانه یک متغیر تصادفی گسسته

مد M o DSVمحتمل ترین مقدار یک متغیر تصادفی نامیده می شود (یعنی مقداری که بیشترین احتمال را دارد)

میانه M e DSVمقدار یک متغیر تصادفی است که سری توزیع را به نصف تقسیم می کند. اگر تعداد مقادیر یک متغیر تصادفی زوج باشد، میانه به عنوان میانگین حسابی دو مقدار متوسط ​​پیدا می شود.

مثال: حالت و میانه DSV را پیدا کنید ایکس:

ام ای = = 5,5

پیش رفتن

1. با بخش نظری این اثر (سخنرانی، کتاب درسی) آشنا شوید.

2. کار را مطابق نسخه خود کامل کنید.

3. گزارشی از کار تهیه کنید.

4. از شغل خود محافظت کنید.

2. هدف کار.

3. پیشرفت کار.

4. حل گزینه خود.

6.4 گزینه هایی برای وظایف برای کار مستقل

انتخاب 1

1. انتظار ریاضی، پراکندگی، انحراف معیار، حالت و میانه DSV X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید.

2. در صورتی که انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=6، M(Y)=4، Z=5X+3Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در دو کارآزمایی مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان باشد و مشخص شود که M (X) = 1.

4. فهرستی از مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته داده شده است ایکس: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

گزینه شماره 2

2. اگر انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=5، M(Y)=8، Z=6X+2Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در سه آزمایش مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان است و معلوم است که M (X) = 0.9.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10، و انتظارات ریاضی این مقدار و مربع آن نیز مشخص است: , . احتمالات،،،، مربوط به مقادیر ممکن، را پیدا کنید و قانون توزیع DSV را ترسیم کنید.

گزینه شماره 3

1. انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار DSV X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید.

2. اگر انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=3، M(Y)=4، Z=4X+2Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در چهار آزمایش مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان است و معلوم است که M (x) = 1.2.

4. فهرستی از مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی گسسته X داده شده است: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4= 5، و انتظارات ریاضی این مقدار و مربع آن نیز مشخص است: , . احتمالات،،،، مربوط به مقادیر ممکن، را پیدا کنید و قانون توزیع DSV را ترسیم کنید.

گزینه شماره 4

1. انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار DSV X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید.