دیفرانسیل یک تابع در یک نقطه دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر

اگر تابع قابل تمایز در نقطه , سپس افزایش آن را می توان به صورت مجموع دو جمله نشان داد

. این عبارات توابع بی نهایت کوچکی هستند
جمله اول با توجه به خطی است
، دومی بینهایت کوچک از مرتبه بالاتر از
.واقعا

بنابراین، دوره دوم در
هنگام یافتن افزایش تابع، سریعتر به صفر تمایل دارد
ترم اول نقش اصلی را ایفا می کند
یا (از زمانی که
)
.

تعریف . بخش اصلی افزایش تابع
در نقطه ، خطی نسبت به
,دیفرانسیل نامیده می شود کارکرد در این نقطه و تعیین شده استدویاdf(ایکس)

. (2)

بنابراین، می توان نتیجه گرفت: دیفرانسیل متغیر مستقل با افزایش آن منطبق است، یعنی
.

رابطه (2) اکنون شکل می گیرد

(3)

اظهار نظر . فرمول (3) برای اختصار اغلب به شکل نوشته می شود

(4)

معنی هندسی دیفرانسیل

نمودار تابع متمایز را در نظر بگیرید
. نکته ها
و متعلق به نمودار تابع است. در نقطه ممماس ترسیم شده بهبه نمودار تابعی که زاویه آن با جهت مثبت محور است
با نشان دادن
. بیایید خطوط مستقیم بکشیم MN موازی با محور گاو نر و
موازی با محور اوه. افزایش تابع برابر با طول قطعه است
. از مثلث قائم الزاویه
، که در آن
، ما گرفتیم

ملاحظات فوق به ما این امکان را می دهد که نتیجه گیری کنیم:

دیفرانسیل عملکرد
در نقطه با افزایش مختصات مماس بر نمودار این تابع در نقطه مربوطه آن نشان داده می شود.
.

رابطه بین دیفرانسیل و مشتق

فرمول (4) را در نظر بگیرید

اجازه دهید هر دو طرف این برابری را بر تقسیم کنیم dx، سپس

بدین ترتیب، مشتق یک تابع برابر است با نسبت دیفرانسیل آن به دیفرانسیل متغیر مستقل.

اغلب این نگرش به سادگی به عنوان یک نماد نشان دهنده مشتق یک تابع در نظر گرفته می شود دربا استدلال ایکس.

نمادهای مناسب برای مشتق نیز عبارتند از:

,
و غیره

از مدخل ها نیز استفاده می شود

,
,

به ویژه هنگام گرفتن مشتق از یک عبارت پیچیده راحت است.

2. دیفرانسیل جمع، حاصلضرب و ضریب.

از آنجایی که دیفرانسیل با ضرب آن در دیفرانسیل متغیر مستقل از مشتق به دست می آید، پس با دانستن مشتقات توابع ابتدایی اولیه و همچنین قوانین یافتن مشتقات، می توان به قوانین مشابهی برای یافتن دیفرانسیل رسید.

1 0 . دیفرانسیل ثابت صفر است

2 0 . دیفرانسیل مجموع جبری تعداد محدودی از توابع متمایز برابر با مجموع جبری دیفرانسیل این توابع است.

3 0 . دیفرانسیل حاصلضرب دو تابع متمایز برابر با مجموع حاصلضربهای تابع اول با دیفرانسیل تابع دوم و تابع دوم با دیفرانسیل تابع اول است.

نتیجه. ضریب ثابت را می توان از علامت دیفرانسیل خارج کرد

مثال. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید.

راه حل: بیایید این تابع را به شکل بنویسیم

سپس دریافت می کنیم

4. توابع تعریف شده به صورت پارامتری، تمایز آنها.

تعریف . تابع
گفته می شود اگر هر دو متغیر به صورت پارامتری داده شوند ایکس و در هر کدام به طور جداگانه به عنوان توابع تک مقداری از یک متغیر کمکی - پارامتر تعریف می شوندتی:

جایی کهتیدر داخل متفاوت است
.

اظهار نظر . مشخصات پارامتریک توابع به طور گسترده ای در مکانیک نظری استفاده می شود که در آن پارامتر تی زمان و معادلات را نشان می دهد
نشان دهنده قوانین تغییر در پیش بینی یک نقطه متحرک است
در محور
و
.

اظهار نظر . اجازه دهید معادلات پارامتریک یک دایره و یک بیضی را ارائه کنیم.

الف) دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع r معادلات پارامتری دارد:

جایی که
.

ب) معادلات پارامتری بیضی را بنویسیم:

جایی که
.

با حذف پارامتر تی از معادلات پارامتریک خطوط مورد بررسی می توان به معادلات متعارف آنها رسید.

قضیه . اگر تابع y از استدلال x به صورت پارامتریک توسط معادلات داده می شود
، جایی که
و
قابل تمایز با توجه بهتیتوابع و
، آن

مثال. مشتق تابع را بیابید دراز جانب ایکس، توسط معادلات پارامتری به دست می آید.

راه حل.
.

اگر تابع قابل تمایز در نقطه , سپس افزایش آن را می توان به صورت مجموع دو جمله نشان داد

. (2)

بنابراین، می توان نتیجه گرفت: دیفرانسیل متغیر مستقل با افزایش آن منطبق است، یعنی
.

رابطه (2) اکنون شکل می گیرد

(3)

اظهار نظر . فرمول (3) برای اختصار اغلب به شکل نوشته می شود

(4)

معنی هندسی دیفرانسیل

ملاحظات فوق به ما این امکان را می دهد که نتیجه گیری کنیم:

دیفرانسیل عملکرد
در نقطه با افزایش مختصات مماس بر نمودار این تابع در نقطه مربوطه آن نشان داده می شود.
.

رابطه بین دیفرانسیل و مشتق

فرمول (4) را در نظر بگیرید

اجازه دهید هر دو طرف این برابری را بر تقسیم کنیم dx، سپس

بدین ترتیب، مشتق یک تابع برابر است با نسبت دیفرانسیل آن به دیفرانسیل متغیر مستقل.

اغلب این نگرش به سادگی به عنوان یک نماد نشان دهنده مشتق یک تابع در نظر گرفته می شود دربا استدلال ایکس.

نمادهای مناسب برای مشتق نیز عبارتند از:

,
و غیره

از مدخل ها نیز استفاده می شود

,
,

به ویژه هنگام گرفتن مشتق از یک عبارت پیچیده راحت است.

2. دیفرانسیل جمع، حاصلضرب و ضریب.

1 0 . دیفرانسیل ثابت صفر است

2 0 . دیفرانسیل مجموع جبری تعداد محدودی از توابع متمایز برابر با مجموع جبری دیفرانسیل این توابع است.

نتیجه. ضریب ثابت را می توان از علامت دیفرانسیل خارج کرد

مثال. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید.

راه حل: بیایید این تابع را به شکل بنویسیم

سپس دریافت می کنیم

4. توابع تعریف شده به صورت پارامتری، تمایز آنها.

جایی کهتیدر داخل متفاوت است
.

اظهار نظر . اجازه دهید معادلات پارامتریک یک دایره و یک بیضی را ارائه کنیم.

الف) دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع r معادلات پارامتری دارد:

جایی که
.

ب) معادلات پارامتری بیضی را بنویسیم:

جایی که
.

با حذف پارامتر تی از معادلات پارامتریک خطوط مورد بررسی می توان به معادلات متعارف آنها رسید.

مثال. مشتق تابع را بیابید دراز جانب ایکس، توسط معادلات پارامتری به دست می آید.

راه حل.
.

مفهوم و معنای هندسی دیفرانسیل

تعریف. دیفرانسیل یک تابع در نقطه ای x قسمت اصلی و خطی افزایش تابع است.

دیفرانسیل تابع y = f(x) برابر است با حاصلضرب مشتق آن و افزایش متغیر مستقل x (استدلال).

اینگونه نوشته شده است:

معنی هندسی دیفرانسیل. دیفرانسیل تابع y = f(x) برابر است با افزایش مختصات مماس S کشیده شده به نمودار این تابع در نقطه M(x; y)، زمانی که x (آگومان) مقداری تغییر می کند. (شکل را ببین).

چرا می توان از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی استفاده کرد؟

دیفرانسیل قسمت اصلی و نسبتا خطی افزایش تابع است. هرچه کوچکتر باشد، نسبت افزایشی که این قسمت ایجاد می کند بیشتر است. می‌توانید با حرکت دادن ذهنی عمود پایین‌آمده از نقطه P (به شکل) به محور Ox، نزدیک‌تر به مبدا، تأیید کنید. بنابراین، برای مقادیر کوچک (و برای ) افزایش تابع را می توان تقریباً با قسمت اصلی آن جایگزین کرد، یعنی.

درباره اشکال مختلف نوشتن دیفرانسیل

دیفرانسیل تابع در نقطه x با نشان داده می شود

از این رو،

, (2)

زیرا دیفرانسیل تابع y = f(x) برابر است با حاصلضرب مشتق آن و افزایش متغیر مستقل.

اظهار نظر. باید به خاطر داشت که اگر x مقدار اولیه آرگومان باشد و مقدار افزایش یافته باشد، مشتق در عبارت دیفرانسیل در نقطه اولیه x گرفته می شود. در فرمول (1) این از رکورد قابل مشاهده نیست.

دیفرانسیل یک تابع را می توان به شکل دیگری نوشت:

(4)

خواص دیفرانسیل

در این پاراگراف و پاراگراف های بعدی، ما هر یک از توابع را برای همه مقادیر در نظر گرفته شده آرگومان های آن قابل تمایز در نظر خواهیم گرفت.

دیفرانسیل دارای خواصی شبیه به مشتقات است:

(C یک مقدار ثابت است) (5)

(6)

(7)

(9)

فرمول های (5) - (9) از فرمول های مربوط به مشتق با ضرب دو طرف هر تساوی در بدست می آیند.

کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

برابری تقریبی تعیین شده در بند دوم

به شما امکان می دهد از یک دیفرانسیل برای محاسبات تقریبی مقادیر تابع استفاده کنید.

اجازه دهید برابری تقریبی را با جزئیات بیشتری بنویسیم. زیرا

خطاهای مطلق و نسبی محاسبات تقریبی

با استفاده از مقدار تقریبی یک عدد، باید بتوانید میزان دقت آن را قضاوت کنید. برای این منظور خطاهای مطلق و نسبی آن محاسبه می شود.

خطای مطلق یک عدد تقریبی برابر است با قدر مطلق تفاوت بین عدد دقیق و مقدار تقریبی آن:

خطای نسبی یک عدد تقریبی، نسبت خطای مطلق این عدد به قدر مطلق عدد دقیق مربوطه است:

اگر عدد دقیق مشخص نیست، پس

گاهی اوقات، قبل از اعمال فرمول (11)، لازم است ابتدا مقدار اصلی را تغییر دهید. به طور معمول، این کار برای دو منظور انجام می شود. اولاً، لازم است اطمینان حاصل شود که مقدار در مقایسه با مقدار به اندازه کافی کوچک است، زیرا هر چه کوچکتر باشد، نتیجه محاسبه تقریبی دقیق تر است. ثانیاً، مطلوب است که مقدار به سادگی محاسبه شود.

24. استفاده از دیفرانسیل تابع برای محاسبات تقریبی

اعمال دیفرانسیل برای محاسبات تقریبی

مفهوم دیفرانسیل نشان می دهد که اگر هر فرآیندی از نظر ماهیت تغییرش نزدیک به خطی باشد، افزایش تابع تفاوت کمی با دیفرانسیل دارد. علاوه بر این، اگر تابعی در نقطه ای x مشتق محدودی داشته باشد، افزایش و دیفرانسیل آن نیز بی نهایت کوچک هستند و به سمت صفر گرایش دارند:

از آنجایی که تابع متمایز شده پیوسته است،

زیرا حاصلضرب یک تابع محدود و یک بی نهایت کوچک به صورتی که DX به صفر میل می کند یک تابع بی نهایت کوچک است.

علاوه بر این، این دو تابع بی نهایت کوچک معادل هستند:

هم ارزی این امکان را فراهم می کند که با افزایش اندک آرگومان بتوان تقریباً محاسبه کرد

این فرمول چه چیزی می تواند بدهد؟ اجازه دهید مقادیر و در یک نقطه نسبتاً ساده محاسبه شوند. سپس در نقطه دیگری، نه چندان دور از، نمایش زیر ممکن است:

در اینجا سؤال در مورد صحت نتیجه به دست آمده باز می ماند. این شرایط ارزش این فرمول محاسبه تقریبی را کاهش می دهد، اما به طور کلی مفید و به طور گسترده در عمل استفاده می شود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. در یک مثلث قائم الزاویه، پاهای a=5 m و b=12m اگر 0.2 متر از پایه a کم شود، افت فشار این مثلث چقدر خواهد بود؟

بیایید طول اصلی هیپوتانوس را پیدا کنیم:

پس از کاهش پایه a به میزان 0.2 متر، هیپوتونوس برابر خواهد شد (شکل 11.5، a)

اکنون فرمول (11.16) را برای یافتن تقریبی c در رابطه با کاهش پایه a با در نظر گرفتن تابعی از شکل اعمال می کنیم:

(B=Const)؛

در هر دو مورد، مقدار تقریبی مقدار مورد نظر را دریافت کردیم. اما در حالت اول، خطا در نتیجه محاسبات تقریبی و در حالت دوم، نسبتاً ساده تر، به دلیل استفاده از فرمول تقریبی (خطای ناشی از محاسبات تقریبی را نیز می توان به آن اضافه کرد) ایجاد می شود. توجه داشته باشید که وقتی پای a 0.2 متر کاهش می یابد، هیپوتانوس c تقریباً 0.08 متر کاهش می یابد و مقادیر تقریبی که ما به دست آوردیم تنها 0.001 متر متفاوت است.

بیایید وضعیت دیگری را در نظر بگیریم: در همان مثلث، هیپوتانوس c را 0.2 متر کاهش می دهیم، و پایه b را بدون تغییر باقی می گذاریم (شکل 11.5، b). اجازه دهید تعیین کنیم که پای A در این مورد چگونه تغییر می کند:

25. کاربرد مشتق در مطالعه توابع و رسم نمودارها

اگر در یک بازه زمانی مشخص، نمودار یک تابع یک خط پیوسته باشد، به عبارت دیگر، خطی که می توان از یک ورق کاغذ بدون مداد رسم کرد، چنین تابعی در این بازه پیوسته نامیده می شود. توابعی هم هستند که پیوسته نیستند. به عنوان مثال، نمودار تابعی را در نظر بگیرید که در فواصل و [s; b] پیوسته است، اما در نقطه
x = c ناپیوسته است و بنابراین در کل بخش پیوسته نیست. تمام توابعی که در درس ریاضی مدرسه مطالعه می کنیم، توابع پیوسته در هر بازه ای هستند که در آن تعریف می شوند.

توجه داشته باشید که اگر تابعی در بازه خاصی مشتق داشته باشد، در این بازه پیوسته است.

عبارت معکوس نادرست است. تابعی که در یک بازه پیوسته است ممکن است در برخی از نقاط آن بازه مشتق نداشته باشد. به عنوان مثال، تابع
y = |log 2 x| پیوسته در بازه x > 0، اما در نقطه x = 1 هیچ مشتقی ندارد، به این دلیل که در این نقطه نمودار تابع مماس مماس ندارد.

بیایید به ترسیم نمودارها با استفاده از مشتق نگاه کنیم.

تابع f(x) = x 3 – 2x 2 + x را رسم کنید.

1) این تابع برای تمام x € R تعریف شده است.

2) اجازه دهید با استفاده از مشتق، فواصل یکنواختی تابع مورد بررسی و نقاط انتهایی آن را پیدا کنیم. مشتق برابر با f "(x) = 3x 2 – 4x + 1 است. بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم:
3x 2 – 4x + 1 = 0، از این جا x 1 = 1/3، x 2 = 1.

برای تعیین علامت مشتق، سه جمله های درجه دوم 3x 2 – 4x + 1 را فاکتور می کنیم:
f "(x) = 3(x – 1/3)(x – 1). بنابراین، در فواصل x< 1/3 и х >1 مشتق مثبت است. این بدان معنی است که عملکرد در این بازه ها افزایش می یابد.

مشتق در 1/3 منفی است< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

نقطه x 1 = 1/3 حداکثر نقطه است، زیرا در سمت راست این نقطه تابع کاهش می یابد و در سمت چپ افزایش می یابد. در این مرحله مقدار تابع f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27 است.

حداقل نقطه نقطه x2 = 1 است، زیرا در سمت چپ این نقطه تابع کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد. مقدار آن در این نقطه حداقل f (1) = 0 است.

3) هنگام ساخت یک نمودار، معمولاً نقاط تلاقی نمودار با محورهای مختصات پیدا می شود. از آنجایی که f(0) = 0، نمودار از مبدا عبور می کند. با حل معادله f(0) = 0، نقاط تقاطع نمودار را با محور آبسیسا پیدا می کنیم:

x 3 – 2x 2 + x = 0، x(x2 – 2x + 1) = 0، x(x – 1) 2 = 0، از آنجا x = 0، x = 1.

4) برای ترسیم دقیق تر، بیایید مقادیر تابع را در دو نقطه دیگر پیدا کنیم: f(-1/2) = -9/8، f(2) = 2.

5) با استفاده از نتایج مطالعه (نقاط 1 – 4)، نموداری از تابع y = x 3 – 2x 2 + x می سازیم.

برای ساختن نمودار یک تابع، معمولاً ابتدا خواص این تابع با استفاده از مشتق آن مطابق طرحی مشابه طرح حل مسئله 1 بررسی می شود.

بنابراین، هنگام بررسی ویژگی های یک تابع، باید پیدا کنید:

1) دامنه تعریف آن؛

2) مشتق؛

3) نقاط ثابت؛

4) فواصل افزایش و کاهش.

5) نقاط افراطی و مقادیر تابع در این نقاط.

ثبت نتایج مطالعه در قالب یک جدول راحت است. سپس با استفاده از جدول نموداری از تابع رسم می شود. برای ساختن دقیق تر نمودار، معمولاً نقاط تلاقی آن با محورهای مختصات و در صورت لزوم چندین نقطه دیگر از نمودار پیدا می شود.

اگر با یک تابع زوج یا فرد روبرو باشیم، برای ساخت نمودار آن کافی است ویژگی ها را مطالعه کرده و نمودار آن را برای x > 0 بسازیم و سپس آن را به طور متقارن حول محور ارتین (منشا) منعکس کنیم. برای مثال، با تجزیه و تحلیل تابع f(x) = x + 4/x، به این نتیجه می رسیم که این تابع فرد است: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). پس از تکمیل تمام نقاط طرح، یک نمودار از تابع برای x > 0 و یک نمودار از این تابع برای x می سازیم.< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 نسبت به مبدا.

برای اختصار، حل مسائل مربوط به ساخت نمودار توابع، بیشتر استدلال به صورت شفاهی انجام می شود.

ما همچنین توجه می کنیم که هنگام حل برخی از مسائل ممکن است با نیاز به مطالعه یک تابع نه در کل دامنه تعریف، بلکه فقط در یک بازه زمانی خاص مواجه شویم، به عنوان مثال، اگر لازم باشد مثلاً تابع f(x را رسم کنیم. ) = 1 + 2x 2 - x 4 در بخش [-1; 2].

26. ضد مشتق یک تابع. انتگرال نامعین و خصوصیات آن

تعریف آنتی مشتق.

پاد مشتق تابع f(x) در بازه (a; b) تابع F(x) است به طوری که برابری برای هر x از بازه داده شده برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است، برابری درست است. . بنابراین، تابع f(x) دارای مجموعه‌ای از ضد مشتق‌ها F(x)+C برای یک ثابت دلخواه C است و این پاد مشتق‌ها با یک مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر متفاوت هستند.

تعریف انتگرال نامعین

کل مجموعه پاد مشتق های تابع f(x) انتگرال نامعین این تابع نامیده می شود و نشان داده می شود. .

عبارت انتگرال نامیده می شود و f(x) انتگرال نامیده می شود. انتگرال نشان دهنده دیفرانسیل تابع f(x) است.

عمل یافتن یک تابع مجهول با توجه به دیفرانسیل آن را یکپارچگی نامعین می نامند، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F(x) نیست، بلکه مجموعه ای از ضد مشتقات آن F(x)+C است.

بر اساس ویژگی های مشتق، می توان خواص انتگرال نامعین (خواص ضد مشتق) را فرموله و اثبات کرد.

1.
مشتق نتیجه یکپارچه سازی برابر با انتگرال است.

2.
انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با مجموع خود تابع و یک ثابت دلخواه.

3. ، که در آن k یک ثابت دلخواه است.
ضریب را می توان به عنوان نشانه ای از انتگرال نامعین خارج کرد.

4.
انتگرال نامعین مجموع / تفاضل توابع برابر است با مجموع / تفاضل انتگرالهای نامعین توابع.

تساوی میانی خواص اول و دوم انتگرال نامعین برای روشن شدن آورده شده است.

برای اثبات ویژگی های سوم و چهارم کافی است مشتقات سمت راست تساوی ها را بیابید:

این مشتقات برابر با انتگرال هستند که به دلیل خاصیت اول دلیلی است. همچنین در آخرین انتقال ها استفاده می شود.

بنابراین، مشکل ادغام معکوس مسئله تمایز است و ارتباط بسیار نزدیکی بین این مشکلات وجود دارد:

· اولین ویژگی به شخص اجازه می دهد تا یکپارچگی را بررسی کند. برای بررسی صحت ادغام انجام شده کافی است مشتق نتیجه به دست آمده را محاسبه کنید. اگر تابعی که در نتیجه تمایز به دست می آید برابر با انتگرال باشد، به این معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.

· خاصیت دوم انتگرال نامعین به شخص اجازه می دهد تا با استفاده از دیفرانسیل شناخته شده یک تابع، پاد مشتق آن را بیابد. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

پاد مشتق تابعی را که مقدار آن برابر با یک در x = 1 است را پیدا کنید.

ما از حساب دیفرانسیل می دانیم که (فقط به جدول مشتقات توابع ابتدایی اولیه نگاه کنید). بدین ترتیب، . توسط ملک دوم . یعنی ما ضد مشتقات زیادی داریم. برای x = 1 مقدار را دریافت می کنیم. با توجه به شرط، این مقدار باید برابر با یک باشد، بنابراین، C = 1. ضد مشتق مورد نظر به شکل .

اگر جدول مشتقات توابع ابتدایی پایه به شکل دیفرانسیل بازنویسی شود، می توان از آن با استفاده از خاصیت دوم انتگرال نامعین جدولی از پاد مشتق ها تهیه کرد.

اطلاعات مربوطه.

همانطور که می بینید، برای پیدا کردن دیفرانسیل باید مشتق را در dx ضرب کنید. این به شما امکان می دهد بلافاصله جدول مربوطه را برای تفاوت ها از جدول فرمول های مشتقات بنویسید.

دیفرانسیل کل برای تابعی از دو متغیر:

دیفرانسیل کل برای تابعی از سه متغیر برابر است با مجموع دیفرانسیل های جزئی: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ، ی، ز)دز

تعریف . تابع y=f(x) در نقطه x 0 قابل تفکیک نامیده می شود اگر افزایش آن در این نقطه را بتوان به صورت ∆y=A∆x + α(∆x)∆x نشان داد، که در آن A یک ثابت است و α(∆) x) - بی نهایت کوچک به عنوان ∆x → 0.
شرط متمایز بودن یک تابع در یک نقطه معادل وجود مشتق در این نقطه است و A=f’(x 0).

فرض کنید f(x) در نقطه x 0 قابل تفکیک باشد و f "(x 0)≠0، سپس ∆y=f'(x0)∆x + α∆x، که α= α(∆x) → 0 در ∆x → 0 کمیت ∆y و هر جمله در سمت راست مقادیری بی نهایت کوچک برای ∆x→0 هستند. ، یعنی α(∆x)∆x یک بی نهایت کوچک با مرتبه بالاتر از f’(x 0)∆x است.
، یعنی ∆y~f’(x 0)∆x. در نتیجه، f’(x 0)∆x نمایانگر قسمت اصلی و در عین حال خطی نسبت به ∆x از افزایش ∆y است (خطی، که به معنای حاوی ∆x به توان اول است). این عبارت دیفرانسیل تابع y=f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود و به آن dy(x0) یا df(x0) می گویند. بنابراین، برای مقادیر دلخواه x
dy=f′(x)∆x. (1)
سپس dx=∆x را تنظیم کنید
dy=f′(x)dx. (2)

مثال. مشتقات و دیفرانسیل این توابع را بیابید.
الف) y=4 tan2 x
راه حل:

دیفرانسیل:
ب)
راه حل:

دیفرانسیل:
ج) y=arcsin 2 (lnx)
راه حل:

دیفرانسیل:
ز)
راه حل:
=
دیفرانسیل:

مثال. برای تابع y=x 3 عبارتی برای ∆y و dy برای برخی از مقادیر x و ∆x پیدا کنید.
راه حل. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (قسمت خطی اصلی ∆y را نسبت به ∆x گرفتیم). در این حالت α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.

از آنجایی که به طور ناگسستنی به هم مرتبط هستند، هر دوی آنها برای چندین قرن به طور فعال در حل تقریباً تمام مشکلاتی که در روند فعالیت علمی و فنی بشر به وجود آمده است استفاده شده است.

پیدایش مفهوم دیفرانسیل

گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، ریاضیدان معروف آلمانی، یکی از پدیدآورندگان (به همراه اسحاق نیوتن) حساب دیفرانسیل، اولین کسی بود که دیفرانسیل چیست. قبل از این، ریاضیدانان قرن هفدهم. یک ایده بسیار مبهم و مبهم از بخش "تقسیم ناپذیر" بی نهایت کوچک از هر تابع شناخته شده استفاده شد که نشان دهنده یک مقدار ثابت بسیار کوچک است، اما برابر با صفر نیست، کمتر از آن که مقادیر تابع به سادگی نمی تواند باشد. از اینجا تنها یک قدم تا معرفی مفهوم افزایش بی نهایت کوچک آرگومان های توابع و افزایش متناظر خود توابع بود که از طریق مشتقات دومی بیان می شود. و این گام تقریباً همزمان توسط دو دانشمند بزرگ فوق الذکر برداشته شد.

نیوتن و لایب نیتس بر اساس نیاز به حل مسائل عملی مبرم مکانیک، که توسط صنعت و فناوری به سرعت در حال توسعه برای علم مطرح شده بود، روش های کلی برای یافتن سرعت تغییر توابع (عمدتاً در رابطه با سرعت مکانیکی جسم در طول) ایجاد کردند. یک مسیر شناخته شده) که منجر به معرفی مفاهیمی مانند مشتق و دیفرانسیل یک تابع شد و همچنین الگوریتمی برای حل مسئله معکوس نحوه یافتن مسافت طی شده با استفاده از سرعت شناخته شده (متغیر) پیدا کرد که منجر شد به ظهور مفهوم انتگرال.

در آثار لایب نیتس و نیوتن، ابتدا این ایده ظاهر شد که دیفرانسیل ها بخش های اصلی افزایش توابع Δy متناسب با افزایش آرگومان های Δx هستند که می توانند با موفقیت برای محاسبه مقادیر دومی مورد استفاده قرار گیرند. به عبارت دیگر، آنها کشف کردند که افزایش یک تابع را می توان در هر نقطه (در محدوده تعریف آن) از طریق مشتق آن به صورت Δу = y"(x) Δх + αΔχ بیان کرد، که α Δх عبارت باقی مانده است که تمایل به آن دارد. صفر به عنوان Δх→ 0، بسیار سریعتر از خود Δx.

به گفته بنیانگذاران آنالیز ریاضی، دیفرانسیل ها دقیقاً اولین اصطلاحات در عبارات افزایش هر توابع هستند. آنها هنوز مفهوم مشخصی از حد دنباله‌ها را فرمول‌بندی نشده‌اند، آنها به طور شهودی دریافتند که مقدار دیفرانسیل به مشتق تابع به صورت Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) تمایل دارد.

برخلاف نیوتن که اساساً یک فیزیکدان بود و دستگاه ریاضی را ابزاری کمکی برای مطالعه مسائل فیزیکی می‌دانست، لایب‌نیتس توجه بیشتری به خود این جعبه ابزار شامل سیستمی از نمادهای بصری و قابل درک برای کمیت‌های ریاضی داشت. او بود که نماد پذیرفته شده عمومی را برای دیفرانسیل های تابع dy = y"(x)dx، آرگومان dx و مشتق تابع به شکل نسبت آنها y"(x) = dy/dx پیشنهاد کرد.

تعریف مدرن

تفاوت از دیدگاه ریاضیات مدرن چیست؟ ارتباط نزدیکی با مفهوم افزایش یک متغیر دارد. اگر متغیر y ابتدا مقدار y = y 1 و سپس y = y 2 را بگیرد، آنگاه تفاوت y 2 ─ y 1 را افزایش y می نامند.

افزایش می تواند مثبت باشد. منفی و برابر با صفر است. کلمه "افزایش" با Δ نشان داده می شود، نماد Δу (بخوانید "delta y") نشان دهنده افزایش مقدار y است. بنابراین Δу = y 2 ─ y 1 .

اگر مقدار Δу یک تابع دلخواه y = f (x) را می توان به شکل Δу = A Δх + α نشان داد، که در آن A هیچ وابستگی به Δх ندارد، یعنی A = const برای x داده شده، و عبارت α برای Δх. → 0 تمایل دارد که حتی سریعتر از خود Δx باشد، سپس اولین جمله ("اصلی")، متناسب با Δx، برای y = f (x) یک دیفرانسیل است که به dy یا df(x) نشان داده می شود (بخوانید "de igrek" ، "de ef from x"). بنابراین، دیفرانسیل ها اجزای "اصلی" افزایش تابع هستند که نسبت به Δx خطی هستند.

تفسیر مکانیکی

فرض کنید s = f (t) فاصله وسیله نقلیه در حال حرکت مستقیم از موقعیت اولیه باشد (t زمان سفر است). افزایش Δs مسیر نقطه در طول بازه زمانی Δt است و دیفرانسیل ds = f" (t) Δt مسیری است که نقطه اگر سرعت f"(t) را حفظ می کرد در همان زمان Δt طی می کرد. ) در زمان t بدست آمده است. برای یک Δt بینهایت کوچک، مسیر خیالی ds با مقدار بی نهایت کوچک با Δs واقعی متفاوت است که نسبت به Δt مرتبه بالاتری دارد. اگر سرعت در لحظه t صفر نباشد، ds مقدار تقریبی جابجایی کوچک نقطه را به دست می دهد.

تفسیر هندسی

فرض کنید خط L نمودار y = f(x) باشد. سپس Δ x = MQ، Δου = QM" (شکل زیر را ببینید). مماس MN قطعه Δy را به دو قسمت QN و NM تقسیم می کند. اولی متناسب با Δχ و برابر است با QN = MQ∙tg (زاویه QMN) = Δх f "(x)، یعنی QN دیفرانسیل است.

قسمت دوم NM" تفاوت Δу ─ dy را می دهد، با Δх→0 طول NM" حتی سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد، یعنی ترتیب کوچکی آن بالاتر از Δх است. در مورد مورد بررسی، برای f "(x) ≠ 0 (مماس با OX موازی نیست)، بخش های QM و QN معادل هستند. به عبارت دیگر، NM" سریعتر از افزایش کل Δυ = QM کاهش می یابد (ترتیب کوچکی آن بیشتر است). این را می توان در شکل مشاهده کرد (از آنجایی که M "به M نزدیک می شود، بخش NM" درصد کمتری از بخش QM را تشکیل می دهد").

بنابراین، از نظر گرافیکی، دیفرانسیل یک تابع دلخواه برابر است با افزایش مختصات مماس آن.

مشتق و دیفرانسیل

ضریب A در جمله اول عبارت برای افزایش یک تابع برابر است با مقدار مشتق آن f "(x). بنابراین، رابطه زیر برقرار است - dy = f "(x)Δx، یا df (x) = f "(x)Δx.

مشخص است که افزایش یک آرگومان مستقل برابر است با دیفرانسیل آن Δх = dx. بر این اساس، می توانیم بنویسیم: f "(x) dx = dy.

یافتن دیفرانسیل ها (که گاهی اوقات «حل کردن» نامیده می شود) از قوانین مشابهی برای مشتقات پیروی می کند. فهرستی از آنها در زیر آورده شده است.

چه چیزی جهانی تر است: افزایش یک استدلال یا تفاوت آن

در اینجا لازم است برخی توضیحات ارائه شود. نمایش یک دیفرانسیل با مقدار f "(x)Δx زمانی امکان پذیر است که x را به عنوان یک آرگومان در نظر بگیریم. اما تابع می تواند پیچیده باشد، که در آن x می تواند تابعی از برخی از آرگومان t باشد. سپس دیفرانسیل را با عبارت f "( x) Δx، به عنوان یک قاعده، غیر ممکن است. به جز مورد وابستگی خطی x = at + b.

در مورد فرمول f "(x)dx = dy، هم در مورد یک آرگومان مستقل x (سپس dx = Δx) و هم در مورد وابستگی پارامتری x به t، یک دیفرانسیل را نشان می دهد.

به عنوان مثال، عبارت 2 x Δx برای y = x 2 دیفرانسیل آن را زمانی که x آرگومان است نشان می دهد. اکنون x = t 2 قرار داده و t را به عنوان آرگومان در نظر می گیریم. سپس y = x 2 = t 4.

این عبارت با Δt متناسب نیست و بنابراین اکنون 2xΔx یک دیفرانسیل نیست. می توان آن را از معادله y = x 2 = t 4 یافت. برابر است با dy=4t 3 Δt.

اگر عبارت 2xdx را بگیریم، آنگاه دیفرانسیل y = x 2 را برای هر آرگومان t نشان می دهد. در واقع، برای x = t 2 ما dx = 2tΔt را بدست می آوریم.

این به این معنی است که 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt، یعنی عبارات دیفرانسیل که بر حسب دو متغیر متفاوت نوشته شده اند، مطابقت دارند.

جایگزینی افزایش با دیفرانسیل

اگر f "(x) ≠ 0، آنگاه Δу و dy معادل هستند (برای Δх→0)؛ اگر f "(x) = 0 (که به معنای dy = 0 است)، معادل نیستند.

به عنوان مثال، اگر y = x 2، آنگاه Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2، و dy = 2xΔх. اگر x=3 باشد، آنگاه دو = 6Δх + Δх 2 و dy = 6Δх داریم که به دلیل Δх 2 → 0 معادل هستند، در x=0 مقادیر Δу = Δх 2 و dy=0 معادل نیستند.

این واقعیت، همراه با ساختار ساده دیفرانسیل (یعنی خطی بودن نسبت به Δx)، اغلب در محاسبات تقریبی، با این فرض که Δy ≈ dy برای Δx کوچک استفاده می شود. یافتن دیفرانسیل یک تابع معمولا ساده تر از محاسبه مقدار دقیق افزایش است.

به عنوان مثال، ما یک مکعب فلزی با لبه x = 10.00 سانتی متر داریم، طول لبه آن 0.001 سانتی متر است؟ ما V = x 2 داریم، بنابراین dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). افزایش حجم ΔV معادل dV دیفرانسیل است، بنابراین ΔV = 3 cm 3 است. یک محاسبه کامل، ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 را به دست می دهد. اما در این نتیجه همه ارقام به جز اولی غیر قابل اعتماد هستند. این به این معنی است که مهم نیست، باید آن را به 3 سانتی متر 3 گرد کنید.

بدیهی است که این روش تنها در صورتی مفید است که بتوان بزرگی خطای معرفی شده توسط آن را تخمین زد.

دیفرانسیل تابع: مثال

بیایید سعی کنیم دیفرانسیل تابع y = x 3 را بدون یافتن مشتق پیدا کنیم. اجازه دهید آرگومان را افزایش دهیم و Δου را تعریف کنیم.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

در اینجا ضریب A = 3x 2 به Δx بستگی ندارد، بنابراین جمله اول با Δx متناسب است، در حالی که عبارت دیگر 3xΔx 2 + Δx 3 در Δx→0 سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد. بنابراین، عبارت 3x 2 Δx دیفرانسیل y = x 3 است:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx یا d(x 3) = 3x 2 dx.

در این مورد، d(x 3) / dx = 3x 2.

اجازه دهید دو تابع y = 1/x را از طریق مشتق آن پیدا کنیم. سپس d(1/x) / dx = ─1/x 2. بنابراین dy = ─ Δx/x 2.

دیفرانسیل توابع جبری پایه در زیر آورده شده است.

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل

اغلب محاسبه تابع f (x) و همچنین مشتق f "(x) در x=a دشوار نیست، اما انجام همین کار در مجاورت نقطه x=a آسان نیست. سپس عبارت تقریبی به کمک می آید

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

مقدار تقریبی تابع را برای افزایش های کوچک Δх از طریق دیفرانسیل f "(a)Δх می دهد.

در نتیجه، این فرمول یک عبارت تقریبی برای تابع در نقطه پایانی یک مقطع مشخص از طول Δx به صورت مجموع مقدار آن در نقطه شروع این بخش (x=a) و دیفرانسیل در همان شروع به دست می دهد. نقطه. خطای این روش برای تعیین مقدار یک تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

با این حال، بیان دقیق مقدار تابع برای x=a+Δх نیز مشخص است که با فرمول افزایش محدود (یا به عبارت دیگر، فرمول لاگرانژ) داده می‌شود.

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a)،

جایی که نقطه x = a+ ξ بر روی قطعه از x = a تا x = a + Δx قرار دارد، اگرچه موقعیت دقیق آن ناشناخته است. فرمول دقیق به شما امکان می دهد خطای فرمول تقریبی را تخمین بزنید. اگر ξ = Δx /2 را در فرمول لاگرانژ قرار دهیم، اگر چه دقیق نیست، معمولاً تقریب بسیار بهتری نسبت به عبارت اصلی از طریق دیفرانسیل ارائه می دهد.

تخمین خطای فرمول ها با استفاده از دیفرانسیل

در اصل، آنها نادرست هستند و خطاهای مربوطه را به داده های اندازه گیری وارد می کنند. آنها با یک خطای حاشیه ای یا به طور خلاصه، حداکثر مشخص می شوند - یک عدد مثبت که آشکارا از این خطا در مقدار مطلق (یا در موارد شدید، برابر با آن) بیشتر است. حد عبارت است از تقسیم آن بر قدر مطلق کمیت اندازه گیری شده.

اجازه دهید از فرمول دقیق y= f (x) برای محاسبه تابع y استفاده شود، اما مقدار x نتیجه یک اندازه گیری است و بنابراین یک خطا به y وارد می کند. سپس برای یافتن حداکثر خطای مطلق تابع y از فرمول استفاده کنید.

│‌Δу│≈│‌dy│=│ f "(x)││Δх│،

که در آن │Δх│ حداکثر خطای آرگومان است. مقدار │‌Δу│ باید به سمت بالا گرد شود، زیرا خود جایگزینی محاسبه افزایش با محاسبه دیفرانسیل نادرست است.