آنچه به آن تمایز گفته می شود. مسائل تعیین ویژگی های مشتق از نمودار یک تابع

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق می دهد که باید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. حداکثر یا حداقل امتیاز (امتیازهای افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فواصل یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند و راه حل را بسیار آسان تر می کند. علیرغم اینکه این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی ضعیف ترین دانش آموزان نیز می توانند آن را انجام دهند، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیقی نیاز نیست.

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مسئله B9 را با دقت بخوانید تا از انجام اشتباهات احمقانه جلوگیری کنید: گاهی اوقات با متن های بسیار طولانی مواجه می شوید، اما چند شرط مهم وجود دارد که بر روند راه حل تأثیر می گذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و برای یافتن مقدار مشتق در این نقطه لازم است، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "کافی" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را A (x 1 , y 1) و B (x 2 , y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی یادداشت کنید - این یک نکته کلیدی در راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ نادرست می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید افزایش تابع را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی فرموله نخواهد شد.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می‌توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات، به جای نمودار یک تابع، مسئله B9 نموداری از مشتق را ارائه می دهد و نیاز به یافتن حداکثر یا حداقل نقطه تابع دارد. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا اجازه دهید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 حداقل نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در همسایگی این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل امتیاز از نمودار مشتق، کافی است این مراحل را دنبال کنید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX قرار گیرد، آنگاه f'(x) ≤ 0.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل نقطه است. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - در مشکل B9 هیچ مورد دیگری وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم و فقط مرزها را رها کنیم [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. ما همچنین به علائم توجه می کنیم:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. اجازه دهید علائم مشتق را در نمودار حاصل یادداشت کنیم. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به بخش [-4; 3].

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که کافی است تنها بخشی از نمودار را در نظر بگیریم که توسط بخش محدود شده است [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار تنها یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی جمع آوری شده باشد، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" به طور مستقیم در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته این ترفند با امتیازات صحیح جواب نمی دهد.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، پیشنهاد می شود از نمودار مشتق برای یافتن مناطقی که خود تابع در آنها افزایش یا کاهش می یابد، استفاده شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که افزایش و کاهش چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه افزایش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه کاهش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . آن ها مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع کوچکتر است.

اجازه دهید شرایط کافی برای افزایش و کاهش را فرموله کنیم:

1. برای اینکه تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f’(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، ما طرحی را برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکستریموم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. علائم مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f'(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f'(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی را روی متغیر x ایجاد کند، آن‌ها را در یک نمودار جدید نیز علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت ها را می دانیم، باقی مانده است که کمیت مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و مرزها را علامت گذاری کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را یادداشت می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را پیدا کنید. در پاسخ خود، طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. بگذارید فقط مرزها را رها کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار عدد از آنها وجود داشت: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. بیایید علائم مشتق را علامت‌گذاری کنیم و تصویر زیر را دریافت کنیم:

ما علاقه مند به فواصل افزایش تابع هستیم، یعنی. مانند جایی که f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که باید طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، مقدار l 2 = 5 را به عنوان پاسخ یادداشت می کنیم.

هنگام حل مسائل مختلف هندسه، مکانیک، فیزیک و سایر شاخه های دانش، نیاز به استفاده از همان فرآیند تحلیلی از این تابع بوجود آمد. y=f(x)یک تابع جدید به نام دریافت کنید تابع مشتق(یا به سادگی مشتق) یک تابع معین f(x)و با نماد مشخص می شود

فرآیندی که طی آن از یک تابع معین f(x)یک ویژگی جدید دریافت کنید f" (x)، تماس گرفت تفکیکو شامل سه مرحله زیر است: 1) استدلال ایکسافزایش  ایکسو افزایش مربوط به تابع را تعیین کنید  y = f(x+ x) -f(x); 2) ایجاد رابطه

3) شمارش ایکسثابت و  ایکس0، پیدا می کنیم
، که با آن نشان می دهیم f" (x)، گویی تأکید می کند که تابع حاصل فقط به مقدار بستگی دارد ایکس، که در آن به مرز می رویم. تعریف: مشتق y "=f" (x) تابع داده شده y=f(x) برای x معینحد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان نامیده می شود، مشروط بر اینکه افزایش آرگومان به سمت صفر میل کند، البته اگر این حد وجود داشته باشد، یعنی. محدود، فانی. بدین ترتیب،
، یا

توجه داشته باشید که اگر در مقداری ایکسبرای مثال زمانی که x=a، نگرش
در  ایکس 0 به حد محدود تمایل ندارد، در این صورت می گویند که تابع f(x)در x=a(یا در نقطه x=a) مشتق ندارد یا در نقطه قابل تمایز نیست x=a.

2. معنای هندسی مشتق.

نمودار تابع y = f (x) را در نظر بگیرید که در مجاورت نقطه x 0 قابل تفکیک است.

f(x)

بیایید یک خط مستقیم دلخواه را در نظر بگیریم که از نقطه ای روی نمودار یک تابع می گذرد - نقطه A(x 0, f (x 0)) و نمودار را در نقطه ای B(x;f(x) قطع می کند). به چنین خطی (AB) سکونت گفته می شود. از ∆ABC: ​​AC = ∆x؛ ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

از آنجایی که AC || Ox، سپس ALO = BAC = β (به عنوان متناظر برای موازی). اما ALO زاویه میل مقطع AB به جهت مثبت محور Ox است. این بدان معنی است که tanβ = k شیب خط مستقیم AB است.

حالا ∆х را کاهش می دهیم، یعنی. ∆х→ 0. در این حالت، نقطه B مطابق نمودار به نقطه A نزدیک می شود و سکنت AB می چرخد. موقعیت محدود مقطع AB در ∆x→ 0 یک خط مستقیم (a) خواهد بود که مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A نامیده می شود.

اگر در برابری tgβ =∆y/∆x به حد ∆x → 0 برویم، به دست می‌آید.
ortg =f "(x 0)، از آنجا که
-زاویه تمایل مماس به جهت مثبت محور Ox
، با تعریف مشتق. اما tg = k ضریب زاویه ای مماس است که به معنای k = tg = f "(x 0) است.

بنابراین، معنای هندسی مشتق به شرح زیر است:

مشتق تابع در نقطه x 0 برابر با شیب مماس بر نمودار تابع رسم شده در نقطه ای با آبسیسا x 0 .

3. معنای ظاهری مشتق.

حرکت یک نقطه را در امتداد یک خط مستقیم در نظر بگیرید. اجازه دهید مختصات یک نقطه در هر زمان x(t) داده شود. مشخص است (از یک درس فیزیک) که میانگین سرعت در یک دوره زمانی برابر است با نسبت مسافت طی شده در این دوره زمانی به زمان، یعنی.

Vav = ∆x/∆t. بیایید به سمت حد در آخرین برابری به صورت ∆t → 0 برویم.

lim Vav (t) =  (t 0) - سرعت آنی در زمان t 0، ∆t → 0.

و lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (با تعریف مشتق).

بنابراین، (t) =x"(t).

معنای فیزیکی مشتق به شرح زیر است: مشتق تابعy = f(ایکس) در نقطهایکس 0 نرخ تغییر تابع استf(x) در نقطهایکس 0

این مشتق در فیزیک برای یافتن سرعت از تابع شناخته شده مختصات در برابر زمان، شتاب از تابع شناخته شده سرعت در برابر زمان استفاده می شود.

(t) = x"(t) - سرعت،

a(f) = "(t) - شتاب، یا

اگر قانون حرکت یک نقطه مادی در یک دایره شناخته شده باشد، می توان سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای را در حین حرکت چرخشی پیدا کرد:

φ = φ(t) - تغییر زاویه در طول زمان،

ω = φ"(t) - سرعت زاویه ای،

ε = φ"(t) - شتاب زاویه ای، یا ε = φ"(t).

اگر قانون توزیع جرم یک میله ناهمگن شناخته شود، چگالی خطی میله ناهمگن را می توان یافت:

m = m(x) - جرم،

x ، l - طول میله،

p = m" (x) - چگالی خطی.

با استفاده از مشتق، مسائل مربوط به تئوری کشش و ارتعاشات هارمونیک حل می شود. بنابراین، طبق قانون هوک

F = -kx، x – مختصات متغیر، k – ضریب کشسانی فنر. با قرار دادن ω 2 =k/m، معادله دیفرانسیل آونگ فنر x"(t) + ω2 x(t) = 0 را بدست می آوریم،

که در آن ω = √k/√m فرکانس نوسان (l/c)، k - سفتی فنر (H/m).

معادله ای به شکل y" + ω 2 y = 0 معادله نوسانات هارمونیک (مکانیکی، الکتریکی، الکترومغناطیسی) نامیده می شود. راه حل چنین معادلاتی تابع است.

y = Asin (ωt + φ 0) یا y = Acos (ωt + φ 0)، که در آن

الف - دامنه نوسانات، ω - فرکانس چرخه ای،

φ 0 - فاز اولیه.

تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک بازه معین حاوی نقطه \(x_0\) تعریف شود. بیایید به آرگومان یک افزایش \(\Delta x\) بدهیم به طوری که از این بازه خارج نشود. بیایید افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام حرکت از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کرده و رابطه \(\frac(\Delta) را بسازیم. y) (\ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \(\Delta x \rightarrow 0\ وجود داشته باشد، آنگاه حد مشخص شده فراخوانی می شود. مشتق یک تابع\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی مربوط به تابع y = f(x) است که در تمام نقاط x که حد بالا وجود دارد، تعریف شده است. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f(x).

معنای هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر بتوان یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x=a رسم کرد که با محور y موازی نیست، آنگاه f(a) شیب مماس را بیان می کند. :
\(k = f"(a)\)

از آنجایی که \(k = tg(a) \)، پس برابری \(f"(a) = tan(a) \) صادق است.

حال بیایید تعریف مشتق را از دیدگاه برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، یعنی \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). معنای معنی دار برابری تقریبی حاصل به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در یک نقطه معین x است. برای مثال، برای تابع \(y = x^2\) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) معتبر است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه می شویم که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.

بیایید آن را فرموله کنیم.

چگونه مشتق تابع y = f(x) را پیدا کنیم؟

1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x)\) را پیدا کنید
2. به آرگومان \(x\) یک افزایش \(\Delta x\ بدهید، به یک نقطه جدید بروید \(x+ \Delta x\)، پیدا کنید \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ایجاد کنید
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع در نقطه x است.

اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y = f(x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).

اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: پیوستگی و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه با یکدیگر مرتبط هستند؟

اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M(x; f(x) رسم کرد، و به یاد بیاورید که ضریب زاویه ای مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکن" کند. در نقطه M، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.

اینها استدلالهای "دستی" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. اگر در این برابری \(\Delta x \) به سمت صفر میل می کند، سپس \(\Delta y \) به سمت صفر میل می کند و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.

بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه پیوسته است.

عبارت معکوس درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس را نتوان روی نمودار یک تابع رسم کرد، آنگاه مشتق در آن نقطه وجود ندارد.

یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x)\) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است، یعنی بر محور آبسیسا عمود است، معادله آن به شکل x = 0 است. چنین خط مستقیمی ضریب زاویه ندارد، به این معنی که \(f. "(0)\) وجود ندارد.

بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان از نمودار یک تابع نتیجه گرفت که قابل تمایز است؟

پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور آبسیسا نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار یک تابع وجود نداشته باشد یا بر محور آبسیسا عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.

قوانین تمایز

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضرایب، مجموع، محصولات توابع و همچنین "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را آسان تر می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:

جدول مشتقات برخی از توابع

مثال 1

ارجاع: روش های زیر برای علامت گذاری یک تابع معادل هستند: در برخی از کارها، تعیین تابع به عنوان "بازی" و در برخی دیگر به عنوان "ef از x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

مثال 2

مشتق تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

, , مطالعه عملکرد کاملو غیره.

مثال 3

مشتق تابع در نقطه را محاسبه کنید. ابتدا بیایید مشتق را پیدا کنیم:

خوب، این یک موضوع کاملاً متفاوت است. بیایید مقدار مشتق را در نقطه محاسبه کنیم:

اگر متوجه نشدید که مشتق چگونه پیدا شد، به دو درس اول مبحث برگردید. اگر شما هر گونه مشکل (سوء تفاهمی) با مبحث و معانی آن دارید، لزوما مطالب آموزشی را مطالعه کنید نمودارها و خواص توابع ابتدایی- پاراگراف آخر زیرا هنوز به اندازه کافی برای سن دانش آموزی وجود دارد.

مثال 4

مشتق تابع در نقطه را محاسبه کنید.

معادله مماس بر نمودار یک تابع

برای تقویت پاراگراف قبل، مشکل یافتن مماس بر را در نظر بگیرید نمودار تابعدر این نقطه ما در مدرسه با این کار مواجه شدیم و در درس ریاضیات عالی هم ظاهر می شود.

بیایید به ساده ترین مثال "تظاهرات" نگاه کنیم.

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع در نقطه ابسیسا بنویسید. من بلافاصله یک راه حل گرافیکی آماده برای مشکل ارائه خواهم کرد (در عمل، در بیشتر موارد این کار ضروری نیست):

با استفاده از یک تعریف دقیق از مماس ارائه شده است تعریف مشتق تابع، اما در حال حاضر به بخش فنی موضوع مسلط خواهیم شد. مطمئناً تقریباً همه به طور شهودی درک می کنند که مماس چیست. اگر آن را "روی انگشتان خود" توضیح دهید، مماس بر نمودار یک تابع است سر راست، که مربوط به نمودار تابع در است تنهانقطه. در این حالت، تمام نقاط نزدیک خط تا حد امکان نزدیک به نمودار تابع قرار می گیرند.

همانطور که در مورد ما اعمال می شود: در مماس (نماد استاندارد) نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند.

و وظیفه ما یافتن معادله خط است.

مشتق تابع در یک نقطه

چگونه مشتق یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم؟ دو نکته بارز این تکلیف از جمله بندی به دست می آید:

1) باید مشتق را پیدا کرد.

2) محاسبه مقدار مشتق در یک نقطه معین ضروری است.

مثال 1

مشتق تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

راهنما: روش های زیر برای علامت گذاری یک تابع معادل هستند:


در برخی از کارها، تعیین تابع به عنوان "بازی" و در برخی دیگر به عنوان "ef از x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

امیدوارم بسیاری قبلاً به یافتن چنین مشتقاتی به صورت شفاهی عادت کرده باشند.

در مرحله دوم، مقدار مشتق را در نقطه محاسبه می کنیم:

یک مثال کوچک گرم کردن برای حل آن توسط خودتان:

مثال 2

مشتق تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

نیاز به یافتن مشتق در یک نقطه در کارهای زیر ایجاد می شود: ساختن مماس بر نمودار یک تابع (بند بعدی)، مطالعه یک تابع برای یک اکستروم , مطالعه یک تابع برای عطف یک نمودار , مطالعه عملکرد کامل و غیره.

اما وظیفه مورد بحث به تنهایی در آزمایشات ظاهر می شود. و به عنوان یک قاعده، در چنین مواردی تابع داده شده بسیار پیچیده است. در این رابطه به دو مثال دیگر می پردازیم.

مثال 3

مشتق یک تابع را محاسبه کنید در نقطه .
ابتدا بیایید مشتق را پیدا کنیم:

مشتق، در اصل، پیدا شده است، و شما می توانید مقدار مورد نیاز را جایگزین کنید. اما من واقعاً نمی خواهم کاری انجام دهم. عبارت بسیار طولانی است و معنای "x" کسری است. بنابراین، ما سعی می کنیم تا حد امکان مشتق خود را ساده کنیم. در این مورد، بیایید سعی کنیم سه عبارت آخر را به یک مخرج مشترک بیاوریم: در نقطه .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

چگونه مقدار مشتق تابع F(x) را در نقطه Xo پیدا کنیم؟ این را چطور حل می کنید؟

اگر فرمول داده شد، مشتق را پیدا کنید و به جای X، X-صفر را جایگزین کنید. محاسبه
اگر در مورد نمودار، آزمون دولتی واحد B-8 صحبت می کنیم، باید مماس زاویه (حاد یا مبهم) را که مماس بر محور X تشکیل می دهد (با استفاده از ساخت ذهنی یک مثلث قائم الزاویه و تعیین زاویه) پیدا کنید. مماس زاویه)

تیمور عادل خوژایف

ابتدا باید در مورد علامت تصمیم بگیرید. اگر نقطه x0 در قسمت پایین صفحه مختصات قرار داشته باشد، علامت در پاسخ منفی و اگر بالاتر باشد، + خواهد بود.
در مرحله دوم، شما باید بدانید که تانژ در یک مستطیل مستطیلی چیست. و این نسبت طرف مقابل (پا) به طرف مجاور (همچنین ساق) است. معمولاً روی نقاشی چند لک سیاه وجود دارد. از این علامت ها یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهید و ضخامت آن را پیدا می کنید.

چگونه مقدار مشتق تابع f x را در نقطه x0 پیدا کنیم؟

در حالت کلی، برای اینکه مقدار مشتق یک تابع را با توجه به یک متغیر در یک نقطه پیدا کنید، باید تابع داده شده را با توجه به این متغیر متمایز کنید. در مورد شما، توسط متغیر X. در عبارت حاصل، به جای X، مقدار X را در نقطه ای که باید مقدار مشتق را پیدا کنید، قرار دهید. در مورد شما، صفر X را جایگزین کرده و عبارت حاصل را محاسبه کنید.

خب، تمایل شما به درک این موضوع، به نظر من، بدون شک مستحق یک + است که من با وجدان راحت می دهم.

این فرمول مسئله یافتن مشتق اغلب برای تقویت ماده در معنای هندسی مشتق تنظیم شده است. یک نمودار از یک تابع خاص پیشنهاد شده است، کاملا دلخواه و با یک معادله مشخص نشده است، و لازم است مقدار مشتق (نه خود مشتق، توجه داشته باشید!) را در نقطه مشخص شده X0 پیدا کنید. برای انجام این کار، مماس بر یک تابع معین ساخته می شود و نقاط تقاطع آن با محورهای مختصات پیدا می شود. سپس معادله این مماس به صورت y=kx+b ترسیم می شود.

در این معادله ضریب k و مقدار مشتق خواهد بود. تنها چیزی که باقی می ماند یافتن مقدار ضریب b است. برای انجام این کار، مقدار y را در x = o پیدا می کنیم، بگذارید برابر با 3 باشد - این مقدار ضریب b است. مقادیر X0 و Y0 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم و k - مقدار مشتق ما را در این نقطه پیدا می کنیم.