مخرج کسری مشترک چیست؟ کسری، کسری، تعاریف، نمادها، مثال ها، عملیات با کسری

این مقاله در مورد کسرهای رایج. در اینجا مفهوم کسری از کل را معرفی می کنیم که ما را به تعریف کسری مشترک می رساند. در ادامه به نماد پذیرفته شده برای کسرهای معمولی می پردازیم و مثال هایی از کسری ارائه می دهیم، مثلاً در مورد صورت و مخرج کسری بگوییم. پس از این به تعاریف کسرهای مناسب و نامناسب، مثبت و منفی می پردازیم و همچنین موقعیت اعداد کسری را روی پرتو مختصات در نظر می گیریم. در پایان، ما عملیات اصلی را با کسرها فهرست می کنیم.

پیمایش صفحه.

سهام کل

ابتدا معرفی می کنیم مفهوم سهم.

بیایید فرض کنیم که یک شی داریم که از چندین قسمت کاملاً یکسان (یعنی مساوی) تشکیل شده است. برای وضوح، می توانید مثلاً یک سیب را تصور کنید که به چندین قسمت مساوی بریده شده است یا یک پرتقال متشکل از چندین برش مساوی. هر یک از این قسمت های مساوی که کل شی را تشکیل می دهند نامیده می شود بخش هایی از کلیا به سادگی سهام.

توجه داشته باشید که سهم ها متفاوت است. بیایید این را توضیح دهیم. بگذارید دو سیب داشته باشیم. سیب اول را به دو قسمت مساوی و دومی را به 6 قسمت مساوی برش دهید. واضح است که سهم سیب اول با سهم سیب دوم متفاوت خواهد بود.

بسته به تعداد سهامی که کل شی را تشکیل می دهند، این سهام نام های خاص خود را دارند. بیایید آن را مرتب کنیم نام ضربه ها. اگر شیء از دو جزء تشکیل شده باشد، به هر یک از آنها جزء دوم کل شیء می گویند. اگر یک شی از سه قسمت تشکیل شده باشد، به هر یک از آنها یک قسمت سوم می گویند و غیره.

یک سهم دوم یک نام خاص دارد - نیم. یک سوم نامیده می شود سومو یک چهارم قسمت - یک چهارم.

برای اختصار موارد زیر معرفی شد: نمادهای ضرب و شتم. یک سهم دوم به عنوان یا 1/2، یک سهم سوم به عنوان یا 1/3 تعیین می شود. یک چهارم سهم - لایک یا 1/4 و غیره. توجه داشته باشید که نماد با نوار افقی بیشتر استفاده می شود. برای تقویت مطلب، اجازه دهید یک مثال دیگر بیاوریم: مدخل صد و شصت و هفتم از کل را نشان می دهد.

مفهوم سهم به طور طبیعی از اشیا به کمیت ها گسترش می یابد. برای مثال یکی از معیارهای طول، متر است. برای اندازه گیری طول های کوتاه تر از یک متر، می توان از کسری از متر استفاده کرد. بنابراین می توانید برای مثال از نیم متر یا یک دهم یا هزارم متر استفاده کنید. سهام سایر مقادیر به طور مشابه اعمال می شود.

کسرهای رایج، تعریف و مثال‌هایی از کسرها

برای توصیف تعداد سهامی که استفاده می کنیم کسرهای رایج. اجازه دهید مثالی بزنیم که به ما امکان می دهد به تعریف کسرهای معمولی نزدیک شویم.

اجازه دهید پرتقال از 12 قسمت تشکیل شود. هر سهم در این مورد نشان دهنده یک دوازدهم پرتقال کامل است، یعنی . دو ضربه را به عنوان، سه ضربه را به عنوان، و به همین ترتیب، 12 ضربه را به عنوان نشان می دهیم. هر یک از ورودی های داده شده یک کسر معمولی نامیده می شود.

حالا بیایید یک ژنرال بدهیم تعریف کسرهای مشترک.

تعریف بیان شده از کسرهای معمولی به ما اجازه می دهد که ارائه دهیم نمونه هایی از کسرهای رایج: 5/10, , 21/1, 9/4, . و این هم سوابق با تعریف بیان شده کسرهای معمولی مطابقت ندارند، یعنی کسرهای معمولی نیستند.

صورت و مخرج

برای راحتی، کسری های معمولی متمایز می شوند صورت و مخرج.

تعریف.

صورت کسرکسر مشترک (m/n) یک عدد طبیعی m است.

تعریف.

مخرجکسر مشترک (m/n) یک عدد طبیعی n است.

بنابراین، صورت در بالای خط کسری (در سمت چپ اسلش)، و مخرج در زیر خط کسری (در سمت راست اسلش) قرار دارد. برای مثال، کسری مشترک 17/29 را در نظر می گیریم، صورت این کسر عدد 17 و مخرج آن عدد 29 است.

بحث در مورد معنای موجود در صورت و مخرج کسری معمولی باقی می ماند. مخرج کسری نشان می دهد که یک جسم از چند قسمت تشکیل شده است و صورتگر به نوبه خود تعداد این قسمت ها را نشان می دهد. به عنوان مثال، مخرج 5 از کسری 12/5 به این معنی است که یک شی از پنج سهم تشکیل شده است و صورت 12 به این معنی است که 12 سهم گرفته شده است.

عدد طبیعی به صورت کسری با مخرج 1

مخرج کسر مشترک می تواند برابر با یک باشد. در این صورت می توان در نظر گرفت که شیء غیرقابل تقسیم است، به عبارت دیگر نمایانگر چیزی کل است. شمارنده چنین کسری نشان می دهد که چند جسم کامل گرفته شده است. بنابراین، کسری معمولی از شکل m/1 به معنای یک عدد طبیعی m است. اینگونه است که اعتبار برابری m/1=m را اثبات کردیم.

تساوی آخر را به صورت زیر بازنویسی می کنیم: m=m/1. این برابری به ما اجازه می دهد تا هر عدد طبیعی m را به عنوان یک کسر معمولی نشان دهیم. به عنوان مثال، عدد 4 کسر 4/1 است و عدد 103,498 برابر با کسری 103,498/1 است.

بنابراین، هر عدد طبیعی m را می توان به عنوان یک کسر معمولی با مخرج 1 به صورت m/1 نشان داد و هر کسری معمولی از شکل m/1 را می توان با عدد طبیعی m جایگزین کرد..

نوار کسری به عنوان علامت تقسیم

نمایش شی اصلی به صورت n سهم چیزی جز تقسیم به n قسمت مساوی نیست. پس از اینکه یک مورد به n سهم تقسیم شد، می توانیم آن را به طور مساوی بین n نفر تقسیم کنیم - هر کدام یک سهم دریافت خواهند کرد.

اگر در ابتدا m شیء یکسان داشته باشیم که هر کدام به n سهم تقسیم می شود، می توانیم این m شیء را به طور مساوی بین n نفر تقسیم کنیم و به هر شخص یک سهم از هر یک از m شیء بدهیم. در این حالت، هر فرد m سهم 1/n خواهد داشت و m سهم 1/n کسر مشترک m/n را نشان می دهد. بنابراین، کسری مشترک m/n را می توان برای نشان دادن تقسیم m آیتم بین n نفر استفاده کرد.

اینگونه است که ما یک ارتباط صریح بین کسرهای معمولی و تقسیم به دست آوردیم (ایده کلی تقسیم اعداد طبیعی را ببینید). این ارتباط به صورت زیر بیان می شود: خط کسری را می توان به عنوان یک علامت تقسیم فهمید، یعنی m/n=m:n.

با استفاده از یک کسر معمولی، می توانید نتیجه تقسیم دو عدد طبیعی را که نمی توان برای آنها تقسیم کامل انجام داد، بنویسید. به عنوان مثال، حاصل تقسیم 5 سیب بر 8 نفر را می توان 5/8 نوشت، یعنی همه پنج هشتم یک سیب را دریافت می کنند: 5:8 = 5/8.

کسرهای مساوی و نامساوی مقایسه کسرها

یک عمل نسبتا طبیعی است مقایسه کسرها، زیرا مشخص است که 1/12 پرتقال با 5/12 متفاوت است و 1/6 سیب با 1/6 دیگر این سیب یکسان است.

در نتیجه مقایسه دو کسر معمولی یکی از نتایج حاصل می شود: کسرها یا مساوی هستند یا نابرابر. در مورد اول داریم کسرهای مشترک مساویو در دومی – کسرهای معمولی نابرابر. اجازه دهید تعریفی از کسرهای معمولی مساوی و نابرابر ارائه دهیم.

تعریف.

برابر، اگر برابری a·d=b·c درست باشد.

تعریف.

دو کسر مشترک a/b و c/d نا برابر، اگر برابری a·d=b·c برقرار نباشد.

در اینجا چند نمونه از کسرهای مساوی آورده شده است. به عنوان مثال، کسر مشترک 1/2 برابر است با کسری 2/4، زیرا 1·4=2·2 است (در صورت لزوم به قوانین و مثال های ضرب اعداد طبیعی مراجعه کنید). برای وضوح، می توانید دو سیب یکسان را تصور کنید، اولی از وسط و دومی به 4 قسمت تقسیم شده است. بدیهی است که دو چهارم یک سیب برابر است با 1/2 سهم. نمونه های دیگر کسرهای مشترک مساوی کسرهای 4/7 و 36/63 و جفت کسرهای 81/50 و 1620/1000 هستند.

اما کسرهای معمولی 4/13 و 5/14 برابر نیستند، زیرا 4·14=56 و 13·5=65، یعنی 4·14≠13·5. نمونه های دیگر از کسرهای مشترک نابرابر، کسرهای 17/7 و 6/4 هستند.

اگر هنگام مقایسه دو کسر مشترک، مشخص شد که آنها با هم برابر نیستند، ممکن است لازم باشد بفهمید کدام یک از این کسرهای مشترک کمترمتفاوت، و کدام یک - بیشتر. برای فهمیدن، از قانون مقایسه کسرهای معمولی استفاده می شود که ماهیت آن این است که کسرهای مقایسه شده را به یک مخرج مشترک برسانیم و سپس اعداد را با هم مقایسه کنیم. اطلاعات دقیق در مورد این موضوع در مقاله مقایسه کسری جمع آوری شده است: قوانین، مثال ها، راه حل ها.

اعداد کسری

هر کسری یک نماد است عدد کسری. یعنی کسری فقط "پوسته" یک عدد کسری است، ظاهر آن، و تمام بار معنایی در عدد کسری وجود دارد. با این حال، برای اختصار و راحتی، مفاهیم کسری و عدد کسری ترکیب شده و به سادگی کسر نامیده می شود. در اینجا مناسب است یک ضرب المثل معروف را نقل کنیم: کسری می گوییم - یعنی عدد کسری، عدد کسری می گوییم - منظور کسری است.

کسری در یک پرتو مختصات

همه اعداد کسری مربوط به کسرهای معمولی مکان منحصر به فرد خود را دارند، یعنی بین کسرها و نقاط پرتو مختصات مطابقت یک به یک وجود دارد.

برای اینکه به نقطه پرتو مختصات مربوط به کسری m/n برسید، باید m بخش‌هایی را از مبدا در جهت مثبت کنار بگذارید که طول آن 1/n کسری از یک قطعه واحد است. چنین قطعاتی را می توان با تقسیم یک قطعه واحد به n قسمت مساوی بدست آورد که همیشه می توان با استفاده از قطب نما و خط کش انجام داد.

به عنوان مثال، بیایید نقطه M را بر روی پرتو مختصات، مربوط به کسر 14/10 نشان دهیم. طول پاره ای که انتهای آن در نقطه O و نزدیک ترین نقطه به آن، با خط تیره کوچک مشخص شده است، 1/10 قطعه واحد است. نقطه با مختصات 14/10 در فاصله 14 قطعه از مبدا حذف می شود.

کسرهای مساوی با یک عدد کسری مطابقت دارند، یعنی کسرهای مساوی مختصات یک نقطه در پرتو مختصات هستند. به عنوان مثال، مختصات 1/2، 2/4، 16/32، 55/110 با یک نقطه در پرتو مختصات مطابقت دارد، زیرا همه کسرهای نوشته شده برابر هستند (در فاصله نیمی از قطعه واحد قرار دارد. از مبدأ در جهت مثبت).

در یک پرتو مختصات افقی و راست جهت، نقطه ای که مختصات آن کسر بزرگتر است در سمت راست نقطه ای قرار دارد که مختصات آن کسر کوچکتر است. به طور مشابه، نقطه ای با مختصات کوچکتر در سمت چپ نقطه ای با مختصات بزرگتر قرار دارد.

کسرهای مناسب و نامناسب، تعاریف، مثال ها

در میان کسرهای معمولی وجود دارد کسرهای مناسب و نامناسب. این تقسیم بر اساس مقایسه صورت و مخرج است.

اجازه دهید کسرهای معمولی مناسب و نامناسب را تعریف کنیم.

تعریف.

کسر مناسبکسری معمولی است که صورت آن کوچکتر از مخرج است، یعنی اگر m باشد

تعریف.

کسر نامناسبکسری معمولی است که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج است، یعنی اگر m≥n باشد، کسر معمولی نامناسب است.

در اینجا چند نمونه از کسرهای مناسب آورده شده است: 1/4، , 32,765/909,003. در واقع، در هر یک از کسرهای معمولی نوشته شده، صورت از مخرج کوچکتر است (در صورت لزوم، مقاله مقایسه اعداد طبیعی را ببینید)، بنابراین آنها با تعریف صحیح هستند.

در اینجا نمونه هایی از کسرهای نامناسب آورده شده است: 9/9، 23/4، . در واقع، صورت اولین کسر از کسرهای معمولی نوشته شده برابر با مخرج است و در کسرهای باقی مانده، صورت بزرگتر از مخرج است.

همچنین تعاریفی از کسرهای مناسب و نامناسب بر اساس مقایسه کسرها با یک وجود دارد.

تعریف.

درست، اگر کمتر از یک باشد.

تعریف.

کسر معمولی نامیده می شود اشتباه، اگر مساوی یک یا بزرگتر از 1 باشد.

بنابراین کسر مشترک 7/11 صحیح است، از 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 و 27/27=1.

بیایید به این فکر کنیم که چگونه کسرهای معمولی با یک عدد بزرگتر یا مساوی مخرج، سزاوار چنین نامی هستند - "نادرست".

برای مثال، کسری نامناسب 9/9 را در نظر بگیرید. این کسر به این معنی است که نه قسمت از جسمی که از نه قسمت تشکیل شده است گرفته می شود. یعنی از 9 قسمت موجود می توانیم یک شیء کامل بسازیم. یعنی کسر نامناسب 9/9 اساساً کل شی را می دهد، یعنی 9/9 = 1. به طور کلی، کسرهای نامناسب با صورت مساوی با مخرج، یک جسم کامل را نشان می دهند و چنین کسری را می توان با عدد طبیعی 1 جایگزین کرد.

اکنون کسرهای نامناسب 7/3 و 12/4 را در نظر بگیرید. کاملاً بدیهی است که از این هفت قسمت سوم می توانیم دو شیء کامل بسازیم (یک شیء کامل از 3 قسمت تشکیل شده است، سپس برای ترکیب دو شیء کامل به 3 + 3 = 6 قسمت نیاز داریم) و هنوز یک قسمت یک سوم باقی خواهد ماند. . یعنی کسر نامناسب 7/3 در اصل به معنای 2 شیء و همچنین 1/3 چنین شیئی است. و از دوازده قسمت ربع می توانیم سه جسم کامل بسازیم (سه جسم با چهار قسمت). یعنی کسر 12/4 در اصل به معنای 3 جسم کامل است.

مثال‌های در نظر گرفته شده ما را به این نتیجه می‌رساند: کسرهای نامناسب را می‌توان با اعداد طبیعی جایگزین کرد، زمانی که صورت به طور مساوی بر مخرج تقسیم شود (مثلاً 9/9=1 و 12/4=3)، یا با مجموع. از یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب، زمانی که صورت به صورت مساوی بر مخرج بخش پذیر نباشد (مثلاً 7/3=2+1/3). شاید این دقیقاً همان چیزی است که کسرهای نامناسب نام "نامنظم" را به خود اختصاص داده است.

نمایش یک کسر نامناسب به عنوان مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب (7/3=2+1/3) بسیار جالب توجه است. این فرآیند جداسازی کل قسمت از کسری نامناسب نامیده می شود و سزاوار بررسی جداگانه و دقیق تری است.

همچنین شایان ذکر است که رابطه بسیار نزدیکی بین کسرهای نامناسب و اعداد مختلط وجود دارد.

کسرهای مثبت و منفی

هر کسر معمولی مربوط به یک عدد کسری مثبت است (به مقاله اعداد مثبت و منفی مراجعه کنید). یعنی کسرهای معمولی هستند کسرهای مثبت. به عنوان مثال، کسرهای معمولی 1/5، 56/18، 35/144 کسرهای مثبت هستند. هنگامی که باید مثبت بودن یک کسری را برجسته کنید، یک علامت مثبت در مقابل آن قرار می گیرد، به عنوان مثال +3/4، +72/34.

اگر در مقابل یک کسر مشترک علامت منفی قرار دهید، این ورودی با یک عدد کسری منفی مطابقت دارد. در این مورد می توانیم در مورد آن صحبت کنیم کسرهای منفی. در اینجا چند نمونه از کسرهای منفی آورده شده است: -6/10، -65/13، -1/18.

کسرهای مثبت و منفی m/n و -m/n اعداد متضاد هستند. برای مثال، کسرهای 5/7 و −5/7 کسرهای متضاد هستند.

کسرهای مثبت، مانند اعداد مثبت به طور کلی، نشان دهنده جمع، درآمد، تغییر رو به بالا در هر مقدار و غیره هستند. کسرهای منفی مربوط به هزینه، بدهی یا کاهش در هر مقدار است. به عنوان مثال، کسر منفی -3/4 را می توان به عنوان بدهی که ارزش آن برابر با 3/4 است تفسیر کرد.

در جهت افقی و راست، کسرهای منفی در سمت چپ مبدا قرار دارند. نقاط خط مختصات که مختصات آنها کسر مثبت m/n و کسر منفی −m/n است، در همان فاصله از مبدا، اما در دو طرف نقطه O قرار دارند.

در اینجا شایان ذکر است کسری از فرم 0/n است. این کسرها برابر با عدد صفر هستند، یعنی 0/n=0.

کسرهای مثبت، کسرهای منفی و کسرهای 0/n با هم ترکیب می شوند و اعداد گویا را تشکیل می دهند.

عملیات با کسری

ما قبلاً یک عمل را با کسرهای معمولی - مقایسه کسرها - در بالا مورد بحث قرار داده ایم. چهار تابع حسابی دیگر تعریف شده است عملیات با کسری- جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرها. بیایید به هر یک از آنها نگاه کنیم.

ماهیت کلی عملیات با کسری شبیه به ماهیت عملیات متناظر با اعداد طبیعی است. بیایید یک قیاس کنیم.

ضرب کسرهارا می توان به عنوان عمل یافتن کسری از کسری در نظر گرفت. برای روشن شدن موضوع مثالی می زنیم. فرض کنید 1/6 سیب داریم و باید 2/3 آن را برداریم. قسمت مورد نیاز ما حاصل ضرب کسرهای 1/6 و 2/3 است. حاصل ضرب دو کسر معمولی یک کسر معمولی است (که در حالت خاص برابر با یک عدد طبیعی است). در ادامه توصیه می کنیم اطلاعات مقاله ضرب کسر - قوانین، مثال ها و راه حل ها را مطالعه کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات: کتاب درسی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
• ویلنکین N.Ya. و سایرین. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

ما همیشه در زندگی از کسری استفاده می کنیم. مثلا وقتی با دوستان کیک می خوریم. کیک را می توان به 8 قسمت مساوی یا 8 قسمت تقسیم کرد سهام. اشتراک گذاری- این بخش مساوی از یک کل است. چهار دوست یک تکه کیک خوردند. چهار قطعه از هشت قطعه را می توان به صورت ریاضی نوشت کسر مشترک\(\frac(4)(8)\)، کسری "چهار هشتم" یا "چهار تقسیم بر هشت" خوانده می شود. کسری مشترک نیز نامیده می شود کسر ساده.

نوار کسری جایگزین تقسیم می شود:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
سهام را به صورت کسری یادداشت کردیم. به صورت تحت اللفظی به این صورت خواهد بود:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – صورت کسریا سود سهام، در بالای خط کسری قرار دارد و نشان می دهد که از کل چند قسمت یا سهم گرفته شده است.
8 – مخرجیا مقسوم علیه، در زیر خط کسری قرار دارد و تعداد کل قطعات یا سهم ها را نشان می دهد.

اگر دقت کنیم می بینیم که دوستان نصف کیک یا یک قسمت از دو را خورده اند. بیایید آن را به عنوان یک کسر معمولی \(\frac(1)(2)\ بنویسیم، "یک ثانیه" را بخوانید.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم:
یک مربع وجود دارد. مربع به 5 قسمت مساوی تقسیم شد. دو قسمت رنگ شده بود کسر قسمت های سایه دار را بنویسید؟ کسر قسمت های بدون سایه را بنویسید؟

دو قسمت روی آن نقاشی شده است، و در کل پنج قسمت وجود دارد، بنابراین کسر شبیه \(\frac(2)(5)\) خواهد بود که به عنوان "دو پنجم" خوانده می شود.
سه قسمت رنگ آمیزی نشده است، در کل پنج قسمت وجود دارد، بنابراین کسر را به صورت \(\frac(3)(5)\ می نویسیم، کسر به عنوان "سه پنجم" خوانده می شود.

بیایید مربع را به مربع های کوچکتر تقسیم کنیم و کسرهای قسمت های سایه دار و بدون سایه را یادداشت کنیم.

6 قسمت رنگ شده و در کل 25 قسمت وجود دارد. کسر \(\frac(6)(25)\) را می گیریم، کسری "شش بیست و پنجم" خوانده می شود.
19 قسمت وجود دارد که رنگ آمیزی نشده است، اما در کل 25 قسمت وجود دارد. ما کسری \(\frac(19)(25)\ را دریافت می کنیم، کسر به عنوان "نوزده بیست و پنجم" خوانده می شود.

4 قسمت نقاشی شده و در کل 25 قسمت وجود دارد. ما کسری \(\frac(4)(25)\ را دریافت می کنیم، کسر به عنوان "چهار بیست و پنجم" خوانده می شود.
21 قسمت رنگ آمیزی نشده است، اما فقط 25 قسمت وجود دارد. ما کسری \(\frac(21)(25)\) می گیریم، کسر به عنوان "بیست و یک بیست و پنجم" خوانده می شود.

هر عدد طبیعی را می توان به صورت کسری نشان داد. مثلا:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

هر عددی بر یک بخش پذیر است، بنابراین این عدد را می توان به صورت کسری نشان داد.

سوالات در مورد "کسری مشترک":
سهم چیست؟
پاسخ: اشتراک گذاری- این بخش مساوی از یک کل است.

مخرج چه چیزی را نشان می دهد؟
پاسخ: مخرج نشان می دهد که کل به چند قسمت یا سهم تقسیم می شود.

شمارنده چه چیزی را نشان می دهد؟
پاسخ: شمارنده نشان می دهد که چند قسمت یا سهم گرفته شده است.

جاده 100 متر بود. میشا 31 متر راه رفت. عبارت را به صورت کسری بنویسید: میشا چقدر راه رفته است؟
پاسخ:\(\frac(31)(100)\)

کسری مشترک چیست؟
پاسخ: کسر مشترک نسبت صورت به مخرج است که در آن صورت از مخرج کوچکتر است. به عنوان مثال، کسرهای معمولی \(\frac(1)(4)، \frac(3)(7)، \frac(5)(13)، \frac(9)(11)…\)

چگونه یک عدد طبیعی را به کسری مشترک تبدیل کنیم؟
پاسخ: هر عددی را می توان به صورت کسری نوشت، برای مثال \(5 = \frac(5)(1)\)

وظیفه شماره 1:
خربزه 2 کیلویی 700 گرمی خریدیم. خربزه های \(\frac(2)(9)\) را برای میشا قطع کردند. جرم قطعه برش خورده چقدر است؟ چند گرم خربزه باقی مانده است؟

راه حل:
بیایید کیلوگرم را به گرم تبدیل کنیم.
2 کیلوگرم = 2000 گرم
2000 گرم + 700 گرم = 2700 گرم وزن کل خربزه.

خربزه های \(\frac(2)(9)\) را برای میشا قطع کردند. مخرج شامل عدد 9 است، به این معنی که خربزه به 9 قسمت تقسیم می شود.
2700: 9 = 300 گرم وزن یک قطعه.
شمارنده شامل عدد 2 است، به این معنی که باید دو قطعه به میشا بدهید.
300 + 300 = 600 گرم یا 300 ⋅ 2 = 600 گرم است که میشا چقدر خربزه خورده است.

برای یافتن جرم خربزه باقی مانده، باید جرم خورده شده را از کل جرم خربزه کم کنید.
2700 - 600 = 2100 گرم خربزه باقی مانده است.

ما بررسی خود را در مورد این موضوع با مطالعه مفهوم کسری به عنوان یک کل آغاز خواهیم کرد، که به ما درک کامل تری از معنای کسری مشترک می دهد. بیایید اصطلاحات اساسی و تعریف آنها را ارائه دهیم، موضوع را در یک تفسیر هندسی مطالعه کنیم، یعنی. در خط مختصات، و همچنین لیستی از عملیات اصلی را با کسری تعریف کنید.

Yandex.RTB R-A-339285-1

سهام کل

بیایید جسمی را متشکل از چندین بخش کاملاً مساوی تصور کنیم. به عنوان مثال، می تواند یک پرتقال متشکل از چند برش یکسان باشد.

تعریف 1

کسری از کل یا سهم- این هر یک از اجزای مساوی است که کل شی را تشکیل می دهد.

بدیهی است که سهام ممکن است متفاوت باشد. برای توضیح واضح این جمله، دو سیب را تصور کنید که یکی از آنها به دو قسمت مساوی و دیگری به چهار قسمت تقسیم شده است. واضح است که اندازه لوب های حاصل از سیبی به سیب دیگر متفاوت خواهد بود.

سهام نام های خود را دارند که به تعداد سهامی که کل شی را تشکیل می دهند بستگی دارد. اگر یک شی دارای دو سهم باشد، هر یک از آنها به عنوان یک سهم دوم از این شی تعریف می شود. وقتی یک شی از سه قسمت تشکیل شده باشد، هر یک از آنها یک سوم است و غیره.

تعریف 2

نیم- سهم یک دوم از یک شی.

سوم- یک سوم سهم یک شی.

ربع- یک چهارم جسم.

برای کوتاه کردن نماد، نمادهای زیر برای کسرها معرفی شدند: نیم - 1 2 یا 1/2; سوم - 1 3 یا 1/3; یک چهارم سهم - 1 4 یا 1/4 و غیره. ورودی های دارای نوار افقی بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

مفهوم سهم به طور طبیعی از اشیا به کمیت ها گسترش می یابد. بنابراین برای اندازه گیری اجسام کوچک می توان از کسری متر (یک سوم یا یک صدم) به عنوان یکی از واحدهای طول استفاده کرد. نسبت مقادیر دیگر را می توان به روشی مشابه اعمال کرد.

کسرهای رایج، تعریف و مثال

کسری مشترک برای توصیف تعداد سهام استفاده می شود. بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم که ما را به تعریف کسری مشترک نزدیک‌تر می‌کند.

بیایید یک پرتقال متشکل از 12 بخش را تصور کنیم. هر سهم یک دوازدهم یا 1/12 خواهد بود. دو ضربه - 2/12؛ سه ضربه - 3/12 و غیره. همه 12 ضربان یا یک عدد کامل به این شکل خواهند بود: 12/12. هر یک از نمادهای استفاده شده در مثال نمونه ای از کسری مشترک است.

تعریف 3

کسر مشترکرکورد فرم است m n یا m/n که m و n هر عدد طبیعی هستند.

طبق این تعریف، نمونه‌هایی از کسرهای معمولی شامل مدخل‌های زیر است: 4/9، 11 34، 917 54. و این نوشته ها: 11 5، 1، 9 4، 3 کسرهای معمولی نیستند.

صورت و مخرج

صورت کسرکسر مشترک mn یا m/n عدد طبیعی m است.

مخرجکسر مشترک mn یا m/n عدد طبیعی n است.

آن ها کسر عددی است که بالای خط یک کسر مشترک (یا سمت چپ اسلش) قرار دارد و مخرج عددی است که در زیر خط (در سمت راست اسلش) قرار دارد.

منظور از صورت و مخرج چیست؟ مخرج کسری معمولی نشان می‌دهد که یک شی از چند سهم تشکیل شده است، و صورت‌گر اطلاعاتی در مورد تعداد سهام مورد نظر به ما می‌دهد. به عنوان مثال، کسری مشترک 7 54 به ما نشان می دهد که یک شی معین از 54 سهم تشکیل شده است و برای ملاحظه ما 7 سهم را در نظر گرفتیم.

عدد طبیعی به صورت کسری با مخرج 1

مخرج کسر مشترک می تواند برابر با یک باشد. در این صورت می توان گفت که مفعول (کمیت) مورد بحث تقسیم ناپذیر است و نمایانگر چیزی کل است. شمارنده در چنین کسری نشان می دهد که چه تعداد از این موارد گرفته شده است، یعنی. کسری معمولی از شکل m 1 به معنای عدد طبیعی m است. این عبارت به عنوان توجیهی برای برابری m 1 = m عمل می کند.

بیایید آخرین تساوی را به صورت زیر بنویسیم: m = m 1 . این فرصت را به ما می دهد تا از هر عدد طبیعی به عنوان کسری معمولی استفاده کنیم. به عنوان مثال، عدد 74 کسری معمولی از فرم 74 1 است.

تعریف 5

هر عدد طبیعی m را می توان به صورت کسری معمولی نوشت که مخرج آن یک است: m 1.

به نوبه خود، هر کسری معمولی از شکل m 1 را می توان با یک عدد طبیعی m نشان داد.

نوار کسری به عنوان علامت تقسیم

نمایش یک شی معین به عنوان n سهم استفاده شده در بالا چیزی جز تقسیم به n قسمت مساوی نیست. وقتی یک آیتم به n قسمت تقسیم می شود، این فرصت را داریم که آن را به طور مساوی بین n نفر تقسیم کنیم - هرکس سهم خود را می گیرد.

در صورتی که در ابتدا m شیء یکسان داشته باشیم (هر کدام به n قسمت تقسیم شده است)، این m شیء را می توان به طور مساوی بین n نفر تقسیم کرد و به هر یک از آنها یک سهم از هر یک از m شیء داد. در این حالت، هر فرد m سهم 1 n خواهد داشت و m سهم 1 n کسری معمولی m n را به دست می دهد. بنابراین، کسری m n را می توان برای نشان دادن تقسیم m آیتم بین n نفر استفاده کرد.

عبارت حاصل ارتباطی بین کسرهای معمولی و تقسیم برقرار می کند. و این رابطه را می توان به صورت زیر بیان کرد : خط کسری را می توان به عنوان یک علامت تقسیم معنی کرد، یعنی. m/n = m:n.

با استفاده از کسری معمولی می توانیم نتیجه تقسیم دو عدد طبیعی را بنویسیم. برای مثال تقسیم 7 سیب بر 10 نفر را 7 10 می نویسیم: هر نفر هفت دهم می شود.

کسرهای معمولی مساوی و نامساوی

یک عمل منطقی مقایسه کسرهای معمولی است، زیرا واضح است که مثلاً 18 سیب با 78 متفاوت است.

نتیجه مقایسه کسرهای معمولی می تواند: مساوی یا نابرابر باشد.

تعریف 6

کسرهای مشترک مساوی- کسرهای معمولی a b و c d که برابری برای آنها برقرار است: a · d = b · c.

کسرهای مشترک نابرابر- کسرهای معمولی a b و c d که برابری a · d = b · c برای آنها صادق نیست.

مثالی از کسرهای مساوی: 1 3 و 4 12 - زیرا برابری 1 · 12 = 3 · 4 برقرار است.

در مواردی که معلوم شد کسرها مساوی نیستند، معمولاً باید فهمید که کدام یک از کسرهای داده شده کمتر و کدام بزرگتر است. برای پاسخ به این سؤالات، کسرهای مشترک با تقلیل آنها به مخرج مشترک و سپس مقایسه اعداد، مقایسه می شوند.

اعداد کسری

هر کسری ضبط یک عدد کسری است که در اصل فقط یک "پوسته" است، تجسمی از بار معنایی. اما با این حال، برای راحتی، ما مفاهیم کسری و عدد کسری را به سادگی با هم ترکیب می کنیم - یک کسری.

همه اعداد کسری، مانند هر عدد دیگری، مکان منحصر به فرد خود را روی پرتو مختصات دارند: یک تناظر یک به یک بین کسرها و نقاط روی پرتو مختصات وجود دارد.

برای یافتن نقطه‌ای از پرتو مختصات که نشان‌دهنده کسری m n است، باید m قطعه‌ای را از مبدأ مختصات در جهت مثبت رسم کرد که طول هر یک از آن‌ها 1 n کسری از یک قطعه واحد خواهد بود. بخش ها را می توان با تقسیم یک قطعه واحد به n قسمت مساوی به دست آورد.

به عنوان مثال، بیایید نقطه M را در پرتو مختصات تعیین کنیم که با کسر 14 10 مطابقت دارد. طول پاره ای که انتهای آن نقطه O و نزدیکترین نقطه آن است که با خط تیره کوچک مشخص شده است برابر با 110 قسمت از یک قطعه واحد است. نقطه مربوط به کسر 14 10 در فاصله 14 بخش از مبدا قرار دارد.

اگر کسرها مساوی باشند، یعنی. آنها با یک عدد کسری مطابقت دارند، سپس این کسرها به عنوان مختصات یک نقطه در پرتو مختصات عمل می کنند. به عنوان مثال، مختصات به شکل کسرهای مساوی 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 مربوط به همان نقطه در پرتو مختصات است که در فاصله یک سوم یک قطعه واحد از مبدأ قرار دارد. در جهت مثبت

همان اصل در اینجا مانند اعداد صحیح عمل می کند: در یک پرتو مختصات افقی که به سمت راست هدایت می شود، نقطه ای که کسر بزرگتر با آن مطابقت دارد در سمت راست نقطه ای قرار می گیرد که کسر کوچکتر با آن مطابقت دارد. و بالعکس: نقطه ای که مختصات آن کسری کوچکتر است در سمت چپ نقطه ای قرار می گیرد که مختصات بزرگتر با آن مطابقت دارد.

کسرهای مناسب و نامناسب، تعاریف، مثال ها

اساس تقسیم کسرها به صحیح و نامناسب، مقایسه صورت و مخرج در یک کسر است.

تعریف 7

کسر مناسبکسری معمولی است که صورت آن کوچکتر از مخرج است. یعنی اگر نابرابری m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

کسر نامناسبکسری معمولی است که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج است. یعنی اگر نابرابری تعریف نشده ارضا شود، کسر معمولی m n نامناسب است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است: - کسرهای مناسب:

مثال 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

کسرهای نامناسب:

مثال 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

همچنین می توان بر اساس مقایسه کسر با یک، کسرهای مناسب و نامناسب را تعریف کرد.

تعریف 8

کسر مناسب- کسری معمولی که کمتر از یک باشد.

کسر نامناسب- کسر معمولی مساوی یا بزرگتر از یک.

به عنوان مثال، کسر 8 12 صحیح است، زیرا 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 و 14 14 = 1.

بیایید کمی عمیق تر به این موضوع بپردازیم که چرا کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی با مخرج است، «نادرست» نامیده می شود.

کسر نامناسب 8 8 را در نظر بگیرید: به ما می گوید که 8 قسمت از یک جسم متشکل از 8 قسمت گرفته شده است. بنابراین، از هشت سهم موجود می‌توانیم یک شیء کامل ایجاد کنیم، یعنی. کسر داده شده 8 8 اساساً کل شی را نشان می دهد: 8 8 = 1. کسری که در آنها صورت و مخرج برابر است به طور کامل جایگزین عدد طبیعی 1 می شود.

بیایید کسری را نیز در نظر بگیریم که در آنها صورت از مخرج بیشتر است: 11 5 و 36 3. واضح است که کسر 11 5 نشان می دهد که از آن می توانیم دو جسم کامل بسازیم و هنوز یک پنجم باقی خواهد ماند. آن ها کسر 11 5 2 جسم و 1 5 دیگر از آن است. به نوبه خود، 36 کسری است که اساساً به معنای 12 جسم کامل است.

این مثال‌ها به این نتیجه می‌رسند که کسرهای نامناسب را می‌توان با اعداد طبیعی جایگزین کرد (اگر صورت بدون باقیمانده بر مخرج بخش‌پذیر باشد: 8 8 = 1؛ 36 3 = 12) یا مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب. (اگر صورت بدون باقیمانده بر مخرج بخش پذیر نباشد: 11 5 = 2 + 1 5). احتمالاً به همین دلیل است که چنین کسرهایی "نامنظم" نامیده می شوند.

این همان جایی است که با یکی از مهم ترین مهارت های عددی مواجه می شویم.

تعریف 9

جدا کردن کل قسمت از کسری نامناسب- این ثبت یک کسر نامناسب به عنوان مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب است.

همچنین توجه داشته باشید که رابطه نزدیکی بین کسرهای نامناسب و اعداد مختلط وجود دارد.

کسرهای مثبت و منفی

در بالا گفتیم که هر کسر معمولی با یک عدد کسری مثبت مطابقت دارد. آن ها کسرهای معمولی کسرهای مثبت هستند. به عنوان مثال، کسرهای 5 17، 6 98، 64 79 مثبت هستند و هنگامی که لازم است بر "مثبت بودن" یک کسری تاکید شود، با علامت مثبت نوشته می شود: + 5 17، + 6 98، + 64 79. .

اگر به یک کسر معمولی علامت منفی نسبت دهیم، رکورد حاصل، رکوردی از یک عدد کسری منفی خواهد بود و در این مورد ما در مورد کسرهای منفی صحبت می کنیم. به عنوان مثال، - 8 17، - 78 14، و غیره.

کسرهای مثبت و منفی m n و - m n اعداد متضاد هستند به عنوان مثال، کسرهای 7 8 و - 7 8 مقابل هم هستند.

کسرهای مثبت، مانند هر عدد مثبت به طور کلی، به معنای جمع، تغییر رو به بالا است. به نوبه خود، کسرهای منفی مربوط به مصرف، تغییر در جهت کاهش است.

اگر به خط مختصات نگاه کنیم، خواهیم دید که کسرهای منفی در سمت چپ نقطه مبدا قرار دارند. نقاطی که کسرهای مخالف با آنها مطابقت دارند (m n و - m n) در یک فاصله از مبدأ مختصات O قرار دارند، اما در طرفین مخالف آن قرار دارند.

در اینجا همچنین به طور جداگانه در مورد کسرهایی که به شکل 0 n نوشته شده اند صحبت خواهیم کرد. چنین کسری برابر با صفر است، یعنی. 0 n = 0 .

با جمع بندی تمام موارد فوق به مهم ترین مفهوم اعداد گویا می رسیم.

تعریف 10

اعداد گویامجموعه ای از کسرهای مثبت، کسرهای منفی و کسری به شکل 0 n است.

عملیات با کسری

بیایید عملیات اصلی را با کسری فهرست کنیم. به طور کلی، ماهیت آنها مانند عملیات مربوطه با اعداد طبیعی است

1. مقایسه کسرها - در بالا درباره این عمل بحث کردیم.
2. جمع کسرها - نتیجه جمع کسرهای معمولی یک کسری معمولی است (در یک مورد خاص به یک عدد طبیعی کاهش می یابد).
3. تفریق کسرها معکوس جمع است، زمانی که یک کسر شناخته شده و مجموع معینی از کسرها برای تعیین یک کسر مجهول استفاده می شود.
4. ضرب کسر - این عمل را می توان به عنوان یافتن کسری از کسری توصیف کرد. حاصل ضرب دو کسر معمولی یک کسری معمولی (در یک مورد خاص برابر با یک عدد طبیعی) است.
5. تقسیم کسرها عمل معکوس ضرب است، زمانی که کسری را تعیین می کنیم که کسری باید در آن ضرب شود تا حاصل ضرب شناخته شده دو کسر به دست آید.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در حین مطالعه ملکه همه علوم - ریاضیات، در مقطعی همه با کسری مواجه می شوند. اگرچه این مفهوم (مانند انواع خود کسرها یا عملیات ریاضی با آنها) به هیچ وجه پیچیده نیست، باید با دقت با آن رفتار کنید، زیرا در زندگی واقعی خارج از مدرسه بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، بیایید دانش خود را در مورد کسرها تجدید کنیم: آنها چیست، برای چه هستند، چه نوع هایی هستند و چگونه عملیات حسابی مختلف را با آنها انجام دهیم.

کسری اعلیحضرت: چیست؟

در ریاضیات کسرها اعدادی هستند که هر کدام از یک یا چند قسمت از یک واحد تشکیل شده است. به چنین کسرهایی معمولی یا ساده نیز می گویند. به عنوان یک قاعده، آنها به شکل دو عدد نوشته می شوند که با یک خط افقی یا اسلش از هم جدا می شوند، به آن خط "کسری" می گویند. به عنوان مثال: ½، ¾.

قسمت بالایی یا اولی این اعداد صورتگر است (نشان می دهد که چند جزء از عدد گرفته شده است) و پایین یا دوم مخرج است (نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است).

نوار کسری در واقع به عنوان یک علامت تقسیم عمل می کند. برای مثال 7:9=7/9

به طور سنتی، کسرهای رایج کمتر از یک هستند. در حالی که اعشار می تواند بزرگتر از آن باشد.

کسرها برای چیست؟ بله، برای همه چیز، زیرا در دنیای واقعی، همه اعداد اعداد صحیح نیستند. به عنوان مثال، دو دختر مدرسه ای در کافه تریا با هم یک تخته شکلات خوشمزه خریدند. هنگامی که آنها می خواستند دسر را به اشتراک بگذارند، با دوستی آشنا شدند و تصمیم گرفتند او را نیز پذیرایی کنند. با این حال، اکنون لازم است که شکلات تخته ای را به درستی تقسیم کنید، با توجه به اینکه از 12 مربع تشکیل شده است.

در ابتدا، دختران می خواستند همه چیز را به طور مساوی تقسیم کنند و سپس هر کدام چهار قطعه می گرفتند. اما، پس از فکر کردن، تصمیم گرفتند با دوست خود، نه 1/3، بلکه 1/4 شکلات را درمان کنند. و از آنجایی که دختران مدرسه ای کسری ها را به خوبی مطالعه نمی کردند، در نظر نگرفتند که در چنین شرایطی به 9 قطعه می رسند که تقسیم آنها به دو قسمت بسیار دشوار است. این مثال نسبتاً ساده نشان می دهد که چقدر مهم است بتوان بخشی از یک عدد را به درستی پیدا کرد. اما در زندگی چنین موارد بسیار بیشتری وجود دارد.

انواع کسرها: معمولی و اعشاری

همه کسرهای ریاضی به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند: معمولی و اعشاری. ویژگی های اولین آنها در پاراگراف قبلی توضیح داده شد، بنابراین اکنون ارزش توجه به دومی را دارد.

اعشاری یک نماد موقعیتی از کسری از یک عدد است که به صورت نوشتاری و جدا از یک کاما، بدون خط تیره یا اسلش نوشته می شود. به عنوان مثال: 0.75، 0.5.

در واقع، یک کسر اعشاری با یک کسری معمولی یکسان است، با این حال، مخرج آن همیشه یک به دنبال صفر است - از این رو نام آن است.

عدد قبل از کاما یک قسمت صحیح است و همه چیز بعد از آن یک کسره است. هر کسری ساده را می توان به اعشار تبدیل کرد. بنابراین، کسرهای اعشاری نشان داده شده در مثال قبلی را می توان به طور معمول نوشت: ¾ و ½.

شایان ذکر است که هر دو کسر اعشاری و معمولی می توانند مثبت یا منفی باشند. اگر قبل از آنها علامت "-" باشد، این کسری منفی است، اگر "+" کسری مثبت باشد.

زیر انواع کسرهای معمولی

این نوع کسرهای ساده وجود دارد.

زیر انواع کسر اعشاری

بر خلاف کسری ساده، کسر اعشاری تنها به 2 نوع تقسیم می شود.

• نهایی - این نام را به دلیل این واقعیت دریافت کرد که پس از نقطه اعشار دارای تعداد محدود (متناهی) رقم است: 19.25.
• کسر نامتناهی عددی است که بعد از نقطه اعشار تعداد بی نهایت ارقام آن وجود دارد. به عنوان مثال، با تقسیم 10 بر 3، نتیجه یک کسر نامتناهی 3.333 خواهد بود...

اضافه کردن کسرها

انجام دستکاری های مختلف حسابی با کسری کمی دشوارتر از اعداد معمولی است. با این حال، اگر قوانین اساسی را درک کنید، حل هر مثالی با آنها دشوار نخواهد بود.

به عنوان مثال: 2/3+3/4. کمترین مضرب مشترک برای آنها 12 خواهد بود، بنابراین لازم است این عدد در هر مخرج باشد. برای انجام این کار، صورت و مخرج کسر اول را در 4 ضرب می کنیم، 8/12 به دست می آید، ما همین کار را با جمله دوم انجام می دهیم، اما فقط در 3 ضرب می کنیم - 9/12. حالا می توانید به راحتی مثال را حل کنید: 8/12+9/12= 17/12. کسر حاصل یک واحد نادرست است زیرا صورت بزرگتر از مخرج است. می تواند و باید با تقسیم 17:12 = 1 و 5/12 به یک مخلوط صحیح تبدیل شود.

وقتی کسرهای مختلط اضافه می شوند، عملیات ابتدا با اعداد کامل و سپس با کسرها انجام می شود.

اگر مثال شامل یک کسر اعشاری و یک کسری معمولی است، لازم است هر دو را ساده کرده، سپس آنها را به یک مخرج بیاورید و جمع کنید. برای مثال 3.1+1/2. عدد 3.1 را می توان به صورت کسر مختلط 3 و 1/10 یا به صورت کسری نامناسب - 31/10 نوشت. مخرج مشترک برای عبارت ها 10 خواهد بود، بنابراین شما باید صورت و مخرج 1/2 را به طور متناوب در 5 ضرب کنید، 5/10 به دست می آید. سپس می توانید به راحتی همه چیز را محاسبه کنید: 31/10+5/10=35/10. نتیجه به دست آمده یک کسر تقلیل ناپذیر است، ما آن را به شکل عادی می آوریم، آن را 5 کاهش می دهیم: 7/2 = 3 و 1/2، یا اعشاری - 3.5.

هنگام جمع کردن 2 کسر اعشاری، مهم است که تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار یکسان باشد. اگر اینطور نیست، فقط باید تعداد صفرهای مورد نیاز را اضافه کنید، زیرا در کسر اعشاری می توان این کار را بدون دردسر انجام داد. برای مثال 3.5+3.005. برای حل این مشکل باید 2 صفر به عدد اول اضافه کنید و سپس یکی یکی اضافه کنید: 3.500+3.005=3.505.

تفریق کسرها

هنگام تفریق کسرها، باید مانند زمان جمع کردن عمل کنید: به مخرج مشترک کاهش دهید، یک عدد را از دیگری کم کنید، و در صورت لزوم، نتیجه را به کسر مختلط تبدیل کنید.

به عنوان مثال: 16/20-5/10. مخرج مشترک 20 خواهد بود. شما باید کسر دوم را با ضرب هر دو قسمت آن در 2 به این مخرج بیاورید، 10/20 به دست می آید. حالا می توانید مثال را حل کنید: 16/20-10/20= 6/20. با این حال، این نتیجه برای کسرهای تقلیل پذیر اعمال می شود، بنابراین ارزش تقسیم هر دو طرف بر 2 را دارد و نتیجه 3/10 است.

ضرب کسرها

تقسیم و ضرب کسرها بسیار ساده‌تر از جمع و تفریق هستند. واقعیت این است که هنگام انجام این وظایف، نیازی به جستجوی مخرج مشترک نیست.

برای ضرب کسرها، کافی است هر دو عدد را یک به یک و سپس هر دو مخرج را ضرب کنید. اگر کسری یک کمیت تقلیل پذیر است، نتیجه حاصل را کاهش دهید.

به عنوان مثال: 4/9x5/8. پس از ضرب متناوب، نتیجه 4x5/9x8=20/72 می شود. این کسر را می توان 4 کاهش داد، بنابراین پاسخ نهایی در مثال 5/18 است.

نحوه تقسیم کسرها

در واقع تقسیم کسرها نیز یک عملیات ساده است. برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر، باید دومی را برعکس کنید و در اولی ضرب کنید.

به عنوان مثال، تقسیم کسرهای 5/19 و 5/7. برای حل مثال، باید مخرج و صورت کسر دوم را عوض کرده و ضرب کنید: 5/19x7/5=35/95. نتیجه را می توان 5 کاهش داد - معلوم می شود 7/19.

اگر بخواهید کسری را بر عدد اول تقسیم کنید، تکنیک کمی متفاوت است. ابتدا باید این عدد را به صورت کسر نامناسب بنویسید و سپس بر اساس همان طرح تقسیم کنید. به عنوان مثال، 2/13:5 باید به صورت 2/13: 5/1 نوشته شود. اکنون باید 5/1 را برگردانید و کسرهای حاصل را ضرب کنید: 2/13x1/5 = 2/65.

گاهی اوقات باید کسرهای مختلط را تقسیم کنید. شما باید با آنها همانطور که با اعداد صحیح رفتار می کنید رفتار کنید: آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید، مقسوم علیه را معکوس کنید و همه چیز را ضرب کنید. به عنوان مثال، 8 ½: 3. همه چیز را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید: 17/2: 3/1. به دنبال آن یک تلنگر 3/1 و ضرب انجام می شود: 17/2x1/3 = 17/6. اکنون باید کسر نامناسب را به کسری صحیح تبدیل کنید - 2 کامل و 5/6.

بنابراین، با فهمیدن اینکه کسرها چیست و چگونه می توانید عملیات حسابی مختلف را با آنها انجام دهید، باید سعی کنید آن را فراموش نکنید. از این گذشته، مردم همیشه تمایل بیشتری به تقسیم کردن چیزی دارند تا اضافه کردن، بنابراین شما باید بتوانید آن را به درستی انجام دهید.

صورت و مخرج کسری. انواع کسر. بیایید به بررسی کسرها ادامه دهیم. اول، یک سلب مسئولیت کوچک - در حالی که ما در حال بررسی کسرها و نمونه های متناظر با آنها هستیم، در حال حاضر فقط با نمایش عددی آن کار خواهیم کرد. عبارات حروف کسری (با و بدون اعداد) نیز وجود دارد.با این حال، تمام "اصول" و قوانین نیز در مورد آنها اعمال می شود، اما در آینده در مورد چنین عباراتی جداگانه صحبت خواهیم کرد. بازدید و مطالعه (به خاطر سپردن) مبحث کسرها را به صورت گام به گام توصیه می کنم.

مهمترین چیز این است که بفهمیم، به خاطر بسپاریم و بفهمیم که کسر یک عدد است!!!

کسر مشترکتعدادی از فرم است:

عدد واقع در "بالا" (در این مورد m) را کسر می گویند، عددی که در زیر (عدد n) قرار دارد، مخرج نامیده می شود. کسانی که به تازگی این موضوع را لمس کرده اند، اغلب در مورد آنچه که آن را می نامند دچار سردرگمی می شوند.

در اینجا ترفندی وجود دارد که چگونه می توان برای همیشه به یاد بیاورید که کجا و مخرج کجاست. این تکنیک با تداعی کلامی - تصویری همراه است. یک شیشه آب کدر را تصور کنید. معروف است که با ته نشین شدن آب، آب تمیز در بالا باقی می ماند و کدورت (کثیفی) می نشیند، به یاد داشته باشید:

آب ذوب CHISS ABOVE (CHISS litel top)

گریا آب Z33NN در زیر است (آمیناتور ZNNNN در زیر است)

بنابراین، به محض اینکه نیاز به یادآوری اینکه صورت‌گر کجاست و مخرج کجاست، بلافاصله شیشه‌ای از آب ته‌نشین شده را تصور می‌کنیم که آب تمیز در بالا و آب کثیف در پایین قرار دارد. ترفندهای حافظه دیگری وجود دارد، اگر به شما کمک کند، خوب است.

نمونه هایی از کسرهای رایج:

خط افقی بین اعداد به چه معناست؟ این چیزی بیش از یک علامت تقسیم نیست. معلوم می شود که کسری را می توان از مصادیق عمل تقسیم در نظر گرفت. این عمل به سادگی در این فرم ثبت می شود. یعنی عدد بالایی (عدد) بر عدد پایین (مخرج) تقسیم می شود:

علاوه بر این، شکل دیگری از نماد وجود دارد - یک کسری را می توان به این صورت نوشت (از طریق یک اسلش):

1/9، 5/8، 45/64، 25/9، 15/13، 45/64 و غیره...

کسرهای بالا را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

حاصل تقسیم این است که چگونه این عدد شناخته می شود.

ما متوجه شدیم - این یک کسری است!!!

همانطور که قبلاً متوجه شدید، در یک کسر مشترک، صورت می تواند کوچکتر از مخرج باشد، می تواند بزرگتر از مخرج باشد، و می تواند برابر با آن باشد. در اینجا نکات مهم زیادی وجود دارد که به طور شهودی و بدون هیچ گونه اصلاح نظری قابل درک هستند. مثلا:

1. کسرهای 1 و 3 را می توان به صورت 0.5 و 0.01 نوشت. بیایید کمی جلوتر بپریم - اینها کسرهای اعشاری هستند، ما در مورد آنها کمی پایین تر صحبت خواهیم کرد.

2. کسرهای 4 و 6 به عدد صحیح 45:9=5، 11:1 = 11 می رسند.

3. کسر 5 به یک 155:155 = 1 منجر می شود.

چه نتایجی خود را نشان می دهد؟ بعد:

1. صورت تقسیم بر مخرج می تواند یک عدد متناهی بدهد. ممکن است کار نکند، با ستون 7 بر 13 یا 17 بر 11 تقسیم کنید - به هیچ وجه! می‌توانید بی‌پایان تقسیم کنید، اما در زیر نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

2. کسر می تواند به یک عدد کامل منجر شود. بنابراین، ما می توانیم هر عدد صحیح را به عنوان یک کسری، یا بهتر است بگوییم یک سری نامتناهی از کسری، نشان دهیم، نگاه کنید، همه این کسرها برابر با 2 هستند:

بیشتر! ما همیشه می‌توانیم هر عدد صحیحی را به صورت کسری بنویسیم - خود عدد در صورت‌دهنده است، واحد در مخرج است:

3. ما همیشه می توانیم یک واحد را به صورت کسری با هر مخرج نشان دهیم:

*این نکات برای کار با کسرها در حین محاسبات و تبدیل ها بسیار مهم هستند.

انواع کسر.

و اکنون در مورد تقسیم نظری کسرهای معمولی. آنها تقسیم می شوند درست و غلط.

کسری که صورت آن کوچکتر از مخرج آن باشد کسری مناسب نامیده می شود. مثال ها:

کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج باشد کسر نامناسب نامیده می شود. مثال ها:

کسر مختلط(شماره های درهم).

کسر مختلط کسری است که به صورت یک عدد کامل و یک کسر مناسب نوشته می شود و به صورت مجموع این عدد و جزء کسری آن فهمیده می شود. مثال ها:

یک کسر مختلط را همیشه می توان به عنوان یک کسر نامناسب نشان داد و بالعکس. بیایید ادامه دهیم!

کسرهای اعشاری

ما قبلاً آنها را در بالا لمس کردیم ، اینها نمونه های (1) و (3) هستند ، اکنون با جزئیات بیشتر. در اینجا نمونه هایی از کسرهای اعشاری آورده شده است: 0.3 0.89 0.001 5.345.

کسری که مخرج آن توان 10 باشد، مانند 10، 100، 1000 و غیره، اعشار نامیده می شود. نوشتن سه کسر مشخص شده اول به شکل کسرهای معمولی دشوار نیست:

چهارمین کسر مختلط (عدد مختلط):

کسر اعشاری به شکل زیر است - باکل قسمت شروع می شود، سپس جداکننده کل و جزء کسری یک نقطه یا کاما است و سپس قسمت کسری، تعداد ارقام جزء کسری دقیقاً با بعد جزء کسری تعیین می شود: اگر این ها دهم هستند، قسمت کسری به صورت یک رقمی نوشته می شود. اگر هزارم - سه؛ ده هزارم - چهار و غیره

این کسرها می توانند متناهی یا نامتناهی باشند.

نمونه هایی از پایان کسری اعشاری: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

مثال ها بی پایان هستند. به عنوان مثال، عدد Pi یک کسر اعشاری نامتناهی است، همچنین – 0.333333333333…... 0.16666666666…. و دیگران. همچنین نتیجه استخراج ریشه اعداد 3، 5، 7 و ... کسر نامتناهی خواهد بود.

قسمت کسری می تواند چرخه ای باشد (شامل یک چرخه است)، دو مثال بالا دقیقاً مانند این هستند و مثال های بیشتری:

0.123123123123...... چرخه 123

0.781781781718...... چرخه 781

0.0250102501 …. چرخه 02501

آنها را می توان به صورت 0، (123) 0، (781) 0، (02501) نوشت.

عدد Pi یک کسر حلقوی نیست، مثلاً ریشه سه.

در مثال‌های زیر، کلماتی مانند «برگرداندن» کسری به صدا در می‌آیند - این به این معنی است که صورت و مخرج با هم عوض شده‌اند. در واقع، چنین کسری یک نام دارد - کسری متقابل. نمونه هایی از کسرهای متقابل:

یک خلاصه کوچک! کسری ها عبارتند از:

معمولی (درست و نادرست).

اعشار (متناهی و نامتناهی).

مختلط (اعداد مختلط).

همین!

با احترام، اسکندر.