زاویه مرکزی یک دایره برابر با نصف قوس است. زاویه محاطی، نظریه و مسائل

در این مقاله به شما خواهم گفت که چگونه مشکلاتی را که استفاده می کنید را حل کنید.

ابتدا، طبق معمول، اجازه دهید تعاریف و قضایایی را که برای حل موفقیت‌آمیز مسائل در آن باید بدانید را یادآوری کنیم.

1.زاویه حکاکی شدهزاویه ای است که راس آن روی یک دایره قرار دارد و اضلاع آن دایره را قطع می کنند:

2.زاویه مرکزیزاویه ای است که راس آن با مرکز دایره منطبق است:

مقدار درجه یک قوس دایره ایبا بزرگی زاویه مرکزی که روی آن قرار دارد اندازه گیری می شود.

در این حالت، مقدار درجه قوس AC برابر با مقدار زاویه AOS است.

3. اگر زوایای محاطی و مرکزی روی یک قوس قرار گیرند، پس زاویه محاط شده نصف اندازه زاویه مرکزی است:

4. تمام زوایای محاطی که بر روی یک کمان قرار دارند با یکدیگر برابرند:

5. زاويه محاطي شده با قطر 90 درجه است:

بیایید چندین مشکل را حل کنیم.

1 . وظیفه B7 (شماره 27887)

بیایید مقدار زاویه مرکزی را که روی همان کمان قرار دارد پیدا کنیم:

بدیهی است که زاویه AOC 90 درجه است، بنابراین زاویه ABC 45 درجه است

جواب: 45 درجه

2. وظیفه B7 (شماره 27888)

اندازه زاویه ABC را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بدیهی است که زاویه AOC 270 درجه است، سپس زاویه ABC 135 درجه است.

جواب: 135 درجه

3. وظیفه B7 (شماره 27890)

مقدار درجه قوس AC دایره ای را که با زاویه ABC منتهی می شود، بیابید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بیایید مقدار زاویه مرکزی که روی قوس AC قرار دارد را پیدا کنیم:

بزرگی زاویه AOS 45 درجه است، بنابراین، اندازه گیری درجه قوس AC 45 درجه است.

جواب: 45 درجه

4 . وظیفه B7 (شماره 27885)

اگر زوایای محاط شده ADB و DAE روی کمان های دایره ای قرار دارند که مقادیر درجه آنها به ترتیب برابر و زاویه ACB را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

زاویه ADB روی قوس AB قرار دارد، بنابراین، مقدار زاویه مرکزی AOB برابر با 118 درجه است، بنابراین، زاویه BDA برابر با 59 درجه است، و زاویه مجاور ADC برابر با 180 ° -59 ° = 121 درجه است.

به طور مشابه، زاویه DOE 38 درجه و زاویه محاطی مربوطه DAE 19 درجه است.

مثلث ADC را در نظر بگیرید:

مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.

زاویه ACB برابر است با 180°- (121°+19°)=40°

جواب: 40 درجه

5 . وظیفه B7 (شماره 27872)

اضلاع چهار ضلعی ABCD AB، BC، CD و AD کمان‌های دایره‌ای را فرعی می‌کنند که مقادیر درجه آن‌ها به ترتیب برابر با، و . زاویه B این چهار ضلعی را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

زاویه B بر روی قوس ADC قرار دارد که مقدار آن برابر است با مجموع مقادیر کمان AD و CD، یعنی 71°+145°=216°.

زاویه محاطی B برابر است با نصف قدر قوس ADC، یعنی 108 درجه

جواب: 108 درجه

6. وظیفه B7 (شماره 27873)

نقاط A، B، C، D که روی یک دایره قرار دارند، این دایره را به چهار کمان AB، BC، CD و AD تقسیم می کنند که مقادیر درجه آن ها به ترتیب به نسبت 4:2:3:6 می باشد. زاویه A چهار ضلعی ABCD را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

(نقشه کار قبلی را ببینید)

از آنجایی که نسبت قدر کمان ها را داده ایم، عنصر واحد x را معرفی می کنیم. سپس قدر هر قوس با نسبت زیر بیان می شود:

AB=4x، BC=2x، CD=3x، AD=6x. همه کمان ها یک دایره تشکیل می دهند، یعنی مجموع آنها 360 درجه است.

4x+2x+3x+6x=360 درجه، بنابراین x=24 درجه.

زاویه A توسط کمان های BC و CD پشتیبانی می شود که با هم مقدار 5x=120 درجه دارند.

بنابراین زاویه A 60 درجه است

جواب: 60 درجه

7. وظیفه B7 (شماره 27874)

چهار گوش آ ب پ تدر یک دایره حک شده است. گوشه ABCبرابر با زاویه CAD

امروز نوع دیگری از مشکلات 6 را بررسی خواهیم کرد - این بار با دایره. بسیاری از دانش آموزان آنها را دوست ندارند و آنها را دشوار می دانند. و کاملاً بیهوده ، زیرا چنین مشکلاتی حل می شوند ابتدایی، اگر چند قضیه را می دانید. یا اگر شما آنها را نشناسید اصلا جرات ندارند.

قبل از صحبت در مورد ویژگی های اصلی، اجازه دهید تعریف را به شما یادآوری کنم:

زاويه محاطي زاويه اي است كه راس آن روي خود دايره قرار دارد و دو طرف آن وتري روي اين دايره قطع مي كند.

زاویه مرکزی هر زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره باشد. اضلاع آن نیز این دایره را قطع کرده و روی آن وتر حک می کنند.

بنابراین، مفاهیم زوایای محاطی و مرکزی با دایره و وترهای درون آن پیوند ناگسستنی دارند. و اکنون بیانیه اصلی:

قضیه. زاویه مرکزی همیشه دو برابر زاویه محاطی است، بر اساس همان قوس.

با وجود سادگی بیانیه، یک کلاس کامل از مشکلات 6 وجود دارد که می توان با استفاده از آن حل کرد - و هیچ چیز دیگری.

وظیفه. یک زاویه محاطی حاد را پیدا کنید که توسط وتری برابر با شعاع دایره فرو رفته است.

بگذارید AB وتر مورد نظر باشد، ای مرکز دایره. ساخت اضافی: OA و OB شعاع دایره هستند. ما گرفتیم:

مثلث ABO را در نظر بگیرید. در آن AB = OA = OB - همه اضلاع برابر با شعاع دایره هستند. بنابراین مثلث ABO متساوی الاضلاع است و تمام زوایای آن 60 درجه است.

فرض کنید M راس زاویه محاطی باشد. از آنجایی که زوایای O و M بر روی یک قوس AB قرار دارند، زاویه محاطی M 2 برابر کوچکتر از زاویه مرکزی O است. ما داریم:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

وظیفه. زاویه مرکزی 36 درجه بزرگتر از زاویه محاطی است که توسط همان قوس دایره فرو رفته است. زاویه محاط شده را پیدا کنید.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:

1. AB وتر دایره است.
2. نقطه O مرکز دایره است، بنابراین زاویه AOB زاویه مرکزی است.
3. نقطه C رأس زاویه محاطی ACB است.

از آنجایی که ما به دنبال زاویه محاطی ACB هستیم، بیایید آن را ACB = x نشان دهیم. سپس زاویه مرکزی AOB x + 36 است. از طرف دیگر، زاویه مرکزی 2 برابر زاویه محاطی است. ما داریم:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

بنابراین ما زاویه محاطی AOB را پیدا کردیم - برابر با 36 درجه است.

دایره زاویه 360 درجه است

با خواندن زیرنویس، خوانندگان آگاه احتمالاً اکنون خواهند گفت: "اوه!" در واقع، مقایسه یک دایره با یک زاویه کاملاً صحیح نیست. برای درک اینکه در مورد چه چیزی صحبت می کنیم، به دایره مثلثاتی کلاسیک نگاهی بیندازید:

این عکس برای چیه؟ و علاوه بر این، یک چرخش کامل زاویه 360 درجه است. و اگر آن را مثلاً به 20 قسمت مساوی تقسیم کنید ، اندازه هر یک از آنها 360: 20 = 18 درجه خواهد بود. این دقیقا همان چیزی است که برای حل مشکل B8 مورد نیاز است.

نقاط A، B و C روی دایره قرار گرفته و آن را به سه کمان تقسیم می کنیم که اندازه های درجه آنها به نسبت 1: 3: 5 است. زاویه بزرگتر مثلث ABC را پیدا کنید.

ابتدا، بیایید اندازه درجه هر کمان را پیدا کنیم. بگذارید کوچکتر x باشد. در شکل این کمان AB مشخص شده است. سپس کمان های باقی مانده - BC و AC - را می توان بر حسب AB بیان کرد: قوس BC = 3x. AC = 5x. در مجموع، این کمان ها 360 درجه می دهند:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

اکنون یک قوس AC بزرگ را در نظر بگیرید که حاوی نقطه B نیست. این قوس مانند زاویه مرکزی مربوطه AOC 5x = 5 40 = 200 درجه است.

زاویه ABC بزرگترین زاویه در یک مثلث است. این یک زاویه محاطی است که توسط همان قوس زاویه مرکزی AOC فرو رفته است. این بدان معناست که زاویه ABC 2 برابر کمتر از AOC است. ما داریم:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

این درجه اندازه گیری زاویه بزرگتر در مثلث ABC خواهد بود.

دایره ای که دور یک مثلث قائم الزاویه محصور شده است

بسیاری از مردم این قضیه را فراموش می کنند. اما بیهوده، زیرا برخی از مشکلات B8 بدون آن به هیچ وجه حل نمی شود. به عبارت دقیق تر، آنها حل می شوند، اما با آنقدر حجم محاسبات که شما ترجیح می دهید به جای رسیدن به جواب، بخوابید.

قضیه. مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث قائم الزاویه احاطه شده است در نقطه وسط هیپوتنوس قرار دارد.

چه چیزی از این قضیه به دست می آید؟

1. نقطه وسط هیپوتنوس از تمام رئوس مثلث فاصله دارد. این نتیجه مستقیم قضیه است.
2. میانه رسم شده به سمت هیپوتنوس مثلث اصلی را به دو مثلث متساوی الساقین تقسیم می کند. این دقیقا همان چیزی است که برای حل مشکل B8 مورد نیاز است.

در مثلث ABC سی دی میانه را رسم می کنیم. زاویه C 90 درجه و زاویه B 60 درجه است. زاویه ACD را پیدا کنید.

از آنجایی که زاویه C 90 درجه است، مثلث ABC یک مثلث قائم الزاویه است. معلوم می شود که CD میانه ای است که به سمت هیپوتانوس کشیده شده است. این بدان معنی است که مثلث های ADC و BDC متساوی الساقین هستند.

به طور خاص، مثلث ADC را در نظر بگیرید. در آن AD = CD. اما در یک مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده برابر هستند - به «مسئله B8: بخش‌های خط و زاویه در مثلث‌ها» مراجعه کنید. بنابراین زاویه مورد نظر ACD = A.

بنابراین، باید دریابیم که زاویه A با چه چیزی برابر است. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به مثلث اصلی ABC بپردازیم. بیایید زاویه A = x را نشان دهیم. از آنجایی که مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است، داریم:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

البته مشکل آخر را می توان متفاوت حل کرد. به عنوان مثال، به راحتی می توان ثابت کرد که مثلث BCD فقط متساوی الساقین نیست، بلکه متساوی الاضلاع است. بنابراین زاویه BCD 60 درجه است. بنابراین زاویه ACD 90-60 = 30 درجه است. همانطور که می بینید، می توانید از مثلث های متساوی الساقین مختلف استفاده کنید، اما پاسخ همیشه یکسان خواهد بود.

اغلب، روند آماده سازی برای آزمون دولتی واحد در ریاضیات با تکرار تعاریف، فرمول ها و قضایای اساسی، از جمله در موضوع "زوایای مرکزی و محاط شده در یک دایره" آغاز می شود. به عنوان یک قاعده، این بخش از پلان سنجی در دبیرستان مطالعه می شود. تعجب آور نیست که بسیاری از دانش آموزان با نیاز به مرور مفاهیم و قضایای اساسی در موضوع "زاویه مرکزی یک دایره" مواجه هستند. با درک الگوریتم برای حل چنین مشکلاتی، دانش آموزان می توانند بر اساس نتایج گذراندن آزمون دولتی واحد، روی دریافت نمرات رقابتی حساب کنند.

چگونه به راحتی و به طور موثر برای قبولی در آزمون گواهینامه آماده شویم؟

هنگام مطالعه قبل از قبولی در آزمون دولتی واحد، بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با مشکل یافتن اطلاعات لازم در مورد موضوع "زوایای مرکزی و محاطی در یک دایره" مواجه می شوند. همیشه اینطور نیست که کتاب درسی در دسترس باشد. و جستجوی فرمول ها در اینترنت گاهی اوقات زمان زیادی می برد.

پورتال آموزشی ما به شما کمک می کند تا مهارت های خود را "پمپ" کنید و دانش خود را در بخش دشواری از هندسه مانند نقشه سنجی ارتقا دهید. "Shkolkovo" به دانش آموزان دبیرستان و معلمان آنها راه جدیدی برای ایجاد روند آماده سازی برای امتحان دولتی یکپارچه ارائه می دهد. تمام مواد اولیه توسط متخصصان ما در دسترس ترین شکل ارائه شده است. دانش‌آموزان پس از خواندن اطلاعات بخش «پیش‌زمینه نظری» متوجه می‌شوند که زاویه مرکزی یک دایره چه ویژگی‌هایی دارد، چگونه مقدار آن را پیدا کنند و غیره.

سپس برای تثبیت دانش کسب شده و مهارت های تمرینی، انجام تمرینات مناسب را توصیه می کنیم. مجموعه بزرگی از وظایف برای یافتن اندازه یک زاویه محاط شده در یک دایره و سایر پارامترها در بخش "کاتالوگ" ارائه شده است. برای هر تمرین، کارشناسان ما یک راه حل دقیق نوشتند و پاسخ صحیح را نشان دادند. لیست وظایف در سایت به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

دانش‌آموزان دبیرستانی می‌توانند با انجام تمرین‌هایی برای امتحان دولتی واحد آماده شوند، به عنوان مثال، برای یافتن بزرگی زاویه مرکزی و طول کمان یک دایره، به صورت آنلاین، از هر منطقه روسیه.

در صورت لزوم، کار تکمیل شده را می توان در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کرد تا بعداً به آن بازگردید و یک بار دیگر اصل حل آن را تجزیه و تحلیل کنید.

دستورالعمل ها

اگر شعاع (R) دایره و طول قوس (L) مربوط به زاویه مرکزی مورد نظر (θ) مشخص باشد، می توان آن را هم بر حسب درجه و هم بر حسب رادیان محاسبه کرد. مجموع با فرمول 2*π*R تعیین می شود و مربوط به زاویه مرکزی 360 درجه یا دو عدد Pi است، اگر به جای درجه از رادیان استفاده شود. بنابراین، از نسبت 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ ادامه دهید. از آن زاویه مرکزی را به رادیان بیان کنید θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R یا درجه θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π) * R) و با استفاده از فرمول به دست آمده محاسبه کنید.

بر اساس طول وتر (m) اتصال نقاطی که زاویه مرکزی (θ) را به هم متصل می کند، اگر شعاع (R) دایره مشخص باشد، می توان مقدار آن را نیز محاسبه کرد. برای این کار مثلثی را در نظر بگیرید که از دو شعاع و . این یک مثلث متساوی الساقین است، همه شناخته شده اند، اما شما باید زاویه مقابل پایه را پیدا کنید. سینوس نیمه آن برابر است با نسبت طول قاعده - وتر - به دو برابر طول ضلع - شعاع. بنابراین، از تابع سینوس معکوس برای محاسبات استفاده کنید - آرکسین: θ = 2*آرکسین(½*m/R).

زاویه مرکزی را می توان در کسری از یک دور یا از یک زاویه چرخش مشخص کرد. به عنوان مثال، اگر باید زاویه مرکزی مربوط به یک چهارم دور کامل را پیدا کنید، 360 درجه را بر چهار تقسیم کنید: θ = 360 درجه / 4 = 90 درجه. همان مقدار در رادیان باید 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57 باشد. زاویه باز شده برابر با نیم دور کامل است، بنابراین، برای مثال، زاویه مرکزی مربوط به یک چهارم آن، نصف مقادیر محاسبه شده در بالا در هر دو درجه و رادیان خواهد بود.

معکوس سینوس را تابع مثلثاتی می نامند آرکسین. وقتی بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، می تواند مقادیری را در نیمی از پی بگیرد، هم مثبت و هم منفی. هنگامی که بر حسب درجه اندازه گیری می شود، این مقادیر به ترتیب در محدوده 90- تا 90+ درجه خواهد بود.

دستورالعمل ها

برخی از مقادیر "گرد" نیازی به محاسبه ندارند. به عنوان مثال: - اگر آرگومان تابع صفر است، پس کمان آن نیز صفر است - از 1/2 برابر است با 30 درجه یا 1/6 Pi، - اگر 1/2 اندازه گیری شود - 30 درجه است یا -1/6 از عدد پی در - قوس 1 برابر است با 90 درجه یا 1/2 عدد پی در رادیان - کمان 1- برابر است با -90 درجه یا -1/2 عدد پی بر حسب رادیان؛

برای اندازه‌گیری مقادیر این تابع از آرگومان‌های دیگر، ساده‌ترین راه استفاده از یک ماشین‌حساب استاندارد ویندوز است، اگر یکی از آن‌ها در دسترس است. برای شروع، منوی اصلی را روی دکمه "شروع" باز کنید (یا با فشار دادن کلید WIN)، به بخش "همه برنامه ها" و سپس به بخش "لوازم جانبی" بروید و روی "ماشین حساب" کلیک کنید.

رابط ماشین حساب را به حالت عملیاتی تغییر دهید که به شما امکان می دهد توابع مثلثاتی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، بخش «نما» را در منوی آن باز کنید و «مهندسی» یا «علمی» (بسته به سیستم عامل مورد استفاده) را انتخاب کنید.

مقدار آرگومان را که باید از آن آرکتانژانت محاسبه شود وارد کنید. این کار را می توان با کلیک کردن روی دکمه های رابط ماشین حساب با ماوس یا با فشار دادن کلیدهای روی یا با کپی کردن مقدار (CTRL + C) و سپس چسباندن آن (CTRL + V) در قسمت ورودی ماشین حساب انجام داد.

واحدهای اندازه گیری را انتخاب کنید که در آنها باید نتیجه محاسبه تابع را بدست آورید. در زیر فیلد ورودی سه گزینه وجود دارد که باید از بین آنها (با کلیک روی آن با ماوس) یک - ، رادیان یا راد را انتخاب کنید.

کادر انتخابی را که عملکردهای نشان داده شده در دکمه های رابط ماشین حساب را معکوس می کند، علامت بزنید. در کنار آن یک کتیبه کوتاه Inv.

روی دکمه گناه کلیک کنید. ماشین حساب تابع مربوط به آن را معکوس می کند، محاسبه را انجام می دهد و نتیجه را در واحدهای مشخص شده به شما ارائه می دهد.

ویدیو در مورد موضوع

یکی از مشکلات هندسی رایج محاسبه مساحت یک قطعه دایره ای است - بخشی از دایره که توسط یک وتر محدود شده است و وتر مربوطه توسط یک قوس دایره.

مساحت یک بخش دایره ای برابر است با تفاوت بین مساحت بخش دایره ای مربوطه و مساحت مثلثی که توسط شعاع بخش مربوط به بخش و وتر محدود کننده بخش تشکیل شده است.

مثال 1

طول وتر زیر دایره برابر با مقدار a است. درجه اندازه گیری قوس مربوط به وتر 60 درجه است. مساحت بخش دایره ای را پیدا کنید.

راه حل

مثلثی که از دو شعاع و یک وتر تشکیل شده است متساوی الساقین است، بنابراین ارتفاع رسم شده از راس زاویه مرکزی به ضلع مثلث تشکیل شده توسط وتر نیز نیمساز زاویه مرکزی خواهد بود و آن را به نصف تقسیم می کند. میانه، تقسیم آکورد به نصف. با دانستن اینکه سینوس زاویه برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتونوس، می توانیم شعاع را محاسبه کنیم:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah که h ارتفاعی است که از راس زاویه مرکزی به وتر کشیده شده است. طبق قضیه فیثاغورث h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

بر این اساس، S▲=√3/4*a².

مساحت بخش که به صورت Sreg = Sc - S▲ محاسبه می شود برابر است با:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

با جایگزینی یک مقدار عددی به جای مقدار a، می توانید به راحتی مقدار عددی ناحیه قطعه را محاسبه کنید.

مثال 2

شعاع دایره برابر با a است. اندازه گیری درجه قوس مربوط به قطعه 60 درجه است. مساحت بخش دایره ای را پیدا کنید.

راه حل:

مساحت بخش مربوط به یک زاویه داده شده را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6،

مساحت مثلث مربوط به بخش به صورت زیر محاسبه می شود:

S▲=1/2*ah که h ارتفاعی است که از راس زاویه مرکزی به وتر کشیده شده است. توسط قضیه فیثاغورث h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

بر این اساس، S▲=√3/4*a².

و در نهایت مساحت قطعه که به صورت Sreg = Sc - S▲ محاسبه می شود برابر است با:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

راه حل ها در هر دو مورد تقریباً یکسان هستند. بنابراین، می توان نتیجه گرفت که برای محاسبه مساحت یک قطعه در ساده ترین حالت، کافی است مقدار زاویه مربوط به قوس قطعه و یکی از دو پارامتر - یا شعاع دایره یا طول وتر که قوس دایره ای را که قطعه را تشکیل می دهد فروکش می کند.

منابع:

• بخش - هندسه

زاویه محاطی، نظریه مسئله. دوستان! در این مقاله در مورد وظایفی صحبت خواهیم کرد که برای آنها باید ویژگی های یک زاویه محاطی را بدانید. این یک گروه کامل از وظایف است، آنها در آزمون یکپارچه دولتی گنجانده شده اند. بسیاری از آنها را می توان خیلی ساده و در یک عمل حل کرد.

مشکلات سخت تری هم وجود دارد، اما برای شما مشکل چندانی ایجاد نخواهد کرد. به تدریج ما تمام نمونه های اولیه وظایف را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، من شما را به وبلاگ دعوت می کنم!

حالا نظریه لازم. بیایید به یاد بیاوریم که یک زاویه مرکزی و محاطی، یک وتر، یک قوس چیست که این زوایا روی آن قرار دارند:

زاویه مرکزی در یک دایره یک زاویه صفحه است باراس در مرکز آن.

بخشی از یک دایره که در داخل یک زاویه صفحه قرار داردبه آن قوس دایره می گویند.

درجه یک کمان دایره را اندازه درجه می گویندزاویه مرکزی مربوطه

در صورتی که راس آن زاویه قرار داشته باشد، به زاویه ای گفته می شود که در دایره محاط شودروی یک دایره، و اضلاع زاویه این دایره را قطع می کنند.

پاره ای که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند نامیده می شودوتر. بزرگترین وتر از مرکز دایره می گذرد و نامیده می شودقطر

برای حل مسائل مربوط به زوایای محاط شده در یک دایره،شما باید خواص زیر را بدانید:

1. زاویه محاط شده برابر با نیمی از زاویه مرکزی است، بر اساس همان کمان.

2. همه زوایای محاطی که زیر یک قوس قرار دارند با هم برابرند.

3. تمام زوایای محاطی بر اساس وتر یکسان و رئوس آنها در یک طرف این وتر با هم برابرند.

4. هر جفت زاویه بر اساس یک وتر، که رئوس آن در طرف مقابل وتر قرار دارد، مجموع 180 درجه است.

نتیجه: مجموع زوایای مقابل چهار ضلعی که به صورت دایره ای محاط شده است به 180 درجه می رسد.

5. تمام زوایای محاطی که با قطر فرورفته اند، زوایای قائم هستند.

به طور کلی این خاصیت از پیامدهای مال است (1)؛ این مورد خاص آن است. نگاه کنید - زاویه مرکزی برابر با 180 درجه است (و این زاویه باز شده چیزی بیش از یک قطر نیست) به این معنی که با توجه به ویژگی اول، زاویه محاط C برابر با نصف آن است، یعنی 90 درجه.

دانستن این ویژگی به حل بسیاری از مشکلات کمک می کند و اغلب به شما امکان می دهد از محاسبات غیر ضروری خودداری کنید. با تسلط بر آن، قادر خواهید بود بیش از نیمی از مشکلات این نوع را به صورت شفاهی حل کنید. دو نتیجه می توان گرفت:

نتیجه 1: اگر مثلثی در دایره محاط شود و یکی از اضلاع آن با قطر این دایره منطبق باشد، مثلث قائم الزاویه است (راس زاویه قائمه روی دایره قرار دارد).

نتیجه 2: مرکز دایره ای که حول یک مثلث قائم الزاویه محصور شده است با وسط هیپوتانوس آن منطبق است.

بسیاری از نمونه های اولیه مشکلات استریومتریک نیز با استفاده از این ویژگی و این پیامدها حل می شوند. خود این واقعیت را به خاطر بسپار: اگر قطر یک دایره ضلعی از مثلث محاطی باشد، این مثلث قائم الزاویه است (زاویه مقابل قطر 90 درجه است). شما می توانید تمام نتایج و پیامدهای دیگر را خودتان بگیرید.

به عنوان یک قاعده، نیمی از مشکلات در یک زاویه حکاکی شده با یک طرح ارائه می شود، اما بدون علامت. برای درک فرآیند استدلال هنگام حل مسائل (در زیر در مقاله)، نمادهای رئوس (زاویه ها) معرفی می شوند. لازم نیست این کار را در آزمون یکپارچه ایالت انجام دهید.بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

ارزش یک زاویه محاطی حاد که توسط وتری برابر با شعاع دایره فرو رفته است چقدر است؟ پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بیایید یک زاویه مرکزی برای یک زاویه محاطی معین بسازیم و رئوس را مشخص کنیم:

با توجه به ویژگی یک زاویه محاط شده در دایره:

زاویه AOB برابر با 60 0 است، زیرا مثلث AOB متساوی الاضلاع است و در یک مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا برابر با 60 0 هستند. اضلاع مثلث مساوی هستند، زیرا شرط می گوید که وتر برابر با شعاع است.

بنابراین، زاویه محاطی ACB برابر با 30 0 است.

جواب: 30

وتر را که با زاویه 30 0 که در دایره ای به شعاع 3 محاط شده است را پیدا کنید.

این اساساً مشکل معکوس (مسئله قبلی) است. بیایید زاویه مرکزی را بسازیم.

دو برابر بزرگتر از محاط است، یعنی زاویه AOB برابر با 60 0 است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که مثلث AOB متساوی الاضلاع است. بنابراین، وتر برابر با شعاع، یعنی سه است.

پاسخ: 3

شعاع دایره 1 است. بزرگی زاویه منقوش محاطی را که توسط وتر برابر با ریشه دو فرو رفته است را بیابید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بیایید زاویه مرکزی را بسازیم:

با دانستن شعاع و وتر، می توانیم زاویه مرکزی ASV را پیدا کنیم. این را می توان با استفاده از قضیه کسینوس انجام داد. با دانستن زاویه مرکزی، می توانیم به راحتی زاویه محاطی شده ACB را پیدا کنیم.

قضیه کسینوس: مربع هر ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر بدون اینکه دو برابر حاصل ضرب این ضلع ها در کسینوس زاویه بین آنها باشد.

بنابراین، زاویه مرکزی دوم 360 0 است – 90 0 = 270 0 .

زاویه ACB با توجه به خاصیت یک زاویه محاطی برابر با نصف آن یعنی 135 درجه است.

جواب: 135

وتر را پیدا کنید که با زاویه 120 درجه در دایره ای به شعاع ریشه سه محاط شده است.

بیایید نقاط A و B را به مرکز دایره وصل کنیم. بیایید آن را به صورت O نشان دهیم:

ما شعاع و زاویه محاطی ASV را می دانیم. می‌توانیم زاویه مرکزی AOB (بیشتر از 180 درجه) را پیدا کنیم، سپس زاویه AOB را در مثلث AOB پیدا کنیم. و سپس با استفاده از قضیه کسینوس AB را محاسبه کنید.

با توجه به خاصیت زاویه محاطی، زاویه مرکزی AOB (که بیشتر از 180 درجه است) برابر با دو برابر زاویه محاط، یعنی 240 درجه خواهد بود. این بدان معنی است که زاویه AOB در مثلث AOB برابر با 360 0 - 240 0 = 120 0 است.

با توجه به قضیه کسینوس:

جواب: 3

زاویه محاطی شده توسط کمانی که 20% دایره است را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

با توجه به خاصیت یک زاویه محاطی، اندازه آن نصف زاویه مرکزی بر اساس همان کمان است، در این مورد ما در مورد قوس AB صحبت می کنیم.

گفته می شود که قوس AB 20 درصد محیط است. این بدان معنی است که زاویه مرکزی AOB نیز 20 درصد از 360 0 است.*دایره زاویه 360 درجه است. به معنای،

بنابراین، زاویه محاطی ACB 36 درجه است.

جواب: 36

قوس دایره A.C.، حاوی نقطه نیست ب، 200 درجه است. و قوس یک دایره قبل از میلاد که حاوی نقطه نیست آ، 80 درجه است. زاویه محاط شده ACB را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

برای وضوح، اجازه دهید کمان هایی را که اندازه های زاویه ای آنها داده شده است، نشان دهیم. قوس مربوط به 200 درجه آبی است، قوس مربوط به 80 درجه قرمز است، قسمت باقی مانده از دایره زرد است.

بنابراین، اندازه گیری درجه قوس AB (زرد)، و بنابراین زاویه مرکزی AOB برابر است: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

زاویه محاط شده ACB نصف اندازه زاویه مرکزی AOB است، یعنی برابر با 40 درجه.

جواب: 40

زاویه محاطی که توسط قطر دایره فرو می رود چقدر است؟ پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.