عمود بر یک پاره خط

تعریف 1. عمود بر یک قطعهخط مستقیم عمود بر این پاره و از وسط آن می گذرد (شکل 1).

قضیه 1. هر نقطه از نیمساز عمود بر یک قطعه قرار دارد در همان فاصله از انتها این بخش

اثبات بیایید یک نقطه دلخواه D را که روی نیمساز عمود بر قطعه AB قرار دارد در نظر بگیریم (شکل 2) و ثابت کنیم که مثلث های ADC و BDC برابر هستند.

در واقع، این مثلث ها مثلث های قائم الزاویه ای هستند که در آنها پایه های AC و BC برابر هستند و پایه DC مشترک است. تساوی مثلث های ADC و BDC بر تساوی بخش های AD و DB دلالت دارد. قضیه 1 ثابت شده است.

قضیه 2 (مقاله با قضیه 1). اگر نقطه ای در همان فاصله از انتهای یک پاره باشد، آنگاه بر روی عمود بر این پاره قرار می گیرد.

اثبات اجازه دهید قضیه 2 را با تضاد اثبات کنیم. برای این منظور، فرض کنید که نقطه ای E در همان فاصله از انتهای قطعه قرار دارد، اما روی عمود بر این قطعه قرار ندارد. اجازه دهید این فرض را به تناقض برسانیم. اجازه دهید ابتدا موردی را در نظر بگیریم که نقاط E و A در دو طرف مقابل عمود بر هم قرار دارند (شکل 3). در این حالت قطعه EA در نقطه ای عمود بر عمود را قطع می کند که آن را با حرف D نشان می دهیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که قطعه AE طولانی تر از قطعه EB است. واقعا،

بنابراین، در موردی که نقاط E و A در اضلاع مخالف عمود بر هم قرار گیرند، تضاد داریم.

حال حالتی را در نظر بگیرید که نقاط E و A در یک سمت عمود بر عمود قرار گیرند (شکل 4). اجازه دهید ثابت کنیم که بخش EB طولانی تر از قطعه AE است. واقعا،

تناقض حاصل، اثبات قضیه 2 را کامل می کند

دایره ای که دور یک مثلث محصور شده است

تعریف 2. دایره ای که توسط یک مثلث احاطه شده است، دایره ای نامیده می شود که از هر سه رأس مثلث عبور می کند (شکل 5). در این حالت مثلث نامیده می شود مثلث حک شده در یک دایرهیا مثلث حکاکی شده.

ویژگی های دایره محدود یک مثلث. قضیه سینوس ها

شکل	طراحی	ویژگی
نیمسازهای عمود بر هم به اضلاع مثلث		در یک نقطه تلاقی می کنند .
مرکز دایره ای که حول یک مثلث حاد محصور شده است		مرکز در مورد حاد زاویه دار داخل مثلث.
مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث قائم الزاویه است		مرکز در مورد مستطیل شکل وسط هیپوتانوز .
مرکز دایره ای که اطراف یک مثلث منفرد محصور شده است		مرکز در مورد کج زاویه دار دایره مثلثی دروغ می گوید خارج از مثلث.
		,
مربع مثلث		S= 2آر 2 گناه آگناه بگناه سی ,
Circumradius		برای هر مثلثی برابری درست است:

نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث

همه نیمسازهای عمود بر هم ، کشیده شده به اضلاع یک مثلث دلخواه، در یک نقطه تلاقی می کنند .

دایره ای که دور یک مثلث محصور شده است

هر مثلثی را می توان با یک دایره احاطه کرد . مرکز دایره ای که دور مثلث محصور شده است، نقطه ای است که در آن تمام نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث را قطع می کنند.

مرکز دایره محصور یک مثلث حاد

مرکز در مورد حاد زاویه دار دایره مثلثی دروغ می گوید داخل مثلث.

مرکز دایره محصور مثلث قائم الزاویه

مرکز در مورد مستطیل شکل دایره مثلثی است وسط هیپوتانوز .

مرکز دایره محصور یک مثلث منفرد

مرکز در مورد کج زاویه دار دایره مثلثی دروغ می گوید خارج از مثلث.

برای هر مثلث تساوی های زیر درست است (قضیه سینوس): , که در آن a، b، c اضلاع مثلث، A، B، C زوایای مثلث، R شعاع دایره محدود شده است.

مساحت یک مثلث

برای هر مثلثی برابری درست است: S= 2آر 2 گناه آگناه بگناه سی , که در آن A، B، C زوایای مثلث، S مساحت مثلث، R شعاع دایره محدود شده است.

Circumradius

برای هر مثلثی برابری درست است: که در آن a، b، c اضلاع مثلث، S مساحت مثلث، R شعاع دایره محدود شده است.

اثبات قضایای خواص دایره دایره مثلث

قضیه 3. تمام نیمسازهای عمود بر اضلاع یک مثلث دلخواه در یک نقطه قطع می شوند.

اثبات بیایید دو نیمساز عمود بر اضلاع AC و AB مثلث ABC را در نظر بگیریم و نقطه تقاطع آنها را با حرف O مشخص کنیم (شکل 6).

از آنجایی که نقطه O روی نیمساز عمود بر قطعه AC قرار دارد، پس به موجب قضیه 1 برابری زیر برقرار است:

از آنجایی که نقطه O روی نیمساز عمود بر قطعه AB قرار دارد، بر اساس قضیه 1 برابری برقرار است:

بنابراین، برابری صادق است:

از این رو، با استفاده از قضیه 2، نتیجه می گیریم که نقطه O روی نیمساز عمود بر قطعه BC قرار دارد. بنابراین، هر سه نیم‌ساز عمود بر هم، همانطور که باید ثابت شود، از یک نقطه عبور می‌کنند.

نتیجه. هر مثلثی را می توان با یک دایره احاطه کرد . مرکز دایره ای که دور مثلث محصور شده است، نقطه ای است که در آن تمام نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث را قطع می کنند.

اثبات بیایید نقطه O را در نظر بگیریم، که در آن تمام نیمسازهای کشیده شده به اضلاع مثلث ABC قطع می شوند (شکل 6).

هنگام اثبات قضیه 3، برابری زیر به دست آمد:

از آن نتیجه می شود که دایره ای با مرکز در نقطه O و شعاع های OA، OB، OC از هر سه راس مثلث ABC می گذرد، که این چیزی بود که باید ثابت می شد.

سطح اول

دایره محصور شده راهنمای تصویری (2019)

اولین سوالی که ممکن است مطرح شود این است: چه چیزی توصیف شده است - پیرامون چه چیزی؟

خوب، در واقع، گاهی اوقات در اطراف هر چیزی اتفاق می افتد، اما ما در مورد دایره ای صحبت خواهیم کرد که اطراف یک مثلث (گاهی اوقات آنها همچنین می گویند "درباره") است. چیست؟

و فقط تصور کنید، یک واقعیت شگفت انگیز رخ می دهد:

چرا این واقعیت تعجب آور است؟

اما مثلث ها فرق می کنند!

و برای همه یک دایره وجود دارد که از آن عبور خواهد کرد از طریق هر سه قله، یعنی دایره محدود شده.

اثبات این واقعیت شگفت انگیز را می توان در سطوح زیر از نظریه یافت، اما در اینجا فقط توجه می کنیم که اگر مثلاً یک چهارضلعی را در نظر بگیریم، برای همه دایره ای وجود نخواهد داشت که از چهار راس عبور می کند. مثلاً متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی عالی است، اما هیچ دایره ای از چهار رأس آن عبور نمی کند!

و فقط برای یک مستطیل وجود دارد:

بفرمایید، و هر مثلث همیشه دایره محدود مخصوص به خود را دارد!و پیدا کردن مرکز این دایره حتی همیشه بسیار آسان است.

میدونی این چیه عمود بر عمود بر?

حال بیایید ببینیم اگر سه عمود بر اضلاع مثلث را در نظر بگیریم چه اتفاقی می افتد.

معلوم می شود (و این دقیقاً همان چیزی است که باید ثابت شود، اگرچه ما این کار را نمی کنیم). هر سه عمود بر یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.به تصویر نگاه کنید - هر سه نیمساز عمود بر هم در یک نقطه قطع می شوند.

آیا فکر می کنید مرکز دایره محدود شده همیشه در داخل مثلث قرار دارد؟ فقط تصور کنید - نه همیشه!

اما اگر زاویه حاد، سپس - داخل:

با مثلث قائم الزاویه چه کنیم؟

و با یک جایزه اضافی:

از آنجایی که ما در مورد شعاع دایره محدود صحبت می کنیم: برای یک مثلث دلخواه برابر است؟ و پاسخی برای این سوال وجود دارد: به اصطلاح .

برای مثال:

و البته،

1. وجود و مرکز دایره

در اینجا این سؤال مطرح می شود: آیا چنین دایره ای برای هر مثلث وجود دارد؟ معلوم می شود که بله، برای همه. و علاوه بر این، اکنون قضیه ای را فرموله می کنیم که به این سؤال پاسخ می دهد که مرکز دایره محدود در کجا قرار دارد.

اینجوری نگاه کن:

بیایید شجاع باشیم و این قضیه را ثابت کنیم. اگر قبلاً مبحث "" را خوانده اید و متوجه شده اید که چرا سه نیمساز در یک نقطه تلاقی می کنند، برای شما راحت تر خواهد بود، اما اگر آن را نخوانده اید، نگران نباشید: اکنون ما آن را کشف خواهیم کرد.

ما اثبات را با استفاده از مفهوم مکان نقاط (GMT) انجام خواهیم داد.

خوب، برای مثال، آیا مجموعه ای از توپ ها "مکان هندسی" اجسام گرد است؟ نه، البته، چون هندوانه های گرد... وجود دارد. آیا این مجموعه ای از افراد، یک «مکان هندسی» است که می تواند صحبت کند؟ نه، زیرا نوزادانی هستند که نمی توانند صحبت کنند. در زندگی، به طور کلی یافتن نمونه ای از یک "محل هندسی نقاط" واقعی دشوار است. در هندسه راحت تر است. برای مثال، دقیقاً همان چیزی است که ما نیاز داریم:

در اینجا مجموعه عمود بر عمود است، و خاصیت " " "فاصله مساوی (یک نقطه) از انتهای قطعه است."

بررسی کنیم؟ بنابراین، شما باید از دو چیز مطمئن شوید:

1. هر نقطه ای که از انتهای یک قطعه به یک اندازه فاصله داشته باشد بر روی عمود بر آن قرار دارد.

بیایید c و c را به هم وصل کنیم. سپس خط میانه و ارتفاع b است. این به این معنی است - متساوی الساقین - ما مطمئن شدیم که هر نقطه ای که روی نیمساز عمود قرار دارد به همان اندازه از نقاط دور باشد و.

وسط را بگیریم و وصل کنیم و. نتیجه میانه است. اما طبق شرط، نه تنها میانه متساوی الساقین است، بلکه ارتفاع، یعنی عمود بر هم است. این بدان معنی است که نقطه دقیقاً روی عمود بر عمود قرار دارد.

همه! ما این واقعیت را کاملاً تأیید کرده ایم عمود بر یک پاره، مکان نقاطی است که از انتهای آن پاره فاصله دارند.

این همه خوب و خوب است، اما آیا ما دایره محدود را فراموش کرده ایم؟ به هیچ وجه، ما فقط خودمان را "تخته پرشی برای حمله" آماده کرده ایم.

مثلثی را در نظر بگیرید. بیایید دو عمود بر دو قسمتی رسم کنیم و مثلاً به قطعات و. آنها در نقطه ای تلاقی می کنند که نام آن را می گذاریم.

حالا، توجه کن!

نقطه بر روی نیمساز عمود قرار دارد.
نقطه بر روی عمود بر عمود قرار دارد.
و این یعنی و.

چند مورد از این نتیجه می شود:

اولاً، نقطه باید روی نیمساز سوم عمود بر قطعه قرار گیرد.

یعنی عمود بر هم باید از نقطه عبور کند و هر سه عمود بر هم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند.

ثانیاً: اگر دایره ای با مرکز در یک نقطه و شعاع رسم کنیم، این دایره هم از نقطه و هم از نقطه عبور می کند، یعنی یک دایره محصور می شود. این بدان معنی است که از قبل وجود دارد که محل تقاطع سه نیمساز عمود بر هم مرکز دایره محدود برای هر مثلث است.

و نکته آخر: در مورد منحصر به فرد بودن. واضح است (تقریبا) که نقطه را می توان به روشی منحصر به فرد به دست آورد، بنابراین دایره منحصر به فرد است. خوب، ما "تقریبا" را برای تأمل شما می گذاریم. پس قضیه را ثابت کردیم. می توانید فریاد بزنید "هورا!"

اگر مشکل بپرسد "شعاع دایره محدود شده را بیابید" چطور؟ یا برعکس، شعاع داده شده است، اما شما باید چیز دیگری پیدا کنید؟ آیا فرمولی وجود دارد که شعاع دایره دایره را به سایر عناصر مثلث مرتبط کند؟

لطفا توجه داشته باشید: قضیه سینوس بیان می کند که برای پیدا کردن شعاع دایره محدود شده، به یک ضلع (هر کدام!) و زاویه مقابل آن نیاز دارید.. همین!

3. مرکز دایره - داخل یا خارج

حال سؤال این است: آیا مرکز دایره محدود شده خارج از مثلث قرار دارد؟
پاسخ: تا حد امکان. علاوه بر این، این همیشه در یک مثلث مبهم اتفاق می افتد.

و به طور کلی:

دایره دایره ای. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

1. دایره ای که اطراف یک مثلث است

این دایره ای است که از هر سه رأس این مثلث می گذرد.

2. وجود و مرکز دایره

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 999 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

در مورد دوم ما به شما خواهیم دادشبیه ساز "6000 مسئله با راه حل ها و پاسخ ها، برای هر موضوع، در تمام سطوح پیچیدگی." مطمئناً برای دستیابی به حل مشکلات در هر موضوعی کافی است.

در واقع، این بسیار بیشتر از یک شبیه ساز است - یک برنامه آموزشی کامل. در صورت لزوم، می توانید به صورت رایگان نیز از آن استفاده کنید.

دسترسی به تمام متون و برنامه ها برای کل دوره وجود سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

دایره ای که توسط یک مثلث قائم الزاویه احاطه شده است. در این نشریه، ما به اثبات یک "واقعیت ریاضی" که به طور گسترده در حل مسائل هندسه استفاده می شود، نگاه خواهیم کرد. در برخی منابع این واقعیت به عنوان یک قضیه تعیین شده است، در برخی دیگر به عنوان یک ویژگی، صورت بندی های مختلفی وجود دارد، اما ماهیت آنها یکی است:

هر مثلثی که روی قطر دایره ای ساخته شود که راس سوم آن روی این دایره باشد مستطیل است!

یعنی الگوی این الگوی هندسی به این صورت است که هر کجا راس مثلث را قرار دهید، زاویه این راس همیشه راست خواهد بود:

در امتحان ریاضی وظایف بسیار زیادی وجود دارد که در خلال حل آنها از این ویژگی استفاده می شود.

من اثبات استاندارد را بسیار گیج کننده و مملو از نمادهای ریاضی می دانم که آن را در کتاب درسی خواهید یافت. ما ساده و شهودی را در نظر خواهیم گرفت. من آن را در یک مقاله شگفت انگیز کشف کردم به نام " گریه یک ریاضیدان"، خواندن را به معلمان و دانش آموزان توصیه می کنم.

ابتدا چند نکته نظری را یادآور می شویم:

علامت متوازی الاضلاعمتوازی الاضلاع اضلاع مقابل هم دارد. یعنی اگر یک چهار ضلعی هر دو جفت ضلع مقابل هم برابر باشد، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

علامت مستطیل.مستطیل متوازی الاضلاع است و قطرهای آن برابر است. یعنی اگر متوازی الاضلاع قطرهای مساوی داشته باشد، مستطیل است.

* مستطیل متوازی الاضلاع است.

پس بیایید شروع کنیم:

بیایید یک مثلث را برداریم و آن را 180 0 نسبت به مرکز دایره بچرخانیم (آن را برگردانیم). یک چهار ضلعی می گیریم که در یک دایره حک شده است:

از آنجایی که ما به سادگی مثلث را چرخانده ایم، اضلاع مقابل چهار ضلعی برابر هستند، یعنی متوازی الاضلاع است. از آنجایی که مثلث دقیقاً 180 درجه می چرخد، راس آن کاملاً مخالف راس مثلث "اصلی" است.

معلوم می شود که قطرهای چهارضلعی برابر هستند، بنابراین آنها قطر هستند. چهار ضلعی داریم که اضلاع مقابل آن مساوی و قطرهای آن مساوی هستند، پس مستطیل است و تمام زوایای آن قائم الزاویه هستند.

همه شواهد همین است!

شما همچنین می توانید این را نیز ساده و قابل درک در نظر بگیرید:

مشاهده اثبات دیگری =>>

از نقطه C قطعه ای می سازیم که از مرکز دایره می گذرد که انتهای دیگر آن در نقطه مقابل دایره (نقطه D) قرار می گیرد. نقطه D را به رئوس A و B متصل کنید:چهار ضلعی گرفتیم. مثلث AOD برابر است با مثلث COB در دو ضلع و زاویه بین آنها:

از تساوی مثلث ها نتیجه می شود که AD = CB.

به همین ترتیب، AC = DB.

می توان نتیجه گرفت که چهارضلعی متوازی الاضلاع است. علاوه بر این، قطرهای آن برابر است - AB در ابتدا به عنوان قطر داده می شود، CD نیز یک قطر است (از نقطه O عبور می کند).

بنابراین، ACBD یک مستطیل است، به این معنی که تمام زوایای آن قائمه هستند. ثابت شده!

رویکرد قابل توجه دیگری که به وضوح و "زیبا" به ما می گوید که زاویه مورد نظر همیشه درست است.

نگاه کنید و اطلاعات مربوط به آن را به خاطر بسپارید. حالا به طرح نگاه کنید:

زاویه AOB چیزی بیش از زاویه مرکزی بر اساس قوس ADB نیست و برابر با 180 درجه است. بله، AB قطر یک دایره است، اما هیچ چیز مانع از آن نمی شود که AOB را یک زاویه مرکزی در نظر بگیریم (این یک زاویه مستقیم است). زاویه ACB نیز برای آن درج شده است.

و می دانیم که زاویه محاط شده برابر با نصف مرکز است، یعنی هر چه نقطه C را روی دایره قرار دهیم، زاویه ACB همیشه برابر با 90 درجه خواهد بود، یعنی مستقیم است.

در رابطه با حل مسائل، به ویژه مواردی که در امتحان گنجانده شده اند، چه نتیجه ای می توان گرفت؟

اگر شرط در مورد مثلثی باشد که در یک دایره محاط شده و بر روی قطر این دایره ساخته شده باشد، قطعاً این مثلث یک مثلث قائم الزاویه است.

اگر گفته شود که مثلث قائم الزاویه در یک دایره حک شده است، به این معنی است که هیپوتانوس آن با قطر آن منطبق است (برابر با آن) و مرکز هیپوتانوس با مرکز دایره منطبق است.

همین. موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.