فرضیه:ما معتقدیم که کمال شکل هرم به دلیل قوانین ریاضی ذاتی شکل آن است.

هدف:پس از مطالعه هرم به عنوان یک جسم هندسی، کمال شکل آن را توضیح دهید.

وظایف:

1. یک تعریف ریاضی از هرم ارائه دهید.

2. هرم را به عنوان یک جسم هندسی مطالعه کنید.

3. درک کنید که مصریان چه دانش ریاضی را در اهرام خود گنجانده اند.

سوالات خصوصی:

1. هرم به عنوان یک جسم هندسی چیست؟

2. چگونه می توان شکل منحصر به فرد هرم را از دیدگاه ریاضی توضیح داد؟

3. چه چیزی شگفتی های هندسی هرم را توضیح می دهد؟

4. چه چیزی کمال شکل هرم را توضیح می دهد؟

تعریف هرم

هرم (از یونانی pyramis، gen. pyramidos) - چند وجهی که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند (نقاشی). بر اساس تعداد زوایای پایه، اهرام به سه گوش، چهار گوش و غیره تقسیم می شوند.

هرم - یک بنای تاریخی که شکل هندسی یک هرم دارد (گاهی اوقات پلکانی یا برجی شکل). اهرام نامی است که به مقبره های غول پیکر فراعنه مصر باستان در هزاره سوم تا دوم پیش از میلاد داده شده است. e.، و همچنین پایه های معبد باستانی آمریکایی (در مکزیک، گواتمالا، هندوراس، پرو)، مرتبط با فرقه های کیهانی.

ممکن است کلمه یونانی "هرم" از عبارت مصری per-em-us، یعنی از اصطلاحی به معنای ارتفاع هرم گرفته شده باشد. V. Struve مصر شناس برجسته روسی معتقد بود که "puram...j" یونانی از "p"-mr مصر باستان می آید.

از تاریخ. با مطالعه مطالب کتاب درسی "هندسه" توسط نویسندگان آتاناسیان. بوتوزوف و دیگران، آموختیم که: چند وجهی که از n مثلث A1A2A3 تشکیل شده است ... مثلث An و n PA1A2، PA2A3، ...، PAnA1 هرم نامیده می شود. چند ضلعی A1A2A3...An قاعده هرم است و مثلث های PA1A2، PA2A3،...، PAnA1 وجه های جانبی هرم، P بالای هرم، قطعات PA1، PA2،...، PAn هستند. لبه های جانبی هستند.

با این حال، این تعریف از هرم همیشه وجود نداشت. به عنوان مثال، اقلیدس، ریاضیدان یونان باستان، نویسنده رساله های نظری در مورد ریاضیات که به ما رسیده است، هرم را به عنوان یک شکل جامد تعریف می کند که با صفحاتی محدود شده است که از یک صفحه به یک نقطه همگرا می شوند.

اما این تعریف قبلاً در دوران باستان مورد انتقاد قرار گرفت. بنابراین هرون تعریف زیر را از هرم ارائه کرد: "این شکلی است که توسط مثلث هایی محدود شده است که در یک نقطه همگرا می شوند و قاعده آن یک چند ضلعی است."

گروه ما با مقایسه این تعاریف به این نتیجه رسید که آنها فرمول روشنی از مفهوم "بنیاد" ندارند.

ما این تعاریف را بررسی کردیم و تعریف آدرین ماری لژاندر را یافتیم که در سال 1794 در اثر خود "عناصر هندسه" هرم را اینگونه تعریف می کند: "هرم شکل جامدی است که از مثلث هایی تشکیل شده است که در یک نقطه همگرا می شوند و به اضلاع مختلف ختم می شوند. یک پایه صاف."

به نظر ما آخرین تعریف ایده روشنی از هرم می دهد، زیرا در مورد این واقعیت صحبت می کند که پایه تخت است. تعریف دیگری از هرم در کتاب درسی قرن 19 آمده است: "هرم زاویه ای جامد است که با یک صفحه قطع شده است."

هرم به عنوان یک جسم هندسی.

که هرم چند ضلعی است که یکی از وجوه (پایه) آن چند ضلعی است و وجوه (اضلاع) باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند (راس هرم).

عمود رسم شده از بالای هرم به صفحه قاعده نامیده می شود ارتفاعساعتاهرام.

علاوه بر هرم دلخواه، وجود دارد هرم صحیحکه در قاعده آن یک چندضلعی منتظم و هرم کوتاه شده

در شکل یک هرم PABCD وجود دارد، ABCD پایه آن، PO ارتفاع آن است.

سطح کل یک هرم مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

Sfull = Sside + Smain،جایی که سمت– مجموع مساحت وجوه جانبی.

حجم هرم با فرمول پیدا می شود:

V=1/3Sbas. ساعت، جایی که Sbas. - مساحت پایه، ساعت- ارتفاع

مساحت وجه جانبی هرم منظم به صورت زیر بیان می شود: کنار. =1/2P ساعت، جایی که P محیط پایه است، ساعت- ارتفاع صورت جانبی (آپوتم یک هرم منظم). اگر هرم با صفحه A’B’C’D به موازات قاعده قطع شود، آنگاه:

1) دنده های جانبی و ارتفاع توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

2) در مقطع یک چند ضلعی A’B’C’D به دست می آید، شبیه به پایه.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

پایه های یک هرم کوتاه- چند ضلعی های مشابه ABCD و A`B`C`D`، وجه های جانبی ذوزنقه هستند.

ارتفاعهرم کوتاه - فاصله بین پایه ها.

حجم کوتاه شدههرم با فرمول پیدا می شود:

V=1/3 ساعت(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> سطح جانبی یک هرم منقطع منظم به صورت زیر بیان می شود: Sside = ½ (P+P') ساعت، که در آن P و P محیط پایه ها هستند، ساعت- ارتفاع صورت جانبی (آپوتم یک پیرامی کوتاه شده منظم

بخش هایی از یک هرم.

بخش هایی از یک هرم توسط صفحاتی که از راس آن عبور می کنند مثلث هستند.

مقطعی که از دو لبه جانبی غیر مجاور هرم عبور می کند نامیده می شود بخش مورب

اگر مقطع از نقطه ای در لبه کناری و کنار قاعده عبور کند، ردپای آن تا صفحه قاعده هرم این سمت خواهد بود.

قسمتی که از نقطه ای که روی صورت هرم قرار دارد و از یک قطعه معین در صفحه پایه عبور می کند، سپس ساخت و ساز باید به شرح زیر انجام شود:

· نقطه تلاقی صفحه یک صورت معین و اثر بخش هرم را بیابید و آن را تعیین کنید.

· ایجاد یک خط مستقیم که از یک نقطه معین و نقطه تقاطع حاصل می گذرد.

· این مراحل را برای چهره های بعدی تکرار کنید.

، که مربوط به نسبت پایه های یک مثلث قائم الزاویه 4:3 است. این نسبت پاها مطابق با مثلث قائم الزاویه معروف با اضلاع 3:4:5 است که به آن مثلث "کامل"، "مقدس" یا "مصری" می گویند. به گفته مورخان، مثلث "مصری" معنایی جادویی داده شد. پلوتارک نوشت که مصریان ماهیت جهان را با یک مثلث «مقدس» مقایسه کردند. آنها به طور نمادین پای عمودی را به شوهر، پایه را به زن و هیپوتونوس را به چیزی که از هر دو زاییده می شود تشبیه کردند.

برای مثلث 3:4:5، برابری درست است: 32 + 42 = 52، که بیانگر قضیه فیثاغورث است. آیا این قضیه نبود که کاهنان مصری وقتی هرمی را بر اساس مثلث 3:4:5 ساختند، می خواستند آن را تداوم بخشند؟ یافتن مثال موفق تری برای توضیح قضیه فیثاغورث، که مدتها قبل از کشف آن توسط فیثاغورس برای مصریان شناخته شده بود، دشوار است.

بنابراین، خالقان درخشان اهرام مصر در پی آن بودند که فرزندان دور را با عمق دانش خود شگفت زده کنند و با انتخاب مثلث قائم الزاوی «طلایی» به عنوان «ایده هندسی اصلی» برای هرم خئوپس و «مقدس» به این امر دست یافتند. یا "مصری" برای مثلث خفره.

اغلب دانشمندان در تحقیقات خود از خواص اهرام با نسبت طلایی استفاده می کنند.

فرهنگ لغت دایره المعارف ریاضی تعریف زیر را از بخش طلایی ارائه می دهد - این یک تقسیم هارمونیک است، تقسیم در نسبت های شدید و متوسط ​​- تقسیم بخش AB به دو قسمت به گونه ای که قسمت بزرگتر آن AC میانگین نسبت بین کل بخش باشد. AB و قسمت کوچکتر آن NE.

تعیین جبری مقطع طلایی یک قطعه AB = aبه حل معادله a کاهش می یابد: x = x: (a – x)، که از آن x تقریبا برابر با 0.62 a است. نسبت x را می توان به صورت کسرهای 2/3، 3/5، 5/8، 8/13، 13/21...= 0.618 بیان کرد که در آن 2، 3، 5، 8، 13، 21 اعداد فیبوناچی هستند.

ساختار هندسی بخش طلایی قطعه AB به شرح زیر انجام می شود: در نقطه B، یک عمود بر AB بازسازی می شود، قطعه BE = 1/2 AB روی آن قرار می گیرد، A و E متصل می شوند، DE = BE کنار گذاشته می شود و در نهایت AC = AD، سپس برابری AB برآورده می شود: CB = 2:3.

نسبت طلایی اغلب در آثار هنری، معماری استفاده می شود و در طبیعت یافت می شود. نمونه های واضح مجسمه آپولو بلودر و پارتنون است. در ساخت پارتنون از نسبت ارتفاع بنا به طول آن استفاده شده و این نسبت 0.618 است. اشیاء اطراف ما نیز نمونه هایی از نسبت طلایی را ارائه می دهند، به عنوان مثال، صحافی بسیاری از کتاب ها نسبت عرض به طول نزدیک به 0.618 دارند. با توجه به چینش برگ ها روی ساقه مشترک گیاهان، می توانید متوجه شوید که بین هر دو جفت برگ، برگ سوم در نسبت طلایی (اسلایدها) قرار دارد. هر یک از ما "در دستان خود" نسبت طلایی را با خود حمل می کنیم - این نسبت فالانژهای انگشتان است.

به لطف کشف چندین پاپیروس ریاضی، مصر شناسان چیزهایی در مورد سیستم های محاسبه و اندازه گیری مصر باستان آموخته اند. تکالیف موجود در آنها توسط کاتبان حل می شد. یکی از معروف ترین آنها پاپیروس ریاضی Rhind است. با مطالعه این مشکلات، مصر شناسان یاد گرفتند که مصریان باستان چگونه با مقادیر مختلفی که هنگام محاسبه اندازه گیری های وزن، طول و حجم به وجود می آمد، که اغلب شامل کسری می شد، برخورد می کردند، و همچنین نحوه برخورد آنها با زاویه ها.

مصریان باستان از روشی برای محاسبه زوایا بر اساس نسبت ارتفاع به قاعده یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کردند. آنها هر زاویه ای را به زبان یک گرادیان بیان می کردند. شیب شیب به صورت نسبت عددی کامل به نام "seced" بیان شد. ریچارد پیلینز در کتاب ریاضیات در عصر فراعنه توضیح می‌دهد: «صفحه یک هرم منظم، تمایل هر یک از چهار وجه مثلثی به صفحه قاعده است که با nامین تعداد واحدهای افقی در هر واحد عمودی خیز اندازه‌گیری می‌شود. . بنابراین، این واحد اندازه‌گیری معادل با هم‌تانژانت مدرن زاویه شیب ما است. بنابراین، کلمه مصری "seced" با کلمه مدرن ما "gradient" مرتبط است.

کلید عددی اهرام در نسبت ارتفاع آنها به قاعده نهفته است. از نظر عملی، این ساده‌ترین راه برای ساختن الگوهای لازم برای بررسی مداوم زاویه شیب صحیح در طول ساخت هرم است.

مصر شناسان خوشحال خواهند شد که ما را متقاعد کنند که هر فرعون آرزوی بیان فردیت خود را دارد، از این رو تفاوت در زوایای تمایل برای هر هرم وجود دارد. اما می تواند دلیل دیگری داشته باشد. شاید همگی می‌خواستند تداعی‌های نمادین مختلفی را که در نسبت‌های مختلف پنهان شده بودند، تجسم دهند. با این حال، زاویه هرم خفره (بر اساس مثلث (3:4:5) در سه مسئله ارائه شده توسط اهرام در پاپیروس ریاضی Rhind ظاهر می شود. بنابراین این نگرش برای مصریان باستان به خوبی شناخته شده بود.

برای انصاف با مصرشناسانی که ادعا می کنند مصریان باستان از مثلث 3:4:5 آگاه نبودند، طول هیپوتانوس 5 هرگز ذکر نشده است. اما مسائل ریاضی مربوط به اهرام همیشه بر اساس زاویه seceda - نسبت ارتفاع به قاعده - حل می شوند. از آنجایی که طول هیپوتنوس هرگز ذکر نشد، نتیجه گرفته شد که مصری ها طول ضلع سوم را هرگز محاسبه نکرده اند.

نسبت ارتفاع به پایه به کار رفته در اهرام جیزه بدون شک برای مصریان باستان شناخته شده بود. ممکن است که این روابط برای هر هرم خودسرانه انتخاب شده باشد. با این حال، این با اهمیتی که به نماد اعداد در تمام انواع هنرهای زیبای مصری داده می شود، تناقض دارد. به احتمال بسیار زیاد چنین روابطی قابل توجه بوده است زیرا عقاید مذهبی خاصی را بیان می کردند. به عبارت دیگر، کل مجموعه جیزه تابع یک طرح منسجم بود که برای بازتاب یک موضوع الهی خاص طراحی شده بود. این توضیح می دهد که چرا طراحان زوایای مختلفی را برای اهرام سه گانه انتخاب کردند.

در The Mystery of Orion، باوال و گیلبرت شواهد قانع‌کننده‌ای ارائه کردند که اهرام جیزه را با صورت فلکی شکارچی مرتبط می‌کند، به‌ویژه با ستاره‌های کمربند جبار هر هرم به عنوان نماینده یکی از سه خدای اصلی - اوزیریس، ایزیس و هوروس.

معجزات "هندسی".

در میان اهرام بزرگ مصر، جایگاه ویژه ای را به خود اختصاص داده است هرم بزرگ فرعون خئوپس (خوفو). قبل از شروع به تجزیه و تحلیل شکل و اندازه هرم خئوپس، باید به یاد داشته باشیم که مصریان از چه سیستم اقداماتی استفاده می کردند. مصریان سه واحد طول داشتند: یک "ذرع" (466 میلی متر) که برابر با هفت "کف" (66.5 میلی متر) بود که به نوبه خود برابر با چهار "انگشت" (16.6 میلی متر) بود.

اجازه دهید ابعاد هرم خئوپس را تجزیه و تحلیل کنیم (شکل 2)، به دنبال استدلال های ارائه شده در کتاب شگفت انگیز دانشمند اوکراینی نیکلای واسیوتینسکی "نسبت طلایی" (1990).

اکثر محققین موافقند که طول ضلع قاعده هرم، برای مثال، GFمساوی با L= 233.16 متر این مقدار تقریباً با 500 "آرنج" مطابقت دارد. انطباق کامل با 500 "آرنج" در صورتی رخ می دهد که طول "آرنج" برابر با 0.4663 متر در نظر گرفته شود.

ارتفاع هرم ( اچ) توسط محققان از 146.6 تا 148.2 متر تخمین زده می شود و بسته به ارتفاع پذیرفته شده هرم، تمام روابط عناصر هندسی آن تغییر می کند. دلیل تفاوت در برآورد ارتفاع هرم چیست؟ واقعیت این است که، به طور دقیق، هرم Cheops کوتاه شده است. سکوی فوقانی آن امروزه تقریباً 10 × 10 متر است، اما یک قرن پیش 6 × 6 متر بود.

هنگام ارزیابی ارتفاع هرم، لازم است یک عامل فیزیکی مانند "پیش نویس" ساختار را در نظر بگیرید. در مدت زمان طولانی، تحت تأثیر فشار عظیم (به 500 تن در هر متر مربع از سطح زیرین)، ارتفاع هرم نسبت به ارتفاع اولیه کاهش یافت.

ارتفاع اولیه هرم چقدر بوده است؟ این ارتفاع را می توان با یافتن "ایده هندسی" اساسی هرم بازسازی کرد.

شکل 2.

در سال 1837، سرهنگ انگلیسی G. Wise زاویه تمایل چهره های هرم را اندازه گرفت: معلوم شد که برابر است. آ= 51°51". این مقدار هنوز توسط اکثر محققان امروزه تشخیص داده می شود. مقدار زاویه مشخص شده با مماس (tg) مطابقت دارد. آ)، برابر با 1.27306. این مقدار مربوط به نسبت ارتفاع هرم است ACتا نصف پایه اش C.B.(شکل 2)، یعنی A.C. / C.B. = اچ / (L / 2) = 2اچ / L.

و در اینجا محققان با یک شگفتی بزرگ روبرو شدند!.png" width="25" height="24">= 1.272. مقایسه این مقدار با مقدار tg آ= 1.27306، می بینیم که این مقادیر بسیار نزدیک به یکدیگر هستند. اگر زاویه را بگیریم آ= 51 درجه 50"، یعنی آن را فقط یک دقیقه قوس کاهش دهید، سپس مقدار را کاهش دهید آبرابر 1.272 می شود، یعنی با مقدار منطبق می شود. لازم به ذکر است که در سال 1840 جی وایز اندازه گیری های خود را تکرار کرد و روشن کرد که مقدار زاویه آ=51 درجه 50 اینچ

این اندازه گیری ها محققان را به فرضیه بسیار جالب زیر هدایت کرد: مثلث ACB هرم خئوپس بر اساس رابطه AC بود / C.B. = = 1,272!

حالا مثلث قائمه را در نظر بگیرید ABC، که در آن نسبت پاها A.C. / C.B.= (شکل 2). اگر حالا طول اضلاع مستطیل ABCتعیین توسط ایکس, y, z، و همچنین در نظر بگیرید که نسبت y/ایکس=، سپس مطابق با قضیه فیثاغورث، طول zرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

اگر قبول کنیم ایکس = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

شکل 3.مثلث قائم الزاویه "طلایی".

مثلث قائم الزاویه ای که در آن اضلاع به صورت همدیگر مرتبط هستند تیمثلث قائم الزاویه :طلایی.

سپس، اگر این فرضیه را مبنا قرار دهیم که "ایده هندسی" اصلی هرم خئوپس یک مثلث قائم الزاویه "طلایی" است، از اینجا به راحتی می توانیم ارتفاع "طراحی" هرم خئوپس را محاسبه کنیم. برابر است با:

H = (L/2) ´ = 148.28 متر.

اکنون اجازه دهید برخی روابط دیگر را برای هرم خئوپس استخراج کنیم که از فرضیه "طلایی" ناشی می شود. به طور خاص، نسبت مساحت بیرونی هرم به مساحت قاعده آن را خواهیم یافت. برای این کار طول ساق را می گیریم C.B.در واحد، یعنی: C.B.= 1. اما سپس طول ضلع قاعده هرم GF= 2 و مساحت پایه EFGHبرابر خواهد بود سفغ = 4.

اکنون مساحت وجه جانبی هرم خئوپس را محاسبه می کنیم SD. چون ارتفاع ABمثلث AEFمساوی با تی، سپس مساحت صورت کناری برابر خواهد شد SD = تی. سپس مساحت کل هر چهار وجه جانبی هرم برابر با 4 خواهد بود تیو نسبت کل سطح بیرونی هرم به مساحت قاعده برابر با نسبت طلایی خواهد بود! همین است - رمز و راز هندسی اصلی هرم خئوپس!

گروه "معجزات هندسی" هرم خئوپس شامل ویژگی های واقعی و دور از ذهن روابط بین ابعاد مختلف در هرم است.

به عنوان یک قاعده، آنها در جستجوی "ثابت" خاص، به ویژه، عدد "pi" (عدد لودولفو)، برابر با 3.14159 ... به دست می آیند. پایه لگاریتم های طبیعی "e" (عدد Neperovo)، برابر با 2.71828...; عدد "F"، عدد "قطع طلایی"، به عنوان مثال، برابر با 0.618 ... و غیره است.

برای مثال می توانید نام ببرید: 1) دارایی هرودوت: (قد) 2 = 0.5 هنر. پایه ای x Apothem; 2) اموال V. قیمت: ارتفاع: 0.5 هنر. پایه = ریشه مربع "F"; 3) خاصیت M. Eist: محیط قاعده: 2 ارتفاع = "Pi"; به تعبیری متفاوت - 2 قاشق غذاخوری. پایه ای : ارتفاع = «پی»; 4) خاصیت جی لبه: شعاع دایره محاطی: 0.5 هنر. پایه ای = "F"; 5) اموال K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. اصلی X Apothem) + (v. main)2). و غیره. شما می توانید بسیاری از این ویژگی ها را به دست آورید، به خصوص اگر دو هرم مجاور را به هم وصل کنید. مثلاً به عنوان «خواص آ. عارفیف» می توان به این نکته اشاره کرد که اختلاف حجم های هرم خئوپس و هرم خفره برابر با دو برابر حجم هرم میکرین است.

بسیاری از نکات جالب، به ویژه در مورد ساخت اهرام بر اساس «نسبت طلایی»، در کتاب‌های D. Hambidge «تقارن پویا در معماری» و M. Gick «زیبایی‌شناسی تناسب در طبیعت و هنر» آمده است. به یاد بیاوریم که "نسبت طلایی" تقسیم یک قطعه به نسبتی است که قسمت A چند برابر بزرگتر از قسمت B باشد، چند برابر A کوچکتر از کل بخش A + B باشد. نسبت A/B برابر با عدد "F" == 1.618 است. استفاده از "نسبت طلایی" نه تنها در هرم های فردی، بلکه در کل مجموعه اهرام در جیزه نشان داده شده است.

با این حال، عجیب ترین چیز این است که یک و همان هرم Cheops به سادگی "نمی تواند" حاوی خواص شگفت انگیز زیادی باشد. با گرفتن یک ویژگی خاص، می توان آن را "مناسب" کرد، اما همه آنها به یکباره مناسب نیستند - منطبق نیستند، آنها با یکدیگر در تضاد هستند. بنابراین، اگر به عنوان مثال، هنگام بررسی همه خواص، ابتدا یک ضلع قاعده هرم (233 متر) را بگیریم، ارتفاع اهرام با خواص مختلف نیز متفاوت خواهد بود. به عبارت دیگر، یک "خانواده" خاص از اهرام وجود دارد که از نظر ظاهری شبیه به Cheops هستند، اما دارای خواص متفاوتی هستند. توجه داشته باشید که هیچ چیز معجزه آسایی خاصی در ویژگی های "هندسی" وجود ندارد - بسیاری از آنها کاملاً به طور خودکار و از ویژگی های خود شکل ناشی می شوند. «معجزه» را فقط باید چیزی دانست که برای مصریان باستان آشکارا غیرممکن بود. این به ویژه شامل معجزات "کیهانی" است که در آن اندازه گیری های هرم خئوپس یا مجموعه هرم در جیزه با برخی از اندازه گیری های نجومی مقایسه می شود و اعداد "زوج" نشان داده می شوند: یک میلیون بار کمتر، یک میلیارد بار کمتر، و به زودی. بیایید برخی از روابط "کیهانی" را در نظر بگیریم.

یکی از جملات این است: "اگر ضلع قاعده هرم را بر طول دقیق سال تقسیم کنید، دقیقاً 10 میلیونم محور زمین به دست می آید." محاسبه کنید: 233 را بر 365 تقسیم کنید، 0.638 به دست می آید. شعاع زمین 6378 کیلومتر است.

عبارت دیگر در واقع برعکس مورد قبلی است. F. Noetling اشاره کرد که اگر از "ذراع مصری" که خود او اختراع کرده است استفاده کنیم، ضلع هرم مطابق با "دقیق ترین مدت سال شمسی، بیان شده به نزدیکترین یک میلیاردم روز" - 365.540 خواهد بود. 903.777.

بیانیه پی اسمیت: «ارتفاع هرم دقیقاً یک میلیاردم فاصله زمین تا خورشید است». اگرچه ارتفاع گرفته شده معمولاً 146.6 متر است، اما اسمیت آن را 148.2 متر در نظر گرفت. طبق اندازه گیری های رادار مدرن، محور نیمه اصلی مدار زمین 149،597،870 + 1.6 کیلومتر است. این میانگین فاصله زمین تا خورشید است، اما در حضیض 5000000 کیلومتر کمتر از افلیون است.

آخرین جمله جالب:

چگونه می‌توان توضیح داد که توده‌های اهرام خئوپس، خفره و میکرینوس مانند توده‌های سیارات زمین، زهره، مریخ به یکدیگر مرتبط هستند؟ بیایید محاسبه کنیم. جرم اهرام ثلاثه عبارتند از: خفر - 0.835; خئوپس - 1000; Mikerin - 0.0915. نسبت جرم سه سیاره: زهره - 0.815. زمین - 1000; مریخ - 0.108.

بنابراین، علیرغم شک، هماهنگی شناخته شده ساخت عبارات را متذکر می شویم: 1) ارتفاع هرم، مانند خطی که به فضا می رود، با فاصله زمین تا خورشید مطابقت دارد. 2) سمت قاعده هرم، نزدیکترین "به زیرلایه"، یعنی به زمین، مسئول شعاع زمین و گردش زمین است. 3) حجم هرم (بخوانید - جرم) مطابق با نسبت جرم سیارات نزدیک به زمین است. برای مثال در زبان زنبوری که توسط کارل فون فریش تحلیل شده است، می توان یک «رمز» مشابه را ردیابی کرد. اما فعلا از اظهار نظر در این خصوص خودداری می کنیم.

شکل هرم

شکل معروف چهار وجهی اهرام بلافاصله به وجود نیامد. سکاها به شکل تپه های خاکی - تپه ها دفن می کردند. مصری ها "تپه" های سنگی - اهرام را ساختند. این اولین بار پس از اتحاد مصر علیا و سفلی در قرن 28 قبل از میلاد اتفاق افتاد، زمانی که بنیانگذار سلسله سوم، فرعون جوسر (زوسر) با وظیفه تقویت وحدت کشور روبرو شد.

و در اینجا، به گفته مورخان، "مفهوم جدید خدایی" پادشاه نقش مهمی در تقویت قدرت مرکزی ایفا کرد. اگرچه تدفین های سلطنتی با شکوه و جلال بیشتری متمایز می شدند، اما در اصل با مقبره های اشراف دربار تفاوتی نداشتند، آنها همان ساختارها بودند. بالای اتاقک با تابوت حاوی مومیایی، تپه ای مستطیلی از سنگ های کوچک ریخته شد، جایی که یک ساختمان کوچک ساخته شده از بلوک های سنگی بزرگ - "مستابه" (به عربی - "نیمکت") قرار داده شد. فرعون جوسر اولین هرم را در محل مستبای سلف خود سناخت برپا کرد. پلکانی بود و یک مرحله انتقالی قابل مشاهده از یک فرم معماری به شکل دیگر، از یک مستبا به یک هرم بود.

به این ترتیب، حکیم و معمار ایمهوتپ، که بعدها جادوگر شناخته شد و یونانیان او را با خدای اسکلپیوس یکی دانستند، فرعون را بزرگ کرد. انگار شش مستطب پشت سر هم برپا شده بود. علاوه بر این، اولین هرم مساحتی معادل 1125×115 متر را با ارتفاع تخمینی 66 متر (طبق استانداردهای مصر - 1000 "نخل") اشغال کرد. در ابتدا، معمار قصد داشت یک مستابا بسازد، اما نه مستطیلی، بلکه مربع در پلان. بعداً گسترش یافت، اما از آنجایی که پسوند کمتر شد، به نظر می رسید که دو مرحله وجود دارد.

این وضعیت معمار را راضی نکرد و ایمهوتپ روی سکوی بالای مستابای بزرگ تخت قرار داد که به تدریج به سمت بالا کاهش می یابد. مقبره زیر هرم قرار داشت.

چندین هرم پلکانی دیگر نیز شناخته شده است، اما بعداً سازندگان به ساخت هرم های چهار وجهی که برای ما آشناتر هستند، روی آوردند. اما چرا مثلثی یا مثلاً هشت ضلعی نیست؟ یک پاسخ غیرمستقیم با این واقعیت داده می شود که تقریباً همه اهرام کاملاً در امتداد چهار جهت اصلی قرار دارند و بنابراین دارای چهار ضلع هستند. علاوه بر این، هرم یک "خانه" بود، پوسته یک اتاق تدفین چهار گوش.

اما چه چیزی زاویه تمایل چهره ها را تعیین کرد؟ در کتاب "اصل تناسبات" یک فصل کامل به این موضوع اختصاص داده شده است: "چه چیزی می تواند زوایای تمایل اهرام را تعیین کند." به طور خاص، نشان داده شده است که "تصویر که اهرام بزرگ پادشاهی قدیم به سمت آن جذب می شوند، مثلثی با زاویه قائمه در راس است.

در فضا یک نیمه هشت ضلعی است: هرمی که در آن لبه ها و اضلاع قاعده برابر است، یال ها مثلث متساوی الاضلاع هستند.» ملاحظات خاصی در این مورد در کتاب های همبیج، گیک و دیگران ارائه شده است.

مزیت زاویه نیم هشت وجهی چیست؟ بر اساس توصیفات باستان شناسان و مورخان، برخی از اهرام به دلیل وزن خود فرو ریختند. آنچه مورد نیاز بود یک "زاویه دوام" بود، زاویه ای که از نظر انرژی قابل اعتمادترین بود. صرفاً از نظر تجربی، این زاویه را می توان از زاویه رأس در انبوهی از ماسه خشک در حال فرو ریختن برداشت. اما برای به دست آوردن اطلاعات دقیق، باید از یک مدل استفاده کنید. با گرفتن چهار توپ محکم ثابت، باید توپ پنجم را روی آنها قرار دهید و زوایای شیب را اندازه بگیرید. با این حال، در اینجا می توانید اشتباه کنید، بنابراین یک محاسبه نظری به شما کمک می کند: شما باید مراکز توپ ها را با خطوط (از نظر ذهنی) متصل کنید. پایه مربعی با ضلع برابر دو برابر شعاع خواهد بود. مربع فقط قاعده هرم خواهد بود که طول لبه های آن نیز برابر با دو برابر شعاع خواهد بود.

بنابراین، یک بسته بندی نزدیک از توپ ها مانند 1:4 به ما یک هشت وجهی منظم می دهد.

با این حال، چرا بسیاری از اهرام که به سمت شکل مشابهی جذب می شوند، با این وجود آن را حفظ نمی کنند؟ احتمالاً اهرام در حال پیر شدن هستند. برخلاف قول معروف:

"همه چیز در جهان از زمان می ترسد و زمان از اهرام می ترسد." ساختمان های اهرام باید پیر شوند، نه تنها فرآیندهای هوازدگی خارجی می توانند و باید در آنها رخ دهند، بلکه فرآیندهای "کوچک شدن" درونی نیز ممکن است باعث پایین تر شدن اهرام می شود. انقباض نیز امکان پذیر است زیرا، همانطور که توسط کار D. Davidovits آشکار شد، مصریان باستان از فناوری ساخت بلوک از تراشه های آهک، به عبارت دیگر، از "بتن" استفاده می کردند. این دقیقاً فرآیندهای مشابهی است که می تواند دلیل تخریب هرم مدوم را که در 50 کیلومتری جنوب قاهره قرار دارد، توضیح دهد. 4600 سال قدمت دارد، ابعاد پایه 146*146 متر ارتفاع 118 متر است. وی می پرسد: «چرا اینقدر مخدوش شده است؟»

به هر حال، بیشتر بلوک‌ها و تخته‌های روبه‌روی آن تا به امروز، در ویرانه‌هایی در پای آن باقی مانده‌اند." همانطور که خواهیم دید، تعدادی از مقررات حتی ما را به این فکر می‌کند که هرم معروف خئوپس نیز "چروکیده" شده است. در هر صورت، در تمام تصاویر باستانی اهرام نوک تیز هستند ...

شکل اهرام نیز می‌توانست با تقلید ایجاد شود: برخی از نمونه‌های طبیعی، مثلاً «کمال معجزه‌آسا»، برخی کریستال‌ها به شکل هشت وجهی.

کریستال های مشابه می توانند بلورهای الماس و طلا باشند. تعداد زیادی ویژگی "همپوشانی" برای مفاهیمی مانند فرعون، خورشید، طلا، الماس معمول است. همه جا - نجیب، درخشان (درخشان)، بزرگ، بی عیب و نقص، و غیره. شباهت ها تصادفی نیست.

همان طور که می دانیم آیین خورشید بخش مهمی از دین مصر باستان بود. یکی از کتاب‌های راهنما مدرن، «آسمان خوفو» یا «خوفو به سمت آسمان» اشاره می‌کند: «مهم نیست نام بزرگترین اهرام را چگونه ترجمه کنیم، به این معنی بود که پادشاه خورشید است.» اگر خوفو در درخشش قدرت خود، خود را خورشید دوم تصور می کرد، پس پسرش جدف-را اولین نفر از پادشاهان مصری بود که خود را «پسر رع»، یعنی پسر خورشید نامید. خورشید، تقریباً در همه ملل، با "فلز خورشیدی"، طلا، نماد بود. "یک دیسک بزرگ از طلای درخشان" - این همان چیزی است که مصریان آن را روشنایی روز ما می نامیدند. مصریان طلا را کاملاً می‌شناختند، اشکال بومی آن را می‌شناختند، جایی که بلورهای طلا می‌توانند به شکل هشت‌وجهی ظاهر شوند.

"سنگ خورشید" - الماس - نیز در اینجا به عنوان "نمونه ای از اشکال" جالب است. نام الماس دقیقاً از دنیای عرب آمده است، "الماس" - سخت ترین، سخت ترین، تخریب ناپذیر. مصریان باستان الماس و خواص آن را به خوبی می شناختند. به گفته برخی از نویسندگان، آنها حتی از لوله های برنزی با برش الماس برای حفاری استفاده می کردند.

امروزه تامین کننده اصلی الماس آفریقای جنوبی است، اما غرب آفریقا نیز غنی از الماس است. قلمرو جمهوری مالی حتی "سرزمین الماس" نامیده می شود. در همین حال، در قلمرو مالی است که دوگون زندگی می کند، که حامیان فرضیه دیدار سرخپوشان امیدهای زیادی با آنها دارند (نگاه کنید به زیر). الماس نمی توانست دلیل تماس مصریان باستان با این منطقه باشد. با این حال، به هر شکلی، ممکن است که مصریان باستان دقیقاً با کپی برداری از هشت ضلعی های الماس و بلورهای طلا، فراعنه را، «نابود ناپذیر» مانند الماس و «درخشنده» مانند طلا، پسران خورشید، که فقط قابل مقایسه است، خدایی کردند. به شگفت انگیزترین خلاقیت های طبیعت

نتیجه:

پس از مطالعه هرم به عنوان یک جسم هندسی و آشنایی با عناصر و خواص آن، به صحت نظر در مورد زیبایی شکل هرم متقاعد شدیم.

در نتیجه تحقیقات ما به این نتیجه رسیدیم که مصری ها با جمع آوری ارزشمندترین دانش ریاضی، آن را در یک هرم مجسم کردند. بنابراین، هرم واقعاً کامل ترین آفریده طبیعت و انسان است.

کتابشناسی - فهرست کتب

"هندسه: کتاب درسی. برای پایه های 7 تا 9 آموزش عمومی موسسات و غیره - ویرایش 9 - M.: آموزش و پرورش، 1999

تاریخچه ریاضیات در مدرسه، M: "Prosveshchenie"، 1982.

هندسه پایه های 10-11، م: "روشنگری"، 1379

پیتر تامپکینز "رازهای هرم بزرگ خئوپس"، M: "Tsentropoligraf"، 2005.

منابع اینترنتی

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

دانش آموزان مدت ها قبل از مطالعه هندسه با مفهوم هرم مواجه می شوند. تقصیر عجایب مشهور مصری جهان است. بنابراین، هنگام شروع مطالعه این چند وجهی شگفت انگیز، اکثر دانش آموزان به وضوح آن را تصور می کنند. تمام جاذبه های ذکر شده در بالا شکل صحیحی دارند. چه اتفاقی افتاده است هرم منظمو اینکه چه خواصی دارد بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

در تماس با

تعریف

تعاریف بسیار زیادی از هرم وجود دارد. از زمان های قدیم بسیار محبوب بوده است.

به عنوان مثال، اقلیدس آن را به عنوان یک شکل بدنی متشکل از صفحاتی که از یک شروع می‌شوند، در نقطه‌ای معین همگرا می‌دانند.

هرون فرمول دقیق تری ارائه کرد. او اصرار داشت که این رقمی است که دارای قاعده و صفحاتی به شکل مثلث،همگرایی در یک نقطه

بر اساس تفسیر مدرن، هرم به عنوان یک چند وجهی فضایی، متشکل از یک K-gon و k شکل های مثلثی مسطح، دارای یک نقطه مشترک نشان داده می شود.

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم، از چه عناصری تشکیل شده است:

• k-gon اساس شکل در نظر گرفته می شود.
• اشکال 3 ضلعی به عنوان لبه های قسمت جانبی بیرون زده است.
• قسمت بالایی که عناصر جانبی از آن سرچشمه می گیرند راس نامیده می شود.
• تمام بخش هایی که یک راس را به هم متصل می کنند، لبه نامیده می شوند.
• اگر یک خط مستقیم از راس به صفحه شکل با زاویه 90 درجه پایین بیاید، قسمت آن که در فضای داخلی قرار دارد ارتفاع هرم است.
• در هر عنصر جانبی، یک عمود به نام آپوتم، می تواند به سمت چند وجهی ما کشیده شود.

تعداد یال ها با استفاده از فرمول 2*k محاسبه می شود که k تعداد اضلاع k-gon است. چند وجهی مانند هرم را می توان با استفاده از عبارت k+1 تعیین کرد.

مهم!هرم منظم شکلی استریومتریک است که صفحه پایه آن k-gon با اضلاع مساوی است.

خواص اساسی

هرم درست خواص زیادی دارد،که مختص اوست بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. اساس یک شکل از شکل صحیح است.
2. لبه های هرم که عناصر جانبی را محدود می کند دارای مقادیر عددی مساوی هستند.
3. عناصر جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.
4. قاعده ارتفاع شکل در مرکز چند ضلعی قرار می گیرد، در حالی که به طور همزمان نقطه مرکزی محاط و محاط است.
5. تمام دنده های جانبی با یک زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.
6. تمام سطوح جانبی نسبت به پایه زاویه شیب یکسانی دارند.

به لطف همه ویژگی های ذکر شده، انجام محاسبات عناصر بسیار ساده تر است. بر اساس خواص فوق به آن توجه می کنیم دو نشانه:

1. در صورتی که چند ضلعی در یک دایره قرار گیرد، وجه های جانبی دارای زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.
2. هنگام توصیف یک دایره در اطراف یک چند ضلعی، تمام لبه های هرم که از راس سرچشمه می گیرد دارای طول و زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.

اساس یک مربع است

هرم چهار گوش منظم - چند وجهی که قاعده آن مربع است.

دارای چهار وجه جانبی است که از نظر ظاهری متساوی الساقین هستند.

یک مربع بر روی یک صفحه به تصویر کشیده شده است، اما بر اساس تمام ویژگی های یک چهارضلعی منظم است.

برای مثال، اگر لازم است ضلع مربع را با قطر آن مرتبط کنیم، از فرمول زیر استفاده کنید: قطر برابر است با حاصلضرب ضلع مربع و جذر دو.

این بر اساس یک مثلث منظم است

هرم مثلثی منتظم چند وجهی است که قاعده آن 3 ضلعی منظم است.

اگر پایه یک مثلث منظم باشد و لبه های کناری با لبه های پایه برابر باشد، چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

تمام وجوه چهار وجهی 3 ضلعی متساوی الاضلاع هستند. در این مورد، باید نکاتی را بدانید و هنگام محاسبه زمان را روی آنها تلف نکنید:

• زاویه شیب دنده ها به هر پایه 60 درجه است.
• اندازه تمام چهره های داخلی نیز 60 درجه است.
• هر صورت می تواند به عنوان یک پایه عمل کند.
• ، در داخل شکل ترسیم شده است، این عناصر برابر هستند.

بخش های یک چند وجهی

در هر چند وجهی وجود دارد چندین نوع بخشتخت. اغلب در یک دوره هندسه مدرسه با دو کار می کنند:

• محوری؛
• به موازات اساس

مقطع محوری زمانی به دست می آید که صفحه چند وجهی را قطع کند که از راس، لبه های جانبی و محور عبور می کند. در این حالت، محور ارتفاعی است که از راس گرفته شده است. صفحه برش توسط خطوط تقاطع با تمام وجوه محدود می شود و در نتیجه یک مثلث ایجاد می شود.

توجه!در یک هرم منظم، بخش محوری یک مثلث متساوی الساقین است.

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، نتیجه گزینه دوم است. در این صورت یک شکل مقطعی مشابه پایه داریم.

به عنوان مثال، اگر یک مربع در پایه وجود داشته باشد، بخش موازی با پایه نیز یک مربع خواهد بود، فقط با ابعاد کوچکتر.

هنگام حل مسائل تحت این شرایط، آنها از علائم و ویژگی های تشابه شکل ها استفاده می کنند. بر اساس قضیه تالس. ابتدا لازم است ضریب تشابه را تعیین کنیم.

اگر صفحه به موازات قاعده کشیده شود و قسمت بالایی چند وجهی را قطع کند، در قسمت پایین هرم منقطع منظمی به دست می آید. سپس گفته می شود که پایه های یک چندوجهی کوتاه چندضلعی های مشابه هستند. در این حالت، وجوه جانبی ذوزنقه ای متساوی الساقین هستند. قسمت محوری نیز متساوی الساقین است.

برای تعیین ارتفاع یک چندوجهی ناقص باید ارتفاع را در قسمت محوری یعنی ذوزنقه ترسیم کرد.

مناطق سطحی

مسائل هندسی اصلی که باید در درس هندسه مدرسه حل شوند عبارتند از پیدا کردن مساحت و حجم هرم

دو نوع مقادیر سطح وجود دارد:

• مساحت عناصر جانبی؛
• مساحت کل سطح

از خود نام مشخص است که ما در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. سطح جانبی فقط شامل عناصر جانبی است. از این نتیجه می شود که برای پیدا کردن آن، فقط باید مناطق صفحات جانبی، یعنی مناطق متساوی الساقین 3 ضلعی را با هم جمع کنید. بیایید سعی کنیم فرمول مساحت عناصر جانبی را استخراج کنیم:

1. مساحت یک متساوی الساقین 3 ضلعی Str=1/2(aL) است، جایی که a ضلع قاعده است، L نقطه پایانی است.
2. تعداد صفحات جانبی به نوع k-gon در پایه بستگی دارد. به عنوان مثال، یک هرم چهار گوش منتظم دارای چهار صفحه جانبی است. بنابراین لازم است مساحت های چهار شکل Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L را جمع کنیم. این عبارت به این صورت ساده شده است زیرا مقدار 4a = Rosn است که Rosn محیط پایه است. و عبارت 1/2*Rosn نیم محیط آن است.
3. بنابراین، نتیجه می گیریم که مساحت عناصر جانبی یک هرم منظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم: Sside = Rosn * L.

مساحت سطح کل هرم از مجموع مساحت صفحات جانبی و قاعده تشکیل شده است: Sp.p = Sside + Sbas.

در مورد مساحت پایه، در اینجا فرمول با توجه به نوع چند ضلعی استفاده می شود.

حجم یک هرم منظمبرابر حاصلضرب مساحت صفحه پایه و ارتفاع تقسیم بر سه: V=1/3*Sbas*H که H ارتفاع چندوجهی است.

هرم منظم در هندسه چیست؟

ویژگی های یک هرم چهار گوش منتظم

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در یک هرم به یک اندازه متمایل به صفحه قاعده باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که در قاعده حک شده است بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم بخشی از یک هرم منظم است که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

دلایلهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را که روی یک صورت قرار ندارند به هم متصل می کند. بخش مورب بخشی از یک هرم ناقص است که توسط صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2- نواحی پایه های بالا و پایین.

اس پر- سطح کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که در قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم هرم چهار گوش بریده منتظم را در صورتی بیابید که قطر قاعده های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است که به معنای مساحت پایه ها است و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم.

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است، پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالا را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایگاه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره- مرکز دایره ای که در ذوزنقه ای حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم

یک شکل سه بعدی که اغلب در مسائل هندسی ظاهر می شود هرم است. ساده ترین شکل در این کلاس مثلثی است. در این مقاله ما به طور مفصل به تجزیه و تحلیل فرمول های اساسی و خواص صحیح می پردازیم

ایده های هندسی در مورد شکل

قبل از اینکه به بررسی ویژگی‌های یک هرم مثلثی منظم بپردازیم، بیایید نگاه دقیق‌تری به نوع شکلی بیندازیم.

بیایید فرض کنیم که یک مثلث دلخواه در فضای سه بعدی وجود دارد. اجازه دهید هر نقطه ای از این فضا را که در صفحه مثلث نباشد انتخاب کرده و آن را به سه رأس مثلث متصل کنیم. ما یک هرم مثلثی شکل گرفتیم.

از 4 ضلع تشکیل شده است که همه آنها مثلث هستند. به نقاطی که سه وجه به هم می رسند راس می گویند. شکل نیز دارای چهار مورد از آنها است. خطوط تقاطع دو وجه لبه هستند. هرم مورد نظر دارای 6 یال است. شکل زیر نمونه ای از این شکل را نشان می دهد.

از آنجایی که این شکل از چهار ضلع تشکیل شده است، به آن چهار وجهی نیز می گویند.

هرم درست

در بالا یک شکل دلخواه با پایه مثلثی در نظر گرفتیم. حال فرض کنید از بالای هرم به قاعده آن یک پاره عمود بکشیم. این بخش ارتفاع نامیده می شود. بدیهی است که می توانید 4 ارتفاع مختلف برای شکل بکشید. اگر ارتفاع قاعده مثلثی را در مرکز هندسی قطع کند، چنین هرمی مستقیم نامیده می شود.

هرم مستقیم که قاعده آن یک مثلث متساوی الاضلاع است منظم نامیده می شود. برای او، هر سه مثلثی که سطح جانبی شکل را تشکیل می دهند، متساوی الساقین و مساوی با یکدیگر هستند. یک مورد خاص از هرم منتظم وضعیتی است که هر چهار ضلع مثلث های متساوی الاضلاع باشند.

بیایید ویژگی های یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم و فرمول های مربوطه را برای محاسبه پارامترهای آن ارائه دهیم.

سمت پایه، ارتفاع، لبه جانبی و آپوتم

هر دو از پارامترهای ذکر شده به طور منحصر به فرد دو ویژگی دیگر را تعیین می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را ارائه کنیم که این مقادیر را به هم مرتبط می کند.

فرض کنید ضلع قاعده یک هرم مثلثی منتظم a است. طول لبه جانبی آن b است. ارتفاع هرم مثلثی منتظم و پیام آن چقدر خواهد بود؟

برای ارتفاع h عبارت زیر را بدست می آوریم:

این فرمول از قضیه فیثاغورث که لبه جانبی، ارتفاع و 2/3 ارتفاع قاعده برای آن است، ناشی می شود.

علامت هرم، ارتفاع هر مثلث ضلعی است. طول حرف a b برابر است با:

a b = √(b 2 - a 2/4)

از این فرمول ها مشخص می شود که ضلع قاعده یک هرم منتظم مثلثی و طول لبه کناری آن هر چه باشد، ابهام همیشه بزرگتر از ارتفاع هرم خواهد بود.

دو فرمول ارائه شده شامل هر چهار مشخصه خطی شکل مورد نظر است. بنابراین، با توجه به دو مورد شناخته شده، می توانید بقیه را با حل سیستم برابری های نوشتاری بیابید.

حجم شکل

برای مطلقاً هر هرمی (از جمله هرم شیبدار)، مقدار حجم فضای محدود شده توسط آن را می توان با دانستن ارتفاع شکل و مساحت پایه آن تعیین کرد. فرمول مربوطه این است:

با اعمال این عبارت در شکل مورد نظر، فرمول زیر را به دست می آوریم:

جایی که ارتفاع هرم مثلثی منظم h و ضلع قاعده آن a است.

به دست آوردن فرمولی برای حجم یک چهار وجهی که در آن همه اضلاع با هم برابر باشند و مثلث متساوی الاضلاع را نشان دهند، کار دشواری نیست. در این مورد، حجم شکل با فرمول تعیین می شود:

یعنی به طور منحصر به فرد با طول ضلع a تعیین می شود.

مساحت سطح

اجازه دهید به بررسی خواص یک هرم مثلثی منظم ادامه دهیم. مساحت کل تمام وجوه یک شکل را مساحت سطح آن می نامند. مورد دوم را می توان به راحتی با در نظر گرفتن توسعه مربوطه مطالعه کرد. شکل زیر نشان می دهد که توسعه یک هرم مثلثی منظم چگونه به نظر می رسد.

فرض کنید ارتفاع h و ضلع قاعده a شکل را می دانیم. سپس مساحت پایه آن برابر خواهد بود با:

هر دانش آموز می تواند این عبارت را به دست آورد اگر به یاد بیاورد که چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کند و همچنین در نظر بگیرد که ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع نیز نیمساز و میانه است.

سطح جانبی تشکیل شده توسط سه مثلث متساوی الساقین یکسان عبارت است از:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

این تساوی از بیان حرف هرم بر حسب ارتفاع و طول قاعده حاصل می شود.

مساحت کل شکل عبارت است از:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

توجه داشته باشید که برای چهار وجهی که هر چهار ضلع آن مثلث متساوی الاضلاع یکسان هستند، مساحت S برابر است با:

ویژگی های یک هرم مثلثی بریده منتظم

اگر بالای هرم مثلثی در نظر گرفته شده با صفحه موازی با قاعده قطع شود، قسمت پایینی باقیمانده هرم بریده نامیده می شود.

در مورد پایه مثلثی، نتیجه روش برش توصیف شده، مثلث جدیدی است که آن هم متساوی الاضلاع است، اما طول ضلع آن کوتاهتر از ضلع پایه است. یک هرم مثلثی کوتاه در زیر نشان داده شده است.

می بینیم که این شکل قبلاً توسط دو قاعده مثلثی و سه ذوزنقه متساوی الساقین محدود شده است.

فرض کنید ارتفاع شکل حاصل برابر h باشد، طول اضلاع پایه های پایینی و بالایی به ترتیب a 1 و a 2 باشد و آپوتم (ارتفاع ذوزنقه) برابر با b باشد. سپس سطح هرم کوتاه شده را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

در اینجا عبارت اول مساحت سطح جانبی است، اصطلاح دوم مساحت پایه های مثلثی است.

حجم شکل به صورت زیر محاسبه می شود:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

برای تعیین بدون ابهام ویژگی های یک هرم کوتاه، لازم است که سه پارامتر آن را بدانیم، همانطور که توسط فرمول های داده شده نشان داده شده است.

فیلم آموزشی 2: مشکل هرم حجم هرم

فیلم آموزشی 3: مشکل هرم هرم درست

سخنرانی: هرم، قاعده آن، دنده های جانبی، ارتفاع، سطح جانبی. هرم مثلثی؛ هرم منظم

هرمجسمی سه بعدی است که در قاعده آن چند ضلعی دارد و تمام وجوه آن از مثلث تشکیل شده است.

یک مورد خاص از هرم مخروطی است که یک دایره در قاعده آن قرار دارد.

بیایید به عناصر اصلی هرم نگاه کنیم:

آپوتم- این قسمتی است که بالای هرم را با وسط لبه پایینی صورت جانبی متصل می کند. به عبارت دیگر، این ارتفاع لبه هرم است.

در شکل مثلث های ADS، ABS، BCS، CDS را می بینید. اگر به نام ها دقت کنید، می بینید که هر مثلث دارای یک حرف مشترک در نام خود است - S. یعنی تمام وجوه جانبی (مثلث ها) در یک نقطه همگرا می شوند که به آن راس هرم می گویند. .

قطعه سیستم عاملی که راس را با نقطه تقاطع مورب های پایه (در مورد مثلث ها - در نقطه تلاقی ارتفاعات) وصل می کند نامیده می شود. ارتفاع هرم.

مقطع مورب صفحه ای است که از بالای هرم و همچنین یکی از مورب های قاعده عبور می کند.

از آنجایی که سطح کناری هرم از مثلث تشکیل شده است، برای یافتن مساحت کل سطح جانبی باید مساحت هر وجه را پیدا کرد و آنها را جمع کرد. تعداد و شکل چهره ها به شکل و اندازه اضلاع چند ضلعی که در قاعده قرار دارد بستگی دارد.

تنها صفحه ای در هرم که به رأس آن تعلق ندارد نامیده می شود اساساهرام.

در شکل می بینیم که پایه یک متوازی الاضلاع است، با این حال، می تواند هر چند ضلعی دلخواه باشد.

خواص:

اولین مورد از یک هرم را در نظر بگیرید که در آن دارای لبه هایی با طول یکسان است:

• دور قاعده چنین هرمی می توان دایره ای رسم کرد. اگر بالای چنین هرمی را بیرون بیاورید، برآمدگی آن در مرکز دایره قرار خواهد گرفت.
• زوایای قاعده هرم در هر وجه یکسان است.
• در این صورت، شرط کافی برای توصیف دایره ای در اطراف قاعده هرم و همچنین طول های مختلف تمام لبه ها را می توان زوایای یکسان بین پایه و هر لبه از وجوه در نظر گرفت.

اگر به هرمی برخورد کردید که در آن زوایای بین وجه‌های جانبی و قاعده برابر است، ویژگی‌های زیر درست است:

• شما قادر خواهید بود دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کنید که راس آن دقیقاً در مرکز برجسته شده است.
• اگر هر لبه جانبی ارتفاع را به سمت پایه بکشید، طول آنها برابر خواهد بود.
• برای یافتن سطح جانبی چنین هرمی کافی است محیط قاعده را پیدا کرده و آن را در نصف طول ارتفاع ضرب کنیم.
• S bp = 0.5P oc H.
• انواع هرم.
• بسته به اینکه کدام چند ضلعی در قاعده هرم قرار دارد، آنها می توانند مثلثی، چهار گوش و غیره باشند. اگر در قاعده هرم یک چندضلعی منتظم (با اضلاع مساوی) وجود داشته باشد، چنین هرمی را منتظم می نامند.

هرم مثلثی منظم