Диференциал на функция в точка. Диференциал на функция на една променлива

Ако функцията диференцируеми в точка , тогава неговото увеличение може да бъде представено като сбор от два члена

. Тези членове са безкрайно малки функции за
.Първият член е линеен по отношение на
, второто е безкрайно малък по-висок порядък от
.Наистина ли,

Така вторият мандат при
клони към нула по-бързо и при намиране на нарастването на функцията
първият термин играе основна роля
или (защото
)
.

Определение . Основна част от увеличението на функцията
в точката , линейни по отношение на
,наречен диференциал функции в тази точка и означdyилиdf(х)

. (2)

Така можем да заключим: диференциалът на независима променлива съвпада с нейното увеличение, т.е
.

Релацията (2) сега приема формата

(3)

Коментирайте . Формула (3) за краткост често се записва във формата

(4)

Геометричният смисъл на диференциала

Разгледайте графиката на диференцируема функция
. точки
и принадлежат на графиката на функцията. В точката Мдопирателна Да секъм графиката на функция, чийто ъгъл с положителната посока на оста
означават с
. Нека начертаем направо MN успоредна на оста вол и
успоредна на оста Ой. Увеличението на функцията е равно на дължината на отсечката
. От правоъгълен триъгълник
, при което
, получаваме

Горното разсъждение ни позволява да заключим:

Функционален диференциал
в точката е представено чрез нарастване на ординатата на допирателната към графиката на тази функция в съответната й точка
.

Връзка между диференциала и производната

Разгледайте формула (4)

Разделяме двете страни на това равенство на dx, тогава

По този начин, производната на функция е равна на отношението на нейния диференциал към диференциала на независимата променлива.

Често това отношение третиран просто като символ, обозначаващ производната на функция припо аргумент х.

Удобна нотация за производната също е:

,
и така нататък.

Използват се и записи

,
,

особено удобно, когато се взема производната на сложен израз.

2. Диференциал на сбор, произведение и частно.

Тъй като диференциалът се получава от производната чрез умножаването му по диференциала на независима променлива, тогава, познавайки производните на основните елементарни функции, както и правилата за намиране на производни, може да се стигне до подобни правила за намиране на диференциали.

1 0 . Диференциалът на константа е нула

2 0 . Диференциалът на алгебричната сума на краен брой диференцируеми функции е равен на алгебричната сума на диференциалите на тези функции

3 0 . Диференциалът на произведението на две диференцируеми функции е равен на сумата от произведенията на първата функция и диференциала на втората и втората функция и диференциала на първата

Последица. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на диференциала

Пример. Намерете диференциала на функцията.

Решение Записваме тази функция във формата

тогава получаваме

4. Параметрично зададени функции, тяхното диференциране.

Определение . функция
се нарича параметрично даден, ако и двете променливи х и при се дефинират всяка поотделно като еднозначни функции на една и съща спомагателна променлива - параметъраT:

къдетоTварира в рамките на
.

Коментирайте . Параметричното присвояване на функции се използва широко в теоретичната механика, където параметърът T обозначава времето, а уравненията
са законите за промяна в проекциите на движеща се точка
на ос
и
.

Коментирайте . Представяме параметричните уравнения на окръжност и елипса.

а) Окръжност с център в началото и радиуса r има параметрични уравнения:

където
.

б) Нека напишем параметричните уравнения за елипсата:

където
.

Чрез изключване на параметъра T От параметричните уравнения на разглежданите линии може да се стигне до техните канонични уравнения.

Теорема . Ако функцията y от аргумент x се дава параметрично от уравненията
, където
и
диференцируеми поTфункции и
, тогава

Пример. Намерете производната на функция приот хдадени чрез параметрични уравнения.

Решение.
.

. (2)

Така можем да заключим: диференциалът на независима променлива съвпада с нейното увеличение, т.е
.

Релацията (2) сега приема формата

(3)

Коментирайте . Формула (3) за краткост често се записва във формата

(4)

Геометричният смисъл на диференциала

Горното разсъждение ни позволява да заключим:

Връзка между диференциала и производната

Разгледайте формула (4)

Разделяме двете страни на това равенство на dx, тогава

Често това отношение третиран просто като символ, обозначаващ производната на функция припо аргумент х.

Удобна нотация за производната също е:

,
и така нататък.

Използват се и записи

,
,

особено удобно, когато се взема производната на сложен израз.

2. Диференциал на сбор, произведение и частно.

1 0 . Диференциалът на константа е нула

Последица. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на диференциала

Пример. Намерете диференциала на функцията.

Решение Записваме тази функция във формата

тогава получаваме

4. Параметрично зададени функции, тяхното диференциране.

къдетоTварира в рамките на
.

Коментирайте . Представяме параметричните уравнения на окръжност и елипса.

а) Окръжност с център в началото и радиуса r има параметрични уравнения:

където
.

б) Нека напишем параметричните уравнения за елипсата:

където
.

Пример. Намерете производната на функция приот хдадени чрез параметрични уравнения.

Решение.
.

Понятието и геометричното значение на диференциала

Определение. Диференциалът на функция в дадена точка x е основната, линейна част от нарастването на функцията.

Диференциалът на функцията y = f(x) е равен на произведението на нейната производна и нарастването на независимата променлива x (аргумент).

Написано е така:

Геометричният смисъл на диференциала. Диференциалът на функцията y = f(x) е равен на увеличението на ординатата на допирателната S, начертана към графиката на тази функция в точката M(x; y), когато x (аргумент) се промени със стойност ( виж фигурата).

Защо може да се използва диференциал при приблизителни изчисления?

Диференциалът е главният, линеен по отношение на част от нарастването на функцията; колкото по-малък е, толкова по-голям дял от увеличението е тази част. Това може да се провери чрез мислено преместване на перпендикуляра, пуснат от точка P (виж фигурата) към оста Ox, по-близо до началото. Следователно, за малки стойности (и за), увеличението на функцията може да бъде приблизително заменено с нейната основна част, т.е.

На различни форми на писане диф

Диференциалът на функция в точка x и означаваме

Следователно,

, (2)

тъй като диференциалът на функцията y = f(x) е равен на произведението на нейната производна и нарастването на независимата променлива.

Коментирайте. Трябва да се помни, че ако x е началната стойност на аргумента и е увеличената стойност, тогава производната в диференциалния израз се взема в началната точка x; във формула (1) това не се вижда от нотацията.

Диференциалът на функция може да бъде написан в друга форма:

(4)

Диференциални свойства

В този и следващите раздели всяка от функциите ще се счита за диференцируема за всички разглеждани стойности на нейните аргументи.

Диференциалът има свойства, подобни на тези на производната:

(C е постоянна стойност) (5)

(6)

(7)

(9)

Формули (5) - (9) се получават от съответните формули за производната чрез умножаване на двете части на всяко равенство по .

Приложение на диференциала при приближени изчисления

Приблизителното равенство, установено във втория раздел

ви позволява да използвате диференциала за приблизителни изчисления на стойностите на функцията.

Нека напишем по-подробно приблизителното равенство. защото

Абсолютни и относителни грешки на приблизителните изчисления

Използвайки приблизителната стойност на числото, трябва да можете да прецените степента на неговата точност. За целта се изчисляват неговите абсолютни и относителни грешки.

Абсолютната грешка на приблизителното число е равна на абсолютната стойност на разликата между точното число и неговата приблизителна стойност:

Относителната грешка на приблизително число е отношението на абсолютната грешка на това число към абсолютната стойност на съответното точно число:

Ако точният брой не е известен, тогава

Понякога, преди да приложите формула (11), е необходимо първо да преобразувате първоначалната стойност. Обикновено това се прави с две цели. Първо, необходимо е да се гарантира, че стойността е достатъчно малка в сравнение с , тъй като колкото по-малък е, толкова по-точен е резултатът от приблизителното изчисление. Второ, желателно е стойността да се изчислява просто.

24. Приложение на диференциала на функция за приближени изчисления

Прилагане на диференциала към приблизителни изчисления

Концепцията за диференциала предполага, че ако някой процес е близък до линейния по естеството на промяната си, тогава увеличението на функцията се различава малко от диференциала. В допълнение, ако функция има крайна производна в дадена точка x, тогава нейното увеличение и диференциал също са безкрайно малки като , клонящи към нула:

Тъй като диференцируемата функция е непрекъсната,

Тъй като произведението на ограничена функция от безкрайно малка, когато DX клони към нула, е безкрайно малка функция.

Освен това тези две безкрайно малки функции за са еквивалентни:

Еквивалентността на и прави възможно приблизителното изчисляване за малки увеличения на аргумента

Какво може да даде тази формула? Нека стойностите на и са относително лесни за изчисляване в даден момент. Тогава в друга точка, недалеч от , е възможно следното представяне:

Тук въпросът за точността на получения резултат остава открит. Това обстоятелство намалява стойността на тази формула за приблизително изчисление, но като цяло тя е полезна и широко използвана в практиката.

Помислете за пример. В правоъгълен триъгълник краката a = 5 m и b = 12 м. Каква ще бъде хипотенузата на този триъгълник, ако кракът a се намали с 0,2 m (фиг. 11.5, a)?

Намерете първоначалната дължина на хипотенузата:

След намаляване на крака a с 0,2 m, хипотенузата ще бъде равна на (фиг. 11.5, a)

Нека сега приложим формула (11.16), за да намерим приблизително c във връзка с намаляване на крака a, разглеждайки функция от вида:

(B=Const);

И в двата случая получихме приблизителна стойност на необходимото количество. Но в първия случай грешката възниква в резултат на приблизителни изчисления, а във втория, сравнително по-прост, поради използването на приблизителна формула (към нея може да се добави и грешка, причинена от приблизителни изчисления). Имайте предвид, че когато кракът a намалява с 0,2 m, хипотенузата c намалява с приблизително 0,08 m, докато приблизителните стойности, получени от нас, се различават само с 0,001 m.

Помислете за друга ситуация: в същия триъгълник намаляваме хипотенузата c с 0,2 m, оставяйки крака b непроменен (фиг. 11.5, b). Нека определим как ще се промени кракът A в този случай:

25. Приложение на производната за изучаване на функции и чертане

Ако в някакъв интервал графиката на функцията е непрекъсната линия, с други думи, такава линия, която може да бъде начертана без молив от лист хартия, тогава такава функция се нарича непрекъсната на този интервал. Има и функции, които не са непрекъснати. Като пример, разгледайте графиката на функция, която на интервалите и [c; b] е непрекъснат, но в точка
x = c е прекъснат и следователно не е непрекъснат на целия сегмент. Всички функции, които изучаваме в училищния курс по математика, са непрекъснати функции на всеки интервал, на който са дефинирани.

Обърнете внимание, че ако дадена функция има производна на някакъв интервал, тогава тя е непрекъсната на този интервал.

Обратното не е вярно. Функция, която е непрекъсната на интервал, може да няма производна в някои точки на този интервал. Например функцията
y = |log 2 x| е непрекъсната на интервала x > 0, но в точката x = 1 няма производна, поради факта, че в тази точка графиката на функцията няма допирателна.

Помислете за начертаване на графики с помощта на производната.

Начертайте функцията f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

1) Тази функция е дефинирана за всички x ∈ R.

2) Намерете интервалите на монотонност на разглежданата функция и нейната екстремна точка, като използвате производната. Производната е f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Намерете стационарните точки:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, от където x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

За да определим знака на производната, разлагаме квадратния трином 3x 2 - 4x + 1 на множители:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Следователно, на интервалите x< 1/3 и х >1 производна е положителна; така че функцията нараства на тези интервали.

Производната е отрицателна при 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точката x 1 \u003d 1/3 е максималната точка, тъй като функцията намалява вдясно от тази точка и нараства вляво. В този момент стойността на функцията е f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Минималната точка е точката x 2 \u003d 1, тъй като функцията намалява вляво от тази точка и се увеличава вдясно; неговата стойност в тази минимална точка е f(1) = 0.

3) При конструирането на графика обикновено се намират точките на пресичане на графиката с координатните оси. Тъй като f(0) = 0, графиката минава през началото. Решавайки уравнението f(0) = 0, намираме точките на пресичане на графиката с оста x:

x 3 - 2x 2 + x = 0, x (x 2 - 2x + 1) = 0, x (x - 1) 2 = 0, откъдето x = 0, x = 1.

4) За по-точно начертаване, нека намерим стойностите на функцията в още две точки: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Използвайки резултатите от изследването (точки 1 - 4), изграждаме графика на функцията y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

За да се начертае функция, обикновено първо се изследват свойствата на тази функция, като се използва нейната производна по схема, подобна на схемата при решаването на задача 1.

По този начин, когато се изучават свойствата на функция, е необходимо да се намери:

1) областта на неговото определение;

2) производна;

3) стационарни точки;

4) интервали на нарастване и намаляване;

5) екстремни точки и функционални стойности в тези точки.

Резултатите от изследването са удобно записани под формата на таблица. След това, като използвате таблицата, изградете графика на функцията. За по-точно начертаване обикновено се намират точките на неговото пресичане с координатните оси и, ако е необходимо, още няколко точки на графиката.

Ако сме изправени пред четна или нечетна функция, тогава за да начертаем нейната графика, достатъчно е да проучим свойствата и да начертаем нейната графика за x\u003e 0 и след това да я отразим симетрично спрямо оста y (начало). Например, анализирайки функцията f(x) = x + 4/x, стигаме до извода, че тази функция е нечетна: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). След като завършихме всички точки на плана, изграждаме графика на функцията за x\u003e 0 и графиката на тази функция за x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 спрямо произхода.

За краткост при решаването на задачи за начертаване на функции повечето разсъждения се извършват устно.

Също така отбелязваме, че когато решаваме някои проблеми, може да срещнем необходимостта да изучаваме функцията не в цялата област на дефиниция, а само в определен интервал, например, ако трябва да начертаете, да речем, функцията f (x) = 1 + 2x 2 - x 4 върху отсечка [-1; 2].

26. Антипроизводна функция. Неопределен интеграл и неговите свойства

Определение за антипроизводно.

Производна функция f(x) на интервала (a; b) е такава функция F(x), че равенството е в сила за всеки x от даден интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределения интеграл.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се обозначава .

Изразът се нарича интегранд, а f(x) се нарича интегранд. Интегралната функция е диференциалът на функцията f(x).

Действието за намиране на неизвестна функция по нейния даден диференциал се нарича неопределено интегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а множеството от нейните първоизводни F(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната могат да се формулират и докажат свойствата на неопределения интеграл (свойства на първоизводната).

1.
Производната на резултата от интеграцията е равна на интегралната функция.

2.
Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.

3. , където k е произволна константа.
Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.

4.
Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателството по силата на първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратният проблем на диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

· Първото свойство позволява проверка на интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако функцията, получена в резултат на диференциране, се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;

· второто свойство на неопределения интеграл ни позволява да намерим неговата първоизводна от известния диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

Помислете за пример.

Намерете първоизводната на функцията, чиято стойност е равна на единица при x = 1.

Знаем това от диференциалното смятане (просто погледнете таблицата с производни на основните елементарни функции). По този начин, . До втория имот . Тоест, имаме набор от антипроизводни. За x = 1 получаваме стойността . По условие тази стойност трябва да е равна на единица, следователно С = 1. Желаната първоизводна ще приеме формата .

Ако таблицата на производните на основните елементарни функции се пренапише под формата на диференциали, тогава от нея, според второто свойство на неопределения интеграл, е възможно да се състави таблица на антипроизводните.

Подобна информация.

Както виждате, за да намерите диференциала, трябва да умножите производната по dx. Това ви позволява веднага да напишете съответната таблица за диференциали от таблицата с формули за производни.

Пълен диференциал за функция на две променливи:

Общият диференциал за функция от три променливи е равен на сумата от частичните диференциали: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Определение . Функция y=f(x) се нарича диференцируема в точка x 0, ако нейното увеличение в тази точка може да бъде представено като ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, където A е константа и α(∆ x) е безкрайно малка като ∆x → 0.
Изискването функцията да бъде диференцируема в точка е еквивалентно на съществуването на производна в тази точка, с A=f'(x 0).

Нека f(x) е диференцируем в точка x 0 и f "(x 0)≠0, тогава ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, където α= α(∆x) →0 като ∆x → 0. Количеството ∆y и всеки член от дясната страна са безкрайно малки стойности като ∆x → 0. Нека ги сравним: , тоест α(∆x)∆x е безкрайно малък по-висок порядък от f’(x 0)∆x.
, тоест ∆y~f’(x 0)∆x. Следователно f’(x 0)∆x е основната и същевременно линейна по отношение на ∆x част от нарастването ∆y (линейни средства, съдържащи ∆x на първа степен). Този термин се нарича диференциал на функцията y \u003d f (x) в точката x 0 и се обозначава dy (x 0) или df (x 0). И така, за произволно x
dy=f′(x)∆x. (един)
Тогава нека dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Намерете производни и диференциали на тези функции.
а) y=4tg2x
Решение:

диференциал:
б)
Решение:

диференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

диференциал:
G)
Решение:
=
диференциал:

Пример. За функцията y=x 3 намерете израз за ∆y и dy за някои стойности на x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (взехме основната линейна част от ∆y по отношение на ∆x). В този случай α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Тъй като са неразривно свързани, и двете се използват активно в продължение на няколко века при решаването на почти всички проблеми, възникнали в процеса на човешката научна и техническа дейност.

Появата на понятието диференциал

За първи път той обясни какво е диференциал, един от основателите (заедно с Исак Нютон) на диференциалното смятане, известният немски математик Готфрид Вилхелм Лайбниц. Преди това математиците 17 чл. беше използвана много размита и неясна идея за някаква безкрайно малка "неделима" част от всяка известна функция, представляваща много малка постоянна стойност, но не равна на нула, по-малка от която стойностите на функцията просто не могат да бъдат. От тук имаше само една стъпка до въвеждането на концепцията за безкрайно малките нараствания на аргументите на функциите и съответните нараствания на самите функции, изразени чрез производните на последните. И тази стъпка е предприета почти едновременно от двамата гореспоменати велики учени.

Въз основа на необходимостта от решаване на неотложните практически проблеми на механиката, които бързо развиващата се индустрия и технологии поставят пред науката, Нютон и Лайбниц създават общи методи за намиране на скоростта на промяна на функциите (предимно във връзка с механичната скорост на тялото, движещо се известна траектория), което доведе до въвеждането на такива понятия като производна и диференциал на функция, а също така намери алгоритъм за решаване на обратната задача, как да се намери изминатото разстояние от известна (променлива) скорост, което доведе до появата на понятието интеграл.

В трудовете на Лайбниц и Нютон за първи път се появява идеята, че диференциалите са основните части от увеличенията на функциите Δy, пропорционални на увеличенията на аргументите Δx, които могат успешно да се прилагат за изчисляване на стойностите на последното. С други думи, те откриха, че нарастването на функция може да бъде изразено във всяка точка (в нейната област на дефиниция) по отношение на нейната производна като 0, много по-бързо от самия Δx.

Според основоположниците на математическия анализ диференциалите са само първите членове в изразите за увеличенията на всякакви функции. Все още нямайки ясно формулирана концепция за границата на последователностите, те интуитивно разбират, че стойността на диференциала клони към производната на функцията като Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

За разлика от Нютон, който е преди всичко физик и смята математическия апарат за спомагателен инструмент за изследване на физически проблеми, Лайбниц обръща повече внимание на самия този инструментариум, включително система от визуални и разбираеми означения за математически величини. Именно той предложи общоприетата нотация за диференциалите на функцията dy \u003d y "(x) dx, аргумента dx и производната на функцията под формата на тяхното съотношение y" (x) \u003d dy / dx .

Модерна дефиниция

Какво е диференциал от гледна точка на съвременната математика? Тя е тясно свързана с концепцията за променливо нарастване. Ако променливата y първо приеме стойността y = y 1 и след това y = y 2 , тогава разликата y 2 ─ y 1 се нарича нарастване на y.

Увеличението може да бъде положително. отрицателна и равна на нула. Думата "инкремент" се обозначава с Δ, нотацията Δy (да се чете "делта y") обозначава нарастването на y. така че Δу = y 2 ─ y 1 .

Ако стойността Δу на произволна функция y = f (x) може да бъде представена като Δу = A Δх + α, където A няма зависимост от Δх, т.е. A = const за дадено x и членът α клони към него е дори по-бързо от самия Δx, тогава първият („главен“) член, пропорционален на Δx, е диференциалът за y \u003d f (x), означен с dy или df (x) (прочетете „de y“, „de ef от x "). Следователно диференциалите са „основните“ линейни компоненти на увеличения на функции по отношение на Δx.

Механична интерпретация

Нека s = f(t) е разстоянието от началната позиция (t е времето за пътуване). Увеличението Δs е пътят на точката във времевия интервал Δt, а диференциалът ds = f "(t) Δt е пътят, който точката би изминала за същото време Δt, ако беше запазила скоростта f" (t ), достигнати до момента t . За безкрайно малък Δt въображаемият път ds се различава от истинския Δs с безкрайно малка стойност, която има по-висок порядък по отношение на Δt. Ако скоростта в момента t не е равна на нула, тогава ds дава приблизителната стойност на малкото преместване на точката.

Геометрична интерпретация

Нека правата L е графиката y = f(x). Тогава Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(вижте фигурата по-долу). Допирателната MN разделя сегмента Δy на две части, QN и NM". Първият е пропорционален на Δх и е равен на QN = MQ∙tg (ъгъл QMN) = Δх f "(x), т.е. QN е диференциалът dy.

Втората част NM" дава разликата Δу ─ dy, при Δх→0 дължината на NM" намалява дори по-бързо от нарастването на аргумента, т.е. неговият ред на малкост е по-висок от този на Δх. В разглеждания случай, за f "(x) ≠ 0 (допирателната не е успоредна на OX), сегментите QM" и QN са еквивалентни; с други думи, NM" намалява по-бързо (порядъкът му на малкост е по-висок) от общото увеличение Δу = QM". Това може да се види на фигурата (тъй като M "доближава M, сегментът NM" съставлява все по-малък процент от сегмента QM ").

И така, графично, диференциалът на произволна функция е равен на големината на увеличението на ординатата на нейния тангенс.

Производна и диференциал

Коефициентът А в първия член на израза за нарастване на функцията е равен на стойността на нейната производна f "(x). Така се осъществява следната връзка - dy \u003d f" (x) Δx, или df (x) \u003d f "(x) Δx.

Известно е, че нарастването на независимия аргумент е равно на неговия диференциал Δх = dx. Съответно можете да напишете: f "(x) dx \u003d dy.

Намирането (понякога наричано "решаване") на диференциали се извършва по същите правила, както при производните. Техният списък е даден по-долу.

Какво е по-универсално: увеличението на аргумента или неговия диференциал

Тук е необходимо да се направят някои пояснения. Представяне чрез стойността f "(x) Δx на диференциала е възможно, когато се разглежда x като аргумент. Но функцията може да бъде сложна, в която x може да бъде функция на някакъв аргумент t. Тогава представянето на диференциала чрез израза f "(x) Δx, като правило, е невъзможно; с изключение на случая на линейна зависимост x = at + b.

Що се отнася до формулата f "(x) dx \u003d dy, тогава в случай на независим аргумент x (след това dx \u003d Δx), а в случай на параметрична зависимост на x от t, тя представлява диференциал.

Например, изразът 2 x Δx представлява за y = x 2 неговия диференциал, когато x е аргумент. Нека сега зададем x= t 2 и вземем t като аргумент. Тогава y = x 2 = t 4 .

Този израз не е пропорционален на Δt и следователно сега 2xΔх не е диференциал. Може да се намери от уравнението y = x 2 = t 4 . Оказва се, че е равно на dy=4t 3 Δt.

Ако вземем израза 2xdx, тогава той представлява диференциала y = x 2 за всеки аргумент t. Наистина, при x= t 2 получаваме dx = 2tΔt.

Това означава, че 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т.е. изразите на диференциалите, записани чрез две различни променливи, съвпадат.

Замяна на увеличенията с диференциали

Ако f "(x) ≠ 0, тогава Δу и dy са еквивалентни (за Δх→0); ако f "(x) = 0 (което означава dy = 0), те не са еквивалентни.

Например, ако y = x 2, тогава Δy = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2 и dy = 2xΔx. Ако x=3, тогава имаме Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, които са еквивалентни поради Δх 2 →0, при x=0 стойностите Δу = Δх 2 и dy=0 не са еквивалентни.

Този факт, заедно с простата структура на диференциала (т.е. линейност по отношение на Δx), често се използва при приблизителни изчисления, като се приема, че Δy ≈ dy за малък Δx. Намирането на диференциала на функция обикновено е по-лесно от изчисляването на точната стойност на нарастването.

Например, имаме метален куб с ръб x = 10,00 см. При нагряване ръбът се удължава с Δx = 0,001 см. С колко се увеличава обемът V на куба? Имаме V \u003d x 2, така че dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Увеличението на обема ΔV е еквивалентно на разликата dV, така че ΔV = 3 cm 3 . Едно пълно изчисление ще даде ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в този резултат всички цифри с изключение на първата са ненадеждни; така че, така или иначе, трябва да го закръглите до 3 см 3.

Очевидно е, че такъв подход е полезен само ако е възможно да се оцени големината на въведената грешка.

Функционален диференциал: Примери

Нека се опитаме да намерим диференциала на функцията y = x 3, без да намираме производната. Нека увеличим аргумента и дефинираме Δу.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Тук коефициентът A= 3x 2 не зависи от Δх, така че първият член е пропорционален на Δх, докато другият член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 намалява по-бързо от нарастването на аргумента. Следователно членът 3x 2 Δx е диференциалът y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx или d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

В този случай d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Нека сега намерим dy на функцията y = 1/x по отношение на нейната производна. Тогава d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Следователно dy = ─ Δх/х 2 .

Диференциалите на основните алгебрични функции са дадени по-долу.

Приблизителни изчисления с помощта на диференциал

Често не е трудно да се изчисли функцията f (x), както и нейната производна f "(x) за x=a, но не е лесно да се направи същото в близост до точката x=a. Тогава на помощ идва приблизителният израз

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Той дава приблизителна стойност на функцията при малки нараствания Δх чрез нейния диференциал f "(a)Δх.

Следователно тази формула дава приблизителен израз за функцията в крайната точка на участък с дължина Δx като сбор от нейната стойност в началната точка на този участък (x=a) и диференциала в същата начална точка. Грешката на този метод за определяне на стойността на функцията е илюстрирана на фигурата по-долу.

Известен е обаче и точният израз за стойността на функцията за x=a+Δх, даден от формулата за крайни нараствания (или с други думи формулата на Лагранж)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

където точката x = a + ξ е на сегмента от x = a до x = a + Δx, въпреки че точната й позиция е неизвестна. Точната формула дава възможност да се оцени грешката на приблизителната формула. Ако поставим ξ = Δх /2 във формулата на Лагранж, тогава въпреки че престава да бъде точна, обикновено дава много по-добро приближение от оригиналния израз чрез диференциала.

Оценяване на грешката на формули чрез прилагане на диференциал

По принцип те са неточни и внасят съответните грешки в измервателните данни. Те се характеризират с пределната или накратко пределната грешка - положително число, очевидно превишаващо тази грешка по абсолютна стойност (или поне равно на нея). Границата се нарича частното от нейното деление на абсолютната стойност на измерената стойност.

Нека точната формула y= f (x) се използва за изчисляване на функцията y, но стойността на x е резултат от измерването и следователно въвежда грешка в y. След това, за да намерите пределната абсолютна грешка │‌‌Δу│на функцията y, използвайте формулата

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

където │Δх│ е пределната грешка на аргумента. Стойността │‌‌Δу│ трябва да се закръгли нагоре, тъй като неточна е самата замяна на изчисляването на увеличението с изчисляването на диференциала.