Ha egy térbeli egyenesen kijelölünk két tetszőleges pontot M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2), akkor ezeknek a pontoknak a koordinátáinak ki kell elégíteniük az egyenes egyenletet. fent kapott:
Ezenkívül az M 1 pontra írhatjuk:
.
Ezeket az egyenleteket együtt megoldva a következőt kapjuk:
.
Ez a tér két pontján átmenő egyenes egyenlete.
Egyenes térbeli általános egyenletei.
Az egyenes egyenlete két sík metszésvonalának egyenletének tekinthető.
Egyenes általános egyenletei koordináta alakban:
A gyakorlati feladat gyakran abból áll, hogy az általános formájú egyenesek egyenleteit kanonikus formára redukáljuk.
Ehhez meg kell találni egy tetszőleges pontot az egyenesen és az m, n, p számokat.
Ebben az esetben az egyenes irányítóvektora megtalálható a normálvektorok adott síkokhoz való vektorszorzataként.
Példa. Keresse meg a kanonikus egyenletet, ha az egyenes a következő formában van megadva:
Egy egyenes tetszőleges pontjának megtalálásához vegyük fel a koordinátáját x = 0, majd ezt az értéket behelyettesítjük az adott egyenletrendszerbe.
Azok. A(0, 2, 1).
Keresse meg az egyenes irányítóvektorának összetevőit!
Ezután az egyenes kanonikus egyenletei:
Példa. Hozd kanonikus formába a következő formában megadott egyenes egyenletét:
Egy tetszőleges pont megtalálásához egy egyenesen, amely a fenti síkok metszésvonala, z = 0-t veszünk fel.
;
2x – 9x – 7 = 0;
A következőt kapjuk: A(-1; 3; 0).
Közvetlen vektor: 
.
Síkok közötti szög.
|
|
A térben lévő két sík szöge az ezen 1 síkok normáljai közötti szöghez kapcsolódik a következő összefüggéssel: = 1 vagy = 180 0 - 1, azaz.
cos = cos 1 .
Határozzuk meg a szöget 1. Ismeretes, hogy a síkok a következő összefüggésekkel adhatók meg:
, Ahol
(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget a skalárszorzatukból:
.
Így a síkok közötti szöget a következő képlet határozza meg:
A koszinusz előjelének megválasztása attól függ, hogy a síkok között melyik szöget kell megtalálni - hegyes vagy szomszédos tompaszöget.
A síkok párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.
A síkok közötti szög meghatározására fentebb kapott képlet alapján megtalálhatjuk a síkok párhuzamosságának és merőlegességének feltételeit.
Ahhoz, hogy a síkok merőlegesek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a síkok közötti szög koszinusza nullával egyenlő legyen. Ez a feltétel teljesül, ha:
A síkok párhuzamosak, a normálvektorok kollineárisak: .Ez a feltétel akkor teljesül, ha: 
.
Az egyenesek közötti szög a térben.
Legyen két egyenes adott a térben. Paraméteres egyenleteik a következők:
Ezen egyenesek egyenesei közötti szöge és irányvektorai közötti szög a következő összefüggéssel függ össze: = 1 vagy = 180 0 - 1. Az irányvektorok közötti szöget a skaláris szorzatból találjuk meg. És így:
.
Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei a térben.
Ahhoz, hogy két egyenes párhuzamos legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak legyenek, azaz. megfelelő koordinátáik arányosak voltak.
Utasítás
jegyzet
A trigonometrikus érintőfüggvény periódusa 180 fokkal egyenlő, ami azt jelenti, hogy az egyenesek lejtőszögei abszolút értékben nem haladhatják meg ezt az értéket.
Hasznos tanács
Ha a szögegyütthatók egyenlőek egymással, akkor az ilyen egyenesek közötti szög 0, mivel az ilyen egyenesek vagy egybeesnek, vagy párhuzamosak.
A metsző egyenesek közötti szög értékének meghatározásához mindkét egyenest (vagy az egyiket) új pozícióba kell mozgatni párhuzamos fordítási módszerrel, amíg metszik egymást. Ezt követően meg kell találnia a kapott metszővonalak közötti szöget.
Szükséged lesz
- Vonalzó, derékszögű háromszög, ceruza, szögmérő.
Utasítás
Tehát legyen adott a V = (a, b, c) vektor és az A x + B y + C z = 0 sík, ahol A, B és C a normál N koordinátái. Ekkor a szög koszinusza α a V és N vektorok között egyenlő: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
A szög fokban vagy radiánban való kiszámításához a kapott kifejezésből ki kell számítanunk a koszinuszra fordított függvényt, pl. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Példa: talál sarok között vektor(5, -3, 8) és repülőgép, amelyet a 2 x – 5 y + 3 z = 0 általános egyenlet ad meg. Megoldás: írjuk fel az N = (2, -5, 3) sík normálvektorának koordinátáit. Helyettesítse be az összes ismert értéket a megadott képletbe: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Videó a témáról
Az az egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, érinti a kört. Az érintő másik jellemzője, hogy mindig merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra, vagyis az érintő és a sugár egy egyenest alkot sarok. Ha egy AB és AC kör két érintőjét egy A pontból húzzuk, akkor ezek mindig egyenlőek egymással. Az érintők közötti szög meghatározása ( sarok ABC) a Pitagorasz-tétel segítségével készült.
Utasítás
A szög meghatározásához ismerni kell az OB és OS kör sugarát, valamint az érintő kezdőpontjának távolságát a kör középpontjától - O. Tehát az ABO és az ASO szögek egyenlőek, az OB sugár: például 10 cm, és az AO kör középpontjának távolsága 15 cm Határozza meg az érintő hosszát a Pitagorasz-tétel alapján: AB = AO2 – OB2 négyzetgyöke vagy 152 – 102 = 225 –. 100 = 125;
SÍK KÖZÖTTI SZÖG
Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket rendre az egyenletek határoznak meg:
Alatt szög két sík között fogjuk érteni az e síkok által alkotott kétszögek egyikét. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. 
. Ezért 
. Mert 
És 
, Azt
.
Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.
Két sík párhuzamosságának feltétele.
Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, ezért 
.
Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordináták együtthatói arányosak:
vagy
Síkok merőlegességének feltétele.
Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .
És így, .
Példák.
EGYENES A TÉRBEN.
VEKTOREGYENLET EGY VONALRA.
PARAMÉTERES KÖZVETLEN EGYENLETEK
Egy vonal helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.
Egy egyenessel párhuzamos vektort nevezünk útmutatók ennek a vonalnak a vektora.
Tehát hagyja az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1), a vektorral párhuzamos egyenesen fekszik.
Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrából jól látszik, hogy 
.
A és a vektorok kollineárisak, tehát van egy ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. Miután kijelöltük a pontok sugárvektorait M 1 és M illetve -on keresztül és -en keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlete. Azt mutatja, hogy minden paraméter értékénél t valamely pont sugárvektorának felel meg M, egyenes vonalon fekve.
Írjuk fel ezt az egyenletet koordináta alakban. Vedd észre, 
és innen
A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletei.
Paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés időszak M egyenes vonalban mozog.
A KÖZVETLEN KANONIKUS EGYENLETEI
Hadd M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – egy egyenesen fekvő pont l, És 
az irányvektora. Vegyünk ismét egy tetszőleges pontot az egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.
Nyilvánvaló, hogy a vektorok is kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük, ezért
– kánoni egyenes egyenletei.
1. megjegyzés. Vegyük észre, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával nyerhetők ki t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből 
vagy .
Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! 
paraméteres formában.
Jelöljük 
, innen x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Jegyzet 2. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, ennélfogva, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei a formát öltik
A paraméter kizárása az egyenletek közül t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit
Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan a formába írjuk 
. Így, ha az egyik tört nevezője nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.
Hasonlóan a kanonikus egyenletekhez 
a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos a tengellyel Oz.
Példák.
AZ EGYENES ÁLTALÁNOS EGYENLETEI KÉT SÍK METSZÉSZEGYENLETEI
A térben minden egyenesen számtalan sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Következésképpen bármely két ilyen sík egyenlete együttesen reprezentálja ennek az egyenesnek az egyenleteit.
Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg
határozza meg a metszéspontjuk egyenesét. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.
Példák.
Szerkesszen meg egy egyenest az egyenletekkel! 
Egy egyenes megszerkesztéséhez elegendő megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja egy egyenes és a koordinátasík metszéspontjának kiválasztása. Például a síkkal való metszéspont xOy az egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:
Miután megoldottuk ezt a rendszert, megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).
Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:
Az egyenes általános egyenleteiből tovább lehet lépni annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találni egy pontot M 1 egy egyenesen és egy egyenes irányvektora.
Pont koordinátái M 1-et ebből az egyenletrendszerből kapjuk, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra 
És 
. Ezért az egyenes irányvektorán túl l felveheti a normálvektorok vektorszorzatát:
.
Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! 
a kanonikus formára.
Keressünk egy pontot, amely egy vonalon fekszik. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:
Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak 
Ezért az irányvektor egyenes lesz
. Ennélfogva, l: 
.
SZÖG AZ EGYENESEK KÖZÖTT
Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.
Adjunk meg két sort a térben:
Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével megkapjuk
Ezt az anyagot egy olyan fogalomnak szentelték, mint a két egymást metsző vonal közötti szög. Az első bekezdésben elmagyarázzuk, mi ez, és illusztrációkon mutatjuk be. Ezután megnézzük, hogyan találhatja meg ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát és magát a szöget (külön megvizsgáljuk a sík és a háromdimenziós tér eseteit), megadjuk a szükséges képleteket és példákkal pontosan megmutatjuk hogyan használják őket a gyakorlatban.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ahhoz, hogy megértsük, mi a két egyenes metszéspontjakor kialakuló szög, emlékeznünk kell a szög, a merőlegesség és a metszéspont meghatározására.
1. definíció
Két egyenest metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk. Ezt a pontot két egyenes metszéspontjának nevezzük.
Mindegyik egyenest egy metszéspont sugarakra osztja. Mindkét egyenes 4 szöget alkot, amelyek közül kettő függőleges, kettő pedig szomszédos. Ha ismerjük az egyik mértékét, akkor meg tudjuk határozni a többit.
Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy az egyik szög egyenlő α-val. Ebben az esetben a hozzá képest függőleges szög is egyenlő lesz α-val. A fennmaradó szögek meghatározásához ki kell számítanunk a 180 ° - α különbséget. Ha α egyenlő 90 fokkal, akkor minden szög derékszög lesz. A derékszögben metsző egyeneseket merőlegesnek nevezzük (a merőlegesség fogalmának külön cikket szentelünk).
Nézzétek meg a képet:
Térjünk át a fő definíció megfogalmazására.
2. definíció
A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a két egyenest alkotó négy szög közül a kisebbik mértéke.
A definícióból le kell vonni egy fontos következtetést: a szög nagyságát ebben az esetben a (0, 90] intervallum bármely valós számával fejezzük ki. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a köztük lévő szög mindenképpen 90 fokkal egyenlő.
Az a képesség, hogy megtaláljuk a két metsző egyenes közötti szög mértékét, számos gyakorlati probléma megoldásához hasznos. A megoldási mód több lehetőség közül választható.
Először is vegyünk geometriai módszereket. Ha tudunk valamit a komplementer szögekről, akkor egyenlő vagy hasonló alakzatok tulajdonságait felhasználva hozzárendelhetjük a szükséges szöghez. Például, ha ismerjük egy háromszög oldalait, és ki kell számítanunk azon egyenesek közötti szöget, amelyeken ezek az oldalak találhatók, akkor a koszinusztétel alkalmas a megoldásra. Ha a feltételünkben derékszögű háromszög van, akkor a számításokhoz ismernünk kell a szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét is.
A koordináta-módszer nagyon kényelmes az ilyen típusú problémák megoldására is. Elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen használni.
Van egy derékszögű (derékszögű) O x y koordinátarendszerünk, amelyben két egyenes adott. Jelöljük őket a és b betűkkel. Az egyenesek leírhatók néhány egyenlet segítségével. Az eredeti egyeneseknek van egy M metszéspontja. Hogyan határozzuk meg a szükséges szöget (jelöljük α-val) ezen egyenesek között?
Kezdjük azzal, hogy megfogalmazzuk a szögkeresés alapelvét adott feltételek mellett.
Tudjuk, hogy az egyenes fogalma szorosan összefügg az olyan fogalmakkal, mint az irányvektor és a normálvektor. Ha van egy bizonyos egyenes egyenlete, akkor abból kivehetjük ezen vektorok koordinátáit. Ezt egyszerre két metsző egyenesre is megtehetjük.
A két egymást metsző egyenes által bezárt szög a következőképpen határozható meg:
- az irányvektorok közötti szög;
- normálvektorok közötti szög;
- az egyik egyenes normálvektora és a másik irányvektora közötti szög.
Most nézzük meg az egyes módszereket külön-külön.
1. Tegyük fel, hogy van egy a egyenes a → = (a x, a y) irányvektorral és egy b egyenesünk b → (b x, b y) irányvektorral. Most ábrázoljunk két a → és b → vektort a metszéspontból. Ezek után látni fogjuk, hogy mindegyik a saját egyenes vonalán fog elhelyezkedni. Ezután négy lehetőségünk van a relatív elrendezésükre. Lásd az illusztrációt:
Ha két vektor közötti szög nem tompa, akkor ez lesz az a szög, amelyre szükségünk van az a és b metsző egyenesek között. Ha tompaszögű, akkor a kívánt szög egyenlő lesz az a →, b → ^ szöggel szomszédos szöggel. Így α = a → , b → ^, ha a → , b → ^ ≤ 90 ° , és α = 180 ° - a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90 ° .
Abból kiindulva, hogy egyenlő szögek koszinuszai egyenlők, a kapott egyenlőségeket a következőképpen írhatjuk át: cos α = cos a →, b → ^, ha a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ha a →, b → ^ > 90 °.
A második esetben redukciós képleteket használtunk. És így,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Írjuk le az utolsó képletet szavakkal:
3. definíció
A két egymást metsző egyenes által alkotott szög koszinusza egyenlő lesz az irányvektorai közötti szög koszinuszának modulusával.
A két a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) vektor közötti szög koszinuszának képlete a következőképpen néz ki:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ebből származtathatjuk a két adott egyenes közötti szög koszinuszának képletét:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ezután magát a szöget a következő képlet segítségével találhatja meg:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Itt a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az adott egyenesek irányvektorai.
Adjunk példát a probléma megoldására.
1. példa
Egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egymást metsző a és b egyenes adott. Leírhatók az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R és x 5 = y - 6 - 3 paraméteres egyenletekkel. Számítsa ki e vonalak közötti szöget!
Megoldás
Feltételünkben van egy parametrikus egyenlet, ami azt jelenti, hogy erre az egyenesre azonnal fel tudjuk írni az irányvektorának koordinátáit. Ehhez meg kell vennünk a paraméter együtthatók értékeit, pl. az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R egyenesnek a → = (4, 1) irányvektora lesz.
A második sort az x 5 = y - 6 - 3 kanonikus egyenlet segítségével írjuk le. Itt vehetjük át a koordinátákat a nevezőkből. Így ennek az egyenesnek van egy irányvektora b → = (5, - 3) .
Ezután közvetlenül a szög meghatározásához lépünk. Ehhez egyszerűen helyettesítsük be a két vektor meglévő koordinátáit a fenti α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 képletbe. A következőket kapjuk:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Válasz: Ezek az egyenesek 45 fokos szöget zárnak be.
Hasonló problémát megoldhatunk, ha megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget. Ha van egy egyenesünk a normálvektorral n a → = (n a x, n a y) és egy b egyenesünk n b → = (n b x , n b y) normálvektorral, akkor a köztük lévő szög egyenlő lesz n a → és n b → vagy az a szög, amely szomszédos lesz n a →, n b → ^-vel. Ez a módszer a képen látható:
A metsző vonalak és magának a szögnek a koszinuszának kiszámítására szolgáló képletek a normálvektorok koordinátái segítségével a következőképpen néznek ki:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n n x b 2 y 2
Itt n a → és n b → két adott egyenes normálvektorát jelöli.
2. példa
Egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egyenest adunk meg a 3 x + 5 y - 30 = 0 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletekkel. Határozza meg a köztük lévő szög szinuszát és koszinuszát, valamint magának a szögnek a nagyságát.
Megoldás
Az eredeti sorokat az A x + B y + C = 0 formájú normál egyenes egyenletekkel adjuk meg. A normálvektort n → = (A, B) alakban jelöljük. Keressük meg az első normálvektor koordinátáit egy egyenesre, és írjuk fel: n a → = (3, 5) . Az x + 4 y - 17 = 0 második sor esetén a normálvektor koordinátái n b → = (1, 4). Most adjuk hozzá a kapott értékeket a képlethez, és számítsuk ki az összeget:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ha ismerjük egy szög koszinuszát, akkor a trigonometrikus alapazonosság segítségével ki tudjuk számítani a szinuszát. Mivel az egyenesek által alkotott α szög nem tompa, ezért sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Ebben az esetben α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Válasz: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Elemezzük az utolsó esetet - az egyenesek közötti szög megállapítását, ha ismerjük az egyik egyenes irányvektorának és a másik normálvektorának koordinátáit.
Tegyük fel, hogy az a egyenesnek van a → = (a x, a y) irányvektora, a b egyenesnek pedig n b → = (n b x, n b y) normálvektora. Ezeket a vektorokat félre kell tennünk a metszésponttól, és meg kell fontolnunk az összes lehetőséget a relatív helyzetükhöz. Lásd a képen:
Ha az adott vektorok közötti szög nem nagyobb, mint 90 fok, akkor kiderül, hogy az a és b közötti szöget derékszögre egészíti ki.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ha a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ha 90 foknál kisebb, akkor a következőket kapjuk:
a → , n b → ^ > 90 ° , majd a → , n b → ^ = 90 ° + α
Az egyenlő szögű koszinuszok egyenlőségének szabályával ezt írjuk:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° esetén.
cos a → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90° esetén.
És így,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Fogalmazzuk meg a következtetést.
4. definíció
A síkon metsző két egyenes közötti szög szinuszának meghatározásához ki kell számítanunk az első egyenes irányvektora és a második normálvektora közötti szög koszinuszának modulusát.
Írjuk fel a szükséges képleteket. Egy szög szinuszának megtalálása:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Magának a szögnek a megkeresése:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Itt a → az első sor irányvektora, és n b → a második sor normálvektora.
3. példa
Két egymást metsző egyenest az x - 5 = y - 6 3 és az x + 4 y - 17 = 0 egyenletek adnak meg. Keresse meg a metszésszöget.
Megoldás
A megadott egyenletekből vesszük a vezető és a normálvektor koordinátáit. Kiderül, hogy a → = (- 5, 3) és n → b = (1, 4). Vegyük az α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 képletet, és kiszámoljuk:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az egyenleteket az előző feladatból vettük, és pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de eltérő módon.
Válasz:α = a r c sin 7 2 34
Mutassunk be egy másik módot a kívánt szög meghatározására adott egyenesek szögegyütthatói segítségével.
Van egy a egyenes, amelyet téglalap alakú koordinátarendszerben definiálunk az y = k 1 x + b 1 egyenlet segítségével, és egy b egyenes, amelyet y = k 2 x + b 2 definícióval határozunk meg. Ezek meredekségű egyenesek egyenletei. A metszésszög meghatározásához a következő képletet használjuk:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, ahol k 1 és k 2 az adott egyenesek meredeksége. Ennek a rekordnak a megszerzéséhez képleteket használtunk a szög meghatározására a normálvektorok koordinátáin keresztül.
4. példa
A síkban két metsző egyenes van, amelyeket az y = - 3 5 x + 6 és y = - 1 4 x + 17 4 egyenletek adnak meg. Számítsa ki a metszésszög értékét!
Megoldás
Egyeneseink szögegyütthatói k 1 = - 3 5 és k 2 = - 1 4. Adjuk hozzá őket az α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 képlethez, és számítsuk ki:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Válasz:α = a r c cos 23 2 34
A bekezdés következtetéseiben meg kell jegyezni, hogy az itt megadott szögkereső képleteket nem kell fejből megtanulni. Ehhez elegendő, ha ismerjük adott egyenesek vezetőinek és/vagy normálvektorainak koordinátáit, és meg tudjuk határozni azokat különböző típusú egyenletekkel. De jobb emlékezni vagy leírni a szög koszinuszának kiszámítására szolgáló képleteket.
Hogyan számítsuk ki a térben metsző vonalak közötti szöget
Egy ilyen szög kiszámítása az irányvektorok koordinátáinak kiszámítására és az ezen vektorok által alkotott szög nagyságának meghatározására redukálható. Az ilyen példák esetében ugyanazt az érvelést használjuk, mint amit korábban adtunk.
Tegyük fel, hogy van egy háromdimenziós térben elhelyezkedő téglalap alakú koordinátarendszerünk. Két a és b egyenest tartalmaz egy M metszésponttal. Az irányvektorok koordinátáinak kiszámításához ismernünk kell ezen egyenesek egyenleteit. Jelöljük az a → = (a x, a y , a z) és b → = (b x, b y, b z) irányvektorokat. A köztük lévő szög koszinuszának kiszámításához a következő képletet használjuk:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
A szög meghatározásához a következő képletre van szükségünk:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5. példa
Van egy háromdimenziós térben definiált egyenesünk az x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 egyenlet segítségével. Ismeretes, hogy az O z tengellyel metszi. Számítsa ki a metszésszöget és ennek a szögnek a koszinuszát!
Megoldás
Jelöljük α betűvel a kiszámítandó szöget. Írjuk fel az első egyenes irányvektorának koordinátáit – a → = (1, - 3, - 2) . Az alkalmazási tengelyhez a k → = (0, 0, 1) koordinátavektort vehetjük útmutatónak. Megkaptuk a szükséges adatokat, és hozzáadhatjuk a kívánt képlethez:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ennek eredményeként azt találtuk, hogy a szükséges szög egyenlő lesz a r c cos 1 2 = 45 °-kal.
Válasz: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 -t adunk meg, akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva.
Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2. Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2.
Tétel. Az Ax + Bу + C = 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 = λA, B 1 = λB együtthatók arányosak. Ha szintén C 1 = λC, akkor az egyenesek egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.
Adott ponton átmenő egyenes egyenlete
Egy adott egyenesre merőleges
Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y = kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:
Távolság ponttól vonalig
Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Bу + C = 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:
.
Bizonyíték. Legyen M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:
(1)
Az x 1 és y 1 koordinátákat az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg:
A rendszer második egyenlete egy adott egyenesre merőleges M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 szerint + C = 0,
majd megoldva a következőket kapjuk:
Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, azt kapjuk, hogy:
A tétel bizonyítást nyert.
Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2=2; tgφ = 
; φ= p /4.
Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x – 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y – 3 = 0 egyenesek merőlegesek.
Megoldás. Azt találjuk, hogy k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tehát az egyenesek merőlegesek.
Példa. Adottak az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!
Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: 
; 4 x = 6 év – 6;
2 x – 3 év + 3 = 0;
A szükséges magasságegyenlet a következő: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: 
ahonnan b = 17. Összesen: . 
Válasz: 3 x + 2 év – 34 = 0.
Egy adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Két egyenes közötti szög. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása
1. Adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet sugár középpontjának nevezünk.
2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2), így írva:
Két adott ponton áthaladó egyenes szögegyütthatóját a képlet határozza meg
3. Szög egyenesek között AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségű egyenletek adnak meg
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg
Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első sor meredekségét kivonjuk a második sor meredekségéből.
Ha egy egyenes egyenleteit általános formában adjuk meg
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
a köztük lévő szöget a képlet határozza meg
4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:
a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek szögegyütthatóval adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele szögegyütthatóik egyenlősége:
k 1 = k 2 . (8)
b) Abban az esetben, ha az egyeneseket (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuknak szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordináták együtthatói arányosak legyenek, azaz.
5. Két egyenes merőlegességének feltételei:
a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek szögegyütthatóval adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy szögegyütthatójuk inverz nagyságú és ellentétes előjelű legyen, azaz.
Ez a feltétel az űrlapba is beírható
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor a merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele, hogy teljesüljön az egyenlőség
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást
1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!
