Ebben a leckében megismételjük az elmélet főbb rendelkezéseit, és összetettebb problémákat oldunk meg a "Vonalok és síkok párhuzamossága" témában.
Az óra elején idézzük fel a síkkal párhuzamos egyenes definícióját és a tételt – az egyenes és a sík párhuzamosságának jelét. Felidézzük a párhuzamos síkok meghatározását és a párhuzamos síkok tételjelét is. Ezután felidézzük a ferde vonalak definícióját és a ferde vonalak tétel-attribútumait, valamint azt a tételt, hogy bármelyik ferde egyenesen keresztül lehetséges egy másik egyenessel párhuzamos síkot rajzolni. Ebből a tételből következtetést vonunk le - abból az állításból, hogy két ferde vonal egyetlen párhuzamos síkpárnak felel meg.
Ezután több bonyolultabb problémát is megoldunk az ismételt elmélet segítségével.
Téma: Egyenesek és síkok párhuzamossága
Lecke: Az elmélet megismétlése. Bonyolultabb problémák megoldása a "Venesek és síkok párhuzamossága" témában
Ebben a leckében megismételjük az elmélet főbb rendelkezéseit, és megoldjuk a témával kapcsolatos összetettebb problémákat "Egyenesek és síkok párhuzamossága".
Meghatározás. Egy egyenest és egy síkot párhuzamosnak nevezünk, ha nincs közös pontjuk.
Ha egy nem adott síkban fekvő egyenes párhuzamos valamely ebben a síkban fekvő egyenessel, akkor párhuzamos az adott síkkal.
Legyen adott egy egyenes aés sík (1. ábra). A síkban van egy egyenes b, amely párhuzamos a vonallal a. Párhuzamos vonalakból aés b párhuzamos egyenes következik aés repülőgépek. 
1. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények tanulói számára (alap- és profilszint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, javítva és kiegészítve - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.
Feladatok 9., 10. 23. o
2. Három egyenes páronként metszi egymást. Lehet-e bármely sík párhuzamos ezekkel az egyenesekkel?
3. Az α és β síkkal párhuzamosan az M ponton keresztül csak egy egyenes húzható. Párhuzamosak ezek a síkok?
4. Két trapéznek van közös középvonala. Az α sík a trapéz kisebb, a β sík pedig a trapéz nagyobb alapjain halad át. Az α és β síkok párhuzamosak?
5. ABCD- négyszög. Az M pont a síkján kívül van. A szakaszok felezőpontjai egy síkban vannak? MA, MV, MS, MD?
Két egyenes térben négy eset lehetséges:
Az egyenes vonalak illeszkednek;
A vonalak párhuzamosak (de nem azonosak);
A vonalak metszik egymást;
A vonalak metszik egymást, i.e. nincs közös pontjuk és nem párhuzamosak.
Tekintsünk két módot a vonalak leírására: kanonikus egyenletek és általános egyenletek. Adjuk meg az L 1 és L 2 egyeneseket a kanonikus egyenletekkel:
L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6,9)
A kanonikus egyenleteiből minden egyeneshez azonnal meghatározunk egy pontot M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 és az s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) irányvektorok koordinátái L 1 esetén, s 2 = (l 2 ; m 2 ; n 2 ) L 2 esetén.
Ha az egyenesek egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor s 1 és s 2 irányvektoraik kollineárisak, ami ekvivalens ezen vektorok koordinátáinak arányának egyenlőségével:
l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (6.10)
Ha az egyenesek egybeesnek, akkor az irányvektorok is kollineárisak az M 1 M 2 vektorral:
(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)
Ez a kettős egyenlőség azt is jelenti, hogy az M 2 pont az L 1 egyeneshez tartozik. Ezért az egyenesek egybeesésének feltétele a (6.10) és (6.11) egyenlőség egyidejű teljesülése.
Ha az egyenesek metszik vagy keresztezik, akkor irányvektoraik nem kollineárisak, azaz. (6.10) feltétel sérül. A metsző vonalak ugyanabban a síkban fekszenek, ezért vektorok s1, s2 és M1M2 értéke egysíkúharmadrendű determináns koordinátáikból áll (lásd 3.2):
A (6.12) feltétel négyből három esetben teljesül, mivel Δ ≠ 0 esetén az egyenesek nem tartoznak ugyanabba a síkba, ezért metszik egymást.
Foglaljuk össze az összes feltételt:
A vonalak kölcsönös elrendezését a (6.13) rendszerre vonatkozó megoldások száma jellemzi. Ha az egyenesek egybeesnek, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van. Ha a vonalak metszik egymást, akkor ennek a rendszernek egyedi megoldása van. Nincsenek közvetlen megoldások párhuzamos vagy keresztező direkt megoldások esetén. Az utolsó két esetet a vonalak irányvektorainak megkeresésével különíthetjük el. Ehhez elegendő kettőt kiszámítani vektor működik n 1 × n 2 és n 3 × n 4, ahol n i = (A i ; B i ; C i ), i = 1, 2, 3.4. Ha a kapott vektorok kollineárisak, akkor az adott egyenesek párhuzamosak. Ellenkező esetben kereszteződnek.
6.4. példa.
Az L 1 egyenes s 1 irányítóvektorát ennek az egyenesnek a kanonikus egyenletei keresik: s 1 = (1; 3; -2). Az L 2 egyenes s 2 irányítóvektorát a síkok normálvektorainak vektorszorzatával számítjuk ki, amelyek metszéspontja:
Mivel s 1 \u003d -s 2, akkor a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Nézzük meg, hogy ezek közül a helyzetek közül melyik valósul meg adott sorokra. Ehhez az M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 pont koordinátáit behelyettesítjük az L 2 egyenes általános egyenleteibe. Az elsőre 1 = 0. Ezért az M 0 pont nem tartozik az L 2 egyeneshez, és a vizsgált egyenesek párhuzamosak.
Szög a vonalak között. A két vonal közötti szög a segítségével határozható meg irányvektorok közvetlen. Az egyenesek közötti hegyesszög egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel (6.5. ábra), vagy kiegészíti azt, ha az irányvektorok közötti szög tompaszögű. Tehát, ha az L 1 és L 2 egyenesek s x és s 2 irányvektorai ismertek, akkor ezen egyenesek közötti φ hegyesszöget a skaláris szorzat határozza meg:
cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |
Például legyen s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. A (2.9) és (2.14) képlet segítségével számítsuk ki vektor hossza a skaláris szorzatot pedig koordinátákban kapjuk
fejezet IV. Vonalak és síkok a térben. Poliéder
46. § Vonalak kölcsönös elrendezése a térben
A térben két különálló vonal lehet ugyanabban a síkban, de lehet, hogy nem. Tekintsük a megfelelő példákat.
Az A, B, C pontok ne feküdjenek egy egyenesen. Rajzolj át rajtuk egy síkot Rés válassz egy olyan S pontot, amely nem tartozik a síkhoz R(130. ábra).
Ekkor az AB és BC egyenesek ugyanabban a síkban, mégpedig a síkban fekszenek R, az AS és a CB vonalak nem fekszenek ugyanabban a síkban. Valóban, ha ugyanabban a síkban feküdnének, akkor az A, B, C, S pontok is ebben a síkban lennének, ami lehetetlen, mivel S nem az A, B, C pontokon átmenő síkban fekszik.
Két különálló egyenest, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el, és nem metszik egymást, párhuzamosnak nevezzük. Az egybeeső egyeneseket párhuzamosnak is nevezik. Ha egyenes 1 1 és 1 2 párhuzamos, majd írd 1 1 || 1 2 .
Ily módon 1
1 || 1
2 ha először is van repülőgép R oly módon, hogy
1
1 Rés 1
2 Rés második, vagy 1
1 1
2 = vagy 1
1 = 1
2 .
Két olyan egyenest, amely nem esik ugyanabban a síkban, metsző egyeneseknek nevezzük. Nyilvánvaló, hogy a ferde vonalak nem metszik egymást és nem párhuzamosak.
Bizonyítsuk be a párhuzamos egyenesek egyik fontos tulajdonságát, amit a párhuzamosság tranzitivitásának nevezünk.
Tétel. Ha két egyenes párhuzamos a harmadikkal, akkor párhuzamosak egymással.
Hadd 1 1 || 1 2 és 1 2 || 1 3. Ezt be kell bizonyítanunk 1 1 || 1 3
Ha egyenes 1 1 , 1 2 , 1 3 ugyanabban a síkban fekszik, akkor ezt az állítást planimetriával igazoljuk. Feltételezzük, hogy a vonalak 1 1 , 1 2 , 1 3 nem fekszenek ugyanabban a síkban.
Egyenes vonalakon keresztül 1 1 és 1 2 rajzoljon egy síkot R 1 , és azon keresztül 1 2 és 1 3 - sík R 2 (131. ábra).
Vegye figyelembe, hogy az egyenes 1
A 3 legalább egy M pontot tartalmaz, amely nem tartozik a síkhoz
R 1 .
Rajzolj egy síkot az egyenesen és az M ponton keresztül R 3, amely metszi a síkot R 2 valamilyen vonal mentén l. Bizonyítsuk be l egybeesik 1 3. A "módszert ellentmondásokkal" fogjuk bizonyítani.
Tegyük fel, hogy a vonal 1
nem egyezik a vonallal 1
3. Akkor 1
átlépi a határt 1
2 valamikor A. Ez azt jelenti, hogy a sík R 3 áthalad az A ponton R 1 és egyenes 1
1 R 1
és ezért egybeesik a síkkal R egy . Ez a következtetés ellentmond annak, hogy az M R 3 nem tartozik a géphez R 1 .
Ezért a feltevésünk téves, és ezért 1
= 1
3 .
Így bebizonyosodott, hogy a vonalak 1 1 és 1 3 ugyanabban a síkban fekszik R 3. Bizonyítsuk be, hogy a vonalak 1 1 és 1 3 nem metszik egymást.
Valóban, ha 1 1 és 1 3 metszi egymást például a B pontban, majd a síkban R 2 átmenne egy egyenes vonalon 1 2 és a B ponton keresztül 1 1, és ezért egybeesne a R 1, ami lehetetlen.
Egy feladat. Bizonyítsuk be, hogy az egyirányú oldalú szögek egyenlőek.
Legyen a MAN és M 1 A 1 N 1 szögeknek közös oldala: az AM sugár az A 1 M 1 sugárra, az AN sugár pedig az A 1 N 1 sugárra irányul (ábra 1). 132).
Az AM és A 1 M 1 sugarakon egyenlő hosszúságú AB és A 1 B 1 szakaszokat tesszük félre. Akkor
|| és |BB 1 | = |AA 1 |
mint egy paralelogramma ellentétes oldalai.
Hasonlóképpen az AN és A 1 N 1 sugarakon egyenlő hosszúságú AC és A 1 C 1 szegmenseket teszünk félre. Akkor
|| és |CC 1 | = |AA 1 |
A párhuzamosság tranzitivitásából az következik, hogy || . És mivel |BB 1 | = |CC 1 | , akkor BB 1 C 1 C paralelogramma, ezért |BC| = |B 1 C 1 |.
Következésképpen, /\
ABC /\
A 1 B 1 C 1 és .
A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.
A vonalak ugyanabban a síkban fekszenek. ha 1) metszik egymást; 2) párhuzamosak.
Az L 1: és L 2: egyenesek ugyanahhoz a síkhoz tartozására úgy, hogy a vektorok M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 - y 1; z 2 -z 1), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) és q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) egysíkúak voltak. Vagyis három vektor komplaritásának feltételével a vegyes szorzat M 1 M 2 s 1 s 2 =Δ==0 (8)
Mert két egyenes párhuzamosságának feltétele a következő: , akkor az L 1 és L 2 egyenesek metszéspontjára úgy, hogy megfeleljenek a (8) feltételnek, és legalább az egyik arány sérüljön.
Példa. Fedezze fel a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:
Az L 1 egyenes irányvektora – q 1 =(1;3;-2). Az L 2 egyenest 2 α 1 sík metszéspontjaként határozzuk meg: x-y-z+1=0; α2: x+y+2z-2=0. Mert az L 2 egyenes mindkét síkban fekszik, akkor ez és így irányvektora merőleges a normálokra n 1 és n 2 . Ezért az irányvektor s 2 a vektorok keresztszorzata n 1 és n 2 , azaz q 2 =n 1 x n 2 ==-én-3j+2k.
Hogy. s 1 =-s 2 , azt jelenti, hogy a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.
Az egyenesek egybeesésének ellenőrzésére az M 0 (1;2;-1)L 1 pont koordinátáit behelyettesítjük az L 2 általános egyenletekbe: 1-2+2+1=0 - hibás egyenlőségek, pl. pont M 0 L 2,
tehát a vonalak párhuzamosak.
Egy pont és egy egyenes távolsága.
Az M 1 (x 1; y 1; z 1) pont és az L kanonikus egyenlet által megadott L egyenes távolsága a keresztszorzat segítségével számítható ki.
Az egyenes kanonikus egyenletéből következik, hogy az M 0 (x 0; y 0; z 0) L pont, és az egyenes irányítóvektora q=(l;m;n)
Építsünk paralelogrammát vektorokra qés M 0 M 1 . Ekkor az M 1 pont és az L egyenes távolsága egyenlő ennek a paralelogrammának a h magasságával. Mert S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, akkor
h= 
(9)
Két egyenes távolság a térben.
L 1: és L 2:
1) L 1 L 2 .
d= 
2) L 1 és L 2 - keresztezés
d= 
Egyenes és sík kölcsönös elrendezése a térben.
Egy egyenes és egy sík térbeli elhelyezkedéséhez 3 eset lehetséges:
egyenes és sík egy pontban metszik egymást;
egyenes és sík párhuzamos;
a vonal síkban fekszik.
Adja meg az egyenest a kanonikus egyenlete, a síkot pedig az általános
α: Ax+By+Cz+D=0
Az egyenes egyenletek megadják az M 0 (x 0; y 0; z 0) L pontot és az irányvektort q=(l;m;n), és a síkegyenlet egy normálvektor n=(A;B;C).
1. Egyenes és sík metszéspontja.
Ha egy egyenes és egy sík metszi egymást, akkor az egyenes irányvektora q nem párhuzamos az α síkkal, ezért nem merőleges a sík normálvektorára n. Azok. ponttermékük nq≠0 vagy a koordinátáikat tekintve,
Am+Bn+Cp≠0 (10)
Határozzuk meg az M pont koordinátáit az L egyenes és az α sík metszéspontjai.
Térjünk át az egyenes kanonikus egyenletéből a parametrikusra: , tR
Ezeket az összefüggéseket behelyettesítjük a sík egyenletébe
A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0
A,B,C,D,l,m,n,x 0,y 0,z 0 ismertek, keressük meg a t paramétert:
t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0
ha Am+Bn+Cp≠0, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van, amely meghatározza az M pont koordinátáit:
t M = -→ (11)
Egy egyenes és egy sík közötti szög. A párhuzamosság és a merőlegesség feltételei.
φ szög az L egyenes között :
útmutató vektorral q=(l;m;n) és sík
: Ax+By+Cz+D=0 normálvektorral n Az =(A;B;C) 0˚-tól (párhuzamos egyenes és sík esetén) 90˚-ig (egyenes és sík merőlegessége esetén) terjed. (Szög a vektorok között qés vetülete az α síkra).
– vektorok közötti szög qés n.
Mert az L egyenes és a sík közötti szög komplementer a szöggel, ekkor sin φ=sin(-)=cos =- (az abszolút értéket tekintjük, mert a φ szög hegyes sin φ=sin(-) ) vagy sin φ =sin(+) az L egyenes irányától függően)
