A sarkok lefektetésének fő tulajdonsága a definíció. Meghatározás

A 18. ábra azt mutatja be, hogyan rajzolhatunk egy vonalzót egy A kezdőpontú a félegyenesre egy adott hosszúságú (3 cm) szakaszt.

Nézze meg a 19. a ábrát, amely az A kezdőponton túlnyúlik, és a síkot két félsíkra osztja. Az ábra azt mutatja be, hogyan lehet szögmérővel egy adott fokszámú (60°) szöget felrajzolni egy félegyenesből a felső félsíkba.

A következő tulajdonságokat nevezzük a szegmensek és szögek elrendezésének fő tulajdonságainak:

VI. A kezdőponttól számítva bármely félegyenesre megrajzolhat egy adott hosszúságú szakaszt, és csak egyet.

VII. Bármelyik félvonaltól egy adottigfélsíkEgy adott fokmérővel 180°-nál kisebb szöget ábrázolhat, és csak egyet.

Probléma (30). Az AB sugáron van egy AC szakasz, amely kisebb, mint az AB szakasz. A három A, B, C pont közül melyik van a másik kettő között? Magyarázza meg válaszát.

Megoldás (20. ábra). Mivel a B és C pont ugyanazon a félegyenesben van az A kezdeti ponttal, nem választja el őket az A ponttól, vagyis az A pont nem a B és C pontok között található.

Lehet B pont az A és C pontok között? Ha az A és C pontok között feküdne, akkor AB + BC = AC lenne.

De ez lehetetlen, mert az állapot szerint Vonalszakasz Az AC kisebb, mint az AB szegmens. Ez azt jelenti, hogy a B pont nem az A és C pontok között található.
A három A, B, C pont közül az egyik a másik kettő között van. Ezért pont C az A és B pontok között van.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

TÉMA: „Egy szegmens alapvető tulajdonságai”

Példaként az elektronikus tankönyv használatára a geometria órákon a 7. osztályban, megnézzük, hogyan vezetik be a „Szegmens alapvető tulajdonságai” fogalmat.

Ezt a választást a következő szempontok indokolják:

1. Ez az egyik legfontosabb fogalom mind a kezdeti, mind a szisztematikus geometria tanfolyamokon;

2. A szegmensnek, ellentétben például egy sugárral vagy egy egyenessel, metrikus jellemzője van - hossza.

A jelenlegi matematikai program a következő ajánlásokat fogalmazza meg:

1. Az anyag tanulmányozását a tanulók élettapasztalata és gyakorlati készségei alapján szervezzük meg;

2. A szegmens jellemző tulajdonságait a problémák megoldása és a konstrukciók végrehajtása során észleljük;

3. A fő hangsúly a vonalzóval történő szegmensek mérési és konstrukciós képességeinek fejlesztésén van.

A geometriai anyag jelenlegi program szerinti tanulmányozása eredményeként a hallgatóknak tudniuk kell:

1. A sík két pontját egyetlen szakasz köti össze;

2. A szakasz mindkét oldalán határos, és egy egyenes része;

3. Egyenlő szegmensek meghatározása;

4. Egy szakasz hosszának tulajdonsága - a szegmensek összegének hossza megegyezik az összegző szakaszok hosszának összegével.

A tanulóknak képesnek kell lenniük:

1. A szegmensek felismerése, beleértve a különféle geometriai alakzatokban szereplőket is;

2. Szegmensek létrehozása, címkézése és mérése;

3. Hasonlítsa össze a szegmenseket.

A hagyományos bemutatásban ennek az anyagnak a tanulmányozása a következő séma szerint történik:

1. Szegmens felépítése;

2. A szegmens kijelölése;

3. A szakasz hossza, hosszegységek;

4. A szegmensek lerakásának tulajdonságai;

5. A szakaszok összegének hosszának meghatározása.

A különböző aktuális tankönyvekben és oktatási segédletekben található gyakorlatok a következő típusokba sorolhatók:

a) szegmensek felépítése;

b) szegmensek kijelölése;

c) szegmensek mérése és összehasonlítása;

d) szaggatott vonal hosszának vagy sokszög kerületének megállapítása;

e) a szakaszok összegének hosszának meghatározása.

Így a „szegmens” fogalma közvetlenül kapcsolódik a hosszához. A „szegmens” fogalmának vizsgálatát a méréshez nem kapcsolódó jellemző tulajdonságok kiemelésével kezdjük. Ezek olyan tulajdonságok, amelyek lehetővé teszik egy szegmens más geometriai alakzatokkal való hasonlóságának és azoktól való eltérésének megállapítását, vagyis a szegmens gondolatának beépítését a hallgatók már meglévő geometriai elképzelésrendszerébe.

A szegmens fő tulajdonságai - egyenesség és határoltság két irányban - akkor derülnek ki, ha összehasonlítjuk egy egyenessel vagy egy sugárral.

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik egy szegmens mérését, azaz a hosszának összehasonlítását egy hosszstandardtal.

Valóban, az egyenes és a sugár hossza korlátlan természetük miatt nem mérhető. Ívelt vonal esetén a hossz közvetlen mérése nehézkes az önkényes alakja miatt. Ez a szám azonban még ha ismert is a görbe hossza, nem mond semmit az alakjáról, hiszen végtelen sok adott hosszúságú görbe vonal van. A szakasz hossza egyértelműen geometriai alakzatként határozza meg.

Ebben a cikkben azt javasoljuk, hogy tanulmányozzuk a „szegmens” fogalmát a következő séma szerint:

1. szegmens felépítése;

2. szegmens megjelölés;

3. egy szegmens alapvető nem metrikus tulajdonságai;

4. egy szakasz késleltetésének fő tulajdonsága;

5. a szakasz hossza, hosszegységek;

6. egyenlő szelvények, szakaszok hossz szerinti összehasonlítása;

7. a szakaszok összegének hosszának megállapítása.

Egy óra áll rendelkezésre az „Egy szegmens és tulajdonságai” témakör megismerésére.

LECKE „A szegmensek alapvető tulajdonságai.”

Az óra célja: kialakítani a tanulók elképzeléseit egy szakaszról, mint korlátozott egyenes vonalú geometriai alakról, valamint a pontok egymáshoz viszonyított helyzetéről a síkon.

I. Felkészülés az új tananyag tanulmányozására.

A tanulók általános iskolából ismerik a szegmenst, annak felépítését és mérését. Ezért az óra elején a tanulók emlékeznek a szegmens felépítésének különféle módjaira egy vonalzó és annak jelölése segítségével.

Ismétlés:

1. módszer: Vonalzó segítségével húzz egy egyenest, jelölj ki rajta két A és B pontot, amelyek meghatározzák az AB szakaszt.

Az AB szakasz egy egyenes része,

A B pontok korlátozzák.

Vonalszakasz AB

2. módszer: Jelölje meg a síkon két A és B pontot egy olyan vonalzóval, amely nem nyúlik túl az A és B ponton.

Az AB szegmens minden pontból áll

pontok között húzódó egyenes

A BAN BEN A és B, és maguk a pontok.

Vonalszakasz AB

A tanulók mindenre emlékeznek, amit egy szakaszról tudnak: 1) a szegmens lapos alak (síkon fekszik); 2) ez egy egyenes része; 3) a szakasz végtelen számú pontból áll; 4) mindkét oldalon korlátozott; 5) a szakasz minden pontja két adott pont között van, amelyeket a szakasz végeinek nevezünk.

Minderre a tanulók az elektronikus tankönyv alapján emlékeznek a „szegmens” oldal megnyitásával. (8. ábra)

8. ábra.

Új anyag bemutatása. Az EUP oldal használata „Planimetry”: „A szegmens alapvető tulajdonságai”

Miután a tanulók emlékeztek és megismételték, amit a szakaszról tudtak, a tanár azt mondja: a szakasz végeit határpontoknak nevezzük, és mindazokat, amelyek közöttük vannak, a szakasz belső pontjai.

Ezek után a tanár megkéri a gyerekeket, hogy lapozzák fel az elektronikus tankönyvet, amely egy rajzot mutat, és magyarázatot ad, amely elvezeti a tanulókat a szakasz mérésének és ábrázolásának alapvető tulajdonságaihoz.

II. Konszolidáció

A tanulóknak több feladatot kell elvégezniük a pontok szakaszokhoz, vonalszakaszokhoz és sugarakhoz való tartozásáról, valamint ezek kialakításáról a forma:

1. Jelölje meg a K és M pontokat a füzetben Vonalzó segítségével készítsen egy KM szakaszt. Jelölje meg ezen a szakaszon a P és T pontokat. Nevezze meg azokat a szakaszokat, amelyekre ezek a pontok felosztják a KM szakaszt. Milyen szakaszokra osztja a T pont a KM szakaszt?

2. Az ábrán feltüntetett pontok közül melyik? a CD szegmenshez tartoznak, és melyik nem tartozik ezek közül?

Kérdések a konszolidációhoz:

1. Hogyan jelöljük ki a pontokat és vonalakat?

2. Melyek az ábrán jelölt pontok az a, melyek a b egyenesen? Melyik pontban metszik egymást az a és b egyenesek?

3. Fogalmazza meg a szegmensek elrendezésének alapvető tulajdonságait!

4. Fogalmazza meg a mérőszakaszok fő tulajdonságát!

>>Matematika 7. osztály. Végezze el a leckéket >>Geometria: Szegmensek és szögek elrendezése. Teljes leckék

Vonalak és szögek elhalasztása

A képen látható, hogyan kell használni uralkodók az A kezdőpontú a félegyenesen 3 cm hosszú szakaszt ábrázolhatunk.

Ez az ábra a használat módját mutatja be szögmérő az a félegyenestől a felső síkig 60°-os szöget tegyünk le


Fogalmazzuk meg a szegmensek és szögek lerakásának alapvető tulajdonságait:

1. bármely félegyenesre a kezdőpontjától számítva egy adott hosszúságú és csak egy szakaszt ábrázolhat;
2. Bármely félegyenesből egy adott fokszámú, 180°-nál kisebb szög egy adott félsíkra ábrázolható.

Példa egy probléma megoldására.

Az AB sugáron van egy AC szakasz, amely kisebb, mint az AB szakasz. A három A, B, C pont közül melyik van a másik kettő között?

Megoldás.
Mivel a B és C pont ugyanazon a félegyenesben van az A kezdeti ponttal, ez azt jelenti, hogy nem választja el őket az A ponttól, vagyis az A pont nem a B és C pontok között található.

Ha B pont az A és C pontok között van, akkor igaz lenne az egyenlőség: AB+BC=AC. Ez lehetetlen, mivel feltétel szerint az AC szakasz kisebb, mint az AB szakasz. Ezért a C pont nem az A és C pontok között található.

A három A, B, C pont közül csak egy van a másik kettő között. Esetünkben: a C pont az A és B pontok között található.

Sugár.

Rajzoljunk egy a egyenest, és jelöljük rá az O pontot (11. ábra).

Ez a pont két részre osztja az egyenest, melyek mindegyikét az O pontból kiinduló sugárnak nevezzük (a 11. ábrán az egyik sugár vastag vonallal van kiemelve). Az O pontot minden sugár kezdetének nevezzük. A sugarat általában egy kis latin betűvel jelölik (például h sugár a 12. ábrán a), vagy két nagy latin betűvel, amelyek közül az első a sugár kezdetét jelzi, a második pedig a sugár egy pontját. a sugár (például OA sugár a 12. ábrán, b).

Sarok.

Emlékezzünk arra, hogy a szög egy geometriai alakzat, amely egy pontból és két, ebből a pontból kiinduló sugárból áll. A sugarakat a szög oldalainak nevezzük, és közös eredetük a szög csúcsa. A 13. ábra egy O csúcsú szöget mutat, az oldalakon A és B pontok vannak jelölve: hk, vagy AOB, vagy O.

A szöget fordítottnak nevezzük, ha mindkét oldala ugyanazon az egyenesen fekszik. Azt mondhatjuk, hogy egy kibontott szög mindkét oldala a másik oldal folytatása. A 14. ábra egy kidolgozott szöget mutat be C csúcsával és p és q oldalaival.

Bármely szög két részre osztja a síkot. Ha a szög nincs elfordítva, akkor az egyik alkatrészt hívják belső, és a másik - külső ennek a szögnek a területe (15. ábra, a). A 15. b ábra egy kidolgozatlan szöget mutat. Az A, B, C pontok ezen a szögön belül (azaz a szög belső tartományában), a D és E pontok a szög oldalain, a P és Q pontok pedig a szögön kívül vannak (azaz a külső tartományban) a szög). Ha a szög ki van hajtva, akkor a két rész bármelyike, amelyre a síkot felosztja, a szög belső tartományának tekinthető. A szögből és annak belső tartományából álló alakzatot szögnek is nevezzük.

Ha egy sugár egy fejletlen szög csúcsából származik és a szögön belül halad át, akkor ezt a szöget két szögre osztja. A (16,a) ábrán az OS sugár az AOB szöget két szögre osztja: AOS és COB. Ha az AOB szög ki van hajtva, akkor minden olyan OC sugár, amely nem esik egybe az OA és OB sugarakkal, ezt a szöget két szögre osztja: AOS és COB (16. ábra, b).


Szegmensek és szögek összehasonlítása.

A 20a. ábra két szegmenst mutat. Annak megállapításához, hogy egyenlőek-e vagy sem, az egyik szakaszt a másikra helyezzük úgy, hogy az egyik szakasz vége egybeessen a másik szegmens végével (20. ábra, b). Ha ugyanakkor a két másik vége is egybeesik, akkor a szegmensek teljesen egybeesnek, és ezért egyenlők. Ha a másik két vége nem esik egybe, akkor azt a szegmenst tekintjük kisebbnek, amelyik a másik részét képezi. A 20. ábrán az AC szegmens az AB szakasz része, ezért az AC szegmens kisebb, mint az AB szakasz (így írva: AC<АВ).

A szakasz felezőpontját, azaz két egyenlő szakaszra osztó pontját a szakasz felezőpontjának nevezzük. A 21. ábrán a C pont az AB szakasz közepe.

A 22a. ábra mutatja 1. és 2. lefordítatlan sarkok. Annak megállapításához, hogy egyenlők-e vagy sem, az egyik szöget a másikra helyezzük úgy, hogy az egyik szög oldala a másik oldalához igazodjon, a másik kettő pedig az igazított oldalak ugyanazon az oldalán legyen (22. ábra). , b). Ha a másik két oldal is találkozik, akkor a szögek teljesen egybeesnek, ezért egyenlők. Ha ezek az oldalak nem esnek egybe, akkor azt a szöget, amely a másik részét képezi, kisebbnek tekintjük. A (22, b) ábrán az 1-es szög a 2-es szög része, tehát 1<2.

Kifordítatlan sarokösszege része a bővített(23. ábra), ezért a kidolgozott szög nagyobb, mint a ki nem alakított szög. Bármely két fordított szög nyilvánvalóan egyenlő.

Egy szög csúcsából kiinduló és azt két egyenlő szögre osztó sugarat nevezünk felezővonal sarok. A 24. ábrán egy sugár látható l- a hk szög felezője.

Kérdések:

1. Hány fokos az elforgatási szög?
2. Mi az a felező?
3. Mi a szögmérő célja?

A felhasznált források listája:

1. P. I. Altynov, Geometria 7-9. Moszkva. "Drofa" kiadó, 2005.
2. Az általános oktatási intézmények programjai. Geometria évfolyam 7-9. Összeállította: S.A. Burmistrova. Moszkva. "Felvilágosodás", 2009.
3. „Matematika” újság 2000. 19. sz.
4. Atanasyan, Geometria 7-9 évfolyam.
5. Pavlov A. N. Geometria: Planimetria tézisekben és megoldásokban.
6. Szerkesztette és küldte: Potunak S.A.

A leckén dolgozott:

Poturnak S.A.

Geometria

A legegyszerűbb geometriai alakzatok alapvető tulajdonságai

Meghatározás. Axiómák

Geometria a geometriai formák tulajdonságainak tudománya.
Figyelem: a geometriai alakzat nem csak háromszög, kör, piramis stb., hanem tetszőleges ponthalmaz is.
Planimetria a geometriának egy olyan ága, amelyben a síkon lévő ábrákat tanulmányozzák.
PontÉs egyenes a planimetria alapfogalmai. Ez azt jelenti, hogy ezt a fogalmat nem lehet pontosan meghatározni. Csak tapasztalatok és tulajdonságaik felsorolása alapján képzelhetők el.
Azokat az állításokat nevezzük, amelyek igazságát bizonyítás nélkül fogadjuk el axiómák. A legegyszerűbb figurák alapvető tulajdonságait tartalmazó megfogalmazásokat tartalmaznak.
A bizonyított állításokat ún tételek.
Meghatározás egy olyan fogalom magyarázata, amely vagy alapfogalmakra, vagy korábban meghatározott fogalmakra támaszkodik.
Megnevezések: a pontokat nagy latin betűkkel jelöljük; egyenes vonalak - kisbetűs latin betűkkel vagy két latin nagybetűvel (ha két pont van egy egyenes vonalon feltüntetve).
Pontok a képen A, B, C, N,Més egyenes aÉs b. Közvetlen A egyenesnek jelölhető MN(vagy N.M.).

A bejegyzés azt jelenti, hogy a pont M egyenes vonalon fekszik A. A bejegyzés azt jelenti, hogy a pont VAL VEL nem fekszik egyenesen A.
Ezt egyenesen meg kell értenünk aÉs bábrán metszi egymást, bár nem látjuk, egy pontban.

Egy síkon összetartozó pontok és egyenesek alapvető tulajdonságai (axiómái).

Axióma I.
1. Bármi legyen is az egyenes, vannak pontok, amelyek ehhez az egyeneshez tartoznak, és vannak olyan pontok, amelyek nem tartoznak hozzá.
2. Bármely két ponton keresztül húzhat egy egyenest, és csak egyet. (Meg kell értenünk, hogy ez két állítást tartalmaz: egyrészt egy ilyen sor létezését, másrészt annak egyediségét.)
Axióma II. Az egyenes három pontja közül csak egy van a másik kettő között.
Szegmens szerint egy egyenes azon része, amely ennek az egyenesnek két adott pont között elhelyezkedő összes pontjából áll. Ezeket a pontokat ún a szegmens végeit. Az ábrán egy szegmens látható AB(egy szakaszt a végének beírásával jelezzük).

Mérőszegmensek alapvető tulajdonságai (axiómái).

Axióma III.
1. Minden szegmensnek egy bizonyos hossza nagyobb, mint nulla.
2. Egy szakasz hossza megegyezik azon részek hosszának összegével, amelyekre bármely pontjával fel van osztva.

A pontok síkbeli egyeneshez viszonyított elhelyezésének fő tulajdonsága

Axióma IV. Egy egyenes egy síkot két félsíkra oszt.
Ennek a partíciónak a következő tulajdonsága van: ha bármely szakasz végei ugyanahhoz a síkhoz tartoznak, akkor a szakasz nem metszi az egyenest; ha a szakasz végei különböző felületekhez tartoznak, akkor a szakasz metszi az egyenest.
Közvetlenül, vagy gerenda, amelyet egy egyenes részének nevezünk, amely ennek az egyenesnek az összes pontjából áll, amelyek egy adott pont egyik oldalán találhatók. Ezt a pontot hívják sugár kiindulópontja. Egy egyenes különböző, közös kezdőpontú egyeneseit nevezzük további.
Az ábra a sugarakat mutatja AB(más néven A.C.), D.A.(vagy D.B., DC), IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., C.B.(vagy C.A., CD), B.A.(vagy BD), HIRDETÉS.

Sugarak ABÉs A.D., B.C.És BD- ezen felül. Sugarak BDÉs A.C. nem kiegészítik egymást, mert eltérő kiindulópontokkal rendelkeznek.
Sarok- ez egy pontból álló ábra - sarokcsúcsok- és ebből a pontból két különböző egyenes, - a szög oldalai.
Az ábrán látható szög a következőképpen jelölhető: , , .

Ha egy szög oldalai komplementer egyenesek, a szöget ún kiterjesztett:

Azt mondják a sugár áthalad a szög oldalai között, ha a csúcsából származik, és az oldalain végekkel metsz egy szakaszt. Fejlett szög esetén feltételezzük, hogy bármely sugár, amely a csúcsából származik és az oldalaitól különbözik, áthalad a szög oldalai között.

A szögmérés alapvető tulajdonságai

Axióma V.
1. Minden szögnek van egy nullánál nagyobb mértéke. Az egyenes szög egyenlő .
2. Egy szög fokszáma megegyezik azon szögek mértékének összegével, amelyekbe az oldalai között áthaladó bármely sugár osztja.

Szegmensek és szögek kialakításának alapvető tulajdonságai

Axióma VI. A kezdőponttól számítva bármely egyenesben megrajzolhat egy adott hosszúságú szakaszt, és csak egyet.
Axióma VII. Egy adott síkra bármely egyenes vonalból egy adott fokos szöget be lehet állítani, , és csak egyet.
Háromszög egy ábra, amely három pontból áll, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek páronként összekötik ezeket a pontokat. A pontokat ún a háromszög csúcsai, és a szegmensek az övéi a felek.
Az ábrán látható háromszög a következőképpen jelölhető: vagy stb.

A fenti háromszög alapelemei: oldalak AB, A.C., IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.(vagy a, b, c); szögek (vagy), , . és - oldalt szomszédos A.C.. - ellenkező oldal A.C..
Háromszögeket hívnak egyenlő, ha a megfelelő oldalaik egyenlőek és a megfelelő szögeik egyenlőek. Ebben az esetben a megfelelő szögeknek a megfelelő oldalakkal szemben kell lenniük.
A bejegyzés azt jelenti (lásd az ábrát), hogy:
; ;
; ;
; .

Az egybevágó háromszögek létezésének fő tulajdonsága

Axióma VIII. Bármi is legyen a háromszög, egy adott helyen egy adott egyeneshez képest van vele egyenlő háromszög.
Közvetlen vonalakat hívnak párhuzamos, ha nem metszik egymást.
Az ábrán látható párhuzamos vonalak a következőképpen jelölhetők: ill.

Párhuzamos egyenesek axiómája

Axióma IX. Egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül a síkon legfeljebb egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenest lehet húzni.
Figyelem: az axióma egy ilyen vonal egyediségét állítja, de nem állítja létezését.

A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete egy síkon

Két egyenes egy síkon:
egybeesik;
párhuzamos legyen (azaz ne metsze egymást);
van egy közös pontjuk.
(Valóban, ha két egyenesnek lehet legalább két közös pontja, akkor két különböző egyenes menne át ezen a két ponton, ami ellentmond az I. axióma 2. bekezdésének).