Keresse meg az adott vonalak közötti szöget a térben! A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel

Ezt az anyagot egy olyan fogalomnak szentelték, mint a két egymást metsző vonal közötti szög. Az első bekezdésben elmagyarázzuk, mi ez, és illusztrációkon mutatjuk be. Ezután megnézzük, hogyan találhatja meg ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát és magát a szöget (külön megvizsgáljuk a sík és a háromdimenziós tér eseteit), megadjuk a szükséges képleteket és példákkal pontosan megmutatjuk hogyan használják őket a gyakorlatban.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ahhoz, hogy megértsük, mi az a szög, amely két egyenes metszéspontja során keletkezik, emlékeznünk kell a szög, a merőlegesség és a metszéspont meghatározására.

1. definíció

Két egyenest metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk. Ezt a pontot két egyenes metszéspontjának nevezzük.

Mindegyik egyenest egy metszéspont sugarakra osztja. Mindkét egyenes 4 szöget alkot, amelyek közül kettő függőleges, kettő pedig szomszédos. Ha ismerjük az egyik mértékét, akkor meg tudjuk határozni a többit.

Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy az egyik szög egyenlő α-val. Ebben az esetben a hozzá képest függőleges szög is egyenlő lesz α-val. A fennmaradó szögek meghatározásához ki kell számítanunk a 180 ° - α különbséget. Ha α egyenlő 90 fokkal, akkor minden szög derékszög lesz. A derékszögben metsző egyeneseket merőlegesnek nevezzük (a merőlegesség fogalmának külön cikket szentelünk).

Vessen egy pillantást a képre:

Térjünk át a fő definíció megfogalmazására.

2. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a két egyenest alkotó négy szög közül a kisebbik mértéke.

A definícióból le kell vonni egy fontos következtetést: a szög nagyságát ebben az esetben a (0, 90] intervallum bármely valós számával fejezzük ki. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a köztük lévő szög mindenképpen 90 fokkal egyenlő.

Az a képesség, hogy megtaláljuk a két metsző egyenes közötti szög mértékét, számos gyakorlati probléma megoldásához hasznos. A megoldási mód több lehetőség közül választható.

Először is vegyünk geometriai módszereket. Ha tudunk valamit a komplementer szögekről, akkor egyenlő vagy hasonló alakzatok tulajdonságait felhasználva hozzárendelhetjük a szükséges szöghez. Például, ha ismerjük egy háromszög oldalait, és ki kell számítanunk azon egyenesek közötti szöget, amelyeken ezek az oldalak találhatók, akkor a koszinusztétel alkalmas a megoldásra. Ha a feltételünkben derékszögű háromszög van, akkor a számításokhoz ismernünk kell a szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét is.

A koordináta-módszer nagyon kényelmes az ilyen típusú problémák megoldására is. Elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen használni.

Van egy derékszögű (derékszögű) O x y koordinátarendszerünk, amelyben két egyenes adott. Jelöljük őket a és b betűkkel. Az egyenesek leírhatók néhány egyenlet segítségével. Az eredeti egyeneseknek van egy M metszéspontja. Hogyan határozzuk meg a szükséges szöget (jelöljük α-val) ezen egyenesek között?

Kezdjük azzal, hogy megfogalmazzuk a szögkeresés alapelvét adott feltételek mellett.

Tudjuk, hogy az egyenes fogalma szorosan összefügg az olyan fogalmakkal, mint az irányvektor és a normálvektor. Ha van egy bizonyos egyenes egyenlete, akkor abból kivehetjük ezen vektorok koordinátáit. Ezt egyszerre két metsző egyenesre is megtehetjük.

A két egymást metsző egyenes által bezárt szög a következőképpen határozható meg:

az irányvektorok közötti szög;
normálvektorok közötti szög;
az egyik egyenes normálvektora és a másik irányvektora közötti szög.

Most nézzük meg az egyes módszereket külön-külön.

1. Tegyük fel, hogy van egy a egyenes a → = (a x, a y) irányvektorral és egy b egyenesünk b → (b x, b y) irányvektorral. Most ábrázoljunk két a → és b → vektort a metszéspontból. Ezek után látni fogjuk, hogy mindegyik a saját egyenes vonalán fog elhelyezkedni. Ezután négy lehetőségünk van a relatív elrendezésükre. Lásd az illusztrációt:

Ha két vektor közötti szög nem tompa, akkor ez lesz az a szög, amelyre szükségünk van az a és b metsző egyenesek között. Ha tompaszögű, akkor a kívánt szög egyenlő lesz az a →, b → ^ szöggel szomszédos szöggel. Így α = a → , b → ^, ha a → , b → ^ ≤ 90 ° , és α = 180 ° - a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90 ° .

Abból kiindulva, hogy egyenlő szögek koszinuszai egyenlők, a kapott egyenlőségeket a következőképpen írhatjuk át: cos α = cos a →, b → ^, ha a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ha a →, b → ^ > 90 °.

A második esetben redukciós képleteket használtunk. És így,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Írjuk le az utolsó képletet szavakkal:

3. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög koszinusza egyenlő lesz az irányvektorai közötti szög koszinuszának modulusával.

A két a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) vektor közötti szög koszinuszának képlete a következőképpen néz ki:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ebből származtathatjuk a két adott egyenes közötti szög koszinuszának képletét:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ezután magát a szöget a következő képlet segítségével találhatja meg:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Itt a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az adott egyenesek irányvektorai.

Mondjunk egy példát a probléma megoldására.

1. példa

Egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egymást metsző a és b egyenes adott. Leírhatók az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R és x 5 = y - 6 - 3 paraméteres egyenletekkel. Számítsa ki e vonalak közötti szöget!

Megoldás

Feltételünkben van egy parametrikus egyenlet, ami azt jelenti, hogy erre az egyenesre azonnal felírhatjuk az irányvektorának koordinátáit. Ehhez meg kell vennünk a paraméter együtthatók értékeit, pl. az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R egyenesnek a → = (4, 1) irányvektora lesz.

A második sort az x 5 = y - 6 - 3 kanonikus egyenlet segítségével írjuk le. Itt vehetjük át a koordinátákat a nevezőkből. Így ennek az egyenesnek van egy irányvektora b → = (5, - 3) .

Ezután közvetlenül a szög meghatározásához lépünk. Ehhez egyszerűen helyettesítsük be a két vektor meglévő koordinátáit a fenti α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 képletbe. A következőket kapjuk:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Válasz: Ezek az egyenesek 45 fokos szöget zárnak be.

Hasonló problémát megoldhatunk, ha megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget. Ha van egy egyenesünk a normálvektorral n a → = (n a x, n a y) és egy b egyenesünk n b → = (n b x , n b y) normálvektorral, akkor a köztük lévő szög egyenlő lesz n a → és n b → vagy az a szög, amely szomszédos lesz n a →, n b → ^-vel. Ez a módszer a képen látható:

A metsző vonalak és magának a szögnek a koszinuszának kiszámítására szolgáló képletek a normálvektorok koordinátái segítségével a következőképpen néznek ki:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n n x b 2 y 2

Itt n a → és n b → két adott egyenes normálvektorát jelöli.

2. példa

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egyenest adunk meg a 3 x + 5 y - 30 = 0 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletekkel. Határozza meg a köztük lévő szög szinuszát és koszinuszát, valamint magának a szögnek a nagyságát.

Megoldás

Az eredeti sorokat az A x + B y + C = 0 formájú normál egyenes egyenletekkel határozzuk meg. A normálvektort n → = (A, B) alakban jelöljük. Keressük meg az első normálvektor koordinátáit egy egyenesre, és írjuk fel: n a → = (3, 5) . Az x + 4 y - 17 = 0 második sor esetén a normálvektor koordinátái n b → = (1, 4). Most adjuk hozzá a kapott értékeket a képlethez, és számítsuk ki az összeget:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ha ismerjük egy szög koszinuszát, akkor a trigonometrikus alapazonosság segítségével ki tudjuk számítani a szinuszát. Mivel az egyenesek által alkotott α szög nem tompa, ezért sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Ebben az esetben α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Válasz: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Elemezzük az utolsó esetet - az egyenesek közötti szög megállapítását, ha ismerjük az egyik egyenes irányvektorának és a másik normálvektorának koordinátáit.

Tegyük fel, hogy az a egyenesnek van a → = (a x, a y) irányvektora, a b egyenesnek pedig n b → = (n b x, n b y) normálvektora. Ezeket a vektorokat félre kell tennünk a metszésponttól, és meg kell fontolnunk az összes lehetőséget a relatív helyzetükhöz. Lásd a képen:

Ha az adott vektorok közötti szög nem nagyobb, mint 90 fok, akkor kiderül, hogy az a és b közötti szöget derékszögre egészíti ki.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ha a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ha 90 foknál kisebb, akkor a következőket kapjuk:

a → , n b → ^ > 90 ° , majd a → , n b → ^ = 90 ° + α

Az egyenlő szögű koszinuszok egyenlőségének szabályával ezt írjuk:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° esetén.

cos a → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90° esetén.

És így,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Fogalmazzuk meg a következtetést.

4. definíció

A síkon metsző két egyenes közötti szög szinuszának meghatározásához ki kell számítanunk az első egyenes irányvektora és a második normálvektora közötti szög koszinuszának modulusát.

Írjuk fel a szükséges képleteket. Egy szög szinuszának megtalálása:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Magának a szögnek a megkeresése:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itt a → az első sor irányvektora, és n b → a második sor normálvektora.

3. példa

Két egymást metsző egyenest az x - 5 = y - 6 3 és az x + 4 y - 17 = 0 egyenletek adnak meg. Keresse meg a metszésszöget.

Megoldás

A megadott egyenletekből vesszük a vezető és normálvektor koordinátáit. Kiderül, hogy a → = (- 5, 3) és n → b = (1, 4). Vegyük az α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 képletet, és kiszámoljuk:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az egyenleteket az előző feladatból vettük, és pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de eltérő módon.

Válasz:α = a r c sin 7 2 34

Mutassunk be egy másik módot a kívánt szög meghatározására adott egyenesek szögegyütthatói segítségével.

Van egy a egyenes, amelyet téglalap alakú koordinátarendszerben definiálunk az y = k 1 x + b 1 egyenlet segítségével, és egy b egyenes, amelyet y = k 2 x + b 2 definícióval definiálunk. Ezek egyenesek és lejtős egyenletek. A metszésszög meghatározásához a következő képletet használjuk:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, ahol k 1 és k 2 az adott egyenesek meredeksége. Ennek a rekordnak a megszerzéséhez képleteket használtunk a szög meghatározására a normálvektorok koordinátáin keresztül.

4. példa

A síkban két metsző egyenes van, amelyeket az y = - 3 5 x + 6 és y = - 1 4 x + 17 4 egyenletek adnak meg. Számítsa ki a metszésszög értékét!

Megoldás

Egyeneseink szögegyütthatói k 1 = - 3 5 és k 2 = - 1 4. Adjuk hozzá őket az α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 képlethez, és számítsuk ki:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Válasz:α = a r c cos 23 2 34

A bekezdés következtetéseiben meg kell jegyezni, hogy az itt megadott szögkereső képleteket nem kell fejből megtanulni. Ehhez elegendő, ha ismerjük adott egyenesek vezetőinek és/vagy normálvektorainak koordinátáit, és meg tudjuk határozni azokat különböző típusú egyenletekkel. De jobb emlékezni vagy leírni a szög koszinuszának kiszámítására szolgáló képleteket.

Hogyan számítsuk ki a térben metsző vonalak közötti szöget

Egy ilyen szög kiszámítása az irányvektorok koordinátáinak kiszámítására és az ezen vektorok által alkotott szög nagyságának meghatározására redukálható. Az ilyen példák esetében ugyanazt az érvelést használjuk, mint amit korábban adtunk.

Tegyük fel, hogy van egy háromdimenziós térben elhelyezkedő téglalap alakú koordinátarendszerünk. Két a és b egyenest tartalmaz egy M metszésponttal. Az irányvektorok koordinátáinak kiszámításához ismernünk kell ezen egyenesek egyenleteit. Jelöljük az a → = (a x, a y , a z) és b → = (b x, b y, b z) irányvektorokat. A köztük lévő szög koszinuszának kiszámításához a következő képletet használjuk:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

A szög meghatározásához a következő képletre van szükségünk:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. példa

Van egy háromdimenziós térben definiált egyenesünk az x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 egyenlet segítségével. Ismeretes, hogy az O z tengellyel metszi. Számítsa ki a metszésszöget és ennek a szögnek a koszinuszát!

Megoldás

Jelöljük α betűvel a kiszámítandó szöget. Írjuk fel az első egyenes irányvektorának koordinátáit – a → = (1, - 3, - 2) . Az alkalmazási tengelyhez a k → = (0, 0, 1) koordinátavektort vehetjük útmutatónak. Megkaptuk a szükséges adatokat, és hozzáadhatjuk a kívánt képlethez:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ennek eredményeként azt találtuk, hogy a szükséges szög egyenlő lesz a r c cos 1 2 = 45 °-kal.

Válasz: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ó-ó-ó-ó-ó... hát ez kemény, mintha egy mondatot olvasna fel magának =) A lazítás azonban később segít, főleg, hogy ma megvettem a megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, hogy a cikk végére megtartom a vidám hangulatot.

Két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete

Ez az a helyzet, amikor a közönség kórusban énekel. Két egyenes lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : Kérjük, emlékezzen a matematikai metszéspontra, nagyon gyakran fog megjelenni. A jelölés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy olyan „lambda” szám, amelyre az egyenlőségek teljesülnek

Tekintsük az egyeneseket, és készítsünk három egyenletet a megfelelő együtthatókból: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg –1-gyel (előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel vágva ugyanazt az egyenletet kapod: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , De.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Ez azonban teljesen nyilvánvaló.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, azaz NINCS olyan „lambda”-érték, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert hozunk létre:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , ami azt jelenti a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati problémáknál használhatja az imént tárgyalt megoldási sémát. Egyébként nagyon emlékeztet a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmusra, amit az órán megnéztünk A vektorok lineáris (függetlenségének) fogalma. A vektorok alapja. De van egy civilizáltabb csomagolás is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre kirakok egy követ táblákkal a kereszteződésbe:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kashcsejhez, a Halhatatlanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy egybeesnek. Itt nem kell a meghatározót számolni.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, és .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

És így,

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezen vektorok koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A „lambda” arányossági együttható jól látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta), hogy a szóban megvitatott problémát szó szerint, pillanatok alatt megoldja. Ebben a tekintetben nem látom értelmét, hogy bármit is ajánljak egy független megoldásért, jobb, ha egy másik fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan készítsünk egy adott vonallal párhuzamos egyenest?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelöljük az ismeretlen sort a betűvel. Mit mond róla az állapot? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a „tse” egyenes irányvektora a „de” egyenes megszerkesztésére is alkalmas.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai tesztelés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy a vonalak irányvektora azonos (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

A legtöbb esetben az analitikus tesztelés könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan meghatározzák az egyenesek párhuzamosságát minden rajz nélkül.

Az önálló megoldások példái ma kreatívak lesznek. Mert akkor is versenyeznie kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle rejtvények szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem is annyira racionális módja a megoldásnak. A legrövidebb út a lecke végén van.

Kicsit dolgoztunk párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely nagyon ismerős az iskolai tantervből:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Tessék két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer geometriai jelentése- ez két metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot:

Itt van a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit a vonal minden egyenletébe, és ott és ott is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Lényegében egy grafikus megoldást néztünk meg lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy időbe telik egy helyes és PONTOS rajz elkészítése. Ráadásul néhány egyenest nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban található a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb az analitikus módszerrel megkeresni a metszéspontot. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek tagonkénti összeadásának módszerét alkalmaztuk. A releváns készségek fejlesztéséhez vegyen leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak meg kell felelniük a rendszer minden egyenletének.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatot kényelmes több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Hozzon létre egy egyenes egyenletet!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén:

Még egy pár cipő sem volt elkopva, mielőtt a lecke második részéhez értünk:

Merőleges vonalak. Távolság egy ponttól egy vonalig.
Szög egyenesek között

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell ezzel párhuzamos egyenest építeni, most pedig a csirkecombokon lévő kunyhó 90 fokkal elfordul:

Hogyan készítsünk egy adott vonalra merőleges egyenest?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írjon fel egy egyenletet, amely merőleges a ponton átmenő egyenesre!

Megoldás: Feltétel alapján ismert, hogy . Jó lenne megtalálni a vonal irányító vektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: , amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pont és egy irányvektor segítségével:

Válasz:

Bővítsük ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Az egyenletekből kivesszük az irányvektorokat és a segítségével vektorok skaláris szorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

A teszt ismét könnyen elvégezhető szóban.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és időszak.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatnak több cselekvése is van, így célszerű pontról pontra megfogalmazni a megoldást.

Izgalmas utunk folytatódik:

Távolság ponttól vonalig

Előttünk a folyó egyenes sávja, a feladatunk, hogy a legrövidebb úton jussunk el hozzá. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőleges mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A geometriában a távolságot hagyományosan a görög „rho” betűvel jelölik, például: – az „em” pont és a „de” egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Készítsük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. = 1 cm (2 cella), akkor a távolság közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon a rajzon:

A feladat egy olyan pont koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom, hogy a lépéseket saját maga hajtsa végre, de felvázolom a megoldási algoritmust köztes eredményekkel:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges az egyenesre!

2) Keresse meg a vonalak metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei találunk .

Érdemes lenne ellenőrizni, hogy a távolság is 2,2 egység legyen.

Számítási nehézségek adódhatnak itt, de a toronyban nagy segítség a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a közönséges törtek kiszámítását. Sokszor tanácsoltam már, és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy újabb példa arra, hogy döntsön egyedül. Adok egy kis tippet: végtelenül sokféleképpen lehet ezt megoldani. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha megpróbálod magad kitalálni, szerintem a találékonyságod jól fejlődött.

Szög két egyenes között

Minden sarok egy karám:

A geometriában két egyenes közötti szöget a KISEBB szögnek vesszük, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És a „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú"málna" sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Irányultság. Először is alapvetően fontos a szög „görgetési” iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt el? Úgy tűnik, a szokásos szögfogalommal boldogulunk. Az a helyzet, hogy azok a képletek, amelyekkel szögeket keresünk, könnyen negatív eredményt eredményezhetnek, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A rajzon negatív szög esetén feltétlenül jelölje a tájolását nyíllal (óramutató járásával megegyező irányba).

Hogyan lehet megtalálni a szöget két egyenes között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

MegoldásÉs 1. módszer

Tekintsünk két, általános formában egyenletekkel meghatározott egyenest:

Ha egyenes nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányító vektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője nulla lesz, és a vektorok merőlegesek, az egyenesek pedig merőlegesek lesznek. Éppen ezért fenntartással éltek az egyenesek nem merőlegességével kapcsolatban a megfogalmazásban.

A fentiek alapján célszerű a megoldást két lépésben formalizálni:

1) Számítsuk ki az egyenesek irányvektorainak skaláris szorzatát:
, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem merőlegesek.

2) Keresse meg az egyenesek közötti szöget a következő képlet segítségével:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd. Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

Válaszában megadjuk a pontos értéket, valamint egy hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, mínusz, nem nagy ügy. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladatfelvetésben az első szám egy egyenes, és a szög „kicsavarása” pontosan ezzel kezdődött.

Ha valóban pozitív szöget szeretne kapni, akkor fel kell cserélnie a vonalakat, vagyis ki kell vennie az együtthatókat a második egyenletből , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket rendre az egyenletek határoznak meg:

Alatt szög két sík között fogjuk érteni az e síkok által alkotott kétszögek egyikét. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a feltüntetett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mert És , Azt

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordináták együtthatói arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

És így, .

Példák.

EGYENES A TÉRBEN.

VEKTOREGYENLET EGY VONALRA.

PARAMÉTERES KÖZVETLEN EGYENLETEK

Egy vonal helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Egy egyenessel párhuzamos vektort nevezünk útmutatók ennek a vonalnak a vektora.

Tehát hagyja az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1), a vektorral párhuzamos egyenesen fekszik.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrából jól látszik, hogy .

A és a vektorok kollineárisak, tehát van egy ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. Miután kijelöltük a pontok sugárvektorait M 1 és M illetőleg a és -on keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlete. Azt mutatja, hogy minden paraméter értékénél t valamely pont sugárvektorának felel meg M, egyenes vonalon fekve.

Írjuk fel ezt az egyenletet koordináta alakban. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletei.

Paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés időszak M egyenes vonalban mozog.

A KÖZVETLEN KANONIKUS EGYENLETEI

Hadd M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Vegyünk ismét egy tetszőleges pontot az egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a vektorok is kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük, ezért

– kánoni egyenes egyenletei.

1. megjegyzés. Vegyük észre, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával nyerhetők ki t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres formában.

Jelöljük , innen x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Jegyzet 2. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, ennélfogva, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei a formát öltik

A paraméter kizárása az egyenletek közül t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan a formába írjuk . Így, ha az egyik tört nevezője nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóan a kanonikus egyenletekhez a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos a tengellyel Oz.

Példák.

AZ EGYENES ÁLTALÁNOS EGYENLETEI KÉT SÍK METSZÉSZEGYENLETEI

A térben minden egyenesen számtalan sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Következésképpen bármely két ilyen sík egyenlete együttesen reprezentálja ennek az egyenesnek az egyenleteit.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszéspontjuk egyenesét. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszen meg egy egyenest az egyenletekkel

Egy egyenes megszerkesztéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja egy egyenes és a koordinátasík metszéspontjának kiválasztása. Például a síkkal való metszéspont xOy az egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Miután megoldottuk ezt a rendszert, megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből tovább lehet lépni annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találni egy pontot M 1 egy egyenesen és egy egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et ebből az egyenletrendszerből kapjuk, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorán túl l felveheti a normálvektorok vektorszorzatát:

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressünk egy pontot, amely egy vonalon fekszik. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Ennélfogva, l: .

SZÖG AZ EGYENESEK KÖZÖTT

Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két sort a térben:

Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kapjuk

Adjunk meg két l és m egyenest egy derékszögű koordinátarendszerben egy síkon általános egyenletekkel: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Normálvektorok ezekre a sorokra: = (A 1 , B 1) – l egyenesre,

= (A 2 , B 2) – m sorba.

Legyen j az l és m egyenesek közötti szög.

Mivel az egymásra merőleges oldalú szögek vagy egyenlőek, vagy összeadódnak p-vel, akkor , azaz cos j = .

Tehát bebizonyítottuk a következő tételt.

Tétel. Legyen j a síkon két egyenes közötti szög, és ezeket az egyeneseket a derékszögű koordinátarendszerben az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 általános egyenletekkel határozzuk meg. = 0. Ekkor cos j = .

Feladatok.

1) Készítsen képletet az egyenesek közötti szög kiszámításához, ha:

(1) mindkét vonal paraméteresen van megadva; (2) mindkét egyenest kanonikus egyenletek adják meg; (3) az egyik sort paraméteresen, a másik sort egy általános egyenlet határozza meg; (4) mindkét egyenest egy szögegyenlettel adjuk meg.

2) Legyen j egy síkon két egyenes közötti szög, és ezek az egyenesek derékszögű koordinátarendszerben az y = k 1 x + b 1 és y =k 2 x + b 2 egyenletekkel határozhatók meg.

Ekkor tan j = .

3) Fedezze fel két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét, amelyeket általános egyenletek adnak meg a derékszögű koordinátarendszerben, és töltse ki a táblázatot:

Egy pont és egy egyenes távolsága egy síkon.

Adjuk meg az l egyenest a derékszögű koordinátarendszerben egy síkon az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Határozzuk meg az M(x 0 , y 0) pont és az l egyenes távolságát.

Az M pont és az l egyenes távolsága a HM merőleges hossza (H О l, HM ^ l).

Az l egyenes vektora és normálvektora kollineáris, tehát | | = | | | | és | | = .

Legyenek a H pont koordinátái (x,y).

Mivel a H pont az l egyeneshez tartozik, akkor Ax + By + C = 0 (*).

A vektorok koordinátái és: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax – By, lásd (*))

Tétel. Adjuk meg az l egyenest a derékszögű koordinátarendszerben az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Ekkor az M(x 0 , y 0) pont és az egyenes távolságát a következő képlettel számítjuk ki: r ( M; l) = .

Feladatok.

1) Készítsen képletet egy pont és egy egyenes távolságának kiszámítására, ha: (1) az egyenes paraméteresen van megadva; (2) az egyenest a kanonikus egyenletek kapják; (3) az egyenest egy szögtényezős egyenlet adja meg.

2) Írja fel a 3x – y = 0 egyenest érintő kör egyenletét, amelynek középpontja a Q(-2,4) pontban van.

3) Írja fel a 2x + y - 1 = 0 és x + y + 1 = 0 egyenesek metszéspontja által alkotott szögeket osztó egyenesek egyenleteit!

27. § A térbeli sík elemző meghatározása

Meghatározás. A sík normálvektora nem nulla vektort fogunk hívni, amelynek bármely képviselője merőleges egy adott síkra.

Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy ha a vektor legalább egy képviselője merőleges a síkra, akkor a vektor összes többi képviselője merőleges erre a síkra.

Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer a térben.

Legyen adott egy sík, = (A, B, C) – ennek a síknak a normálvektora, az M (x 0 , y 0 , z 0) pont az a síkhoz tartozik.

Az a sík bármely N(x, y, z) pontjára a és vektorok merőlegesek, azaz skaláris szorzatuk nullával egyenlő: = 0. Írjuk fel az utolsó egyenlőséget koordinátákkal: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Legyen -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, akkor Ax + By + Cz + D = 0.

Vegyünk egy K (x, y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D = 0. Mivel D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, akkor A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Mivel az irányított szakasz koordinátái = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy ^, és ezért K О a.

Tehát bebizonyítottuk a következő tételt:

Tétel. Egy derékszögű koordinátarendszerben a tér bármely síkja megadható az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) egyenlettel, ahol (A, B, C) a a normálvektor koordinátáit erre a síkra.

Ennek az ellenkezője is igaz.

Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenlet a derékszögű koordinátarendszerben egy bizonyos síkot határoz meg, és (A, B, C) a normál koordinátái. vektor ehhez a síkhoz.

Bizonyíték.

Vegyünk egy M pontot (x 0, y 0, z 0) úgy, hogy Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 és vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

Egy sík (és csak egy) halad át a vektorra merőleges M ponton. Az előző tétel szerint ezt a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 egyenlet adja.

Meghatározás. Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenletet nevezzük. általános síkegyenlet.

Példa.

Írjuk fel az M (0,2,4), N (1,-1,0) és K (-1,0,5) pontokon átmenő sík egyenletét!

1. Határozza meg a normálvektor koordinátáit a síkra (MNK)! Mivel a vektorszorzat ´ ortogonális a és nem kollineáris vektorokra, akkor a vektor kollineáris ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Tehát normálvektorként az = (-11, 3, -5) vektort vesszük.

2. Használjuk most az első tétel eredményeit:

ennek a síknak az egyenlete A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, ahol (A, B, C) a normálvektor koordinátái, (x 0 , y 0 , z 0) – a síkban elhelyezkedő pont koordinátái (például M pont).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Válasz: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Feladatok.

1) Írja fel a sík egyenletét, ha

(1) a sík az M (-2,3,0) ponton halad át párhuzamosan a 3x + y + z = 0 síkkal;

(2) a sík tartalmazza az (Ox) tengelyt, és merőleges az x + 2y – 5z + 7 = 0 síkra.

2) Írja fel a három megadott ponton áthaladó sík egyenletét!

28. § A féltér analitikai meghatározása*

Megjegyzés*. Valami síkot javítsanak ki. Alatt féltér egy adott sík egyik oldalán fekvő pontok halmazát fogjuk érteni, azaz két pont ugyanabban a féltérben van, ha az őket összekötő szakasz nem metszi az adott síkot. Ezt a síkot hívják ennek a féltérnek a határa. Ennek a síknak és a féltérnek az unióját nevezzük zárt féltér.

Legyen egy derékszögű koordináta-rendszer rögzítve a térben.

Tétel. Adjuk meg az a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 általános egyenlettel. Ekkor annak a két féltérnek az egyikét, amelyekre az a sík felosztja, az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja meg. , a második félteret pedig az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja< 0.

Bizonyíték.

Ábrázoljuk az = (A, B, C) normálvektort az a síkra az ezen a síkon fekvő M (x 0, y 0, z 0) pontból: = , M О a, MN ^ a. A sík két féltérre osztja a teret: b 1 és b 2. Nyilvánvaló, hogy az N pont e félterek egyikéhez tartozik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy N О b 1 .

Bizonyítsuk be, hogy a b 1 félteret az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség határozza meg.

1) Vegyünk egy K(x,y,z) pontot a b 1 féltérben. Az Ð NMK szög a vektorok és - hegyesszög közötti szög, ezért ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata pozitív: > 0. Írjuk fel ezt az egyenlőtlenséget koordinátákba: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, azaz Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Mivel M О b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, ezért -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Ezért az utolsó egyenlőtlenség a következőképpen írható fel: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Vegyünk egy L(x,y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D > 0.

Írjuk át az egyenlőtlenséget úgy, hogy D helyett (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (mivel M О b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Az (x - x 0,y - y 0, z - z 0) koordinátákkal rendelkező vektor egy vektor, így az A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) kifejezés vektorok skaláris szorzataként értelmezhető. Mivel a és vektorok skaláris szorzata pozitív, a köztük lévő szög hegyesszögű és az L О b 1 pont.

Hasonlóképpen bebizonyíthatjuk, hogy a b 2 félteret az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja.< 0.

Megjegyzések.

1) Nyilvánvaló, hogy a fenti bizonyítás nem függ az a sík M pontjának megválasztásától.

2) Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a féltér különböző egyenlőtlenségekkel definiálható.

Ennek az ellenkezője is igaz.

Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D > 0 (vagy Ax + By + Cz + D) alakú lineáris egyenlőtlenség< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Bizonyíték.

Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) egyenlet a térben egy bizonyos a síkot határoz meg (lásd § ...). Ahogy az előző tételben bebizonyosodott, a két féltér közül az egyiket, amelyre a sík felosztja, az Ax Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja.

Megjegyzések.

1) Nyilvánvaló, hogy egy zárt féltér definiálható egy nem szigorú lineáris egyenlőtlenséggel, és bármely nem szigorú lineáris egyenlőtlenség a Descartes-koordináta-rendszerben egy zárt félteret határoz meg.

2) Bármely konvex poliéder definiálható zárt félterek metszéspontjaként (amelyek határai a poliéder lapjait tartalmazó síkok), vagyis analitikusan - lineáris, nem szigorú egyenlőtlenségek rendszerével.

Feladatok.

1) Bizonyítsa be egy tetszőleges affin koordináta-rendszerre bemutatott két tételt!

2) Megfordítva igaz-e, hogy bármely nem szigorú lineáris egyenlőtlenség-rendszer meghatároz egy konvex sokszöget?

Gyakorlat.

1) Vizsgálja meg két általános egyenletekkel meghatározott sík egymáshoz viszonyított helyzetét a derékszögű koordinátarendszerben, és töltse ki a táblázatot!

Ezzel az online számológéppel megtalálhatja az egyenesek közötti szöget. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. Az egyenesek közötti szög kiszámításához állítsa be a méretet (2, ha egy síkon lévő egyenest vesszük figyelembe, 3, ha térbeli egyenest vesszük figyelembe), írja be az egyenlet elemeit a cellákba, és kattintson a „Megoldás” gombra. gomb. Lásd alább az elméleti részt.

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b (b>0) egész vagy tizedes. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

1. Egy síkon lévő egyenesek közötti szög

Az egyeneseket kanonikus egyenletek határozzák meg

1.1. Az egyenesek közötti szög meghatározása

Hagyja a vonalakat kétdimenziós térben L 1 és L

Így az (1.4) képletből megtalálhatjuk az egyenesek közötti szöget L 1 és L 2. Amint az 1. ábrán látható, a metsző vonalak szomszédos szögeket alkotnak φ És φ 1 . Ha a talált szög nagyobb, mint 90°, akkor megtalálhatja az egyenesek közötti minimális szöget L 1 és L 2: φ 1 =180-φ .

Az (1.4) képletből levezethetjük két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételeit.

Példa 1. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

1.2. Párhuzamos vonalak feltétele

Hadd φ =0. Akkor cosφ=1. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

2. példa: Határozza meg, hogy az egyenesek párhuzamosak-e

Az (1.9) egyenlőség teljesül, ezért az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

1.3. A vonalak merőlegességének feltétele

Hadd φ =90°. Akkor cosφ=0. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

3. példa Határozza meg, hogy az egyenesek merőlegesek-e

Az (1.13) feltétel teljesül, ezért az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

A vonalakat általános egyenletek határozzák meg

1.4. Az egyenesek közötti szög meghatározása

Legyen két egyenes vonal L 1 és L 2 általános egyenletek adják meg

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából a következőt kapjuk:

4. példa Keresse meg a vonalak közötti szöget

Értékek helyettesítése A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1,23), kapjuk:

Ez a szög nagyobb, mint 90°. Határozzuk meg az egyenesek közötti minimális szöget. Ehhez vonja le ezt a szöget 180-ból:

Másrészt a párhuzamos egyenesek feltétele L 1 és L 2 ekvivalens a vektorok kollinearitási feltételével n 1 és n 2, és így ábrázolható:

Az (1,24) egyenlőség teljesül, ezért az (1,26) és (1,27) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

1.6. A vonalak merőlegességének feltétele

A vonalak merőlegességének feltétele L 1 és L 2 helyettesítéssel kinyerhető az (1.20) képletből kötözősaláta(φ )=0. Ezután a skalárszorzat ( n 1 ,n 2)=0. Ahol

Az (1,28) egyenlőség teljesül, ezért az (1,29) és (1,30) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.