Ahhoz, hogy magabiztosan érezzük magunkat és sikeresen megoldjuk a feladatokat a geometria órákon, nem elég megtanulni a képleteket. Először is meg kell őket érteni. Félni, és még inkább utálni a képletektől, terméketlen. Ez a cikk elérhető nyelven elemzi a trapéz területének megtalálásának különféle módjait. A megfelelő szabályok és tételek jobb megértése érdekében figyelmet fordítunk a tulajdonságaira. Ez segít megérteni, hogyan működnek a szabályok, és milyen esetekben kell bizonyos képleteket alkalmazni.

Trapéz meghatározása

Összességében milyen figura ez? A trapéz egy sokszög, amelynek négy sarka és két párhuzamos oldala van. A trapéz másik két oldala eltérő szögben dönthető. Párhuzamos oldalait alapoknak nevezzük, a nem párhuzamos oldalakra pedig az „oldalak” vagy „csípők” elnevezést használják. Az ilyen alakok meglehetősen gyakoriak a mindennapi életben. A trapéz körvonalai a ruhák, belső tárgyak, bútorok, edények és sok más sziluettjein láthatók. Különböző típusú trapézok léteznek: skála, egyenlő oldalú és téglalap alakú. Típusukat és tulajdonságaikat a cikk későbbi részében részletesebben megvizsgáljuk.

A trapéz tulajdonságai

Hadd tartsuk röviden ennek az ábrának a tulajdonságait. A bármely oldallal szomszédos szögek összege mindig 180°. Meg kell jegyezni, hogy a trapéz összes szöge 360°-ot tesz ki. A trapéznek a középvonal fogalma van. Ha az oldalak felezőpontjait összeköti egy szegmenssel, ez lesz a középvonal. Kijelölése m. A középső vonalnak fontos tulajdonságai vannak: mindig párhuzamos az alapokkal (emlékezzünk arra, hogy az alapok is párhuzamosak egymással), és egyenlő a félösszegükkel:

Ezt a meghatározást meg kell tanulni és megérteni, mert ez a kulcsa sok probléma megoldásának!

A trapéz segítségével a magasságot mindig az alapig csökkentheti. A magasság egy merőleges, amelyet gyakran h szimbólummal jelölnek, és amelyet az egyik bázis bármely pontjáról egy másik bázisra vagy annak kiterjesztésére húznak. A középvonal és a magasság segít megtalálni a trapéz területét. Az ilyen jellegű problémák a leggyakrabban az iskolai geometria szakon fordulnak elő, és rendszeresen megjelennek a teszt- és vizsgadolgozatok között.

A trapéz területének legegyszerűbb képlete

Nézzük meg a két legnépszerűbb és legegyszerűbb képletet, amelyeket a trapéz területének meghatározására használnak. Elegendő a magasságot megszorozni az alapok összegének felével, hogy könnyen megtalálja, amit keres:

S = h*(a + b)/2.

Ebben a képletben a, b jelöli a trapéz alapjait, h - a magasság. Az áttekinthetőség kedvéért ebben a cikkben a szorzójeleket egy szimbólummal (*) jelöljük a képletekben, bár a hivatalos kézikönyvekben a szorzójelet általában elhagyják.

Nézzünk egy példát.

Adott: egy trapéz, amelynek két alapja 10 és 14 cm, a magassága 7 cm Mekkora a trapéz területe?

Nézzük a megoldást erre a problémára. Ezzel a képlettel először meg kell találni az alapok félösszegét: (10+14)/2 = 12. Tehát a félösszeg egyenlő 12 cm-rel. Most megszorozzuk a félösszeget a magassággal: 12*7 = 84. Amit keresünk, az megtalálható. Válasz: A trapéz területe 84 négyzetméter. cm.

A második jól ismert képlet szerint a trapéz területe egyenlő a trapéz középvonalának és magasságának szorzatával. Vagyis tulajdonképpen a középvonal korábbi fogalmából következik: S=m*h.

Átlók használata számításokhoz

A trapéz területének megtalálásának másik módja valójában nem olyan bonyolult. Átlóihoz kapcsolódik. Ezzel a képlettel a terület meghatározásához meg kell szorozni az átlók félszorzatát (d 1 d 2) a köztük lévő szög szinuszával:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Tekintsünk egy problémát, amely bemutatja ennek a módszernek az alkalmazását. Adott: egy trapéz, amelynek átlóinak hossza 8, illetve 13 cm. Az átlók közötti a szög 30°. Keresse meg a trapéz területét.

Megoldás. A fenti képlet segítségével könnyen kiszámítható, hogy mire van szükség. Mint tudod, a sin 30° 0,5. Ezért S = 8*13*0,5=52. Válasz: a terület 52 négyzetméter. cm.

Egy egyenlő szárú trapéz területének meghatározása

A trapéz lehet egyenlő szárú (egyenlő szárú). Oldalai azonosak, az alapoknál a szögek egyenlőek, amit az ábra is jól szemléltet. Az egyenlő szárú trapéz ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a hagyományos trapéz, plusz számos speciális tulajdonsággal rendelkezik. Egy egyenlő szárú trapéz köré kör írható, azon belül pedig kör írható be.

Milyen módszerek léteznek egy ilyen szám területének kiszámítására? Az alábbi módszer sok számítást igényel. Használatához ismernie kell a trapéz alapjában lévő szög szinuszának (sin) és koszinuszának (cos) értékét. Kiszámításukhoz Bradis táblákra vagy mérnöki számológépre van szüksége. Íme a képlet:

S= c*bűn a*(a - c*kötözősaláta a),

Ahol Val vel- oldalsó comb, a- szög az alsó alapnál.

Az egyenlő oldalú trapéz átlói egyenlő hosszúak. Ez fordítva is igaz: ha egy trapéznak egyenlő átlói vannak, akkor egyenlő szárú. Ezért a következő képlet segít megtalálni a trapéz területét - az átlók négyzetének és a köztük lévő szög szinuszának fele szorzata: S = ½ d 2 sin a.

Egy téglalap alakú trapéz területének meghatározása

A téglalap alakú trapéz speciális esete ismert. Ez egy trapéz, amelynek egyik oldala (a combja) derékszögben csatlakozik az alapokhoz. Szabályos trapéz tulajdonságaival rendelkezik. Ezen kívül van egy nagyon érdekes funkciója. Az ilyen trapéz átlóinak négyzeteinek különbsége megegyezik az alapjainak négyzeteinek különbségével. Ehhez az összes korábban leírt területszámítási módszert használják.

Használjuk a találékonyságot

Van egy trükk, ami segíthet, ha elfelejtünk bizonyos képleteket. Nézzük meg közelebbről, mi az a trapéz. Ha gondolatban részekre osztjuk, ismerős és érthető geometriai formákat kapunk: négyzet vagy téglalap és háromszög (egy vagy kettő). Ha a trapéz magassága és oldalai ismertek, használhatja a háromszög és a téglalap területére vonatkozó képleteket, majd összeadhatja az összes kapott értéket.

Illusztráljuk ezt a következő példával. Adott egy téglalap alakú trapéz. C szög = 45°, A, D szögek 90°. A trapéz felső alapja 20 cm, magassága 16 cm Ki kell számítani az ábra területét.

Ez az ábra nyilvánvalóan egy téglalapból (ha két szög egyenlő 90°-kal) és egy háromszögből áll. Mivel a trapéz téglalap alakú, ezért a magassága megegyezik az oldalával, azaz 16 cm. Van egy téglalapunk, amelynek oldalai 20, illetve 16 cm. Tekintsünk most egy háromszöget, amelynek szöge 45°. Tudjuk, hogy az egyik oldala 16 cm. Mivel ez az oldal a trapéz magassága is (és tudjuk, hogy a magasság derékszögben ereszkedik le az alapra), ezért a háromszög második szöge 90°. Ezért a háromszög fennmaradó szöge 45°. Ennek az a következménye, hogy egy derékszögű egyenlő szárú háromszöget kapunk, melynek két oldala azonos. Ez azt jelenti, hogy a háromszög másik oldala megegyezik a magassággal, azaz 16 cm-rel. Csak ki kell számítani a háromszög és a téglalap területét, és összeadni a kapott értékeket.

Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábai szorzatának felével: S = (16*16)/2 = 128. A téglalap területe egyenlő a szélességének és hosszúságának szorzatával: S = 20*16 = 320. Megtaláltuk a szükséges: a trapéz területe S = 128 + 320 = 448 nm. lásd Könnyen ellenőrizheti magát a fenti képletekkel, a válasz azonos lesz.

A Peak képletet használjuk

S = M/2 + N - 1,

ebben a képletben M a csomópontok száma, azaz. az ábra vonalainak metszéspontjai a cella vonalaival a trapéz határain (narancssárga pontok az ábrán), N az ábrán belüli csomópontok száma (kék pontok). A legkényelmesebb egy szabálytalan sokszög területének megtalálásakor használni. Minél nagyobb azonban az alkalmazott technikák arzenálja, annál kevesebb a hiba, és annál jobbak az eredmények.

Természetesen a közölt információk nem merítik ki a trapéz típusait és tulajdonságait, valamint a terület megtalálásának módszereit. Ez a cikk áttekintést nyújt a legfontosabb jellemzőiről. A geometriai feladatok megoldása során fontos, hogy fokozatosan cselekedjünk, egyszerű képletekkel és problémákkal kezdjünk, következetesen megszilárdítsuk megértésünket, és a komplexitás egy másik szintjére lépjünk.

Összegyűjtve a leggyakoribb képletek segítenek a tanulóknak eligazodni a trapéz területének kiszámításának különféle módjai között, és jobban felkészülni a témával kapcsolatos tesztekre és feladatokra.

Utasítás

Hogy mindkét módszer érthetőbb legyen, hozhatunk néhány példát.

1. példa: a trapéz középvonalának hossza 10 cm, területe 100 cm². A trapéz magasságának meghatározásához a következőket kell tennie:

h = 100/10 = 10 cm

Válasz: ennek a trapéznak a magassága 10 cm

2. példa: a trapéz területe 100 cm², az alapok hossza 8 cm és 12 cm A trapéz magasságának meghatározásához a következő műveletet kell végrehajtania:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Válasz: ennek a trapéznak a magassága 20 cm

jegyzet

Többféle trapéz létezik:
Az egyenlő szárú trapéz olyan trapéz, amelyben az oldalak egyenlőek egymással.
A derékszögű trapéz olyan trapéz, amelynek egyik belső szöge 90 fok.
Érdemes megjegyezni, hogy egy téglalap alakú trapézban a magasság egybeesik az oldal hosszával derékszögben.
Leírhat egy kört egy trapéz körül, vagy illesztheti egy adott alakzatba. Egy kört csak akkor írhatunk be, ha az alapjainak összege egyenlő a szemközti oldalainak összegével. Kör csak egyenlő szárú trapéz körül írható le.

Hasznos tanács

A paralelogramma a trapéz speciális esete, mert a trapéz definíciója semmiképpen sem mond ellent a paralelogramma definíciójának. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak egymással. A trapéz esetében a definíció csak annak egy oldalpárjára vonatkozik. Ezért minden paralelogramma trapéz is. A fordított állítás nem igaz.

Források:

• hogyan találjuk meg a trapézformula területét

2. tipp: Hogyan lehet megtalálni a trapéz magasságát, ha a terület ismert

A trapéz olyan négyszög, amelynek négy oldala közül kettő párhuzamos egymással. A párhuzamos oldalak az adott alapjai, a másik kettő az adott oldaloldalai. trapézok. megtalálja magasság trapézok, ha ismert négyzet, nagyon könnyű lesz.

Utasítás

Ki kell találni, hogyan kell számolni négyzet eredeti trapézok. Erre több képlet is létezik a kiindulási adatoktól függően: S = ((a+b)*h)/2, ahol a és b bázis trapézok, és h a magassága (Height trapézok- merőleges, egyik alapról leeresztve trapézok másikba);
S = m*h, ahol m egyenes trapézok(A középső vonal egy szegmens alapokkal trapézokés oldalainak felezőpontjait összekötve).

Hogy világosabb legyen, hasonló problémákat is figyelembe vehetünk: 1. példa: Adott egy trapéz -val négyzet 68 cm², amelynek középső vonala 8 cm, meg kell találnia magasság adott trapézok. A probléma megoldásához a korábban levezetett képletet kell használnia:
h = 68/8 = 8,5 cm Válasz: ennek magassága trapézok 8,5 cm 2. példa: Legyen y trapézok négyzet 120 cm², ennek alapjainak hossza trapézok 8 cm és 12 cm, meg kell találnia magasság ez trapézok. Ehhez alkalmaznia kell az egyik származtatott képletet:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmVálasz: adott magasság trapézok egyenlő 12 cm-rel

Videó a témáról

jegyzet

Bármely trapéznek számos tulajdonsága van:

A trapéz középvonala egyenlő az alapjai összegének felével;

A trapéz átlóit összekötő szakasz egyenlő az alapjai közötti különbség felével;

Ha az alapok felezőpontjain keresztül egy egyenest húzunk, akkor az metszi a trapéz átlóinak metszéspontját;

Egy kör akkor írható a trapézba, ha a trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével.

Problémamegoldáskor használja ezeket a tulajdonságokat.

3. tipp: Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét, ha az alapok ismertek

Geometriai definíció szerint a trapéz olyan négyszög, amelynek csak egy pár oldala párhuzamos. Ezek az oldalak az övéi okokból. Közötti távolság okokból magasságnak nevezik trapézok. megtalálja négyzet trapézok geometriai képletek segítségével lehetséges.

Utasítás

Mérjük meg az alapokat és trapézok ABCD. Általában feladatokban adják meg. Legyen ebben a példafeladatban az AD (a) bázis trapézok egyenlő lesz 10 cm-rel, BC alap (b) - 6 cm, magasság trapézok BK (h) - 8 cm Használja a geometriát a terület megkereséséhez trapézok, ha ismert alapjainak hossza és magassága - S= 1/2 (a+b)*h, ahol: - a - az alap AD mérete trapézok ABCD, - b - a BC alap értéke, - h - a BK magasság értéke.

Számos módja van a trapéz területének megtalálására. Általában egy matektanár többféle számítási módszert ismer, nézzük meg őket részletesebben:
1) , ahol AD ​​és BC az alapok, BH pedig a trapéz magassága. Bizonyítás: rajzoljuk meg a BD átlót, és fejezzük ki az ABD és CDB háromszögek területét alapjaik és magasságuk félszorzatán keresztül:

, ahol DP a külső magasság in

Adjuk össze ezeket az egyenlőségeket tagonként, és figyelembe véve, hogy a BH és DP magasságok egyenlőek, kapjuk:

Tegyük zárójelbe

Q.E.D.

A trapéz területének képletének következménye:
Mivel az alapok fele összege egyenlő MN-nel - a trapéz középvonalával, akkor

2) A négyszög területére vonatkozó általános képlet alkalmazása.
A négyszög területe egyenlő az átlók szorzatának felével, szorozva a köztük lévő szög szinuszával
Ennek bizonyításához elegendő a trapézt 4 háromszögre osztani, és mindegyik területét kifejezni „az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével” (szögnek véve, a kapott eredményt hozzáadva kifejezéseket, vegye ki őket a zárójelből, és faktorozza ezt a zárójelet a csoportosítási módszerrel, így megkapja a kifejezéssel való egyenlőségét

3) Átlós eltolási módszer
Ez a nevem. Egy matektanár nem találkozik ilyen címsorral az iskolai tankönyvekben. A technika leírása csak további tankönyvekben található példaként a probléma megoldására. Szeretném megjegyezni, hogy a planimetriával kapcsolatos legtöbb érdekes és hasznos tényt a matematika oktatók tárják a hallgatók elé a gyakorlati munka során. Ez rendkívül szuboptimális, mert a tanulónak külön tételekbe kell elkülönítenie őket, és „nagy neveknek” kell neveznie őket. Ezek egyike az „átlós eltolás”. Miről szól? Rajzoljunk AC-vel párhuzamos egyenest a B csúcson keresztül, amíg az E pontban nem metszi az alsó bázist. Ebben az esetben az EBCA négyszög (definíció szerint) paralelogramma lesz, ezért BC=EA és EB=AC. Az első egyenlőség most fontos számunkra. Nekünk van:

Vegye figyelembe, hogy a BED háromszög, amelynek területe megegyezik a trapéz területével, számos figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkezik:
1) Területe megegyezik a trapéz területével
2) Egyenlő szárai a trapéz egyenlő száraival egyidejűleg fordulnak elő
3) Felső szöge a B csúcsnál megegyezik a trapéz átlói közötti szöggel (amit gyakran használnak a feladatokban)
4) BK mediánja egyenlő a trapéz alapjainak felezőpontjai közötti QS távolsággal. Nemrég találkoztam ennek a tulajdonságnak a használatával, amikor egy hallgatót készítettem fel a Moszkvai Állami Egyetem mechanika és matematika szakára Tkachuk tankönyvének 1973-as verziójával (a probléma az oldal alján található).

Speciális technikák egy matektanár számára.

Néha problémákat javasolok egy nagyon trükkös módszerrel a trapéz területének megtalálására. A speciális technikák közé sorolom, mert a gyakorlatban a tutor rendkívül ritkán alkalmazza őket. Ha csak a B részben van szüksége a matematika egységes államvizsgára való felkészülésre, akkor nem kell róluk olvasnia. A többieknek elmondom a továbbiakban. Kiderült, hogy a trapéz területe kétszerese annak a háromszögnek, amelynek az egyik oldala végén és a másik közepén vannak csúcsok, vagyis az ábrán látható ABS háromszög:
Bizonyítás: rajzolja meg az SM és SN magasságokat a BCS és ADS háromszögekbe, és fejezze ki e háromszögek területeinek összegét:

Mivel az S pont a CD felezőpontja, akkor (bizonyítsa be Ön is) a háromszögek területének összegét!

Mivel ez az összeg a trapéz területének felével egyenlő, akkor a második fele. Stb.

Az oktató speciális technikák gyűjteményébe beépíteném az egyenlő szárú trapéz oldalai mentén lévő területének kiszámításának formáját: ahol p a trapéz fél kerülete. Nem adok bizonyítékot. Ellenkező esetben a matektanár munka nélkül marad :). Gyere az osztályba!

Problémák a trapéz területén:

Matek tanári jegyzet: Az alábbi lista nem módszertani kísérőjele a témának, csak egy kis válogatás a fent tárgyalt technikákon alapuló érdekes feladatokból.

1) Egy egyenlő szárú trapéz alsó alapja 13, a felsőé 5. Határozza meg a trapéz területét, ha az átlója merőleges az oldalra.
2) Határozza meg a trapéz területét, ha az alapjai 2 cm és 5 cm, az oldalai pedig 2 cm és 3 cm.
3) Egy egyenlő szárú trapézban a nagyobb alap 11, az oldal 5, az átló pedig a Keresse meg a trapéz területét.
4) Egy egyenlő szárú trapéz átlója 5, a középvonala 4. Keresse meg a területet!
5) Egy egyenlő szárú trapézban az alapok 12 és 20, az átlók pedig egymásra merőlegesek. Számítsa ki a trapéz területét!
6) Egy egyenlő szárú trapéz átlója szöget zár be az alsó alapjával. Határozza meg a trapéz területét, ha magassága 6 cm.
7) A trapéz területe 20, az egyik oldala pedig 4 cm. Határozza meg a távolságot a másik oldal közepétől.
8) Egy egyenlő szárú trapéz átlója háromszögekre osztja, amelyek területe 6 és 14. Határozza meg a magasságot, ha az oldalsó oldala 4!
9) A trapézban az átlók egyenlőek 3-mal és 5-tel, az alapok felezőpontjait összekötő szakasz pedig egyenlő 2-vel. Határozza meg a trapéz területét (Mekhmat MSU, 1970).

Nem a legnehezebb problémákat választottam (ne félj a gépészettől!) azzal az elvárással, hogy ezeket önállóan is meg tudom oldani. Dönts az egészségedért! Ha fel kell készülnie a matematika egységes államvizsgájára, akkor a trapéz terület képletének ebben a folyamatában való részvétel nélkül komoly problémák merülhetnek fel még a B6 és még inkább a C4 problémával. Ne indítsa el a témát, és ha nehézségei vannak, kérjen segítséget. A matematika tanár mindig szívesen segít Önnek.

Kolpakov A.N.
Matematika tanár Moszkvában, felkészülés az egységes államvizsgára Stroginoban.

Mi az egyenlő szárú trapéz? Ez egy geometriai alakzat, amelynek ellentétes, nem párhuzamos oldalai egyenlőek. Számos különböző képlet létezik a trapéz területének meghatározására, különböző feltételekkel, amelyeket a feladatokban adunk meg. Vagyis a terület akkor található, ha megadjuk a magasságot, oldalakat, szögeket, átlókat stb. Nem is beszélve arról, hogy az egyenlő szárú trapézoknál van néhány „kivétel”, aminek köszönhetően a terület keresése és maga a képlet jelentősen leegyszerűsödik. Az alábbiakban minden esetre részletes megoldásokat találunk példákkal.

Az egyenlő szárú trapéz területének megtalálásához szükséges tulajdonságok

Azt már kiderítettük, hogy az a geometriai alakzat, amelynek ellentétes, nem párhuzamos, hanem egyenlő oldalai vannak, trapéz és egyenlő szárú. Vannak speciális esetek, amikor a trapéz egyenlő szárúnak tekinthető.

• Ezek a szögek egyenlőségének feltételei. Tehát egy kötelező pont: az alapnál lévő szögeknek (lásd az alábbi képet) egyenlőnek kell lenniük. Esetünkben BAD szög = CDA szög, ABC szög pedig BCD szög
• A második fontos szabály az, hogy egy ilyen trapézben az átlóknak egyenlőnek kell lenniük. Ezért AC = BD.
• Harmadik szempont: a trapéz ellentétes szögeinek 180 fokot kell összeadniuk. Ez azt jelenti, hogy az ABC szög + CDA szög = 180 fok. Ugyanez vonatkozik a BCD és a BAD szögekre is.
• Negyedszer, ha egy trapéz lehetővé teszi egy kör leírását maga körül, akkor az egyenlő szárú.

Hogyan lehet megtalálni az egyenlő szárú trapéz területét - képletek és leírásaik

• S = (a+b)h/2 a leggyakoribb képlet a terület megtalálására, ahol A - alsó alap, b a felső alap, h pedig a magasság.

• Ha a magasság ismeretlen, akkor egy hasonló képlettel kereshet rá: h = c*sin(x), ahol c vagy AB vagy CD. sin(x) a szög szinusza bármely alapnál, azaz DAB szög = CDA = x szög. Végül a képlet a következő formában jelenik meg: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• A magasság a következő képlettel is meghatározható:

• A végső képlet így néz ki:

• Az egyenlő szárú trapéz területe a középvonalon és a magasságon keresztül található. A képlet a következő: S = mh.

Tekintsük azt a feltételt, amikor egy kör trapézba van írva.

A képen látható esetben

QN = D = H – a kör átmérője és egyben a trapéz magassága;

LO, ON, OQ = R – a kör sugarai;

DC = a – felső alap;

AB = b – alsó bázis;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, béta – a trapéz alapjainak szögei.

Egy hasonló eset lehetővé teszi a terület megtalálását a következő képletekkel:

• Most próbáljuk meg megtalálni a területet az átlók és a köztük lévő szögek révén.

Az ábrán AC, DB – átlók – d jelöljük. Szögek COB, DOB – alfa; DOC, AOB – béta. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög felhasználásával, ( S ) a következő: