Mi a helyes piramisdefiníció. Mitől lesz a piramis geometriai csoda?

Ez az oktatóvideó segít a felhasználóknak abban, hogy képet kapjanak a piramis témáról. Helyes piramis. Ebben a leckében megismerkedünk a piramis fogalmával és definíciót adunk neki. Nézzük meg, mi a szabályos piramis, és milyen tulajdonságai vannak. Ezután bebizonyítjuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt.

Ebben a leckében megismerkedünk a piramis fogalmával és definíciót adunk neki.

Vegyünk egy sokszöget A 1 A 2...A n, amely az α síkban fekszik, és a pont P, amely nem az α síkban fekszik (1. ábra). Kössük össze a pontokat P csúcsokkal A 1, A 2, A 3, … A n. Kapunk n háromszögek: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R stb.

Meghatározás. Poliéder RA 1 A 2 ...A n, következőkből készült n-négyzet A 1 A 2...A nÉs n háromszögek RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 hívják n-szénpiramis. Rizs. 1.

Rizs. 1

Tekintsünk egy négyszög alakú piramist PABCD(2. ábra).

R- a piramis csúcsa.

ABCD- a piramis alapja.

RA- oldalborda.

AB- alapborda.

A lényegtől R ejtsük a merőlegest RN az alapsíkhoz ABCD. A húzott merőleges a piramis magassága.

Rizs. 2

A piramis teljes felülete az oldalfelületből, azaz az összes oldallap területéből és az alapterületből áll:

S teljes = S oldal + S fő

A piramist helyesnek nevezzük, ha:

alapja szabályos sokszög;
a piramis csúcsát az alap középpontjával összekötő szakasz a magassága.

Magyarázat egy szabályos négyszög alakú piramis példáján

Tekintsünk egy szabályos négyszög alakú piramist PABCD(3. ábra).

R- a piramis csúcsa. A piramis alapja ABCD- szabályos négyszög, azaz négyzet. Pont RÓL RŐL, az átlók metszéspontja, a négyzet közepe. Eszközök, RO a piramis magassága.

Rizs. 3

Magyarázat: helyesen n Egy háromszögben a beírt kör középpontja és a körülírt kör középpontja egybeesik. Ezt a középpontot a sokszög középpontjának nevezzük. Néha azt mondják, hogy a csúcs a középpontba van vetítve.

A csúcsából húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotémés ki van jelölve h a.

1. egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő;

2. Az oldallapok egyenlő egyenlő szárú háromszögek.

Ezeket a tulajdonságokat egy szabályos négyszögletű piramis példáján fogjuk bizonyítani.

Adott: PABCD- szabályos négyszög alakú piramis,

ABCD- négyzet,

RO- a piramis magassága.

Bizonyít:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP =∆DAP Lásd az ábrát. 4.

Rizs. 4

Bizonyíték.

RO- a piramis magassága. Vagyis egyenesen RO merőleges a síkra ABC, és ezért közvetlen JSC, VO, SOÉs DO fekve benne. Szóval háromszögek ROA, ROV, ROS, ROD- téglalap alakú.

Vegyünk egy négyzetet ABCD. A négyzet tulajdonságaiból az következik AO = VO = CO = DO.

Aztán a derékszögű háromszögek ROA, ROV, ROS, ROD láb RO- általános és lábak JSC, VO, SOÉs DO egyenlőek, ami azt jelenti, hogy ezek a háromszögek két oldaluk egyenlő. A háromszögek egyenlőségéből következik a szakaszok egyenlősége, RA = PB = RS = PD. Az 1. pont bevált.

Szegmensek ABÉs Nap egyenlőek, mert ugyanazon négyzet oldalai, RA = PB = RS. Szóval háromszögek AVRÉs VSR - egyenlő szárú és három oldala egyenlő.

Hasonló módon megtaláljuk azokat a háromszögeket ABP, VCP, CDP, DAP egyenlő szárúak és egyenlőek, a 2. bekezdésben foglaltak szerint.

A szabályos gúla oldalfelületének területe megegyezik az alap kerülete és az apotém szorzatának felével:

Ennek bizonyítására válasszunk egy szabályos háromszög alakú piramist.

Adott: RAVS- szabályos háromszög alakú piramis.

AB = BC = AC.

RO- magasság.

Bizonyít: . Lásd az ábrát. 5.

Rizs. 5

Bizonyíték.

RAVS- szabályos háromszög alakú piramis. Azaz AB= AC = BC. Hadd RÓL RŐL- a háromszög középpontja ABC, Akkor RO a piramis magassága. A piramis alján egy egyenlő oldalú háromszög található ABC. vegye észre, az .

Háromszögek RAV, RVS, RSA- egyenlő egyenlő szárú háromszögek (tulajdonság szerint). A háromszög alakú piramisnak három oldallapja van: RAV, RVS, RSA. Ez azt jelenti, hogy a piramis oldalfelületének területe:

S oldal = 3S RAW

A tétel bizonyítást nyert.

A szabályos négyszög alakú piramis alapjába írt kör sugara 3 m, a piramis magassága 4 m. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét.

Adott: szabályos négyszög alakú gúla ABCD,

ABCD- négyzet,

r= 3 m,

RO- a piramis magassága,

RO= 4 m.

megtalálja: S oldal. Lásd az ábrát. 6.

Rizs. 6

Megoldás.

A bizonyított tétel szerint .

Először keressük meg az alap oldalát AB. Tudjuk, hogy egy szabályos négyszög alakú gúla alapjába írt kör sugara 3 m.

Aztán m.

Keresse meg a négyzet kerületét ABCD 6 m oldallal:

Tekintsünk egy háromszöget BCD. Hadd M- az oldal közepén DC. Mert RÓL RŐL- középső BD, Azt (m).

Háromszög DPC- egyenlő szárú. M- középső DC. vagyis RM- medián, és ezért a magasság a háromszögben DPC. Akkor RM- a piramis apotémája.

RO- a piramis magassága. Aztán egyenesen RO merőleges a síkra ABC, és ezért közvetlen OM, benne fekszik. Találjuk meg az apotémát RM derékszögű háromszögből ROM.

Most megtaláljuk a piramis oldalfelületét:

Válasz: 60 m2.

A szabályos háromszög alakú gúla alapja körül körülírt kör sugara egyenlő m-rel, oldalfelülete 18 m 2. Keresse meg az apotém hosszát!

Adott: ABCP- szabályos háromszög alakú piramis,

AB = BC = SA,

R= m,

S oldal = 18 m2.

megtalálja: . Lásd az ábrát. 7.

Rizs. 7

Megoldás.

Derékszögű háromszögben ABC A körülírt kör sugara adott. Keressünk egy oldalt AB ez a háromszög a szinusztörvény segítségével.

Egy szabályos háromszög oldalának (m) ismeretében megtaláljuk a kerületét.

A szabályos piramis oldalfelületére vonatkozó tétel szerint, ahol h a- a piramis apotémája. Akkor:

Válasz: 4 m.

Tehát megvizsgáltuk, mi a piramis, mi a szabályos gúla, és bebizonyítottuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt. A következő leckében a csonka piramissal ismerkedünk.

Bibliográfia

Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézményeknek / Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és szakirányú tanulmányozásával /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 008. - 233 p.: ill.

"Yaklass" internetes portál ()
„Szeptember elsejei pedagógiai ötletek fesztiválja” internetes portál ()
„Slideshare.net” internetes portál ()

Házi feladat

Lehet-e szabályos sokszög egy szabálytalan piramis alapja?
Bizonyítsuk be, hogy egy szabályos gúla diszjunkt élei merőlegesek.
Határozzuk meg a szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalán lévő kétszög értékét, ha a gúla apotémje egyenlő az alapja oldalával!
RAVS- szabályos háromszög alakú piramis. Szerkessze meg a diéderszög lineáris szögét a piramis alján!

Hipotézis:úgy gondoljuk, hogy a piramis alakjának tökéletessége az alakjában rejlő matematikai törvényeknek köszönhető.

Cél: Miután megvizsgálta a piramist mint geometriai testet, magyarázza el alakjának tökéletességét.

Feladatok:

1. Adja meg a piramis matematikai definícióját!

2. Tanulmányozza a piramist mint geometriai testet!

3. Értsd meg, milyen matematikai ismereteket építettek be az egyiptomiak piramisaiba.

Privát kérdések:

1. Mi a piramis mint geometriai test?

2. Hogyan magyarázható matematikai szempontból a piramis egyedi alakja?

3. Mi magyarázza a piramis geometriai csodáit?

4. Mi magyarázza a piramis alakjának tökéletességét?

A piramis definíciója.

PIRAMIS (a görög pyramis, gen. pyramidos) - poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig háromszögek, amelyeknek közös csúcsa van (rajz). Az alap sarkainak száma alapján a piramisokat háromszög, négyszög stb.

PIRAMIS - monumentális építmény, amelynek geometriai formája piramis (néha lépcsős vagy torony alakú is). Piramisok az ókori egyiptomi fáraók óriássírjainak elnevezése a Kr.e. 3-2. évezredben. e., valamint az ősi amerikai templomok talapzatai (Mexikóban, Guatemalában, Hondurasban, Peruban), amelyek a kozmológiai kultuszokhoz kapcsolódnak.

Lehetséges, hogy a görög „piramis” szó az egyiptomi per-em-us kifejezésből származik, vagyis a piramis magasságát jelentő kifejezésből. A kiváló orosz egyiptológus, V. Struve úgy vélte, hogy a görög „puram...j” az ókori egyiptomi „p”-mr-ből származik.

A történelemből. Miután tanulmányozta az Atanasyan szerzői „Geometria” tankönyv anyagát. Butuzov és mások, megtudtuk, hogy: Egy poliéder, amely egy n-szögű A1A2A3 ... An és n háromszögből áll, PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, piramisnak nevezzük. Az A1A2A3...An sokszög a piramis alapja, a PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 háromszögek pedig a gúla oldallapjai, P a gúla teteje, PA1, PA2,..., PAn szakaszok az oldalsó élek.

A piramisnak ez a meghatározása azonban nem mindig létezett. Például az ókori görög matematikus, a hozzánk eljutott matematikai elméleti értekezések szerzője, Eukleidész, a piramist olyan szilárd alakként határozza meg, amelyet egy síkból egy pontba konvergáló síkok határolnak.

De ezt a meghatározást már az ókorban is kritizálták. Ezért Heron a piramis következő meghatározását javasolta: „Ez egy olyan alak, amelyet egy pontban összefutó háromszögek határolnak, és amelynek alapja egy sokszög.”

Csoportunk a definíciók összehasonlítása után arra a következtetésre jutott, hogy nincs egyértelmű megfogalmazásuk az „alapítvány” fogalmáról.

Megvizsgáltuk ezeket a definíciókat, és megtaláltuk Adrien Marie Legendre definícióját, aki 1794-ben az „Elements of Geometry” című munkájában a következőképpen definiálja a piramist: „A piramis egy szilárd alak, amelyet egy pontban összefolyó háromszögek alkotnak, amelyek a piramis különböző oldalain végződnek. lapos alap."

Számunkra úgy tűnik, hogy az utolsó meghatározás világos képet ad a piramisról, mivel arról beszél, hogy az alap lapos. A piramis egy másik meghatározása egy 19. századi tankönyvben jelent meg: „a piramis egy térszög, amelyet egy sík metsz”.

Piramis mint geometriai test.

Hogy. A piramis egy poliéder, amelynek egyik lapja (alapja) sokszög, a többi lapja (oldalai) háromszögek, amelyeknek egy közös csúcsa van (a piramis csúcsa).

A piramis tetejétől az alap síkjához húzott merőlegest ún magasságh piramisok.

Az önkényes piramison kívül vannak helyes piramis melynek tövében egy szabályos sokszög és csonka piramis.

Az ábrán egy PABCD piramis látható, az ABCD az alapja, a PO a magassága.

Teljes felület A piramis az összes lapja területének összege.

Sfull = Sside + Smain, Ahol Oldal– az oldallapok területének összege.

A piramis térfogata képlettel találjuk meg:

V=1/3Sbas. h, ahol Sbas. - alapterület, h- magasság.

A szabályos piramis tengelye a magasságát tartalmazó egyenes.
Az Apothem ST egy szabályos gúla oldallapjának magassága.

A szabályos gúla oldalsó felületének területét a következőképpen fejezzük ki: Oldal. =1/2P h, ahol P az alap kerülete, h- az oldallap magassága (egy szabályos piramis apotémája). Ha a piramist az alappal párhuzamos A’B’C’D’ sík metszi, akkor:

1) az oldalbordákat és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;

2) keresztmetszetben egy A’B’C’D’ sokszöget kapunk, hasonlóan az alaphoz;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Csonka piramis alapjai– hasonló ABCD és A`B`C`D` sokszögek, az oldallapok trapézok.

Magasság csonka piramis - az alapok közötti távolság.

Csonka kötet A piramist a következő képlettel találjuk meg:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete a következőképpen fejezzük ki: Sside = ½(P+P') h, ahol P és P’ az alapok kerülete, h- az oldalfelület magassága (egy szabályos csonka pirami apotémája

Egy piramis metszetei.

A piramis csúcsán áthaladó síkok metszetei háromszögek.

A gúla két nem szomszédos oldalélén áthaladó szakaszt nevezzük átlós szakasz.

Ha a szakasz egy ponton halad át az oldalélen és az alap oldalán, akkor a gúla alapjának síkjához vezető nyoma ez az oldal lesz.

A gúla lapján fekvő ponton áthaladó metszet és az alapsíkon egy adott metszetnyom, akkor a konstrukciót a következőképpen kell elvégezni:

· keresse meg egy adott lap síkjának metszéspontját és a gúla metszetének nyomát, és jelölje ki;

· szerkeszteni egy adott ponton átmenő egyenest és a kapott metszéspontot;

· ismételje meg ezeket a lépéseket a következő arcokra.

, ami egy derékszögű háromszög szárainak arányának felel meg 4:3. Ez a lábak aránya megfelel a jól ismert 3:4:5 oldalú derékszögű háromszögnek, amelyet „tökéletes”, „szent” vagy „egyiptomi” háromszögnek neveznek. A történészek szerint az „egyiptomi” háromszög mágikus jelentést kapott. Plutarkhosz azt írta, hogy az egyiptomiak a világegyetem természetét egy „szent” háromszöghöz hasonlították; szimbolikusan hasonlították a függőleges lábat a férjhez, a talpat a feleséghez, a hipotenuszt pedig ahhoz, amely mindkettőből születik.

A 3:4:5 arányú háromszögre igaz az egyenlőség: 32 + 42 = 52, ami a Pitagorasz-tételt fejezi ki. Nem ezt a tételt akarták az egyiptomi papok fenntartani egy piramis felállításával a 3:4:5 háromszög alapján? Nehéz sikeresebb példát találni a Pitagorasz-tétel illusztrálására, amelyet az egyiptomiak már jóval Pitagorasz felfedezése előtt ismertek.

Így az egyiptomi piramisok zseniális alkotói tudásuk mélységével igyekeztek ámulatba ejteni a távoli leszármazottakat, és ezt úgy érték el, hogy a Kheopsz-piramis „fő geometriai ötletének” az „arany” derékszögű háromszöget, a „szent”-et választották. vagy „egyiptomi” a Khafre-piramis.

Kutatásaik során a tudósok nagyon gyakran használják az aranyarány arányú piramisok tulajdonságait.

A matematikai enciklopédikus szótár az Aranymetszet alábbi definícióját adja - ez egy harmonikus felosztás, szélső- és középarányú osztás -, amely az AB szakaszt két részre osztja úgy, hogy a nagyobbik AC része a teljes szegmens arányos átlaga. AB és kisebb része ÉK.

Szakasz aranymetszetének algebrai meghatározása AB = a redukálja az a: x = x: (a – x) egyenlet megoldására, amelyből x megközelítőleg egyenlő 0,62a-val. Az x arány 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 törtként fejezhető ki, ahol 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-számok.

Az AB szakasz aranymetszetének geometriai felépítése a következőképpen történik: a B pontban helyreállítjuk az AB-re merőlegest, ráfektetjük a BE = 1/2 AB szakaszt, A és E összekapcsoljuk, DE = BE elbocsátjuk és végül AC = AD, akkor teljesül az AB egyenlőség: CB = 2:3.

Az aranymetszés gyakran használatos műalkotásokban, építészetben, és megtalálható a természetben is. Élénk példa erre Apollo Belvedere szobra és a Parthenon. A Parthenon építése során az épület magasságának és hosszának arányát használták, ez az arány 0,618. A körülöttünk lévő tárgyak is példát szolgáltatnak az aranyarányra, például sok könyv kötése 0,618-hoz közeli szélesség-hossz arányt mutat. Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények közös szárán, észrevehető, hogy minden két levélpár között a harmadik az Aranymetszetben található (csúszdák). Mindannyian „a kezünkben” hordjuk magunkkal az aranymetszetet - ez az ujjak falánjainak aránya.

Számos matematikai papirusz felfedezésének köszönhetően az egyiptológusok tanultak valamit az ókori egyiptomi számítási és mérési rendszerekről. A bennük foglalt feladatokat írástudók oldották meg. Az egyik leghíresebb a Rhind matematikai papirusz. E problémák tanulmányozása során az egyiptológusok megtudták, hogyan kezelték az ókori egyiptomiak a tömeg, hosszúság és térfogat mértékének kiszámításakor felmerülő különféle mennyiségeket, amelyek gyakran törtszámokat tartalmaztak, valamint hogyan kezelték a szögeket.

Az ókori egyiptomiak egy olyan módszert alkalmaztak a szögszámításra, amely a magasság és a derékszögű háromszög alapja arányán alapult. Bármilyen szöget kifejeztek a színátmenet nyelvén. A lejtő gradienst egész számarányként fejeztük ki, amelyet "szekednek" neveztek. Richard Pillins a Mathematics in the Age of the Pharaohs című művében kifejti: „Egy szabályos piramis hajlásszöge a négy háromszöglap bármelyikének dőlése az alap síkjához képest, a vízszintes egységek n-edik számával mérve függőleges emelkedési egységenként. . Így ez a mértékegység megegyezik a dőlésszög modern kotangensével. Ezért az egyiptomi "szeked" szó rokonságban áll a mi modern "gradiens" szavunkkal.

A piramisok numerikus kulcsa magasságuk alapjához viszonyított arányában rejlik. Gyakorlatilag ez a legegyszerűbb módja a megfelelő dőlésszög folyamatos ellenőrzéséhez szükséges sablonok elkészítésének a piramis építése során.

Az egyiptológusok szívesen meggyőznének bennünket arról, hogy minden fáraó vágyott arra, hogy kifejezze egyéniségét, ebből adódik az egyes piramisok dőlésszögeinek különbsége. De lehet más oka is. Talán mindannyian más-más arányban rejtőzködő szimbolikus asszociációkat akartak megtestesíteni. A Khafre-piramis szöge azonban (a háromszög alapján (3:4:5) megjelenik a Rhind matematikai papirusz piramisai által bemutatott három feladatban). Tehát ezt a hozzáállást jól ismerték az ókori egyiptomiak.

Hogy igazságosak legyünk az egyiptológusokkal szemben, akik azt állítják, hogy az ókori egyiptomiak nem voltak tudatában a 3:4:5-ös háromszögnek, az 5-ös hipotenusz hosszát soha nem említették. De a piramisokkal kapcsolatos matematikai problémákat mindig a szekeda szög - a magasság és az alap aránya - alapján oldják meg. Mivel a hypotenus hosszát soha nem említették, arra a következtetésre jutottak, hogy az egyiptomiak soha nem számították ki a harmadik oldal hosszát.

A gízai piramisokban használt magasság-alap arányokat az ókori egyiptomiak kétségtelenül ismerték. Lehetséges, hogy ezeket az összefüggéseket minden piramishoz önkényesen választották ki. Ez azonban ellentmond a számszimbolikának tulajdonított fontosságnak az egyiptomi képzőművészet minden típusában. Nagyon valószínű, hogy az ilyen kapcsolatok azért voltak jelentősek, mert konkrét vallási elképzeléseket fejeztek ki. Más szóval, az egész gízai komplexum egy koherens tervezésnek volt alárendelve, amely egy bizonyos isteni témát tükrözött. Ez megmagyarázná, hogy a tervezők miért választottak különböző szögeket a három piramishoz.

Az Orion rejtélyében Bauval és Gilbert meggyőző bizonyítékokat mutatott be a gízai piramisok és az Orion csillagkép között, különösen az Orion-öv csillagai között minden piramis a három fő istenség – Ozirisz, Ízisz és Hórusz – egyikének ábrázolása.

"GEOMETRIAI" CSODÁK.

Egyiptom grandiózus piramisai között különleges helyet foglal el Kheopsz fáraó nagy piramisa (Khufu). Mielőtt elkezdenénk elemezni a Kheopsz-piramis alakját és méretét, emlékeznünk kell arra, milyen mértékrendszert alkalmaztak az egyiptomiak. Az egyiptomiaknak három hosszegységük volt: egy „könyök” (466 mm), ami hét „tenyérrel” (66,5 mm) volt egyenlő, ami viszont négy „ujjjal” (16,6 mm).

Elemezzük a Kheopsz-piramis méreteit (2. ábra), az ukrán tudós Nyikolaj Vaszjutyinszkij „Az aranyarány” (1990) csodálatos könyvében megfogalmazott érvek alapján.

A legtöbb kutató egyetért abban, hogy például a piramis alapja oldalának hossza, GF egyenlő L= 233,16 m Ez az érték majdnem pontosan 500 „könyök”-nek felel meg. Az 500 „könyök” teljes megfelelése akkor következik be, ha a „könyök” hosszát 0,4663 m-nek tekintjük.

A piramis magassága ( H) a kutatók 146,6-148,2 m-re becsülik, és a piramis elfogadott magasságától függően a geometriai elemeinek összes kapcsolata megváltozik. Mi az oka a piramis magasságára vonatkozó becslések különbségeinek? A helyzet az, hogy szigorúan véve a Kheopsz-piramis csonka. Felső platformja ma körülbelül 10 × 10 méter, de egy évszázaddal ezelőtt még 6 × 6 méter volt. Nyilvánvaló, hogy a piramis tetejét leszerelték, és nem felel meg az eredetinek.

A piramis magasságának értékelésekor figyelembe kell venni egy olyan fizikai tényezőt, mint a szerkezet „vázlata”. Hosszú időn keresztül kolosszális nyomás hatására (az alsó felület 1 m2-én elérve az 500 tonnát) a piramis magassága csökkent az eredeti magassághoz képest.

Mekkora volt a piramis eredeti magassága? Ezt a magasságot a piramis alapvető "geometriai ötletének" megtalálásával lehet újra létrehozni.

2. ábra.

1837-ben G. Wise angol ezredes megmérte a piramis lapjainak dőlésszögét: az egyenlőnek bizonyult. a= 51°51". Ezt az értéket a legtöbb kutató ma is felismeri. A megadott szögérték megfelel az érintőnek (tg a), egyenlő: 1,27306. Ez az érték megfelel a piramis magasságának arányának AC az alapja feléig C.B.(2. ábra), azaz A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

És itt nagy meglepetés várt a kutatókra!.png" width="25" height="24">= 1,272. Ezt az értéket összehasonlítva a tg értékkel a= 1,27306, azt látjuk, hogy ezek az értékek nagyon közel állnak egymáshoz. Ha a szöget vesszük a= 51°50", azaz csökkentse csak egy ívperccel, majd az érték a egyenlő lesz 1,272-vel, azaz egybeesik az értékkel. Megjegyzendő, hogy 1840-ben G. Wise megismételte méréseit, és tisztázta, hogy a szög értéke a=51°50".

Ezek a mérések a következő nagyon érdekes hipotézishez vezették a kutatókat: a Kheopsz-piramis ACB háromszöge az AC reláción alapult / C.B. = = 1,272!

Tekintsük most a derékszögű háromszöget ABC, amelyben a lábak aránya A.C. / C.B.= (2. ábra). Ha most a téglalap oldalainak hossza ABCáltal kijelölni x, y, z, és azt is vegyük figyelembe, hogy az arány y/x= , akkor a Pitagorasz-tételnek megfelelően a hossz z képlettel lehet kiszámítani:

Ha elfogadjuk x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3. ábra."Arany" derékszögű háromszög.

Egy derékszögű háromszög, amelyben az oldalak egymáshoz kapcsolódnak t:arany" derékszögű háromszög.

Ekkor, ha azt a hipotézist vesszük alapul, hogy a Kheopsz-piramis fő „geometriai elképzelése” egy „arany” derékszögű háromszög, akkor innen könnyen kiszámíthatjuk a Kheopsz-piramis „tervezési” magasságát. Ez egyenlő:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Vezessünk most le néhány további összefüggést a Kheopsz-piramisra, amelyek az „arany” hipotézisből következnek. Különösen meg fogjuk találni a piramis külső területének és az alapterületének arányát. Ehhez vesszük a láb hosszát C.B. egységenként, azaz: C.B.= 1. De akkor a gúla alapjának oldalának hossza GF= 2, és az alap területe EFGH egyenlő lesz SEFGH = 4.

Számítsuk ki most a Kheopsz-piramis oldallapjának területét SD. Mert a magasság AB háromszög AEF egyenlő t, akkor az oldalfelület területe egyenlő lesz SD = t. Ekkor a piramis mind a négy oldalsó felületének összterülete 4 lesz t, és a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszet! Az az ami - a Kheopsz-piramis fő geometriai rejtélye!

A Kheopsz-piramis „geometriai csodáinak” csoportja a piramis különböző dimenziói közötti kapcsolatok valós és távoli tulajdonságait tartalmazza.

Általában bizonyos „konstansok”, különösen a „pi” (Ludolfo-szám) keresése során nyerik őket, amely 3,14159...; a természetes logaritmusok alapja "e" (Neperovo-szám), egyenlő: 2,71828...; az "F" szám, az "aranymetszet" száma, ami például 0,618... stb.

Megnevezheti például: 1) Hérodotosz tulajdona: (Magasság)2 = 0,5 art. alapvető x Apothem; 2) V. tulajdona Ár: Magasság: 0,5 art. alap = "F" négyzetgyöke; 3) M. Eist tulajdonsága: Az alap kerülete: 2 Magasság = "Pi"; más értelmezésben - 2 evőkanál. alapvető : Magasság = "Pi"; 4) G. él tulajdonságai: A beírt kör sugara: 0,5 art. alapvető = "F"; 5) Kleppisch K. tulajdona: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. fő X Apothem) + (v. fő)2). Stb. Sok ilyen tulajdonsággal találkozhat, különösen, ha két szomszédos piramist köt össze. Például „A. Arefjev tulajdonságaiként” megemlíthető, hogy a Kheopsz piramis és Khafre piramis térfogatának különbsége megegyezik Mikerin piramisának kétszeresével...

D. Hambidge „Dinamikus szimmetria az építészetben” és M. Gick „Az arány esztétikája a természetben és a művészetben” című könyvében sok érdekesség található, különösen a piramisok „aranymetszés” szerinti felépítésével kapcsolatban. Emlékezzünk vissza, hogy az „aranymetszés” egy szakasz olyan arányban való felosztása, hogy A rész annyiszor nagyobb, mint B rész, A hányszor kisebb, mint a teljes A + B szakasz. Az A/B arány egyenlő az „F” számmal == 1,618 .. Az „aranymetszés” használata nemcsak az egyes piramisokban, hanem a gízai piramisok egészében is szerepel.

A legkülönösebb azonban az, hogy egy és ugyanaz a Kheopsz-piramis egyszerűen „nem tud” ennyi csodálatos tulajdonságot tartalmazni. Egyes tulajdonságokat egyenként véve „illeszthető”, de nem fér el mindegyik egyszerre - nem esnek egybe, ellentmondanak egymásnak. Ezért, ha például az összes tulajdonság ellenőrzésekor kezdetben a piramis alapjának ugyanazt az oldalát vesszük (233 m), akkor a különböző tulajdonságú piramisok magassága is eltérő lesz. Más szavakkal, van egy bizonyos piramiscsalád, amelyek külsőleg hasonlítanak Kheopszhoz, de eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek. Ne feledje, hogy a „geometriai” tulajdonságokban nincs semmi különösebben csodálatos – sok minden tisztán automatikusan, magának az alaknak a tulajdonságaiból fakad. „Csodának” csak olyasmit szabad tekinteni, ami nyilvánvalóan lehetetlen volt az ókori egyiptomiak számára. Ide tartoznak különösen a „kozmikus” csodák, amelyekben a Kheopsz-piramis vagy a gízai piramiskomplexum méréseit összevetik néhány csillagászati méréssel, és „páros” számokat jeleznek: milliószor kevesebb, egymilliárdszor kevesebb, ill. hamar. Nézzünk néhány „kozmikus” kapcsolatot.

Az egyik állítás: "ha elosztod a piramis alapjának oldalát az év pontos hosszával, akkor a Föld tengelyének pontosan 10 milliomod részét kapod." Számítsuk ki: 233-at elosztunk 365-tel, 0,638-at kapunk. A Föld sugara 6378 km.

Egy másik állítás valójában az előző ellentéte. F. Noetling rámutatott, hogy ha az általa feltalált „egyiptomi könyököt” használjuk, akkor a piramis oldala „a napév legpontosabb időtartamának felel meg, a nap egymilliárd részével kifejezve” - 365,540. 903.777.

P. Smith nyilatkozata: "A piramis magassága pontosan egymilliárd része a Föld és a Nap közötti távolságnak." Bár a felvett magasság általában 146,6 m, Smith 148,2 m-nek vette fel a modern radarmérések szerint a Föld pályájának fél-főtengelye 149 597 870 + 1,6 km. Ez a Föld és a Nap közötti átlagos távolság, de a perihéliumban 5 000 000 kilométerrel kisebb, mint az aphelionnál.

Egy utolsó érdekes kijelentés:

"Hogyan magyarázhatjuk meg, hogy Kheopsz, Khafre és Mykerinus piramisainak tömegei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a Föld, Vénusz és Mars bolygók tömegei?" Számoljunk. A három piramis tömege: Khafre - 0,835; Kheopsz - 1000; Mikerin - 0,0915. A három bolygó tömegének aránya: Vénusz - 0,815; Föld - 1000; Mars - 0,108.

Tehát a szkepticizmus ellenére megjegyezzük az állítások felépítésének jól ismert harmóniáját: 1) a piramis magassága, mint egy „űrbe menő” vonal, megfelel a Föld és a Nap távolságának; 2) a piramis alapjának „a szubsztrátumhoz”, azaz a Földhöz legközelebb eső oldala felelős a Föld sugaráért és a Föld keringéséért; 3) a piramis térfogata (értsd - tömegek) megfelel a Földhöz legközelebb eső bolygók tömegeinek arányának. Hasonló „rejtjel” nyomon követhető például a Karl von Frisch által elemzett méhnyelvben is. Ennek az ügynek a kommentálásától azonban egyelőre tartózkodunk.

PIRAMIS ALAKÚ

A piramisok híres tetraéderes alakja nem jelent meg azonnal. A szkíták földes dombok - halmok - formájában temették el. Az egyiptomiak kőből "dombokat" építettek - piramisokat. Ez először Felső- és Alsó-Egyiptom egyesülése után történt, a Kr.e. 28. században, amikor a harmadik dinasztia megalapítója, Djoser (Zoser) fáraó szembesült azzal a feladattal, hogy megerősítse az ország egységét.

És itt a történészek szerint a király „új istenítési koncepciója” fontos szerepet játszott a központi hatalom erősítésében. Bár a királyi temetkezéseket nagyobb pompával jellemezték, elvileg nem különböztek az udvari nemesek sírjaitól, ugyanazok az építmények - mastabák. A múmiát tartalmazó szarkofággal ellátott kamra fölé egy kis kövekből álló téglalap alakú dombot öntöttek, ahol egy nagy kőtömbökből álló kis épületet - egy „mastaba”-t (arabul - „pad”) helyeztek el. Dzsoser fáraó állította fel az első piramist elődje, Sanakht masztabája helyén. Lépcsőzetes volt, és látható átmeneti szakasz volt az egyik építészeti formától a másikig, a masztabától a piramisig.

Ily módon „nevelte fel” a fáraót a bölcs és Imhotep építész, akit később varázslónak tartottak, és a görögök Aszklépiosz istennel azonosítottak. Mintha hat mastabát állítottak volna fel egymás után. Ezenkívül az első piramis 1125 x 115 méteres területet foglalt el, becsült magassága 66 méter (az egyiptomi szabványok szerint - 1000 „tenyér”). Az építész először egy masztabát tervezett, de nem hosszúkás, hanem négyzet alakú alaprajzú. Később kibővítették, de mivel a hosszabbítást lejjebb tették, úgy tűnt, két lépcső van.

Ez a helyzet nem elégítette ki az építészt, és a hatalmas lapos masztaba felső emelvényén Imhotep további hármat helyezett el, fokozatosan csökkenve a teteje felé. A sír a piramis alatt volt.

Több lépcsős piramis is ismert, de később az építők áttértek a számunkra ismerősebb tetraéder piramisok építésére. De miért nem háromszögletű vagy mondjuk nyolcszögletű? Közvetett választ ad az a tény, hogy szinte minden piramis tökéletesen orientált a négy fő irány mentén, és ezért négy oldala van. Ezenkívül a piramis egy „ház”, egy négyszögletes sírkamra héja volt.

De mi határozta meg az arcok dőlésszögét? A „Az arányok elve” című könyvben egy egész fejezetet szentelnek ennek: „Mi határozhatta meg a piramisok dőlésszögét?” Különösen azt jelzi, hogy „a kép, amelyhez az Óbirodalom nagy piramisai gravitálnak, egy háromszög, amelynek csúcsa derékszögű.

A térben ez egy féloktaéder: egy piramis, amelyben az alap élei és oldalai egyenlőek, az élek egyenlő oldalú háromszögek." Hambidge, Gick és mások könyvei tartalmaznak bizonyos megfontolásokat ebben a témában.

Mi az előnye a féloktaéder szögének? A régészek és történészek leírása szerint egyes piramisok saját súlyuk alatt összeomlottak. Amire szükség volt, az egy „tartóssági szög”, egy olyan szög, amely energetikailag a legmegbízhatóbb. Pusztán empirikusan ezt a szöget egy omladozó száraz homokhalom csúcsszögéből lehet kivenni. De a pontos adatokhoz modellt kell használni. Négy szilárdan rögzített golyót véve rájuk kell egy ötödik, és meg kell mérni a dőlésszögeket. Itt azonban hibázhatunk, így egy elméleti számítás segít: a golyók középpontját érdemes vonalakkal összekötni (mentálisan). Az alap egy négyzet lesz, amelynek oldala a sugár kétszeresével egyenlő. A négyzet csak az alapja lesz a piramisnak, amelynek éleinek hossza is megegyezik a sugár kétszeresével.

Így a golyók 1:4-hez hasonló szoros összepakolása szabályos féloktaédert ad.

De miért nem tartja meg sok piramis, amely hasonló alakzat felé húzódik? A piramisok valószínűleg elöregedtek. A híres mondással ellentétben:

„Minden a világon fél az időtől, és az idő fél a piramisoktól” – a piramisok épületeinek el kell öregedniük, nem csak külső mállási folyamatok történhetnek és kell bennük, hanem belső „zsugorodási” folyamatok is. A piramisok lejjebb süllyednek. A zsugorodás azért is lehetséges, mert D. Davidovits munkája szerint az ókori egyiptomiak a mészforgácsból, más szóval „betonból” tömbök készítésének technológiáját alkalmazták. Pontosan hasonló folyamatok magyarázhatják a Kairótól 50 km-re délre található Medum piramis pusztulásának okát. 4600 éves, az alap mérete 146 x 146 m, magassága 118 m. „Miért ilyen eltorzult?” – kérdezi V. Zamarovsky „Az idő pusztító hatására és a „kő más épületekre való felhasználására” való szokásos utalások nem alkalmasak.

Hiszen tömbjei és homloklapjai a mai napig a helyükön maradtak, lábánál romokban." Mint látni fogjuk, számos rendelkezés még azt is elhiteti velünk, hogy Kheopsz híres piramisa is „összezsugorodott". mindenesetre minden ősi képen a piramisok hegyesek...

A piramisok formáját is létrehozhatták utánzással: néhány természetes minta, „csoda tökéletesség”, mondjuk néhány kristály oktaéder formájában.

Hasonló kristályok lehetnek a gyémánt és az arany kristályok. Számos „átfedő” tulajdonság jellemző az olyan fogalmakra, mint a fáraó, nap, arany, gyémánt. Mindenhol - nemes, ragyogó (zseniális), nagyszerű, kifogástalan stb. A hasonlóságok nem véletlenek.

A napkultusz, mint ismeretes, az ókori Egyiptom vallásának fontos része volt. „Nem számít, hogyan fordítjuk a piramisok közül a legnagyobb nevét” – jegyzi meg az egyik modern kézikönyv, „The Sky of Khufu” vagy „The Skyward Khufu”, ez azt jelentette, hogy a király a nap. Ha Khufu hatalmának ragyogásában a második napnak képzelte magát, akkor fia, Djedef-Ra lett az egyiptomi királyok közül az első, aki „Ra fiának”, azaz a Nap fiának nevezte magát. A napot szinte minden nemzetben a „szoláris fém”, az arany jelképezte. „Egy nagy fényes aranykorong” – így hívták az egyiptomiak a mi napfényünket. Az egyiptomiak tökéletesen ismerték az aranyat, ismerték az őshonos formáit, ahol az aranykristályok oktaéderek formájában jelenhetnek meg.

A „napkő” – a gyémánt – itt is érdekes, mint „alakminta”. A gyémánt neve pontosan az arab világból származik, „almas” - a legkeményebb, legkeményebb, elpusztíthatatlan. Az ókori egyiptomiak jól ismerték a gyémántot és annak tulajdonságait. Egyes szerzők szerint még bronzcsöveket is használtak gyémántvágókkal a fúráshoz.

Napjainkban a fő gyémántszállító Dél-Afrika, de Nyugat-Afrika is gazdag gyémántokban. A Mali Köztársaság területét még „Gyémántföldnek” is nevezik. Eközben Mali területén él a dogon, akivel a paleo-látogatás hipotézisének hívei sok reményt fűznek (lásd alább). A gyémánt nem lehetett az oka az ókori egyiptomiak kapcsolatainak ezzel a vidékkel. Azonban így vagy úgy lehetséges, hogy az ókori egyiptomiak éppen a gyémánt- és aranykristályok oktaédereinek másolásával istenítették a fáraókat, akik „elpusztíthatatlanok”, mint a gyémánt és „ragyogóak”, mint az arany, a Nap fiait, amelyek csak összehasonlíthatók. a természet legcsodálatosabb alkotásaihoz.

Következtetés:

A piramis mint geometriai test tanulmányozása, elemeinek és tulajdonságainak megismerése után meggyőződtünk a piramis alakjának szépségéről alkotott vélemény érvényességéről.

Kutatásunk eredményeként arra a következtetésre jutottunk, hogy az egyiptomiak a legértékesebb matematikai tudást összegyűjtve piramisban testesítették meg. Ezért a piramis valóban a természet és az ember legtökéletesebb alkotása.

BIBLIOGRÁFIA

"Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamra. Általános oktatás intézmények\ stb. - 9. kiadás - M.: Oktatás, 1999

A matematika története az iskolában, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometria 10-11 évfolyam, M: „Felvilágosodás”, 2000

Peter Tompkins „Kheopsz nagy piramisának titkai”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.

Internetes források

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Itt alapvető információkat talál a piramisokról és a kapcsolódó képletekről és fogalmakról. Mindegyiket matematika oktatóval tanulják az egységes államvizsgára készülve.

Vegyünk egy síkot, egy sokszöget , benne fekve és egy S ponttal, nem benne fekve. Kössük össze S-t a sokszög összes csúcsával. A kapott poliédert piramisnak nevezzük. A szegmenseket oldalbordáknak nevezzük. A sokszöget alapnak nevezzük, az S pontot pedig a piramis csúcsa. Az n számtól függően a piramist háromszögnek (n=3), négyszögletűnek (n=4), ötszögletűnek (n=5) és így tovább nevezzük. A háromszög alakú piramis alternatív neve tetraéder. A piramis magassága az a merőleges, amely a tetejétől az alap síkjához ereszkedik.

A piramist szabályosnak nevezzük, ha szabályos sokszög, és a piramis magasságának alapja (a merőleges alapja) a középpontja.

Az oktató megjegyzése:
Ne keverje össze a „szabályos piramis” és a „szabályos tetraéder” fogalmát. Egy szabályos piramisban az oldalélek nem feltétlenül egyenlőek az alap éleivel, de egy szabályos tetraéderben mind a 6 él egyenlő. Ez az ő meghatározása. Könnyű bizonyítani, hogy az egyenlőségből következik, hogy a sokszög P középpontja egybeesik alapmagassággal, tehát a szabályos tetraéder szabályos gúla.

Mi az apotéma?
A piramis apotémája az oldallap magassága. Ha a piramis szabályos, akkor minden apotémája egyenlő. Ennek a fordítottja nem igaz.

Egy matematika tanár a terminológiájáról: a piramisokkal végzett munka 80%-a kétféle háromszögből épül fel:
1) Apothem SK és magasság SP
2) Tartalmazza az SA oldalélt és annak PA vetületét

Az ezekre a háromszögekre való hivatkozások egyszerűsítése érdekében kényelmesebb, ha a matektanár az elsőt hívja meg. apothematikus, és a második tengerparti. Sajnos ezt a terminológiát egyik tankönyvben sem találja meg, a tanárnak kell egyoldalúan bevezetnie.

Piramis térfogati képlete:
1) , ahol a piramis alapterülete és a piramis magassága
2) , ahol a beírt gömb sugara, és a piramis teljes felületének területe.
3) , ahol MN bármely két keresztező él közötti távolság, és a négy fennmaradó él felezőpontjai által alkotott paralelogramma területe.

A piramis magasságának alapja:

A P pont (lásd az ábrát) egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) Minden apotém egyenlő
2) Minden oldalfelület egyformán dől az alaphoz
3) Minden apotém egyformán hajlik a piramis magasságára
4) A piramis magassága egyformán ferde minden oldallaphoz

A matektanár megjegyzése: Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden pontot egy közös tulajdonság egyesít: így vagy úgy, az oldallapok mindenhol érintettek (az apotémek az elemeik). Ezért az oktató egy kevésbé pontos, de a tanuláshoz kényelmesebb megfogalmazást tud ajánlani: a P pont egybeesik a beírt kör középpontjával, a gúla alapjával, ha ennek oldallapjairól azonos információ áll rendelkezésre. Ennek bizonyításához elég megmutatni, hogy minden apotém háromszög egyenlő.

A P pont egybeesik a piramis alapja közelében körülírt kör középpontjával, ha a három feltétel egyike teljesül:
1) Minden oldalél egyenlő
2) Minden oldalborda egyformán dől az alaphoz
3) Minden oldalborda egyformán dől a magassághoz

Piramis koncepció

1. definíció

A sokszögből és a sokszöget tartalmazó síkban nem fekvő pontból alkotott geometriai alakzatot, amely a sokszög összes csúcsához kapcsolódik, piramisnak nevezzük (1. ábra).

A sokszöget, amelyből a gúla készül, a piramis alapjának nevezzük, a kapott háromszögek, ha egy ponthoz kapcsolódnak, a piramis oldallapjai, a háromszögek oldalai a piramis oldalai, és a pont közös; minden háromszöghez a piramis csúcsa.

A piramisok típusai

A piramis alapjában lévő szögek számától függően nevezhetjük háromszögnek, négyszögnek és így tovább (2. ábra).

2. ábra.

A piramisok másik típusa a szabályos piramis.

Mutassuk be és bizonyítsuk be egy szabályos piramis tulajdonságát.

1. tétel

A szabályos piramis minden oldallapja egyenlő szárú háromszög, amelyek egyenlőek egymással.

Bizonyíték.

Tekintsünk egy szabályos $n-$gonális piramist, amelynek $S$ csúcsa $h=SO$ magasságú. Rajzoljunk kört az alap köré (4. ábra).

4. ábra.

Tekintsük a $SOA$ háromszöget. A Pitagorasz-tétel szerint azt kapjuk

Nyilvánvaló, hogy minden oldalél így lesz meghatározva. Következésképpen minden oldalél egyenlő egymással, azaz minden oldallap egyenlő szárú háromszög. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek egymással. Mivel az alap szabályos sokszög, az összes oldallap alapja egyenlő egymással. Következésképpen minden oldallap egyenlő a háromszögek III. egyenlőségének kritériuma szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Vezessük be a következő definíciót a szabályos piramis fogalmához kapcsolódóan.

3. definíció

A szabályos piramis apotémája az oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy az 1. tétel szerint minden apotém egyenlő egymással.

2. tétel

A szabályos gúla oldalfelületét az alap és az apotém fél kerületének szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjának oldalát $a$-tal, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel az 1. Tétel szerint minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

A piramisok másik típusa a csonka piramis.

4. definíció

Ha az alapjával párhuzamos síkot áthúzunk egy közönséges piramison, akkor az e sík és az alap síkja között kialakult alakzatot csonka gúlának nevezzük (5. ábra).

5. ábra Csonka gúla

A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

3. tétel

A szabályos csonka gúla oldalfelületét az alapok fél kerületének és az apotémának a szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$gonális piramis alapjainak oldalait rendre $a\ és\ b$, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Minta feladat

1. példa

Határozza meg egy csonka háromszög alakú gúla oldalfelületének területét, ha azt egy szabályos gúlából kapjuk, amelynek alapoldala 4 és apotém 5, az oldallapok középvonalán áthaladó sík levágásával.

Megoldás.

A középvonal-tételt használva azt találjuk, hogy a csonka piramis felső alapja $4\cdot \frac(1)(2)=2$, az apotém pedig $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 $.

Ekkor a 3. Tétel alapján azt kapjuk

Amelyben az egyik oldalborda merőleges az alapra.

Ebben az esetben ez az él lesz a piramis magassága.

A piramis tulajdonságai.

1. Ha minden oldalsó él azonos méretű, akkor:

könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
az oldalbordák az alap síkjával egyenlő szöget zárnak be;
Sőt, ennek az ellenkezője is igaz, pl. ha az oldalbordák egyenlő szöget zárnak be az alap síkjával, vagy ha egy kör írható le a piramis alapja körül, és a gúla teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve, ez azt jelenti, hogy az összes oldalél a piramis azonos méretűek.

2. Ha az oldallapok dőlésszöge azonos értékű az alap síkjával, akkor:

könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
az oldalfelület területe egyenlő az alap kerületének és az oldalfelület magasságának a szorzatával.

3. A gúla körül gömb írható le, ha a gúla alján van egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek közepén. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos gúla körül;

4. Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.

5. A kúp akkor lesz beírva a piramisba, amikor a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába lesz írva. Ebben az esetben csak akkor lehetséges egy kúpot a piramisba illeszteni, ha a gúla apotémjei egyenlő méretűek (szükséges és elégséges feltétel);

6. A kúpot a piramis közelében írjuk le, ha csúcsuk egybeesik, és a kúp alapját a gúla alapja közelében. Ebben az esetben csak akkor lehetséges egy gúla közelében lévő kúpot leírni, ha a gúla összes oldalsó éle azonos értékű (szükséges és elégséges feltétel). Ezeknek a kúpoknak és piramisoknak a magassága megegyezik.

7. Egy henger akkor írható be a gúlába, ha az egyik alapja egy olyan körrel esik egybe, amelyet a gúla metszetébe az alappal párhuzamos sík ír be, a második alap pedig a piramis alapjához tartozik.

8. A hengert a piramis közelében írjuk le, amikor a piramis teteje az egyik alapjához tartozik, a henger második alját pedig a piramis alapjához közel. Ebben az esetben csak akkor lehetséges egy gúla közelében lévő hengert leírni, ha a piramis alapja egy beírt sokszög (szükséges és elégséges feltétel).