Trojuholníkový hranol má prierez cez stredovú čiaru. Cez strednú čiaru základne trojuholníkového hranolu

Ahoj! Ďalšou časťou problémov s hranolmi sú trojuholníkové hranoly. Skombinoval som niekoľko úloh, ktoré sú podobné v jednej „funkcii“ - majú časť prechádzajúcu strednou čiarou základne. Otázky sa týkajú výpočtu plochy alebo objemu pôvodného hranola alebo vyrezaného hranola. Čo je dôležité si tu pamätať?

Táto vlastnosť podobnosti obrázkov týkajúcich sa plochy, najmä trojuholníka, už bola diskutovaná v jednom z článkov. Ale aj keď na to zrazu zabudnete, prezentované úlohy budú intuitívne a vyriešite ich jednou akciou.

77111. Cez strednú čiaru základne trojuholníkového hranola, ktorého bočná plocha je 6, je rovina nakreslená rovnobežne s bočným okrajom. Nájdite bočnú plochu orezaného trojuholníkového hranola.

Hovorí sa, že rovina prechádza stredovou čiarou základne, teda bodmi, ktoré sú stredmi susedných strán trojuholníka. Okrem toho prebieha rovnobežne s bočným okrajom - to znamená, že špecifikovaná rovina prechádza aj stredmi zodpovedajúcich susedných strán druhej základne.

Bez akýchkoľvek výpočtov je jasné, že plocha bočného povrchu odrezaného hranola bude polovičná oproti pôvodnému.

Pozri!

Hranoly majú spoločnú výšku. Zadaná rovina rozreže dve susedné bočné plochy na polovicu.

Zoberme si tretiu plochu (rovnobežnú s rovinou rezu) - jej plocha je tiež polovičná, pretože stredná čiara trojuholníka je polovičná ako strana trojuholníka rovnobežného s ňou.

Vzhľadom na to, že výška zostáva nezmenená (spoločná pre oba hranoly), môžeme dospieť k záveru, že plocha bočného povrchu (súčet plôch všetkých troch stien) odrezaného hranola bude polovičná.

odpoveď: 3

76147. Rovina rovnobežná s bočným okrajom je vedená cez stredovú čiaru základne trojuholníkového hranola. Bočná plocha rezaného trojuholníkového hranola je 20. Nájdite bočnú plochu pôvodného hranola.

Úloha je opakom predchádzajúcej. FVzorec pre bočný povrch hranola:

Pre odrezaný hranol to znamená:

Výška pyramíd je bežná, takže plocha bočného povrchu pôvodného hranola závisí od obvodu. Keďže výsledné trojuholníky na podstave hranola sú podobné a ich zodpovedajúce strany sú v pomere 1:2, znamená to, že obvod podstavy pôvodného hranola je dvojnásobkom obvodu podstavy odrezaného hranolu. .

To znamená, že plocha bočného povrchu je tiež 2-krát väčšia a rovná sa 40.

odpoveď: 40

27106. Strednou líniou podstavy trojbokého hranola, ktorého objem je 32, je vedená rovina rovnobežná s bočnou hranou. Nájdite objem odrezaného trojuholníkového hranolu.

Je známe, že objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky. Výška týchto hranolov je spoločná, čo znamená, že zmena objemu závisí len od zmeny plochy povrchu.

Zoberme si trojuholníky ležiace na základniach hranolov - sú podobné. Ak uvážime základňu pôvodného hranola vzhľadom na základňu odrezaného, potom koeficient podobnosti bude rovný 2. Čo nám to dáva?

Vieme, že oblasti podobných obrázkov sú korelované ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, čo znamená:

Základňa odrezaného hranola je 4x menšia.

Jeho objem bude teda 4-krát menší, teda 8.

Formálne sa to dá napísať takto:

odpoveď: 8

74745. Rovina rovnobežná s bočným okrajom je vedená cez stredovú čiaru základne trojuholníkového hranola. Objem odrezaného trojbokého hranola je 7. Nájdite objem pôvodného hranola.

Úloha je opakom predchádzajúcej. Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky:

Výška je celková, čo znamená, že objem sa mení v závislosti od zmeny plochy základne.

Trojuholník ležiaci na základni pôvodného hranola, ako už bolo povedané, je podobný trojuholníku ležiacemu na základni odrezaného hranola. Koeficient podobnosti je 2, pretože rez je nakreslený cez stredovú čiaru.

Plochy podobných obrázkov sú spojené ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, to znamená:

Základná plocha pôvodného hranola je teda 4-krát väčšia ako základná plocha odrezaného hranola.

Preto objem pôvodného hranola bude 4-krát väčší ako objem odrezaného hranola. Požadovaný objem je teda 28.

odpoveď: 28

Ďalšie tri problémy týkajúce sa povrchu hranola

245356. Povrch pravidelného trojuholníkového hranola je 6. Aký bude povrch hranola, ak budú všetky jeho hrany trojnásobné?

Všetky okraje hranola zväčšíme trikrát. Čo sa stane?

Ukazuje sa, že každá strana výsledného hranola a zodpovedajúca strana pôvodného hranola sú podobné obrazce. Koeficient podobnosti sa navyše rovná 3. Vieme, že plochy podobných obrázkov sú úmerné druhej mocnine koeficientu podobnosti, to znamená:

To znamená, že plocha každej jednotlivej plochy nášho hranola sa zväčší 9-krát. Keďže povrchová plocha celého hranola je súčtom plôch všetkých plôch, je samozrejmé, že aj celková plocha hranola sa zväčší 9-krát.

odpoveď: 54

*V skutočnosti nezáleží na tom, o akom tele hovoríme (hranol, pyramída, kocka, kváder), podstata je rovnaká.

V trojuholníkovom hranole sú dve bočné strany kolmé. Ich spoločná hrana je 30 a je oddelená od ostatných bočných hrán 3 a 4. Nájdite bočnú plochu tohto hranola.

V čase písania tohto článku bola táto úloha odstránená z otvorenej banky úloh Jednotnej štátnej skúšky, ale zvážime ju, takže sa tam dá kedykoľvek vrátiť, a preto bude na skúške aj v budúcich rokoch.

Na výpočet bočného povrchu hranola použijeme vzorec:

Bočná hrana je v tomto prípade spoločná hrana plôch kolmých na seba, rovná sa 30. Kolmý rez hranola je pravouhlý trojuholník s nohami 3 a 4. Pomocou Pytagorovej vety nájdeme jeho preponu a môžeme vypočítať obvod:

Takto:

Druhé riešenie!

Niekomu nemusí byť vyššie uvedený vzorec jasný. Aký je jeho význam a čo vyjadruje?

Pozrite sa na každú jednotlivú tvár (s hranolom na jej strane) - to sú rovnobežníky. Okrem toho sú základne týchto rovnobežníkov rovnaké a rovnajú sa bočnému okraju, to znamená 30. Ich výšky budú rôzne.

Dve sú nám známe 3 a 4, tretie neznáme. Ale vieme to nájsť. Prerežme hranol kolmo na bočné hrany, rezom bude pravouhlý trojuholník s nohami 3 a 4, nájdite preponu:

Ukazuje sa, že plocha bočného povrchu sa rovná súčtu plôch troch rovnobežníkov:

Odpoveď: 360

72605. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného šesťhranného hranola, ktorého základná strana je 6 a výška je 2.

Cez strednú čiaru základne trojuholníkového hranola, ktorého bočná plocha je 24, je rovina nakreslená rovnobežne s bočným okrajom. Nájsť

bočná plocha odrezaného trojuholníkového hranola.

Pomôžte mi vyriešiť 2 problémy s geometriou!!! 1. Polomer gule je 6 dm, cez koniec polomeru ležiaceho na gule je vedená rovina pod uhlom 30.

stupňov k polomeru. Nájdite sekcie podľa roviny a sféry.

2. Cez koniec polomeru ležiaceho na guli je nakreslená rovina pod uhlom 60 stupňov k polomeru. Vzdialenosť od stredu gule k tejto rovine je 8 cm. Nájdite S úsekov gule rovinou a S gule

1) Strany základne pravidelnej štvorhrannej pyramídy sa rovnajú 22, bočné hrany sa rovnajú 61. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.

2) Strany základne pravidelnej štvorhrannej pyramídy sa rovnajú 40, bočné hrany sa rovnajú 29. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.
3) Strany základne pravidelnej šesťhrannej pyramídy sa rovnajú 66, bočné hrany sa rovnajú 183. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.
4) Strany základne pravidelnej šesťhrannej pyramídy sa rovnajú 48, bočné hrany sa rovnajú 74. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.
5) Nájdite povrch pravidelnej štvorhrannej pyramídy, ktorej strany základne sú 16 a výška je 15.
6) Nájdite povrch pravidelných štvoruholníkových pyramíd, ktorých strany základne sú 70 a výška je 12.
7) V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SC = 68, AC = 120. Nájdite dĺžku segmentu SO.
8) V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SB = 100, AC = 120. Nájdite dĺžku segmentu SO.
9) V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SO = 80, AC = 120. Nájdite bočnú hranu SB.
10) V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SO = 72, BD = 42. Nájdite bočnú hranu SA.
11) V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SO=16, SC=34. Nájdite dĺžku segmentu BD.
12) V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD je bod O stred podstavy, S je vrchol, SO=32,SC=68. Nájdite dĺžku čiary AC.
13) Základňa pyramídy je obdĺžnik so stranami 5 a 6. Jej objem je 50. Nájdite výšku tejto pyramídy.
14) Základňa pyramídy je obdĺžnik so stranami 4 a 8. Jej objem je 96. Nájdite výšku tejto pyramídy.
Prosím, žiadny Heronov vzorec.

V pravidelnom trojuholníkovom hranole je rovina vedená cez stredovú čiaru základne pod uhlom 60 k rovine základne, ktorá pretína bočný okraj

Riešenie.

odpoveď: 12.

odpoveď: 12

Plocha bočného povrchu trojuholníkového hranola je 6. Strednou čiarou základne hranola je nakreslená rovina rovnobežná s bočným okrajom. Nájdite plochu bočného povrchu odrezaného trojuholníkového hranola.

Riešenie.

prototyp.

Plocha bočných plôch odrezaného hranola je polovičná ako zodpovedajúce plochy bočných plôch pôvodného hranola. Preto je plocha bočného povrchu odrezaného hranola polovičná ako plocha bočného povrchu pôvodného hranola.

odpoveď: 12.

odpoveď: 3

Plocha bočnej plochy trojuholníkového hranola je 26. Strednou čiarou základne hranola je nakreslená rovina rovnobežná s bočným okrajom. Nájdite plochu bočného povrchu odrezaného trojuholníkového hranola.

Riešenie.