V predchádzajúcej kapitole bolo ukázané, že výberom určitého súradnicového systému v rovine môžeme geometrické vlastnosti charakterizujúce body uvažovanej priamky analyticky vyjadriť rovnicou medzi aktuálnymi súradnicami. Tak dostaneme rovnicu priamky. Táto kapitola sa bude zaoberať rovnicami s priamkou.
Ak chcete vytvoriť rovnicu pre priamku v karteziánskych súradniciach, musíte nejako nastaviť podmienky, ktoré určujú jej polohu vzhľadom na súradnicové osi.
Najprv si predstavíme pojem uhlový koeficient priamky, ktorý je jednou z veličín charakterizujúcich polohu priamky v rovine.
Uhol sklonu priamky k osi Ox nazvime uhol, o ktorý je potrebné os Ox pootočiť tak, aby sa zhodovala s danou priamkou (alebo sa ukázala byť s ňou rovnobežná). Ako obvykle budeme uvažovať uhol s prihliadnutím na znamienko (znamienko je určené smerom otáčania: proti alebo v smere hodinových ručičiek). Keďže dodatočná rotácia osi Ox o uhol 180° ju opäť vyrovná s priamkou, uhol sklonu priamky k osi nie je možné zvoliť jednoznačne (v rámci termínu násobok ).
Tangent tohto uhla je určený jednoznačne (keďže zmenou uhla sa nemení jeho dotyčnica).
Tangenta uhla sklonu priamky k osi Ox sa nazýva uhlový koeficient priamky.
Uhlový koeficient charakterizuje smer priamky (tu nerozlišujeme dva vzájomne opačné smery priamky). Ak je sklon priamky nulový, potom je priamka rovnobežná s osou x. Pri kladnom uhlovom koeficiente bude uhol sklonu priamky k osi Ox ostrý (uvažujeme tu najmenšiu kladnú hodnotu uhla sklonu) (obr. 39); Navyše, čím väčší je uhlový koeficient, tým väčší je uhol jeho sklonu k osi Ox. Ak je uhlový koeficient záporný, potom bude uhol sklonu priamky k osi Ox tupý (obr. 40). Všimnite si, že priamka kolmá na os Ox nemá uhlový koeficient (tangens uhla neexistuje).
Pokračovanie témy, rovnica priamky v rovine je založená na štúdiu priamky z hodín algebry. Tento článok poskytuje všeobecné informácie o téme rovnice priamky so sklonom. Uvažujme o definíciách, získajme samotnú rovnicu a identifikujme spojenie s inými typmi rovníc. Všetko sa bude diskutovať na príkladoch riešenia problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred napísaním takejto rovnice je potrebné definovať uhol sklonu priamky k osi O x s ich uhlovým koeficientom. Predpokladajme, že je daný kartézsky súradnicový systém O x v rovine.
Definícia 1
uhol sklonu priamky k osi O x, umiestnený v karteziánskom súradnicovom systéme O x y v rovine, je to uhol, ktorý sa meria od kladného smeru O x k priamke proti smeru hodinových ručičiek.
Keď je čiara rovnobežná s Ox alebo sa v nej zhoduje, uhol sklonu je 0. Potom je uhol sklonu danej priamky α definovaný na intervale [ 0 , π) .
Definícia 2
Priamy svah je dotyčnica uhla sklonu danej priamky.
Štandardné označenie je k. Z definície zistíme, že k = t g α . Keď je čiara rovnobežná s Oxom, hovoria, že sklon neexistuje, pretože ide do nekonečna.
Sklon je kladný, keď sa graf funkcie zvyšuje a naopak. Na obrázku sú znázornené rôzne variácie umiestnenia pravého uhla voči súradnicovému systému s hodnotou koeficientu.
Na nájdenie tohto uhla je potrebné použiť definíciu uhlového koeficientu a vypočítať tangentu uhla sklonu v rovine.
Riešenie
Z podmienky máme, že α = 120°. Podľa definície sa musí vypočítať sklon. Zistime to zo vzorca k = t g α = 120 = - 3.
odpoveď: k = - 3 .
Ak je známy uhlový koeficient a je potrebné nájsť uhol sklonu k osi x, potom by sa mala brať do úvahy hodnota uhlového koeficientu. Ak k > 0, potom je pravý uhol ostrý a nájdeme ho podľa vzorca α = a r c t g k. Ak k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Príklad 2
Určte uhol sklonu danej priamky k O x s uhlovým koeficientom 3.
Riešenie
Z podmienky máme, že uhlový koeficient je kladný, čo znamená, že uhol sklonu k O x je menší ako 90 stupňov. Výpočty sa robia pomocou vzorca α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odpoveď: α = a r c t g 3 .
Príklad 3
Nájdite uhol sklonu priamky k osi O x, ak sklon = -1 3.
Riešenie
Ak zoberieme písmeno k ako označenie uhlového koeficientu, tak α je uhol sklonu k danej priamke v kladnom smere O x. Preto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odpoveď: 5 π 6 .
Rovnica v tvare y = k x + b, kde k je sklon a b je nejaké reálne číslo, sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Rovnica je typická pre akúkoľvek priamku, ktorá nie je rovnobežná s osou O y.
Ak podrobne zvážime priamku v rovine v pevnom súradnicovom systéme, ktorá je určená rovnicou s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y = k x + b. V tomto prípade to znamená, že rovnica zodpovedá súradniciam ľubovoľného bodu na priamke. Ak dosadíme súradnice bodu M, M 1 (x 1, y 1) do rovnice y = k x + b, tak v tomto prípade bude priamka prechádzať týmto bodom, inak bod do priamky nepatrí.
Príklad 4
Je daná priamka so sklonom y = 1 3 x - 1. Vypočítajte, či body M 1 (3, 0) a M 2 (2, - 2) patria danej priamke.
Riešenie
Do danej rovnice je potrebné dosadiť súradnice bodu M 1 (3, 0), potom dostaneme 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Rovnosť je pravdivá, čo znamená, že bod patrí k čiare.
Ak dosadíme súradnice bodu M 2 (2, - 2), dostaneme nesprávnu rovnosť tvaru - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Môžeme konštatovať, že bod M 2 nepatrí do priamky.
odpoveď: M 1 patrí do radu, ale M 2 nie.
Je známe, že priamka je definovaná rovnicou y = k · x + b, prechádzajúcou cez M 1 (0, b), pri dosadení dostaneme rovnosť tvaru b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z toho môžeme usúdiť, že rovnica priamky s uhlovým koeficientom y = k x + b v rovine definuje priamku, ktorá prechádza bodom 0, b. S kladným smerom osi O x zviera uhol α, kde k = t g α.
Uvažujme ako príklad priamku definovanú pomocou uhlového koeficientu špecifikovaného v tvare y = 3 x - 1. Dostaneme, že priamka bude prechádzať bodom so súradnicou 0, - 1 so sklonom α = a r c t g 3 = π 3 radiánov v kladnom smere osi O x. To ukazuje, že koeficient je 3.
Rovnica priamky so sklonom prechádzajúcim daným bodom
Je potrebné vyriešiť úlohu, kde je potrebné získať rovnicu priamky s daným sklonom prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1).
Rovnosť y 1 = k · x + b môžeme považovať za platnú, keďže priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1). Ak chcete odstrániť číslo b, musíte odpočítať rovnicu so sklonom z ľavej a pravej strany. Z toho vyplýva, že y - y 1 = k · (x - x 1) . Táto rovnosť sa nazýva rovnica priamky s daným sklonom k, prechádzajúcej súradnicami bodu M 1 (x 1, y 1).
Príklad 5
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M 1 so súradnicami (4, - 1), s uhlovým koeficientom rovným - 2.
Riešenie
Podľa podmienky máme, že x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odtiaľ bude rovnica priamky napísaná takto: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odpoveď: y = -2 x + 7.
Príklad 6
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom, ktorá prechádza bodom M 1 so súradnicami (3, 5), rovnobežnou s priamkou y = 2 x - 2.
Riešenie
Podmienkou máme, že rovnobežné čiary majú rovnaké uhly sklonu, čo znamená, že uhlové koeficienty sú rovnaké. Aby ste našli sklon z tejto rovnice, musíte si zapamätať jej základný vzorec y = 2 x - 2, z toho vyplýva, že k = 2. Zostavíme rovnicu s koeficientom sklonu a dostaneme:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odpoveď: y = 2 x - 1 .
Prechod z rovnej priamky so sklonom k iným typom rovníc priamky a späť
Táto rovnica nie je vždy použiteľná na riešenie problémov, pretože nie je príliš vhodne napísaná. Aby ste to dosiahli, musíte ho prezentovať v inej forme. Napríklad rovnica tvaru y = k x + b nám neumožňuje zapísať súradnice smerového vektora priamky ani súradnice normálového vektora. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť reprezentovať pomocou rovníc iného typu.
Kanonickú rovnicu priamky na rovine môžeme získať pomocou rovnice priamky s uhlovým koeficientom. Dostaneme x - x 1 a x = y - y 1 a y . Je potrebné posunúť člen b na ľavú stranu a deliť vyjadrením výslednej nerovnosti. Potom dostaneme rovnicu v tvare y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Rovnica priamky so sklonom sa stala kanonickou rovnicou tejto priamky.
Príklad 7
Uveďte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom y = - 3 x + 12 do kanonickej podoby.
Riešenie
Vypočítajme a prezentujme ju vo forme kanonickej rovnice priamky. Dostaneme rovnicu v tvare:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpoveď: x 1 = y - 12 - 3.
Všeobecnú rovnicu priamky je najjednoduchšie získať z y = k · x + b, ale na to je potrebné vykonať transformácie: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Prechádza sa zo všeobecnej rovnice priamky na rovnice iného typu.
Príklad 8
Daná priama rovnica tvaru y = 1 7 x - 2 . Zistite, či vektor so súradnicami a → = (- 1, 7) je normálny čiarový vektor?
Riešenie
Na vyriešenie je potrebné prejsť na inú formu tejto rovnice, preto píšeme:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienty pred premennými sú súradnice normálového vektora priamky. Zapíšme si to takto: n → = 1 7, - 1, teda 1 7 x - y - 2 = 0. Je jasné, že vektor a → = (- 1, 7) je kolineárny s vektorom n → = 1 7, - 1, keďže máme spravodlivý vzťah a → = - 7 · n →. Z toho vyplýva, že pôvodný vektor a → = - 1, 7 je normálový vektor priamky 1 7 x - y - 2 = 0, čo znamená, že sa považuje za normálový vektor pre priamku y = 1 7 x - 2.
odpoveď: Je
Poďme vyriešiť inverzný problém tohto.
Je potrebné prejsť od všeobecného tvaru rovnice A x + B y + C = 0, kde B ≠ 0, k rovnici s uhlovým koeficientom. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu pre y. Dostaneme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Výsledkom je rovnica so sklonom rovným -A B.
Príklad 9
Je daná priama rovnica v tvare 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Získajte rovnicu danej priamky s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Na základe podmienky je potrebné vyriešiť pre y, potom dostaneme rovnicu v tvare:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpoveď: y = 1 6 x + 1 4 .
Podobným spôsobom sa rieši rovnica tvaru x a + y b = 1, ktorá sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, alebo kanonická v tvare x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musíme to vyriešiť pre y, až potom dostaneme rovnicu so sklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonická rovnica môže byť zredukovaná na formu s uhlovým koeficientom. Postup:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x x x - a y a x x x 1 + y 1
Príklad 10
Existuje priamka daná rovnicou x 2 + y - 3 = 1. Redukujte na formu rovnice s uhlovým koeficientom.
Riešenie.
Na základe podmienky je potrebné transformovať, potom získame rovnicu v tvare _vzorec_. Obidve strany rovnice sa musia vynásobiť -3, aby sa získala požadovaná rovnica sklonu. Transformáciou dostaneme:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odpoveď: y = 3 2 x - 3.
Príklad 11
Rovnicu priamky tvaru x - 2 2 = y + 1 5 zredukujte na tvar s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Je potrebné vypočítať výraz x - 2 2 = y + 1 5 ako podiel. Dostaneme, že 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz ho musíte úplne povoliť, aby ste to urobili:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 r + 2 ⇔ 2 r = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpoveď: y = 5 2 x - 6 .
Na vyriešenie takýchto problémov by sa parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ mali zredukovať na kanonickú rovnicu priamky, až potom možno prejsť na rovnicu s koeficient sklonu.
Príklad 12
Nájdite sklon priamky, ak je daný parametrickými rovnicami x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Riešenie
Je potrebné prejsť z parametrického pohľadu do svahu. Na tento účel nájdeme kanonickú rovnicu z danej parametrickej rovnice:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz je potrebné vyriešiť túto rovnosť vzhľadom na y, aby sme dostali rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. Ak to chcete urobiť, napíšme to takto:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Z toho vyplýva, že sklon čiary je 2. Toto je napísané ako k = 2.
odpoveď: k = 2.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Priamka y=f(x) sa bude dotýkať grafu znázorneného na obrázku v bode x0, ak prechádza bodom so súradnicami (x0; f(x0)) a má uhlový koeficient f"(x0). Nájdite takýto koeficient, Poznať vlastnosti dotyčnice, nie je to ťažké.
Budete potrebovať
- - matematická referenčná kniha;
- - jednoduchá ceruzka;
- - notebook;
- - uhlomer;
- - kompas;
- - pero.
Pokyny
Ak hodnota f‘(x0) neexistuje, potom buď neexistuje dotyčnica, alebo prebieha vertikálne. Z tohto hľadiska je prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 spôsobená existenciou nevertikálnej dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice bude rovnať f "(x0). Tým sa objasní geometrický význam derivácie - výpočet uhlového koeficientu dotyčnice.
Nakreslite ďalšie dotyčnice, ktoré by boli v kontakte s grafom funkcie v bodoch x1, x2 a x3, a tiež označte uhly, ktoré tieto dotyčnice zvierajú s osou x (tento uhol sa počíta v kladnom smere od osi k dotyčnica). Napríklad uhol, to znamená a1, bude ostrý, druhý (a2) bude tupý a tretí (a3) bude nula, pretože dotyčnica je rovnobežná s osou OX. V tomto prípade je tangens tupého uhla záporný, tangens ostrého uhla je kladný a pri tg0 je výsledok nula.
Vezmite prosím na vedomie
Správne určte uhol, ktorý tvorí dotyčnica. Ak to chcete urobiť, použite uhlomer.
Užitočné rady
Dve naklonené čiary budú rovnobežné, ak sa ich uhlové koeficienty navzájom rovnajú; kolmá, ak sa súčin uhlových koeficientov týchto dotyčníc rovná -1.
Zdroje:
- Tangenta ku grafu funkcie
Kosínus, podobne ako sínus, je klasifikovaný ako „priama“ goniometrická funkcia. Tangenta (spolu s kotangensom) je klasifikovaná ako ďalší pár nazývaný „deriváty“. Existuje niekoľko definícií týchto funkcií, ktoré umožňujú nájsť dotyčnicu danú známou hodnotou kosínusu rovnakej hodnoty.
Pokyny
Odčítajte podiel jednoty o hodnotu zvýšenú na kosínus daného uhla a z výsledku extrahujte druhú odmocninu - toto bude tangentová hodnota uhla vyjadrená jeho kosínusom: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Upozorňujeme, že vo vzorci je kosínus v menovateli zlomku. Nemožnosť delenia nulou vylučuje použitie tohto výrazu pre uhly rovné 90°, ako aj tie, ktoré sa od tejto hodnoty líšia číslami, ktoré sú násobkami 180° (270°, 450°, -90° atď.).
Existuje alternatívny spôsob výpočtu dotyčnice zo známej hodnoty kosínusu. Môže sa použiť, ak neexistujú žiadne obmedzenia na používanie iných. Ak chcete implementovať túto metódu, najprv určte hodnotu uhla zo známej hodnoty kosínusu - to je možné vykonať pomocou funkcie arc cosine. Potom jednoducho vypočítajte dotyčnicu pre uhol výslednej hodnoty. Vo všeobecnosti možno tento algoritmus napísať takto: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Existuje aj exotická možnosť využívajúca definíciu kosínusu a dotyčnice cez ostré uhly pravouhlého trojuholníka. V tejto definícii kosínus zodpovedá pomeru dĺžky nohy susediacej s uvažovaným uhlom k dĺžke prepony. Keď poznáte hodnotu kosínusu, môžete vybrať zodpovedajúce dĺžky týchto dvoch strán. Napríklad, ak cos(α) = 0,5, potom susedná môže byť považovaná za rovnú 10 cm a prepona - 20 cm. Na konkrétnych číslach tu nezáleží - dostanete rovnaké a správne čísla s akýmikoľvek hodnotami, ktoré majú rovnaké. Potom pomocou Pytagorovej vety určte dĺžku chýbajúcej strany - opačnej nohy. Bude sa rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi dĺžkami druhej prepony a známej vetvy: √(20²-10²)=√300. Podľa definície dotyčnica zodpovedá pomeru dĺžok protiľahlých a susedných ramien (√300/10) - vypočítajte to a získajte hodnotu dotyčnice zistenú pomocou klasickej definície kosínusu.
Zdroje:
- kosínus cez tangentový vzorec
Jedna z goniometrických funkcií, najčastejšie sa označuje písmenami tg, aj keď sa používa aj tan. Najjednoduchší spôsob vyjadrenia dotyčnice je sínusový pomer uhol na jeho kosínus. Ide o nepárnu periodickú a nespojitú funkciu, ktorej každý cyklus sa rovná číslu Pi a bod zlomu zodpovedá polovici tohto čísla.
V matematike je jedným z parametrov, ktorý popisuje polohu priamky na kartézskej súradnicovej rovine, uhlový koeficient tejto priamky. Tento parameter charakterizuje sklon priamky k osi x. Aby ste pochopili, ako nájsť sklon, najprv si spomeňte na všeobecný tvar rovnice priamky v súradnicovom systéme XY.
Vo všeobecnosti možno akúkoľvek priamku znázorniť výrazom ax+by=c, kde a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla, ale a 2 + b 2 ≠ 0.
Pomocou jednoduchých transformácií možno takúto rovnicu dostať do tvaru y=kx+d, v ktorom k a d sú reálne čísla. Číslo k je sklon a rovnica priamky tohto typu sa nazýva rovnica so sklonom. Ukazuje sa, že na nájdenie sklonu stačí zmenšiť pôvodnú rovnicu na vyššie uvedenú formu. Pre lepšie pochopenie zvážte konkrétny príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 36x - 18y = 108
Riešenie: Transformujme pôvodnú rovnicu.
Odpoveď: Požadovaný sklon tejto čiary je 2.
Ak sme pri transformácii rovnice dostali výraz ako x = const a v dôsledku toho nemôžeme reprezentovať y ako funkciu x, potom máme čo do činenia s priamkou rovnobežnou s osou X priamka sa rovná nekonečnu.
Pre priamky vyjadrené rovnicou ako y = const je sklon nulový. To je typické pre priame čiary rovnobežné s osou x. Napríklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Riešenie: Uveďme pôvodnú rovnicu do jej všeobecného tvaru
24x + 12r - 12r + 28 = 4
Z výsledného výrazu nie je možné vyjadriť y, preto sa uhlový koeficient tejto priamky rovná nekonečnu a priamka samotná bude rovnobežná s osou Y.
Geometrický význam
Pre lepšie pochopenie sa pozrime na obrázok:
Na obrázku vidíme graf funkcie ako y = kx. Pre zjednodušenie zoberme koeficient c = 0. V trojuholníku OAB bude pomer strany BA k AO rovný uhlovému koeficientu k. Pomer BA/AO je zároveň tangensom ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku OAB. Ukazuje sa, že uhlový koeficient priamky sa rovná dotyčnici uhla, ktorý táto priamka zviera so súradnicovou osou súradnicovej siete.
Pri riešení problému, ako nájsť uhlový koeficient priamky, nájdeme dotyčnicu uhla medzi ňou a osou X súradnicovej siete. Hraničné prípady, keď je príslušná čiara rovnobežná so súradnicovými osami, potvrdzujú vyššie uvedené. Pre priamku opísanú rovnicou y=const je uhol medzi ňou a osou x nulový. Tangenta nulového uhla je tiež nula a sklon je tiež nulový.
Pre priamky kolmé na os x a opísané rovnicou x=konšt. je uhol medzi nimi a osou X 90 stupňov. Tangenta pravého uhla sa rovná nekonečnu a uhlový koeficient podobných priamok je tiež rovný nekonečnu, čo potvrdzuje to, čo bolo napísané vyššie.
Tangentový sklon
Častou úlohou, s ktorou sa v praxi často stretávame, je tiež nájsť sklon dotyčnice ku grafu funkcie v určitom bode. Dotyčnica je priamka, preto sa na ňu vzťahuje aj pojem sklon.
Aby sme zistili, ako nájsť sklon dotyčnice, budeme si musieť pripomenúť pojem derivácie. Derivácia ľubovoľnej funkcie v určitom bode je konštanta, ktorá sa číselne rovná dotyčnici uhla, ktorý je vytvorený medzi dotyčnicou v zadanom bode ku grafu tejto funkcie a osou x. Ukazuje sa, že na určenie uhlového koeficientu dotyčnice v bode x 0 musíme vypočítať hodnotu derivácie pôvodnej funkcie v tomto bode k = f"(x 0). Pozrime sa na príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky dotyčnice k funkcii y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Riešenie: Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie vo všeobecnom tvare
y"(0,1) = 24, 0,1 + 2, 0,1. e 0,1 + 2, e 0,1
Odpoveď: Požadovaný sklon v bode x = 0,1 je 4,831
Derivácia funkcie je jednou z ťažkých tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.
Tento článok jednoduchým a jasným spôsobom vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. V prezentácii sa teraz nebudeme snažiť o matematickú prísnosť. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie rýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:
Graf zobrazuje všetko naraz, nie? Kostyov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matveyho príjem klesol na nulu. Počiatočné podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, tj derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, jeho príjmový derivát je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne ľahko odhadneme rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa mení y, keď sa mení x? Je zrejmé, že rovnaká funkcia v rôznych bodoch môže mať rôzne derivačné hodnoty - to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje .
Ukážeme vám, ako ho nájsť pomocou grafu.
Bol nakreslený graf nejakej funkcie. Zoberme si bod s osou x. V tomto bode nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme odhadnúť, ako strmo stúpa funkčný graf. Výhodná hodnota pre to je tangens tangens uhla.
Derivácia funkcie v bode sa rovná tangente dotyčnicového uhla nakresleného ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme, že ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, čo je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s grafom v tejto časti a ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.
Poďme to nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto problémy sa často nachádzajú v Jednotnej štátnej skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jeden dôležitý vzťah. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici dotyčnicového uhla.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvýši. Dotyčnica ku grafu nakreslenému v bode tvorí ostrý uhol; s kladným smerom osi. To znamená, že derivácia v bode je kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol; s kladným smerom osi. Keďže tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
Čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v bodoch (maximálny bod) a (minimálny bod) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica dotyčnice v týchto bodoch nula a derivácia je tiež nulová.
Bod - maximálny bod. V tomto bode je nárast funkcie nahradený poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - je derivácia tiež nulová, ale jej znamienko sa mení z „mínus“ na „plus“.
Záver: pomocou derivácie môžeme zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia sa zvyšuje.
Ak je derivácia záporná, funkcia klesá.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z „plus“ na „mínus“.
V minimálnom bode je derivácia tiež nula a mení znamienko z „mínus“ na „plus“.
Zapíšme si tieto závery vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesá | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Pri riešení problému budete potrebovať jeden z nich. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možné, že derivácia funkcie sa v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Ide o tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Pred bodom sa však funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostáva kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivát neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
