Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.
Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.
Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.
Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek priľahlých k nej pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
„Nájdi rozšírenie Maclaurinovho radu funkcie f(x)“ – presne tak znie úloha z vyššej matematiky, ktorú niektorí študenti zvládnu, iní si s príkladmi nevedia rady. Existuje niekoľko spôsobov, ako rozšíriť sériu v mocninách; Pri vývoji funkcie v rade musíte byť dobrí vo výpočte derivácií.
Príklad 4.7 Rozviňte funkciu v mocninách x
Výpočty: Rozšírenie funkcie vykonáme podľa Maclaurinovho vzorca. Najprv rozviňme menovateľa funkcie na rad 
Nakoniec rozšírenie vynásobte čitateľom.
Prvý člen je hodnota funkcie pri nule f (0) = 1/3.
Nájdite derivácie funkcie prvého a vyššieho rádu f (x) a hodnotu týchto derivácií v bode x=0 
Ďalej na základe vzoru zmien hodnoty derivátov pri 0 napíšeme vzorec pre n-tý derivát 
Predstavujeme teda menovateľa v podobe rozšírenia série Maclaurin 
Vynásobíme čitateľom a dostaneme želaný rozvoj funkcie v rade v mocninách x 
Ako vidíte, nie je tu nič zložité.
Všetky kľúčové body sú založené na schopnosti vypočítať derivácie a rýchlo zovšeobecniť hodnotu derivácie vyššieho rádu na nulu. Nasledujúce príklady vám pomôžu naučiť sa rýchlo usporiadať funkciu do série.
Príklad 4.10 Nájdite rozšírenie funkcie Maclaurinovho radu
Výpočty: Ako ste možno uhádli, kosínus dáme do čitateľa v rade. Na tento účel môžete použiť vzorce pre nekonečne malé množstvá alebo odvodiť expanziu kosínusu pomocou derivácií. Výsledkom je, že sa dostaneme k nasledujúcemu radu v mocninách x 
Ako vidíte, máme minimum výpočtov a kompaktné znázornenie rozšírenia série.
Príklad 4.16 Rozviňte funkciu v mocninách x:
7/(12-x-x^2)
Výpočty: V tomto druhu príkladov je potrebné zlomok rozšíriť súčtom jednoduchých zlomkov.
Teraz si neukážeme, ako na to, ale pomocou neurčitých koeficientov dospejeme k súčtu zlomkov.
Ďalej zapíšeme menovateľov v exponenciálnom tvare 
Zostáva rozšíriť pojmy pomocou vzorca Maclaurin. Zhrnutím členov s rovnakými mocninami „x“ vytvoríme vzorec pre všeobecný člen rozšírenia funkcie v rade 
Posledná časť prechodu na sériu na začiatku je ťažko realizovateľná, keďže je náročné kombinovať vzorce pre párové a nepárové indexy (stupne), ale praxou sa v tom zdokonalíte.
Príklad 4.18 Nájdite rozšírenie funkcie Maclaurinovým radom
Výpočty: Nájdime deriváciu tejto funkcie: 
Rozšírme funkciu do série pomocou jedného z McLarenových vzorcov: 
Sčítame člen radu po člene na základe skutočnosti, že oba sú absolútne identické. Integrovaním celého radu člen po člene dostaneme rozšírenie funkcie do radu v mocninách x 
Medzi poslednými dvoma riadkami rozšírenia je prechod, ktorý vám na začiatku zaberie veľa času. Zovšeobecnenie sériovej receptúry nie je pre každého jednoduché, takže sa nemusíte obávať, že by ste nemohli získať pekný, kompaktný vzorec.
Príklad 4.28 Nájdite rozšírenie funkcie Maclaurinovho radu:
Napíšme logaritmus nasledovne 
Pomocou Maclaurinovho vzorca rozšírime logaritmickú funkciu v rade v mocninách x 
Záverečná konvolúcia je na prvý pohľad zložitá, no pri striedaní znamení vždy dostanete niečo podobné. Vstupná lekcia na tému plánovania funkcií v rade je dokončená. Ďalšie nemenej zaujímavé schémy rozkladu budú podrobne diskutované v nasledujúcich materiáloch.
Študenti vyššej matematiky by mali vedieť, že súčet určitého mocninného radu prislúchajúceho do intervalu konvergencie radu, ktorý nám bol daný, sa ukazuje ako spojitá a neobmedzene mnohonásobne diferencovaná funkcia. Vzniká otázka: je možné povedať, že daná ľubovoľná funkcia f(x) je súčtom určitého mocninného radu? To znamená, za akých podmienok môže byť funkcia f(x) reprezentovaná mocninným radom? Dôležitosť tejto otázky spočíva v tom, že je možné približne nahradiť funkciu f(x) súčtom niekoľkých prvých členov mocninného radu, teda polynómu. Toto nahradenie funkcie pomerne jednoduchým výrazom - polynómom - je tiež vhodné pri riešení určitých problémov, a to: pri riešení integrálov, pri výpočte atď.
Je dokázané, že pre určitú funkciu f(x), v ktorej je možné počítať derivácie až do (n+1)-ého rádu, vrátane posledného, v okolí (α - R; x 0 + R ) nejaký bod x = α, je pravda, že vzorec:
Tento vzorec je pomenovaný po slávnej vedkyni Brooke Taylor. Séria získaná z predchádzajúcej sa nazýva séria Maclaurin:
Pravidlo, ktoré umožňuje vykonať rozšírenie v sérii Maclaurin:
Rn (x) -> 0 v n -> nekonečne. Ak existuje, funkcia f(x) v ňom sa musí zhodovať so súčtom Maclaurinovho radu.
Uvažujme teraz sériu Maclaurin pre jednotlivé funkcie.
1. Takže prvý bude f(x) = e x. Samozrejme, podľa svojich charakteristík má takáto funkcia derivácie veľmi odlišných rádov a f (k) (x) = e x , kde k sa rovná všetkým. Dostaneme f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Na základe vyššie uvedeného bude rad e x vyzerať takto:
2. Maclaurinov rad pre funkciu f(x) = sin x. Hneď si ujasnime, že funkcia pre všetky neznáme bude mať derivácie, navyše f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kde k sa rovná ľubovoľnému prirodzenému číslu To znamená, že po vykonaní jednoduchých výpočtov môžeme prísť záver, že rad pre f(x) = sin x bude vyzerať takto:
3. Teraz skúsme zvážiť funkciu f(x) = cos x. Pre všetky neznáme má derivácie ľubovoľného poriadku a |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
