Obdĺžnikový lichobežník: všetky vzorce a príklady úloh. Lichobežník riešenie úloh geometrie Ako vyriešiť lichobežník

Aby sme pochopili, ako riešiť problémy s lichobežníkmi, je užitočné zapamätať si tri základné riešenia.

I. Nakreslite dve výšky.

Ia. Štvoruholník BCKF je obdĺžnik (keďže všetky jeho uhly sú pravé). Preto FK=BC.

AD=AF+FK+KD, teda AD=AF+BC+KD.

Trojuholníky ABF a DCK sú pravouhlé trojuholníky.

(Do úvahy treba vziať aj inú možnosť:

Ib.

V tomto prípade AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)

Ic. Ak je lichobežník rovnoramenný, riešenie problému je zjednodušené:

V tomto prípade sú pravouhlé trojuholníky ABF a DCK rovnaké, napríklad pozdĺž ramena a prepony (AB=CD podľa podmienky, BF=CK ako výška lichobežníka). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že zodpovedajúce strany sú rovnaké:

AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.

II. Nakreslite rovnú čiaru rovnobežnú so stranou.

IIa. CD BM∥. Keďže BC∥ AD (ako základne lichobežníka), BCDM je rovnobežník. Preto MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.

IIb. Najmä pre rovnoramenný lichobežník

BM∥CD. Keďže CD=AB, tak BM=AB. To znamená, že dostaneme rovnoramenný trojuholník ABM a rovnobežník BCDM.

III. Pokračujte po stranách a získajte trojuholník.

Priamky AB a CD sa pretínajú v bode P.

Trojuholníky APD a BPC sú podobné v dvoch uhloch (uhol P je spoločný, ∠ PAD= ∠ PBC zodpovedá BC∥ AD a sečnovému AP).

Preto sú ich strany proporcionálne:

Tieto tri prístupy k riešeniu lichobežníkových problémov sú hlavné. Okrem nich existuje mnoho ďalších spôsobov. Niektoré sú recenzované na tejto stránke. Napríklad, ako riešiť úlohy s lichobežníkom, ktorého uhlopriečky sú kolmé.

Všetkým maturantom, ktorí sa pripravujú na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, bude užitočné osviežiť si pamäť na tému „Voľný lichobežník“. Ako ukázala dlhoročná prax, planimetrické úlohy z tohto úseku spôsobujú mnohým stredoškolákom isté ťažkosti. Zároveň je pri absolvovaní základnej aj profilovej úrovne certifikačného testu potrebné riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky na tému „Voľný lichobežník“. Preto by takéto cvičenia mali zvládnuť všetci absolventi.

Ako sa pripraviť na skúšku?

Väčšina planimetrických úloh sa rieši klasickými konštrukciami. Ak v probléme s jednotnou štátnou skúškou potrebujete nájsť napríklad oblasť lichobežníka znázornenú na obrázku, oplatí sa na výkrese označiť všetky známe parametre. Potom si zapamätajte hlavné vety, ktoré s nimi súvisia. Ich použitím budete môcť nájsť správnu odpoveď.

Aby bola vaša príprava na skúšku skutočne efektívna, navštívte vzdelávací portál Shkolkovo. Nájdete tu všetok základný materiál k témam „Voľná ​​hrazda alebo ktorý vám pomôže úspešne zložiť Jednotnú štátnu skúšku. Hlavné vlastnosti obrázku, vzorcov a teorémov sú zhromaždené v časti „Teoretické informácie“.

Absolventi si budú môcť zdokonaliť svoje zručnosti v riešení problémov aj na našom matematickom portáli. Sekcia „Katalóg“ predstavuje veľký výber relevantných cvičení rôznych úrovní obtiažnosti. Naši špecialisti pravidelne aktualizujú a dopĺňajú zoznam úloh.

Študenti z Moskvy a iných miest môžu dôsledne vykonávať cvičenia online. V prípade potreby je možné akúkoľvek úlohu uložiť do časti „Obľúbené“ a neskôr sa k nej vrátiť a prediskutovať s učiteľom.

Prax minuloročnej Jednotnej štátnej skúšky a štátnej skúšky ukazuje, že problémy s geometriou spôsobujú mnohým školákom ťažkosti. Ľahko si s nimi poradíte, ak si zapamätáte všetky potrebné vzorce a precvičíte si riešenie problémov.

V tomto článku uvidíte vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka, ako aj príklady problémov s riešeniami. Na tie isté môžete naraziť v KIM pri certifikačných skúškach alebo na olympiádach. Preto s nimi zaobchádzajte opatrne.

Čo potrebujete vedieť o lichobežníku?

Na začiatok si to pripomeňme lichobežník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany, tiež nazývané základne, rovnobežné a ostatné dve nie sú.

V lichobežníku možno výšku (kolmo na základňu) aj znížiť. Stredná čiara je nakreslená - je to priamka, ktorá je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu. Rovnako ako uhlopriečky, ktoré sa môžu pretínať a vytvárať ostré a tupé uhly. Alebo v niektorých prípadoch v pravom uhle. Okrem toho, ak je lichobežník rovnoramenný, môže byť do neho vpísaný kruh. A opíšte okolo neho kruh.

Vzorce lichobežníkovej oblasti

Najprv sa pozrime na štandardné vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka. Nižšie zvážime spôsoby výpočtu plochy rovnoramenných a krivočiarych lichobežníkov.

Predstavte si teda, že máte lichobežník so základňami a a b, v ktorých je výška h znížená na väčšiu základňu. Výpočet plochy postavy je v tomto prípade rovnako jednoduchý ako lúskanie hrušiek. Stačí vydeliť súčet dĺžok základov dvoma a výsledok vynásobiť výškou: S = 1/2 (a + b) x h.

Zoberme si ďalší prípad: predpokladajme, že v lichobežníku je okrem výšky aj stredná čiara m. Poznáme vzorec na zistenie dĺžky strednej čiary: m = 1/2(a + b). Preto môžeme oprávnene zjednodušiť vzorec pre oblasť lichobežníka na nasledujúci tvar: S = m*h. Inými slovami, ak chcete nájsť oblasť lichobežníka, musíte vynásobiť stredovú čiaru výškou.

Zoberme si inú možnosť: lichobežník obsahuje uhlopriečky d 1 a d 2, ktoré sa nepretínajú v pravom uhle α. Na výpočet plochy takéhoto lichobežníka je potrebné rozdeliť súčin uhlopriečok dvoma a výsledok vynásobiť hriechom uhla medzi nimi: S = 1/2 d 1 d 2 *sinα.

Teraz zvážte vzorec na nájdenie oblasti lichobežníka, ak o ňom nie je známe nič okrem dĺžok všetkých jeho strán: a, b, c a d. Toto je ťažkopádny a zložitý vzorec, ale bude pre vás užitočné zapamätať si ho pre každý prípad: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimochodom, vyššie uvedené príklady platia aj pre prípad, keď potrebujete vzorec pre oblasť obdĺžnikového lichobežníka. Ide o lichobežník, ktorého strana prilieha k základniam v pravom uhle.

Rovnoramenný lichobežník

Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Zvážime niekoľko možností pre vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka.

Prvá možnosť: pre prípad, keď je do rovnoramenného lichobežníka vpísaná kružnica s polomerom r a bočná a väčšia základňa zvierajú ostrý uhol α. Kruh môže byť vpísaný do lichobežníka za predpokladu, že súčet dĺžok jeho základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Plocha rovnoramenného lichobežníka sa vypočíta takto: vynásobte štvorec polomeru vpísanej kružnice štyrmi a všetko vydeľte sinα: S = 4r2/sinα. Ďalší plošný vzorec je špeciálny prípad pre možnosť, keď je uhol medzi veľkou základňou a stranou 30 0: S = 8r2.

Druhá možnosť: tentoraz vezmeme rovnoramenný lichobežník, v ktorom sú navyše nakreslené uhlopriečky d 1 a d 2, ako aj výška h. Ak sú uhlopriečky lichobežníka navzájom kolmé, výška je polovica súčtu základní: h = 1/2(a + b). Keď to viete, je ľahké premeniť vzorec pre oblasť lichobežníka, ktorý je vám už známy, do tejto formy: S = h 2.

Vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka

Začnime tým, že zistíme, čo je zakrivený lichobežník. Predstavte si súradnicovú os a graf spojitej a nezápornej funkcie f, ktorá nemení znamienko v rámci daného segmentu na osi x. Krivočiary lichobežník je tvorený grafom funkcie y = f(x) - hore je os x dole (segment) a po stranách - priamkami nakreslenými medzi bodmi a a b a grafom funkcia.

Pomocou vyššie uvedených metód nie je možné vypočítať plochu takejto neštandardnej hodnoty. Tu musíte použiť matematickú analýzu a použiť integrál. Konkrétne: Newtonov-Leibnizov vzorec - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tomto vzorci je F primitívna funkcia našej funkcie na vybranom segmente. A plocha krivočiareho lichobežníka zodpovedá prírastku primitívnej derivácie na danom segmente.

Vzorové problémy

Aby boli všetky tieto vzorce vo vašej hlave ľahšie pochopiteľné, uvádzame niekoľko príkladov problémov pri hľadaní oblasti lichobežníka. Najlepšie bude, ak sa najprv pokúsite problémy vyriešiť sami a až potom porovnáte odpoveď, ktorú dostanete, s hotovým riešením.

Úloha č. 1: Daný lichobežník. Jeho väčšia základňa má 11 cm, menšia 4 cm. Lichobežník má uhlopriečky, jedna je dlhá 12 cm, druhá 9 cm.

Riešenie: Zostrojte lichobežníkový AMRS. Nakreslite priamku РХ cez vrchol P tak, aby bola rovnobežná s uhlopriečkou MC a pretínala priamku AC v bode X. Dostanete trojuholník APХ.

Budeme brať do úvahy dve čísla získané ako výsledok týchto manipulácií: trojuholník APX a rovnobežník CMRX.

Vďaka rovnobežníku sa dozvieme, že PX = MC = 12 cm a CX = MR = 4 cm. Odkiaľ môžeme vypočítať stranu AX trojuholníka ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Môžeme tiež dokázať, že trojuholník APX je pravouhlý (na tento účel použite Pytagorovu vetu - AX 2 = AP 2 + PX 2). A vypočítajte jeho plochu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm2.

Ďalej budete musieť dokázať, že trojuholníky AMP a PCX majú rovnakú plochu. Základom bude rovnosť strán MR a CX (už overená vyššie). A tiež výšky, ktoré na týchto stranách znížite – rovnajú sa výške lichobežníka AMRS.

To všetko vám umožní povedať, že S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Úloha č. 2: Je daný lichobežník KRMS. Na jeho bočných stranách sú body O a E, pričom OE a KS sú rovnobežné. Je tiež známe, že plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5. RM = a a KS = b. Musíte nájsť OE.

Riešenie: Nakreslite priamku rovnobežnú s RK cez bod M a označte jej priesečník s OE ako T. A je priesečník priamky vedenej bodom E rovnobežne s RK so základňou KS.

Zavedieme ešte jeden zápis - OE = x. A tiež výška h 1 pre trojuholník TME a výška h 2 pre trojuholník AEC (podobnosť týchto trojuholníkov môžete nezávisle dokázať).

Budeme predpokladať, že b > a. Plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5, čo nám dáva právo vytvoriť nasledujúcu rovnicu: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Transformujme a získame: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Keďže trojuholníky TME a AEC sú podobné, máme h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Skombinujme oba údaje a získame: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Teda OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Záver

Geometria nie je najľahšia z vied, ale s otázkami na skúšku si určite poradíte. V príprave stačí ukázať trochu vytrvalosti. A samozrejme si zapamätajte všetky potrebné vzorce.

Snažili sme sa zhromaždiť všetky vzorce na výpočet plochy lichobežníka na jednom mieste, aby ste ich mohli použiť pri príprave na skúšky a revízii materiálu.

O tomto článku určite povedzte svojim spolužiakom a priateľom na sociálnych sieťach. Nech je viac dobrých známok pre jednotnú štátnu skúšku a štátne skúšky!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Problémy lichobežníka sa nezdajú ťažké v mnohých tvaroch, ktoré boli predtým študované. Za špeciálny prípad sa považuje pravouhlý lichobežník. A pri hľadaní jeho oblasti je niekedy vhodnejšie rozdeliť ho na dva už známe: obdĺžnik a trojuholník. Stačí sa trochu zamyslieť a určite nájdete riešenie.

Definícia pravouhlého lichobežníka a jeho vlastnosti

Ľubovoľný lichobežník má paralelné základne a strany k nim môžu mať ľubovoľné uhly. Ak vezmeme do úvahy obdĺžnikový lichobežník, potom jedna z jeho strán je vždy kolmá na základne. To znamená, že dva uhly v ňom budú rovné 90 stupňom. Okrem toho vždy patria k susedným vrcholom alebo, inými slovami, na rovnakú stranu.

Každá uhlopriečka tvorí svojou menšou stranou pravouhlý trojuholník. A výška, ktorá je nakreslená z vrcholu s tupým uhlom, rozdeľuje postavu na dve časti. Jeden z nich je obdĺžnik a druhý je pravouhlý trojuholník. Mimochodom, táto strana sa vždy rovná výške lichobežníka.

Aké zápisy sa používajú v prezentovaných vzorcoch?

Je vhodné okamžite špecifikovať všetky množstvá použité v rôznych výrazoch, ktoré opisujú lichobežník a prezentovať ich v tabuľke:

Vzorce, ktoré opisujú prvky pravouhlého lichobežníka

Najjednoduchší z nich súvisí s výškou a menšou stranou:

Niekoľko ďalších vzorcov pre túto stranu pravouhlého lichobežníka:

с = d *sinα;

c = (a - b) * tan a;

c = √ (d2 - (a - b) 2).

Prvý vyplýva z pravouhlého trojuholníka. A hovorí, že noha k prepone dáva sínus opačného uhla.

V tom istom trojuholníku sa druhá noha rovná rozdielu dvoch základní. Preto tvrdenie, ktoré sa rovná dotyčnici uhla k pomeru nôh, je pravdivé.

Z toho istého trojuholníka možno odvodiť vzorec na základe znalosti Pytagorovej vety. Toto je tretí zaznamenaný výraz.

d = (a - b) /cosa;

d = c / sin a;

d = √ (c2 + (a - b) 2).

Prvé dve sú opäť získané z pomeru strán v tom istom pravouhlom trojuholníku a druhé je odvodené z Pytagorovej vety.

Aký vzorec môžete použiť na výpočet plochy?

Ten, ktorý je daný pre voľný lichobežník. Len je potrebné vziať do úvahy, že výška je strana kolmá na základne.

S = (a + b) * h/2.

Tieto množstvá nie sú vždy výslovne uvedené. Preto na výpočet plochy obdĺžnikového lichobežníka budete musieť vykonať nejaké matematické výpočty.

Čo ak potrebujete vypočítať uhlopriečky?

V tomto prípade musíte vidieť, že tvoria dva pravouhlé trojuholníky. To znamená, že vždy môžete použiť Pytagorovu vetu. Potom bude prvá uhlopriečka vyjadrená takto:

d1 = √ (c 2 + b 2)

alebo iným spôsobom nahradením „c“ za „h“:

d1 = √ (h2 + b2).

Vzorce pre druhú uhlopriečku sa získajú podobným spôsobom:

d2 = √ (c 2 + b 2) alebo d 2 = √ (h2 + a2).

Úloha č.1

Podmienka. Plocha obdĺžnikového lichobežníka je známa a rovná sa 120 dm2. Jeho výška má dĺžku 8 cm. Je potrebné vypočítať všetky strany lichobežníka. Ďalšou podmienkou je, že jedna základňa je o 6 dm menšia ako druhá.

Riešenie. Keďže nám je daný obdĺžnikový lichobežník, v ktorom je známa výška, môžeme hneď povedať, že jedna zo strán je 8 dm, teda menšia strana.

Teraz môžete spočítať druhú: d = √ (c 2 + (a - b) 2). Navyše je tu uvedená strana c aj rozdiel báz naraz. Ten sa rovná 6 dm, to je známe z podmienky. Potom sa d bude rovnať druhej odmocnine z (64 + 36), teda 100. Takto sa nájde ďalšia strana rovná 10 dm.

Súčet základov možno zistiť zo vzorca pre plochu. Bude sa rovnať dvojnásobku plochy vydelenej výškou. Ak spočítate, vyjde vám 240 / 8. To znamená, že súčet základov je 30 dm. Na druhej strane ich rozdiel je 6 dm. Kombináciou týchto rovníc môžete spočítať obe základy:

a + b = 30 a a - b = 6.

Môžete vyjadriť a ako (b + 6), dosadiť ho do prvej rovnosti. Potom sa ukáže, že 2b sa bude rovnať 24. Preto sa jednoducho b ukáže ako 12 dm.

Potom posledná strana a je 18 dm.

Odpoveď. Strany pravouhlého lichobežníka: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Úloha č.2

Podmienka. Daný obdĺžnikový lichobežník. Jeho hlavná strana sa rovná súčtu báz. Jeho výška je 12 cm. Je skonštruovaný obdĺžnik, ktorého strany sa rovnajú základniam lichobežníka. Je potrebné vypočítať plochu tohto obdĺžnika.

Riešenie. Musíte začať tým, čo hľadáte. Požadovaná plocha sa určí ako súčin a a b. Obe tieto množstvá nie sú známe.

Bude potrebné použiť ďalšie rovnosti. Jeden z nich vychádza z výroku z podmienky: d = a + b. Pre túto stranu je potrebné použiť tretí vzorec, ktorý je uvedený vyššie. Ukazuje sa: d 2 = c 2 + (a - b) 2 alebo (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2.

Je potrebné vykonať transformácie tak, že namiesto c dosadíme jeho hodnotu z podmienky - 12. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných členov sa ukáže, že 144 = 4 ab.

Na začiatku riešenia bolo povedané, že a*b udáva požadovanú plochu. Preto v poslednom výraze môžete tento produkt nahradiť S. Jednoduchým výpočtom získate hodnotu plochy. S = 36 cm2.

Odpoveď. Potrebná plocha je 36 cm2.

Úloha č.3

Podmienka. Plocha pravouhlého lichobežníka je 150√3 cm². Ostrý uhol je 60 stupňov. Uhol medzi malou základňou a menšou uhlopriečkou má rovnaký význam. Musíme vypočítať menšiu uhlopriečku.

Riešenie. Z vlastností uhlov lichobežníka sa ukazuje, že jeho tupý uhol je 120 °. Potom ju uhlopriečka rozdelí na rovnaké časti, pretože jedna jej časť má už 60 stupňov. Potom je uhol medzi touto uhlopriečkou a druhou základňou tiež 60 stupňov. To znamená, že trojuholník tvorený veľkou základňou, naklonenou stranou a menšou uhlopriečkou je rovnostranný. Požadovaná uhlopriečka sa teda bude rovnať a, ako aj bočná strana d = a.

Teraz musíme zvážiť pravouhlý trojuholník. Tretí uhol v ňom je 30 stupňov. To znamená, že opačná noha sa rovná polovici prepony. To znamená, že menšia základňa lichobežníka sa rovná polovici požadovanej uhlopriečky: b = a/2. Z nej musíte nájsť výšku rovnajúcu sa strane kolmej na základne. Tu stranu s nohou. Z Pytagorovej vety:

c = (a/2) * √3.

Teraz už zostáva len nahradiť všetky množstvá do plošného vzorca:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Vyriešením tejto rovnice dostaneme koreň 20

Odpoveď. Menšia uhlopriečka má dĺžku 20 cm.

V tomto článku sme pre vás pripravili ďalší výber problémov s lichobežníkom. Podmienky nejako súvisia s jeho strednou čiarou. Typy úloh sú prevzaté z otvorenej banky typických úloh. Ak chcete, môžete si obnoviť svoje teoretické vedomosti. Na blogu sa už rozoberali úlohy, ktorých podmienky súvisia, ako aj. Stručne o strednej čiare:

Stredová čiara lichobežníka spája stredné body bočných strán. Je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

Pred riešením problémov sa pozrime na teoretický príklad.

Daný lichobežník ABCD. Uhlopriečka AC pretínajúca sa so strednou čiarou tvorí bod K, uhlopriečka BD bod L. Dokážte, že úsečka KL sa rovná polovici rozdielu základní.

Najprv si všimnime skutočnosť, že stredová čiara lichobežníka pretína každý segment, ktorého konce ležia na jeho základniach. Tento záver naznačuje sám seba. Predstavte si segment spájajúci dva body základne, ktorý rozdelí tento lichobežník na dva ďalšie. Ukazuje sa, že segment rovnobežný so základňami lichobežníka a prechádzajúci stredom strany prejde stredom druhej strany.

Toto je tiež založené na Thalesovej vete:

Ak je niekoľko rovnakých segmentov usporiadaných za sebou na jednej z dvoch čiar a cez ich konce, ktoré pretínajú druhú čiaru, sú nakreslené rovnobežné čiary, odrežú rovnaké časti na druhej čiare.

To znamená, že v tomto prípade K je stred AC a L je stred BD. Preto EK je stredná čiara trojuholníka ABC, LF je stredná čiara trojuholníka DCB. Podľa vlastnosti stredovej čiary trojuholníka:

Teraz môžeme segment KL vyjadriť pomocou báz:

Osvedčené!

Tento príklad je uvedený z nejakého dôvodu. V úlohách na samostatné riešenie je práve takáto úloha. Len to nehovorí, že segment spájajúci stredy uhlopriečok leží na stredovej čiare. Zoberme si úlohy:

27819. Nájdite stredovú čiaru lichobežníka, ak sú jeho základne 30 a 16.

Vypočítame pomocou vzorca:

27820. Stredná čiara lichobežníka je 28 a menšia základňa je 18. Nájdite väčšiu základňu lichobežníka.

Vyjadrime väčšiu základňu:

Takto:

27836. Kolmica spadnutá z vrcholu tupého uhla k väčšej základni rovnoramenného lichobežníka ho rozdeľuje na časti s dĺžkou 10 a 4. Nájdite stredovú čiaru tohto lichobežníka.

Aby ste našli strednú čiaru, musíte poznať základy. Základ AB je ľahké nájsť: 10+4=14. Poďme nájsť DC.

Zostrojme druhý kolmý DF:

Segmenty AF, FE a EB budú rovné 4, 6 a 4 Prečo?

V rovnoramennom lichobežníku ho kolmice spustené k väčšej základni rozdeľujú na tri segmenty. Dve z nich, ktoré sú nohami odrezaných pravouhlých trojuholníkov, sú si navzájom rovné. Tretí segment sa rovná menšej základni, pretože pri konštrukcii uvedených výšok sa vytvorí obdĺžnik a v obdĺžniku sú protiľahlé strany rovnaké. V tejto úlohe:

Teda DC = 6. Vypočítame:

27839. Základy lichobežníka sú v pomere 2:3 a stredová čiara je 5. Nájdite menšiu základňu.

Zavedieme koeficient úmernosti x. Potom AB=3x, DC=2x. Môžeme napísať:

Preto je menšia základňa 2∙2=4.

27840. Obvod rovnoramenného lichobežníka je 80, jeho stredová čiara sa rovná bočnej strane. Nájdite stranu lichobežníka.

Na základe podmienky môžeme napísať:

Ak označíme strednú čiaru cez hodnotu x, dostaneme:

Druhá rovnica už môže byť napísaná ako:

27841. Stredná čiara lichobežníka je 7 a jedna z jeho základn je o 4 väčšia ako druhá. Nájdite väčšiu základňu lichobežníka.

Menšiu základňu (DC) označme ako x, potom väčšia (AB) sa bude rovnať x+4. Môžeme si to zapísať

Zistili sme, že menšia základňa je skorých päť, čo znamená, že väčšia sa rovná 9.

27842. Stredná čiara lichobežníka je 12. Jedna z uhlopriečok ho rozdeľuje na dva segmenty, ktorých rozdiel je 2. Nájdite väčšiu základňu lichobežníka.

Väčšiu základňu lichobežníka ľahko nájdeme, ak vypočítame úsečku EO. Je to stredná čiara v trojuholníku ADB a AB=2∙EO.

čo máme? Hovorí sa, že stredná čiara sa rovná 12 a rozdiel medzi segmentmi EO a ОF je rovný 2. Môžeme napísať dve rovnice a vyriešiť systém:

Je jasné, že v tomto prípade môžete vybrať pár čísel bez výpočtov, sú to 5 a 7. Napriek tomu však poďme vyriešiť systém:

Takže EO=12–5=7. Väčšia základňa sa teda rovná AB=2∙EO=14.

27844. V rovnoramennom lichobežníku sú uhlopriečky kolmé. Výška lichobežníka je 12. Nájdite jeho stredovú čiaru.

Okamžite si všimnime, že výška nakreslená cez priesečník uhlopriečok v rovnoramennom lichobežníku leží na osi symetrie a rozdeľuje lichobežník na dva rovnaké pravouhlé lichobežníky, to znamená, že základne tejto výšky sú rozdelené na polovicu.

Zdá sa, že na výpočet strednej čiary musíme nájsť dôvody. Tu vzniká malá slepá ulička... Ako pri znalosti výšky v tomto prípade vypočítať základy? V žiadnom prípade! Existuje veľa takýchto lichobežníkov s pevnou výškou a uhlopriečkami pretínajúcimi sa pod uhlom 90 stupňov. Čo mám robiť?

Pozrite sa na vzorec pre stredovú čiaru lichobežníka. Nepotrebujeme predsa poznať samotné dôvody, stačí poznať ich súčet (alebo polovičný súčet). Dokážeme to.

Keďže uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle, tvoria sa rovnoramenné pravouhlé trojuholníky s výškou EF:

Z vyššie uvedeného vyplýva, že FO=DF=FC a OE=AE=EB. Teraz si napíšme, čomu sa rovná výška, vyjadrená prostredníctvom segmentov DF a AE:

Takže stredná čiara je 12.

*Vo všeobecnosti je to problém, ako ste pochopili, pre mentálny výpočet. Som si však istý, že je potrebné poskytnúť podrobné vysvetlenie. A tak... Ak sa pozriete na obrázok (za predpokladu, že pri konštrukcii je dodržaný uhol medzi uhlopriečkami), okamžite vás upúta rovnosť FO=DF=FC, a OE=AE=EB.

Súčasťou prototypov sú aj typy úloh s lichobežníkmi. Je postavená na hárku papiera v štvorci a musíte nájsť strednú čiaru, ktorá sa zvyčajne rovná 1, ale môže to byť iná hodnota.

27848. Nájdite stredovú čiaru lichobežníka A B C D, ak sú strany štvorcových buniek rovné 1.

Je to jednoduché, vypočítame základy podľa buniek a použijeme vzorec: (2+4)/2=3

Ak sú základne postavené pod uhlom k mriežke buniek, potom existujú dva spôsoby. Napríklad!