Existuje rovnobežník. Vypočítajte súčet uhlov a plochy rovnobežníka: vlastnosti a charakteristiky

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

Stredná škola Savinskaya

Výskum

Rovnobežník a jeho nové vlastnosti

Vyplnil: žiak 8B ročníka

Stredná škola MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 rokov

Vedúci: učiteľ matematiky

Tulčevskaja N.A.

p. Savino

Ivanovský región, Rusko

2016

ja Úvod _____________________________________________________strana 3

II. Z histórie rovnobežníka ____________________________________ strana 4

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka ________________________________strana 4

IV. Dôkaz o vlastnostiach _______________________________________ strana 5

V. Riešenie problémov pomocou ďalších vlastností __________strana 8

VI. Aplikácia vlastností rovnobežníka v živote _____________________strana 11

VII. Záver __________________________________________________ strana 12

VIII. Literatúra __________________________________________________ strana 13

Úvod

"Medzi rovnocenné mysle

pri rovnosť ostatných podmienok

kto pozná geometriu, je lepší"

(Blaise Pascal).

Počas štúdia témy „Paralelogram“ na hodinách geometrie sme sa pozreli na dve vlastnosti rovnobežníka a tri vlastnosti, ale keď sme začali riešiť problémy, ukázalo sa, že to nestačí.

Mal som otázku: má rovnobežník iné vlastnosti a ako pomôžu pri riešení problémov?

A rozhodol som sa študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a ukázať, ako ich možno použiť na riešenie problémov.

Predmet štúdia : rovnobežník

Predmet štúdia : vlastnosti rovnobežníka
Cieľ práce:

formulácia a dôkaz ďalších vlastností rovnobežníka, ktoré sa v škole neštudujú;

použitie týchto vlastností na riešenie problémov.

Úlohy:

Preštudujte si históriu vzhľadu rovnobežníka a históriu vývoja jeho vlastností;

Nájdite ďalšiu literatúru o skúmanej problematike;

Študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a dokázať ich;

Ukážte použitie týchto vlastností pri riešení problémov;

Zvážte uplatnenie vlastností rovnobežníka v živote.
Výskumné metódy:

Práca s náučnou a populárno-náučnou literatúrou, internetovými zdrojmi;

Štúdium teoretického materiálu;

Identifikácia radu problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou dodatočných vlastností rovnobežníka;

Pozorovanie, porovnávanie, analýza, analógia.

Trvanie štúdie : 3 mesiace: január-marec 2016

V učebnici geometrie čítame nasledujúcu definíciu rovnobežníka: Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch.

Slovo "paralelogram" sa prekladá ako "rovnobežné čiary" (z gréckych slov Parallelos - rovnobežka a gram - čiara), tento pojem zaviedol Euklides. Euclid vo svojej knihe Elements dokázal nasledujúce vlastnosti rovnobežníka: protiľahlé strany a uhly rovnobežníka sú rovnaké a uhlopriečka ho pretína. Euklides nespomína priesečník rovnobežníka. Až koncom stredoveku sa vyvinula úplná teória rovnobežníkov a až v 17. storočí sa v učebniciach objavili vety o rovnobežníkoch, ktoré sú dokázané pomocou Euklidovej vety o vlastnostiach rovnobežníka.

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka

V učebnici geometrie sú uvedené iba 2 vlastnosti rovnobežníka:

Opačné uhly a strany sú rovnaké

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a sú rozpoltené priesečníkom.

V rôznych zdrojoch o geometrii môžete nájsť nasledujúce dodatočné vlastnosti:

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180°

Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník;

Osy protiľahlých uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežkách;

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch;

Keď sa priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka pretnú, vytvoria obdĺžnik;

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k rovnakej uhlopriečke sú rovnaké.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Ak nakreslíte výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostanete obdĺžnik.

IV Dôkaz vlastností rovnobežníka

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180 0

Dané:

ABCD – rovnobežník

dokázať:

A+
B=

dôkaz:

A a
B – vnútorné jednostranné uhly s rovnobežnými priamkami BC AD a sečna AB, čo znamená
A+
B=

Vzhľadom na to: A B C D - rovnobežník,

Bisector AK
A.

dokázať: AVK – rovnoramenný

dôkaz:

1)
1=
3 (priečne ležiaci pri BC AD a secant AK ),

2)
2=
3, pretože AK je osička,

znamená 1=
2.

3) ABC - rovnoramenné, pretože 2 uhly trojuholníka sú rovnaké

. Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK – stred A,

CP - stred C.

dokázať: AK ║ SR

dôkaz:

1) 1 = 2, pretože AK je os

2) 4=5 pretože CP – bisector

3) 3=1 (priečno ležiace uhly pri

BC ║ AD a AK-sekant),

4) A =C (vlastnosťou rovnobežníka), čo znamená 2=3=4=5.

4) Z odsekov 3 a 4 vyplýva, že 1 = 4 a tieto uhly zodpovedajú priamkam AK a CP a sečne BC,

to znamená AK ║ CP (na základe rovnobežnosti čiar)

. Bisektory opačných uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežných priamkach

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník,

AK-sektor A,

Stred DP D

dokázať: DP AK.

dôkaz:

1) 1 = 2, pretože AK - bisector

Nech 1=2=x, potom A=2x,

2) 3 = 4, pretože D Р – osička

Nech 3=4=y, potom D=2y

3) A + D = 180 0, pretože súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180

2) Zvážte OD

1+3 = 900, potom
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK-sektor A,

DP-osektor D,

CM stred C,

BF - stred B .

dokázať: KRNS - obdĺžnik

dôkaz:

Na základe predchádzajúcej vlastnosti 8=7=6=5=90 0 ,

znamená, že KRNS je obdĺžnik.

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k rovnakej uhlopriečke sú rovnaké.

Vzhľadom na to: ABCD-rovnobežník, AC-uhlopriečka.

VC AC, D.P. A.C.

dokázať: BC = DP

dôkaz: 1) DCP = KAB, ako vnútorné kríže ležiace s AB ║ CD a sečnicou AC.

2) AKB= CDP (pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov AB=CD CD P=AB K).

A v rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce strany rovnaké, čo znamená DP = BK.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Vzhľadom na to: ABCD rovnobežník.

dokázať: VKDR je rovnobežník.

dôkaz:

1) BP=KD (AD=BC, body K a P

rozdeliť tieto strany na polovicu)

2) BP ║ KD (ležať na AD BC)

Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je štvoruholník rovnobežník.

Ak nakreslíte výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostanete obdĺžnik.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník. BD a AC sú uhlopriečky.

dokázať: AC 2 + ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

dôkaz: 1)OPÝTAŤ SA: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (podľa Pytagorovej vety)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(výška )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Nechaj D K=A P=x, Potom C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 podľa Pytagorovej vety )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ² = 2 СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² = 2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 SD²-2 X² + AD 2 +2AD X+ X 2 +AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ IND² = 2 CD 2 +2AD 2 = 2 (CD 2 +AD 2 ).

V . Riešenie problémov pomocou týchto vlastností

Priesečník osí dvoch uhlov rovnobežníka susediaceho s jednou stranou patrí protiľahlej strane. Najkratšia strana rovnobežníka je 5 . Nájdite jeho veľkú stránku.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK – bisektor
A,

D K – osička
D, AB = 5

Nájsť: Slnko

rozhodnutie

Riešenie

Pretože AK - bisector
A potom je ABC rovnoramenné.

Pretože D K – osička
D, teda DCK - rovnoramenný

DC = C K = 5

Potom BC=VC+SC=5+5 = 10

odpoveď: 10

2. Nájdite obvod rovnobežníka, ak os jedného z jeho uhlov rozdeľuje stranu rovnobežníka na segmenty 7 cm a 14 cm.

1 prípad

Vzhľadom na to:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: P rovnobežník

Riešenie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože AK – bisektor
A potom je ABC rovnoramenné.

AB=BK= 14 cm

Potom P = 2 (14+21) = 70 (cm)

deje

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

D K – osička
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: P rovnobežník

Riešenie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože D K – osička
D, teda DCK - rovnoramenný

DC = C K = 7

Potom P = 2 (21+7) = 56 (cm)

odpoveď: 70 cm alebo 56 cm

3. Strany rovnobežníka sú 10 cm a 3 cm Stredy dvoch uhlov susediacich s väčšou stranou rozdeľujú protiľahlú stranu na tri segmenty. Nájdite tieto segmenty.

1 prípad: osi sa pretínajú mimo rovnobežníka

Vzhľadom na to: ABCD – rovnobežník, AK – bisector
A,

D K – osička
D, AB = 3 cm, BC = 10 cm

Nájsť: VM, MN, NC

Riešenie

Pretože AM - bisector
A potom je AVM rovnoramenný.

Pretože DN – bisektor
D, teda DCN - rovnoramenný

DC=CN=3

Potom MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3) = 4 cm

Prípad 2: osi sa pretínajú vo vnútri rovnobežníka

Pretože AN - bisector
A potom je ABN rovnoramenný.

AB=BN = 3 D

A posuvná mriežka by mala byť posunutá do požadovanej vzdialenosti vo dverách

Paralelogramový mechanizmus- štvortyčový mechanizmus, ktorého články tvoria rovnobežník. Používa sa na realizáciu translačného pohybu pomocou kĺbových mechanizmov.

Paralelogram s pevným článkom- jeden článok je nehybný, opačný robí kývavý pohyb, pričom zostáva rovnobežný s nehybným. Dva paralelogramy spojené jeden po druhom dávajú koncovému článku dva stupne voľnosti, pričom je rovnobežný s pevným článkom.

Príklady: stierače predného skla autobusov, vysokozdvižné vozíky, trojnožky, vešiaky, závesy automobilov.

Rovnobežník s pevným pántom- využíva sa vlastnosť rovnobežníka udržiavať konštantný pomer vzdialeností medzi tromi bodmi. Príklad: kresliaci pantograf - zariadenie na úpravu mierky výkresov.

Rhombus- všetky články sú rovnako dlhé, priblíženie (stiahnutie) dvojice protiľahlých závesov vedie k oddialeniu ďalších dvoch závesov. Všetky odkazy fungujú v kompresii.

Príklady - automobilový zdvihák v tvare diamantu, električkový pantograf.

Nožnicový alebo Mechanizmus v tvare X, taktiež známy ako Norimberské nožnice- kosoštvorcová verzia - dva články spojené v strede závesom. Výhodou mechanizmu je kompaktnosť a jednoduchosť, nevýhodou je prítomnosť dvoch posuvných párov. Dva (alebo viac) takýchto mechanizmov zapojených do série tvoria diamant(y) v strede. Používa sa vo výťahoch a detských hračkách.

VII Záver

Kto študuje matematiku od detstva?

rozvíja pozornosť, trénuje si mozog,

vlastná vôľa, pestuje vytrvalosť

a vytrvalosť pri dosahovaní cieľov

A. Markuševič

Počas práce som dokázal ďalšie vlastnosti rovnobežníka.

Presvedčil som sa, že využitím týchto vlastností dokážete vyriešiť problémy rýchlejšie.

Ako sa tieto vlastnosti aplikujú, som ukázal na príkladoch riešenia konkrétnych problémov.

Veľa som sa naučil o rovnobežníku, ktorý nie je v našej učebnici geometrie

O tom, že znalosť geometrie je v živote veľmi dôležitá, som sa presvedčil prostredníctvom príkladov aplikácie vlastností rovnobežníka.

Cieľ mojej výskumnej práce bol splnený.

O význame matematických vedomostí svedčí aj to, že bola zriadená cena pre toho, kto vydá knihu o človeku, ktorý celý život prežil bez pomoci matematiky. Toto ocenenie zatiaľ nezískal ani jeden človek.

VIII Literatúra

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S úplným právom - rovnobežník, pretože má a (pamätajte na našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, potom musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Vlastnosti kosoštvorca

Pozri sa na obrázok:

Rovnako ako v prípade obdĺžnika sú tieto vlastnosti charakteristické, to znamená, že pre každú z týchto vlastností môžeme usúdiť, že nejde len o rovnobežník, ale o kosoštvorec.

Známky diamantu

A opäť dávajte pozor: nesmie existovať iba štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú kolmé, ale rovnobežník. Uisti sa:

Nie, samozrejme, hoci jeho uhlopriečky sú kolmé a uhlopriečka je osou uhlov a. Ale... uhlopriečky nie sú rozdelené na polovicu priesečníkom, teda - NIE rovnobežník, a teda NIE kosoštvorec.

To znamená, že štvorec je obdĺžnik a kosoštvorec zároveň. Poďme sa pozrieť čo sa stalo.

Je jasné prečo? - kosoštvorec je osou uhla A, ktorá sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti štvoruholníkov. Paralelogram

Vlastnosti rovnobežníka

Pozor! slová " vlastnosti rovnobežníka„To znamená, že ak je vo vašej úlohe Existuje rovnobežník, potom je možné použiť všetky nasledujúce.

Veta o vlastnostiach rovnobežníka.

V akomkoľvek rovnobežníku:

Poďme pochopiť, prečo je to všetko pravda, inými slovami DOKÁŽEME teorém.

Prečo je teda 1) pravda?

Ak ide o rovnobežník, potom:

ležať krížom-krážom
ležať ako kríže.

To znamená (podľa kritéria II: a - všeobecné.)

No to je ono, to je ono! - dokázané.

Ale mimochodom! Dokázali sme aj 2)!

prečo? Ale (pozrite sa na obrázok), teda práve preto.

Zostávajú len 3).

Aby ste to urobili, musíte ešte nakresliť druhú uhlopriečku.

A teraz to vidíme - podľa charakteristiky II (uhly a strana „medzi nimi“).

Vlastnosti overené! Prejdime k znameniam.

Znaky rovnobežníka

Pripomeňme, že znak rovnobežníka odpovedá na otázku „ako viete, že obrazec je rovnobežník?

V ikonách je to takto:

prečo? Bolo by pekné pochopiť prečo - to stačí. Ale pozri:

No, prišli sme na to, prečo je znak 1 pravdivý.

No je to ešte jednoduchšie! Opäť nakreslíme uhlopriečku.

Čo znamená:

A Je to tiež jednoduché. Ale...iné!

Znamená, . Wow! Ale aj - vnútorná jednostranná so sekantom!

Preto skutočnosť, ktorá to znamená.

A ak sa pozriete z druhej strany, potom - vnútorný jednostranný so sekantom! A preto.

Vidíte, aké je to skvelé?!

A opäť jednoduché:

Presne to isté a.

Dávaj pozor: ak ste našli najmenej jeden znak rovnobežníka vo vašom probléme, potom máte presne tak rovnobežník a môžete použiť každý vlastnosti rovnobežníka.

Pre úplnú prehľadnosť si pozrite diagram:

Vlastnosti štvoruholníkov. Obdĺžnik.

Vlastnosti obdĺžnika:

Bod 1) je celkom zrejmý - koniec koncov, znak 3 () je jednoducho splnený

A bod 2) - veľmi dôležité. Tak to dokážme

To znamená na dvoch stranách (a - všeobecne).

No, keďže trojuholníky sú rovnaké, potom sú rovnaké aj ich prepony.

Dokázal to!

A predstavte si, že rovnosť uhlopriečok je charakteristickou vlastnosťou obdĺžnika medzi všetkými rovnobežníkmi. To znamená, že toto tvrdenie je pravdivé^

Poďme pochopiť prečo?

To znamená (čo znamená uhly rovnobežníka). Ale ešte raz si pripomeňme, že ide o rovnobežník, a preto.

Znamená, . No, samozrejme, z toho vyplýva, že každý z nich! Veď musia dať celkom!

Tak dokázali, že ak rovnobežník zrazu (!) sa uhlopriečky ukážu ako rovnaké, potom toto presne obdĺžnik.

Ale! Dávaj pozor! Toto je o rovnobežníky! Nie hocijakýštvoruholník s rovnakými uhlopriečkami je obdĺžnik a iba rovnobežník!

Vlastnosti štvoruholníkov. Rhombus

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S úplným právom - rovnobežník, pretože má (Pamätajte si našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Existujú však aj špeciálne vlastnosti. Poďme to sformulovať.

Vlastnosti kosoštvorca

prečo? Keďže kosoštvorec je rovnobežník, jeho uhlopriečky sú rozdelené na polovicu.

prečo? Áno, práve preto!

Inými slovami, uhlopriečky sa ukázali ako osy rohov kosoštvorca.

Ako v prípade obdĺžnika, tieto vlastnosti sú výrazný, každý z nich je tiež znakom kosoštvorca.

Známky diamantu.

Prečo je toto? a pozri,

To znamená oboje Tieto trojuholníky sú rovnoramenné.

Aby bol štvoruholník kosoštvorcom, musí sa najprv „stať“ rovnobežníkom a potom vykazovať prvok 1 alebo prvok 2.

Vlastnosti štvoruholníkov. Námestie

To znamená, že štvorec je obdĺžnik a kosoštvorec zároveň. Poďme sa pozrieť čo sa stalo.

Je jasné prečo? Štvorec - kosoštvorec - je osou uhla, ktorý sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

prečo? Stačí použiť Pytagorovu vetu na...

SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Vlastnosti rovnobežníka:

Opačné strany sú rovnaké: , .
Opačné uhly sú rovnaké: , .
Súčet uhlov na jednej strane je: , .
Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom: .

Vlastnosti obdĺžnika:

Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké: .
Obdĺžnik je rovnobežník (pre obdĺžnik sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti kosoštvorca:

Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé: .
Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov: ; ; ; .
Kosoštvorec je rovnobežník (pre kosoštvorec sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti štvorca:

Štvorec je kosoštvorec a zároveň obdĺžnik, preto sú pre štvorec splnené všetky vlastnosti obdĺžnika a kosoštvorca. A.

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho základne (a) a výšky (h). Jeho plochu nájdete aj cez dve strany a uhol a cez uhlopriečky.

Vlastnosti rovnobežníka

1. Opačné strany sú identické

Najprv si nakreslíme uhlopriečku \(AC\) . Dostaneme dva trojuholníky: \(ABC\) a \(ADC\).

Keďže \(ABCD\) je rovnobežník, platí nasledovné:

\(AD || BC \Šípka doprava \uhol 1 = \uhol 2\) ako ležať krížom krážom.

\(AB || CD \Šípka doprava \uhol3 = \uhol 4\) ako ležať krížom krážom.

Preto (podľa druhého kritéria: a \(AC\) je bežné).

A to znamená \(\triangle ABC = \trojuholník ADC\), potom \(AB = CD\) a \(AD = BC\) .

2. Opačné uhly sú rovnaké

Podľa dôkazu vlastnosti 1 My to vieme \(\uhol 1 = \uhol 2, \uhol 3 = \uhol 4\). Súčet opačných uhlov je teda: \(\uhol 1 + \uhol 3 = \uhol 2 + \uhol 4\). Zvažujem to \(\triangle ABC = \trojuholník ADC\) dostaneme \(\uhol A = \uhol C \) , \(\uhol B = \uhol D \) .

3. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom

Autor: majetok 1 vieme, že protiľahlé strany sú totožné: \(AB = CD\) . Ešte raz si všimnite priečne ležiace rovnaké uhly.

Je teda jasné, že \(\triangle AOB = \trojuholník COD\) podľa druhého znaku rovnosti trojuholníkov (dva uhly a strana medzi nimi). Teda \(BO = OD\) (oproti uhlom \(\uhol 2\) a \(\uhol 1\) ) a \(AO = OC\) (oproti uhlom \(\uhol 3\) a \( \uhol 4\)).

Znaky rovnobežníka

Ak je vo vašom probléme prítomná iba jedna vlastnosť, potom je obrázok rovnobežník a môžete použiť všetky vlastnosti tohto obrázku.

Pre lepšie zapamätanie si všimnite, že znak rovnobežníka odpovie na nasledujúcu otázku - "ako to zistiť?". Teda ako zistiť, že daný obrazec je rovnobežník.

1. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnaké a rovnobežné

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- rovnobežník.

Poďme sa na to pozrieť bližšie. Prečo \(po Kr. || pred Kr. \) ?

\(\triangle ABC = \trojuholník ADC\) Autor: majetok 1: \(AB = CD \) , \(\uhol 1 = \uhol 2 \) ležiace priečne, keď sú \(AB \) a \(CD \) a sečna \(AC \) rovnobežné.

Ale ak \(\triangle ABC = \trojuholník ADC\), potom \(\uhol 3 = \uhol 4 \) (leži oproti \(AD || BC \) (\(\uhol 3 \) a \(\uhol 4 \) - tie, ktoré ležia krížom, sú tiež rovnaké).

Prvý znak je správny.

2. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnaké

\(AB = CD \) , \(AD = BC \šípka doprava ABCD \) je rovnobežník.

Uvažujme o tomto znamení. Opäť nakreslíme uhlopriečku \(AC\).

Autor: majetok 1\(\triangle ABC = \trojuholník ACD\).

Z toho vyplýva, že: \(\uhol 1 = \uhol 2 \šípka doprava || BC \) A \(\uhol 3 = \uhol 4 \šípka doprava AB || CD \), to znamená, že \(ABCD\) je rovnobežník.

Druhý znak je správny.

3. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého opačné uhly sú rovnaké

\(\uhol A = \uhol C\) , \(\uhol B = \uhol D \Šípka doprava ABCD\)- rovnobežník.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(keďže \(\uhol A = \uhol C\) , \(\uhol B = \uhol D\) podľa podmienky).

Ukázalo sa, . Ale \(\alpha \) a \(\beta \) sú vnútorné jednostranné na sečne \(AB \) .

A čo \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) tiež hovorí, že \(KR || BC \) .

Rovnako ako v euklidovskej geometrii sú bod a priamka hlavnými prvkami teórie rovín, aj rovnobežník je jedným z kľúčových útvarov konvexných štvoruholníkov. Z neho, ako vlákna z lopty, prúdia pojmy „obdĺžnik“, „štvorec“, „kosoštvorec“ a iné geometrické veličiny.

V kontakte s

Definícia rovnobežníka

konvexný štvoruholník, pozostávajúci zo segmentov, z ktorých každý pár je rovnobežný, je v geometrii známy ako rovnobežník.

Ako vyzerá klasický rovnobežník, znázorňuje štvoruholník ABCD. Strany sa nazývajú základne (AB, BC, CD a AD), kolmica vedená z ktoréhokoľvek vrcholu na stranu protiľahlú tomuto vrcholu sa nazýva výška (BE a BF), čiary AC a BD sa nazývajú uhlopriečky.

Pozor!Štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik sú špeciálne prípady rovnobežníka.

Strany a uhly: znaky vzťahu

Kľúčové vlastnosti, celkovo, vopred určené samotným označením, sú dokázané teorémou. Tieto vlastnosti sú nasledovné:

Protiľahlé strany sú v pároch identické.
Uhly oproti sebe sú v pároch rovnaké.

Dôkaz: Uvažujme ∆ABC a ∆ADC, ktoré sa získajú delením štvoruholníka ABCD priamkou AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, pretože AC je pre nich spoločný (vertikálne uhly pre BC||AD a AB||CD, v tomto poradí). Z toho vyplýva: ∆ABC = ∆ADC (druhé znamienko rovnosti trojuholníkov).

Segmenty AB a BC v ∆ABC zodpovedajú v pároch čiaram CD a AD v ∆ADC, čo znamená, že sú totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B teda zodpovedá ∠D a sú rovnaké. Keďže ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ktoré sú tiež párovo identické, potom ∠A = ∠C. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Charakteristika uhlopriečok postavy

Hlavná prednosť týchto čiar rovnobežníka: priesečník ich rozdeľuje na polovicu.

Dôkaz: Nech je to priesečník uhlopriečok AC a BD na obrázku ABCD. Tvoria dva úmerné trojuholníky – ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, pretože sú protiklady. Podľa čiar a sekánov ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podľa druhého kritéria rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE: AE = CE, BE = DE a zároveň sú pomernými časťami AC a BD. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vlastnosti susedných rohov

Priľahlé strany majú súčet uhlov rovný 180°, pretože ležia na rovnakej strane rovnobežných čiar a priečnych. Pre štvoruholník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti osi:

, spustené na jednu stranu, sú kolmé;
protiľahlé vrcholy majú rovnobežné osi;
trojuholník získaný nakreslením osi bude rovnoramenný.

Určenie charakteristických znakov rovnobežníka pomocou vety

Charakteristika tohto obrázku vyplýva z jeho hlavnej vety, ktorá hovorí nasledovné: štvoruholník sa považuje za rovnobežník v prípade, že sa jej uhlopriečky pretínajú a tento bod ich rozdeľuje na rovnaké segmenty.

Dôkaz: nech sa priamky AC a BD štvoruholníka ABCD pretínajú v t.j. Pretože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, potom ∆AED = ∆BEC (podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Sú to tiež vnútorné priečne uhly sečnice AC pre čiary AD a BC. Teda podľa definície paralelizmu - AD || B.C. Podobná vlastnosť línií BC a CD je tiež odvodená. Veta bola dokázaná.

Výpočet plochy postavy

Oblasť tohto obrázku nájsť niekoľkými metódami jeden z najjednoduchších: vynásobenie výšky a základne, do ktorej je nakreslený.

Dôkaz: nakreslite kolmice BE a CF z vrcholov B a C. ∆ABE a ∆DCF sú rovnaké, pretože AB = CD a BE = CF. ABCD sa veľkosťou rovná obdĺžniku EBCF, pretože pozostáva z príslušných čísel: S ABE a S EBCD, ako aj S DCF a S EBCD. Z toho vyplýva, že plocha tohto geometrického útvaru je rovnaká ako plocha obdĺžnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Na určenie všeobecného vzorca pre oblasť rovnobežníka označme výšku ako hb a strana - b. Respektíve:

Iné spôsoby, ako nájsť oblasť

Výpočty plôch cez strany rovnobežníka a uhla, ktorý tvoria, je druhou známou metódou.

Spr-ma - plocha;

a a b sú jeho strany

α je uhol medzi segmentmi a a b.

Táto metóda je prakticky založená na prvej, ale v prípade, že nie je známa. vždy odreže pravouhlý trojuholník, ktorého parametre sa zistia pomocou trigonometrických identít, tzn. Transformáciou vzťahu dostaneme . V rovnici prvej metódy nahradíme výšku týmto súčinom a získame dôkaz o platnosti tohto vzorca.

Cez uhlopriečky rovnobežníka a uhla, ktoré vytvárajú, keď sa pretínajú, môžete nájsť aj oblasť.

Dôkaz: AC a BD sa pretínajú a vytvárajú štyri trojuholníky: ABE, BEC, CDE a AED. Ich súčet sa rovná ploche tohto štvoruholníka.

Plochu každého z týchto ∆ možno nájsť výrazom , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , výpočty používajú jednu sínusovú hodnotu. To je . Pretože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2, vzorec plochy sa zníži na:

Aplikácia vo vektorovej algebre

Vlastnosti jednotlivých častí tohto štvoruholníka našli uplatnenie vo vektorovej algebre, a to sčítanie dvoch vektorov. Pravidlo rovnobežníka hovorí, že ak sú dané vektoryAniesú kolineárne, potom sa ich súčet bude rovnať uhlopriečke tohto obrazca, ktorého základne zodpovedajú týmto vektorom.

Dôkaz: z ľubovoľne zvoleného začiatku – t.j. - konštruovať vektory a . Ďalej zostrojíme rovnobežník OASV, kde segmenty OA a OB sú strany. OS teda leží na vektore alebo súčte.

Vzorce na výpočet parametrov rovnobežníka

Identity sa poskytujú za nasledujúcich podmienok:

a a b, α - strany a uhol medzi nimi;
d 1 a d 2, γ - uhlopriečky a v bode ich priesečníka;
ha a h b - výšky znížené na strany a a b;

Parameter	Vzorec
Hľadanie strán
pozdĺž uhlopriečok a kosínus uhla medzi nimi
pozdĺž uhlopriečok a strán
cez výšku a opačný vrchol
Nájdenie dĺžky uhlopriečok
na bokoch a veľkosť vrcholu medzi nimi
po stranách a jednej z uhlopriečok	Záver Rovnobežník, ako jedna z kľúčových postáv geometrie, sa používa v živote, napríklad v stavebníctve pri výpočte plochy miesta alebo iných meraní. Preto môžu byť znalosti o charakteristických črtách a metódach výpočtu jeho rôznych parametrov užitočné kedykoľvek v živote.

Téma lekcie

Vlastnosti uhlopriečok rovnobežníka.

Ciele lekcie

Zoznámte sa s novými definíciami a zapamätajte si niektoré už naštudované.
Uveďte a dokážte vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka.
Naučiť sa aplikovať vlastnosti tvarov pri riešení úloh.
Rozvojové – rozvíjať u žiakov pozornosť, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematickú reč.
Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie kultivujte pozorný postoj k sebe navzájom, vštepujte schopnosť počúvať kamarátov, vzájomnú pomoc a nezávislosť.

Ciele lekcie

Otestujte si zručnosti študentov pri riešení problémov.

Plán lekcie

Úvod.
Opakovanie predtým preštudovanej látky.
Paralelogram, jeho vlastnosti a vlastnosti.
Príklady úloh.
Samokontrola.

Úvod

"Veľký vedecký objav poskytuje riešenie veľkého problému, ale v riešení akéhokoľvek problému je zrnko objavu."

Vlastnosť protiľahlých strán rovnobežníka

Rovnobežník má protiľahlé strany, ktoré sú rovnaké.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O.
Keďže Δ AOB = Δ COD podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov (∠ AOB = ∠ COD, ako zvislé, AO=OC, DO=OB, podľa vlastnosti uhlopriečok rovnobežníka), potom AB=CD. Rovnakým spôsobom z rovnosti trojuholníkov BOC a DOA vyplýva, že BC = DA. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť opačných uhlov rovnobežníka

V rovnobežníku sú opačné uhly rovnaké.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O.
Z toho, čo bolo dokázané vo vete o vlastnostiach protiľahlých strán rovnobežníka Δ ABC = Δ CDA na troch stranách (AB=CD, BC=DA z dokázaného, AC – všeobecné). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že ∠ ABC = ∠ CDA.
Je tiež dokázané, že ∠ DAB = ∠ BCD, čo vyplýva z ∠ ABD = ∠ CDB. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a v priesečníku sú rozdelené na polovicu.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. Nakreslíme uhlopriečku AC. Označme na ňom stredné O Na pokračovaní úseku DO odložíme úsek OB 1 rovný DO.
Podľa predchádzajúcej vety je AB 1 CD rovnobežník. Preto je čiara AB 1 rovnobežná s jednosmerným prúdom. Ale cez bod A možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s DC. To znamená, že priamka AB 1 sa zhoduje s priamkou AB.
Je tiež dokázané, že BC 1 sa zhoduje s BC. To znamená, že bod C sa zhoduje s C1. rovnobežník ABCD sa zhoduje s rovnobežníkom AB 1 CD. V dôsledku toho sa uhlopriečky rovnobežníka pretínajú a sú v priesečníku rozdelené na polovicu. Veta bola dokázaná.

V učebniciach pre bežné školy (napríklad v Pogorelove) je to dokázané takto: uhlopriečky rozdeľujú rovnobežník na 4 trojuholníky. Zoberme si jeden pár a zistíme - sú si rovné: ich základne sú opačné strany, zodpovedajúce uhly susediace s ním sú rovnaké, ako vertikálne uhly s rovnobežnými čiarami. To znamená, že segmenty uhlopriečok sú v pároch rovnaké. Všetky.

Je to všetko?
Vyššie bolo dokázané, že priesečník pretína uhlopriečky - ak existuje. Vyššie uvedená úvaha nijako nedokazuje jej samotnú existenciu. To znamená, že časť vety „uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú“ zostáva nedokázaná.

Vtipné je, že túto časť je oveľa ťažšie dokázať. To mimochodom vyplýva zo všeobecnejšieho výsledku: akýkoľvek konvexný štvoruholník bude mať pretínajúce sa uhlopriečky, ale akýkoľvek nekonvexný štvoruholník nie.

O rovnosti trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov (druhý znak rovnosti trojuholníkov) a iné.

Thales našiel dôležitú praktickú aplikáciu vety o rovnosti dvoch trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov. V milétskom prístave bol postavený diaľkomer na určenie vzdialenosti od lode na mori. Pozostával z troch zarazených kolíkov A, B a C (AB = BC) a vyznačenej priamky SC, kolmej na CA. Keď sa loď objavila na priamke SK, našli sme bod D taký, že body D, .B a E boli na tej istej priamke. Ako je zrejmé z nákresu, vzdialenosť CD na zemi je požadovaná vzdialenosť od lode.

Otázky

Sú uhlopriečky štvorca rozdelené na polovicu priesečníkom?
Sú uhlopriečky rovnobežníka rovnaké?
Sú opačné uhly rovnobežníka rovnaké?
Uveďte definíciu rovnobežníka?
Koľko znakov rovnobežníka?
Môže byť kosoštvorec rovnobežníkom?

Zoznam použitých zdrojov

Kuznecov A.V., učiteľ matematiky (5.-9. ročník), Kyjev
„Jednotná štátna skúška 2006. Matematika. Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. „Riešenie hlavných súťažných úloh v matematike zo zbierky M. I. Skanavi“
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7 – 9: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie“

Pracovali sme na lekcii

Kuznecov A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenij Petrov

Môžete položiť otázku o modernom vzdelávaní, vyjadriť myšlienku alebo vyriešiť naliehavý problém na Vzdelávacie fórum, kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení blog, Zlepšíte si nielen svoj status kompetentného učiteľa, ale výrazne prispejete aj k rozvoju školy budúcnosti. Cech vzdelávacích lídrov otvára dvere špičkovým odborníkom a pozýva ich k spolupráci pri vytváraní najlepších škôl na svete.

Predmety > Matematika > Matematika 8. ročník