V tejto lekcii zopakujeme hlavné ustanovenia teórie a vyriešime zložitejšie problémy na tému „Paralelizmus čiar a rovín“.
Na začiatku hodiny si pripomeňme definíciu priamky, rovnobežnej s rovinou a vetu-znak rovnobežnosti priamky a roviny. Pripomíname si aj definíciu rovnobežných rovín a znamienko vety o rovnobežných rovinách. Ďalej si pripomenieme definíciu šikmých priamok a vetu-atribút šikmých priamok, ako aj vetu, že cez ktorúkoľvek šikmú priamku je možné nakresliť rovinu rovnobežnú s inou priamkou. Z tejto vety vyvodíme záver - tvrdenie, že dve šikmé čiary zodpovedajú jedinému páru rovnobežných rovín.
Ďalej riešime niekoľko zložitejších problémov pomocou opakovanej teórie.
Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín
Lekcia: Opakovanie teórie. Riešenie zložitejších problémov na tému "Paralelizmus čiar a rovín"
V tejto lekcii si zopakujeme hlavné ustanovenia teórie a vyriešime zložitejšie problémy na danú tému "Paralelizmus línií a rovín".
Definícia.Čiara a rovina sa nazývajú rovnobežné, ak nemajú spoločné body.
Ak je priamka, ktorá neleží v danej rovine, rovnobežná s nejakou priamkou ležiacou v tejto rovine, potom je rovnobežná s danou rovinou.
Nech je daná priamka a a rovine (obr. 1). V rovine je priamka b, ktorá je rovnobežná s čiarou a. Z rovnobežných čiar a a b nasleduje rovnobežná čiara a a lietadlá. 
1. Geometria. 10.-11. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.
Úlohy 9, 10 s. 23
2. Tri priamky sa pretínajú v pároch. Môže byť akákoľvek rovina rovnobežná so všetkými týmito priamkami?
3. Bodom M možno viesť len jednu priamku rovnobežnú s rovinami α a β. Sú tieto roviny rovnobežné?
4. Dva lichobežníky majú spoločnú stredovú čiaru. Rovina α prechádza cez menšie základne lichobežníka a rovina β prechádza cez väčšie základne lichobežníka. Sú roviny α a β rovnobežné?
5. A B C D- štvoruholník. Bod M leží mimo jeho roviny. Ležia stredy segmentov v rovnakej rovine? MA, MV, MS, MD?
Pre dve priame čiary v priestore sú možné štyri prípady:
Rovné čiary sa zhodujú;
Čiary sú rovnobežné (ale nie rovnaké);
Čiary sa pretínajú;
Čiary sa pretínajú, t.j. nemajú spoločné body a nie sú paralelné.
Zvážte dva spôsoby opisu riadkov: kanonické rovnice a všeobecné rovnice. Nech sú priamky L 1 a L 2 dané kanonickými rovnicami:
L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6,9)
Pre každú priamku z jej kanonických rovníc okamžite určíme bod na nej M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 a súradnice smerových vektorov s 1 = (l 1 ; m 1 ; n 1 ) pre L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) pre L 2.
Ak sa čiary zhodujú alebo sú rovnobežné, potom ich smerové vektory s 1 a s 2 sú kolineárne, čo je ekvivalentné rovnosti pomerov súradníc týchto vektorov:
l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (6.10)
Ak sa čiary zhodujú, smerové vektory sú tiež kolineárne s vektorom M 1 M 2 :
(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)
Táto dvojitá rovnosť tiež znamená, že bod M 2 patrí priamke L 1 . Podmienkou zhody čiar je preto splnenie rovnosti (6.10) a (6.11) súčasne.
Ak sa priamky pretínajú alebo krížia, tak ich smerové vektory sú nekolineárne, t.j. je porušená podmienka (6.10). Pretínajúce sa čiary ležia v rovnakej rovine, a preto vektory s1, s2 a M1M2 sú koplanárnydeterminant tretieho rádu zložené z ich súradníc (pozri 3.2):
Podmienka (6.12) je splnená v troch prípadoch zo štyroch, keďže pre Δ ≠ 0 priamky nepatria do tej istej roviny, a preto sa pretínajú.
Poďme spojiť všetky podmienky:
Vzájomné usporiadanie čiar je charakterizované počtom riešení pre sústavu (6.13). Ak sa čiary zhodujú, systém má nekonečne veľa riešení. Ak sa čiary pretínajú, potom má tento systém jedinečné riešenie. V prípade paralelných alebo krížiacich sa priamych riešení neexistujú žiadne priame riešenia. Posledné dva prípady možno oddeliť nájdením smerových vektorov čiar. Na to stačí vypočítať dva vektorové diela n1 x n2 a n3 x n4, kde ni = (A;; Bi; C;), i = 1, 2, 3,4. Ak sú výsledné vektory kolineárne, potom sú dané čiary rovnobežné. Inak sa krížia.
Príklad 6.4.
Smerový vektor s 1 priamky L 1 nájdeme kanonickými rovnicami tejto priamky: s 1 = (1; 3; -2). Smerový vektor s 2 priamky L 2 sa vypočíta pomocou vektorového súčinu normálových vektorov rovín, ktorých priesečníkom je:
Pretože s 1 \u003d -s 2, potom sú čiary rovnobežné alebo sa zhodujú. Poďme zistiť, ktorá z týchto situácií je realizovaná pre dané riadky. Za týmto účelom dosadíme súradnice bodu M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 do všeobecných rovníc priamky L 2 . Pre prvú z nich dostaneme 1 = 0. Preto bod M 0 nepatrí do priamky L 2 a uvažované priamky sú rovnobežné.
Uhol medzi čiarami. Uhol medzi dvoma čiarami možno nájsť pomocou smerové vektory priamy. Ostrý uhol medzi priamkami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi (obr. 6.5) alebo je k nemu doplnkový, ak je uhol medzi smerovými vektormi tupý. Ak sú teda pre priamky L 1 a L 2 známe ich smerové vektory s x a s 2, potom ostrý uhol φ medzi týmito priamkami je určený skalárnym súčinom:
cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |
Napríklad s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Pomocou vzorcov (2.9) a (2.14) vypočítame vektorová dĺžka a skalárny súčin v súradniciach dostaneme
Kapitola IV. Čiary a roviny v priestore. Polyhedra
§ 46. Vzájomné usporiadanie čiar v priestore
V priestore môžu alebo nemusia ležať dve odlišné čiary v rovnakej rovine. Uvažujme o zodpovedajúcich príkladoch.
Nech body A, B, C neležia na jednej priamke. Nakreslite cez ne rovinu R a vyberte nejaký bod S, ktorý nepatrí do roviny R(Obr. 130).
Potom priamky AB a BC ležia v tej istej rovine, konkrétne v rovine R, priamky AS a CB neležia v rovnakej rovine. Ak by totiž ležali v tej istej rovine, potom by v tejto rovine ležali aj body A, B, C, S, čo je nemožné, keďže S neleží v rovine prechádzajúcej bodmi A, B, C.
Dve odlišné čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa, sa nazývajú rovnobežné. Zhodné čiary sa tiež nazývajú paralelné. Ak rovno 1 1 a 1 2 paralelne, potom napíšte 1 1 || 1 2 .
Touto cestou, 1
1 || 1
2, ak po prvé existuje rovina R také že
1
1 R a 1
2 R a za druhé, resp 1
1 1
2 = alebo 1
1 = 1
2 .
Dve čiary, ktoré neležia v rovnakej rovine, sa nazývajú pretínajúce sa čiary. Je zrejmé, že šikmé čiary sa nepretínajú a nie sú rovnobežné.
Dokážme jednu dôležitú vlastnosť rovnobežiek, ktorá sa nazýva tranzitivita rovnobežnosti.
Veta. Ak sú dve čiary rovnobežné s treťou, potom sú navzájom rovnobežné.
Nechaj 1 1 || 1 2 a 1 2 || 1 3. Musíme to dokázať 1 1 || 1 3
Ak rovno 1 1 , 1 2 , 1 3 ležia v rovnakej rovine, potom je toto tvrdenie dokázané v planimetrii. Budeme predpokladať, že čiary 1 1 , 1 2 , 1 3 neležia v rovnakej rovine.
Cez priame čiary 1 1 a 1 2 nakreslite rovinu R 1 a cez 1 2 a 1 3 - rovina R 2 (obr. 131).
Všimnite si, že priamka 1
3 obsahuje aspoň jeden bod M, ktorý nepatrí do roviny
R 1 .
Nakreslite rovinu cez priamku a bod M R 3, ktorá sa pretína s rovinou R 2 pozdĺž nejakej línie l. Dokážme to l sa zhoduje s 1 3. Preukážeme „metódu protirečením“.
Predpokladajme, že čiara 1
nezodpovedá čiare 1
3. Potom 1
prekračuje hranicu 1
2 v určitom bode A. To znamená, že rovina R 3 prechádza bodom A R 1 a rovno 1
1 R 1
a preto sa zhoduje s rovinou R jeden . Tento záver je v rozpore s tým, že bod M R 3 do lietadla nepatrí R 1 .
Preto je náš predpoklad nesprávny, a preto 1
= 1
3 .
Je teda dokázané, že čiary 1 1 a 1 3 ležia v rovnakej rovine R 3. Dokážme, že čiary 1 1 a 1 3 sa nepretínajú.
Skutočne, ak 1 1 a 1 3 sa pretínajú napríklad v bode B, potom rovina R 2 by prechádzala priamkou 1 2 a cez bod B 1 1, a preto by sa zhodoval s R 1, čo je nemožné.
Úloha. Dokážte, že uhly so súosmernými stranami sú rovnaké.
Nech majú uhly MAN a M 1 A 1 N 1 smerované strany: lúč AM smeruje k lúču A 1 M 1 a lúč AN smeruje k lúču A 1 N 1 (obr. 132).
Na lúčoch AM a A 1 M 1 vyčleníme úseky AB a A 1 B 1 rovnakej dĺžky. Potom
|| a |BB 1 | = |AA 1 |
ako protiľahlé strany rovnobežníka.
Podobne na lúčoch AN a A 1 N 1 vyčleníme úseky AC a A 1 C 1 rovnakej dĺžky. Potom
|| a |CC 1 | = |AA 1 |
Z tranzitivity rovnobežnosti vyplýva, že || . A keďže |BB 1 | = |CC 1 | , potom BB 1 C 1 C je rovnobežník, a preto |BC| = |B1C1 |.
v dôsledku toho /\
ABC /\
A1B1C1 a .
Video kurz "Get an A" obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.
Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.
Čiary ležia v rovnakej rovine. ak sa 1) pretínajú; 2) sú rovnobežné.
Pre príslušnosť priamok L 1: a L 2: k tej istej rovine tak, že vektory M 1 M 2 \u003d (x 2 - x 1; y 2 -y 1; z 2 - z 1), q 1 = (11; m1; n1) a q 2 =(l2;m2;n2) boli koplanárne. To znamená, že za podmienky zhody troch vektorov je zmiešaný produkt M 1 M 2 s 1 s 2 =Δ==0 (8)
Pretože podmienka rovnobežnosti dvoch priamok má tvar: , potom pre priesečník priamok L 1 a L 2 tak, aby spĺňali podmienku (8) a aby bola porušená aspoň jedna z proporcií.
Príklad. Preskúmajte relatívnu polohu čiar:
Smerový vektor priamky L 1 – q 1 =(1;3;-2). Priamka L 2 je definovaná ako priesečník 2 rovín α 1: x-y-z+1=0; a2: x+y+2z-2=0. Pretože priamka L 2 leží v oboch rovinách, potom je, a teda aj jej smerový vektor, kolmá na normály n 1 a n 2 . Preto smerový vektor s 2 je krížový súčin vektorov n 1 a n 2 , t.j. q 2 =n 1 X n 2 ==-i-3j+2k.
To. s 1 =-s 2 , znamená, že čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.
Pre kontrolu, či sa priamky zhodujú, dosadíme súradnice bodu M 0 (1;2;-1)L 1 do všeobecných rovníc L 2: 1-2+2+1=0 - nesprávne rovnosti, t.j. bod M 0 L 2,
takže čiary sú rovnobežné.
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Vzdialenosť od bodu M 1 (x 1; y 1; z 1) k priamke L daná kanonickou rovnicou L: možno vypočítať pomocou krížového súčinu.
Z kanonickej rovnice priamky vyplýva, že bod M 0 (x 0; y 0; z 0) L, a smerový vektor priamky q=(l;m;n)
Postavme rovnobežník na vektoroch q a M 0 M 1 . Potom sa vzdialenosť od bodu M 1 k priamke L rovná výške h tohto rovnobežníka. Pretože S=| q X M 0 M 1 |=h| q|, teda
h= 
(9)
Vzdialenosť medzi dvoma priamkami v priestore.
L 1: a L 2:
1) L 1L 2.
d= 
2) L 1 a L 2 - kríženie
d= 
Vzájomné usporiadanie priamky a roviny v priestore.
Pre umiestnenie priamky a roviny v priestore sú možné 3 prípady:
priamka a rovina sa pretínajú v jednom bode;
priamka a rovina sú rovnobežné;
čiara leží v rovine.
Nech je priamka daná jej kanonickou rovnicou a rovina - všeobecnou
α: Ax+By+Cz+D=0
Rovnice priamky dávajú bod M 0 (x 0; y 0; z 0) L a smerový vektor q=(l;m;n) a rovinná rovnica je normálny vektor n=(A;B;C).
1. Priesečník priamky a roviny.
Ak sa priamka a rovina pretínajú, potom smerový vektor priamky q nie je rovnobežná s rovinou α, a teda nie je kolmá na normálový vektor roviny n. Tie. ich bodový produkt nq≠0 alebo, pokiaľ ide o ich súradnice,
Am+Bn+Cp≠0 (10)
Určte súradnice bodu M - priesečníky priamky L a roviny α.
Prejdime od kanonickej rovnice priamky k parametrickej: , tR
Tieto vzťahy dosadíme do rovnice roviny
A(x 0 +lt)+B(y0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0
A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 sú známe, nájdime parameter t:
t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0
ak Am+Bn+Cp≠0, potom rovnica má jedinečné riešenie, ktoré určuje súradnice bodu M:
t M = -→ (11)
Uhol medzi čiarou a rovinou. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti.
Uhol φ medzi čiarou L :
s vodiacim vektorom q=(l;m;n) a rovina
: Ax+By+Cz+D=0 s normálnym vektorom n=(A;B;C) sa pohybuje od 0˚ (v prípade rovnobežky a roviny) do 90˚ (v prípade kolmosti priamky a roviny). (Uhol medzi vektorom q a jeho priemet do roviny α).
– uhol medzi vektormi q a n.
Pretože uhol medzi priamkou L a rovinou je komplementárny k uhlu , potom sin φ=sin(-)=cos =- (uvažuje sa absolútna hodnota, pretože uhol φ je ostrý sin φ=sin(- ) alebo sin φ =sin(+) v závislosti od smeru priamky L)
