Obrázok 18 ukazuje, ako pomocou pravítka na polpriamke a s počiatočným bodom A môžete nakresliť segment danej dĺžky (3 cm).
Pozrite sa na obrázok 19. a, predĺžený za počiatočný bod A, rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Obrázok ukazuje, ako použiť uhlomer na vykreslenie uhla s danou mierou stupňov (60°) z polpriamky do hornej polroviny.
Nasledujúce vlastnosti budeme nazývať hlavnými vlastnosťami rozloženia segmentov a uhlov:
VI. Na ľubovoľnej polpriamke od jej začiatočného bodu môžete vykresliť segment danej dĺžky a iba jeden.
VII. Od ľubovoľnej polpriamky po danúpolorovinaMôžete vykresliť uhol s danou mierou stupňov menšou ako 180° a iba jeden.
Problém (30). Na lúči AB je segment AC menší ako segment AB. Ktorý z troch bodov A, B, C leží medzi ostatnými dvoma? Vysvetli svoju odpoveď.
Riešenie (obr. 20). Keďže body B a C ležia na rovnakej polpriamke s počiatočným bodom A, nie sú oddelené bodom A, to znamená, že bod A neleží medzi bodmi B a C.
Môže bod B ležať medzi bodmi A a C? Ak by ležal medzi bodmi A a C, potom by to bolo AB + BC = AC.
Ale to je nemožné, pretože podľa stavu Úsečka AC je menší ako segment AB. To znamená, že bod B neleží medzi bodmi A a C.
Z troch bodov A, B, C jeden leží medzi ďalšími dvoma. Preto bodka C leží medzi bodmi A a B.
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
TÉMA „Základné vlastnosti segmentu“
Ako príklad využitia elektronickej učebnice na hodinách geometrie v 7. ročníku sa pozrieme na to, ako sa zavádza pojem „Základné vlastnosti úsečky“.
Táto voľba je spôsobená nasledujúcimi faktormi:
1. Toto je jeden z najdôležitejších konceptov v počiatočných aj systematických kurzoch geometrie;
2. Segment, na rozdiel napríklad od lúča alebo priamky, má metrickú charakteristiku - dĺžku.
Súčasný matematický program ponúka tieto odporúčania:
1. Štúdium materiálu je organizované na základe životných skúseností študentov a ich praktických zručností;
2. Charakteristické vlastnosti segmentu sa zaznamenávajú pri riešení úloh a pri realizácii konštrukcií;
3. Hlavný dôraz je kladený na rozvoj zručností merania a konštrukcie segmentov pomocou pravítka.
V dôsledku štúdia geometrického materiálu v súlade so súčasným programom by študenti mali vedieť:
1. že existuje jediný segment spájajúci dva body roviny;
2. že segment je ohraničený na oboch stranách a je súčasťou priamky;
3. Určenie rovnakých segmentov;
4. Vlastnosť dĺžky úsečky - dĺžka súčtu úsečiek sa rovná súčtu dĺžok úsečiek.
Študenti by mali byť schopní:
1. Rozpoznať segmenty, vrátane tých, ktoré sú súčasťou rôznych geometrických útvarov;
2. Zostrojte segmenty, označte ich a zmerajte ich;
3. Porovnajte segmenty.
V tradičnej prezentácii sa štúdium tohto materiálu uskutočňuje podľa nasledujúcej schémy:
1. Konštrukcia segmentu;
2. Označenie segmentu;
3. Dĺžka segmentu, jednotky dĺžky;
4. Vlastnosti uloženia segmentov;
5. Zistenie dĺžky súčtu segmentov.
Cvičenia obsiahnuté v rôznych súčasných učebniciach a učebných pomôckach možno zaradiť do nasledujúcich typov:
a) konštrukcia segmentov;
b) označenie segmentov;
c) meranie a porovnávanie segmentov;
d) zistenie dĺžky prerušovanej čiary alebo obvodu mnohouholníka;
e) zistenie dĺžky súčtu segmentov.
Pojem „segment“ teda priamo súvisí s jeho dĺžkou. Našu úvahu o koncepte „segmentu“ začneme zvýraznením charakteristických vlastností, ktoré nesúvisia s meraním. Toto sú vlastnosti, ktoré umožňujú zistiť podobnosť segmentu s inými geometrickými útvarmi a jeho odlišnosť od nich, to znamená zahrnúť myšlienku segmentu do už existujúceho systému geometrických predstáv študentov.
Hlavné vlastnosti segmentu - priamosť a ohraničenosť v dvoch smeroch - sa prejavia pri porovnaní s priamkou alebo lúčom.
Tieto vlastnosti vám umožňujú zmerať segment, to znamená porovnať jeho dĺžku s dĺžkovým štandardom.
Dĺžku priamky a lúča nie je možné zmerať kvôli ich neobmedzenej povahe. Pre zakrivenú čiaru je priame meranie dĺžky ťažké kvôli jej ľubovoľnému tvaru. Aj keď je však dĺžka krivky známa, toto číslo nehovorí nič o jej tvare, keďže zakrivených čiar danej dĺžky je nekonečné množstvo. Dĺžka segmentu ho jednoznačne definuje ako geometrický útvar.
V tomto článku sa navrhuje študovať pojem „segment“ v súlade s nasledujúcou schémou:
1. konštrukcia segmentu;
2. označenie segmentu;
3. základné nemetrické vlastnosti segmentu;
4. hlavná vlastnosť oneskorenia segmentu;
5. dĺžka segmentu, jednotky dĺžky;
6. rovnaké segmenty, porovnanie segmentov podľa dĺžky;
7. zistenie dĺžky súčtu segmentov.
Jedna hodina je určená na oboznámenie sa s témou „A segment a jeho vlastnosti“.
LEKCIA „Základné vlastnosti segmentov“.
Účel hodiny: rozvíjať predstavy študentov o úsečke ako obmedzenom priamočiarom geometrickom útvare a o vzájomnej polohe bodov v rovine.
I. Príprava na štúdium nového materiálu.
Žiaci poznajú segment, jeho konštrukciu a meranie zo základnej školy. Preto si žiaci na začiatku hodiny zapamätajú rôzne spôsoby konštrukcie úsečky pomocou pravítka a jeho označenie.
Opakovanie:
Spôsob 1: Pomocou pravítka nakreslite priamku, vyznačte na nej dva body A a B, ktoré vymedzujú úsečku AB.
Segment AB je súčasťou priamky,
A B obmedzená bodmi.
Úsečka AB
Metóda 2: Označte dva body A a B na rovine. Spojte ich pomocou pravítka, ktoré nepresahuje body A a B.
Segment AB pozostáva zo všetkých bodov
priamka ležiaca medzi bodmi
A IN A a B a samotné body.
Úsečka AB
Žiaci si zapamätajú všetko, čo vedia o úsečke: 1) úsečka je plochá postava (leží v rovine); 2) toto je časť priamky; 3) segment pozostáva z nekonečného počtu bodov; 4) je obmedzená na oboch stranách; 5) každý bod segmentu leží medzi dvoma danými bodmi, ktoré sa nazývajú konce segmentu.
Toto všetko si študenti zapamätajú na základe elektronickej učebnice otvorením stránky „segment“. (obr. 8)
Obrázok 8.
Prezentácia nového materiálu. Používanie stránky EUP „Planimetria“: „Základné vlastnosti segmentu“
Keď si študenti zapamätajú a zopakujú, čo o úsečke vedeli, učiteľ povie: že konce úsečky sa nazývajú hraničné body a všetky, ktoré ležia medzi nimi, sú vnútorné body úsečky.
Potom učiteľ vyzve deti, aby sa obrátili na elektronickú učebnicu, ktorá zobrazuje kresbu a podáva vysvetlenie, ktoré vedie študentov k základným vlastnostiam merania a vykresľovania segmentu.
II. Konsolidácia
Študenti majú vyplniť niekoľko úloh o príslušnosti bodov k úsečkám, úsečkám a lúčom, ako aj o ich konštrukcii v tvare:
1. Označte si do zošita body K a M. Pomocou pravítka zostrojte úsečku KM. Označte body P a T na tomto segmente Pomenujte segmenty, na ktoré tieto body rozdeľujú segment KM. Na aké segmenty rozdeľuje bod T segment KM?
2. Ktorý z bodov naznačených na obr. patria do segmentu CD a ktoré z nich nepatria?
Otázky na konsolidáciu:
1. Ako sa označujú body a čiary?
2. Ktoré body označené na obrázku ležia na priamke a, ktoré body na priamke b? V ktorom bode sa priamky a a b pretínajú?
3. Formulujte základné vlastnosti rozloženia segmentov.
4. Formulujte hlavnú vlastnosť meracích segmentov.
>>Matematika 7. ročník. Kompletné lekcie >>Geometria: Rozloženie segmentov a uhlov. Kompletné lekcie
Odkladanie čiar a uhlov
Obrázok ukazuje spôsob použitia vládcov na polpriamku a s počiatočným bodom A môžete nakresliť úsečku dlhú 3 cm.
Tento obrázok ukazuje, ako používať uhlomer odložte uhol s mierou 60° od polpriamky a k hornej rovine 
Sformulujme základné vlastnosti nanášania úsečiek a uhlov:
- na ľubovoľnej polpriamke od jej počiatočného bodu môžete vykresliť segment danej dĺžky a iba jeden;
- Z ľubovoľnej polpriamky možno do danej polroviny vykresliť uhol s danou mierou stupňov, menším ako 180°.
Príklad riešenia problému.
Na lúči AB je segment AC menší ako segment AB. Ktorý z troch bodov A, B, C leží medzi ostatnými dvoma?
Riešenie.
Keďže body B a C ležia na tej istej polpriamke s počiatočným bodom A, znamená to, že nie sú oddelené bodom A, to znamená, že bod A neleží medzi bodmi B a C.
Ak bod B leží medzi bodmi A a C, potom platí rovnosť: AB+BC=AC. To nie je možné, pretože podľa podmienky je segment AC menší ako segment AB. Preto bod C neleží medzi bodmi A a C.
Z troch bodov A, B, C len jeden leží medzi ďalšími dvoma. V našom prípade: bod C sa nachádza medzi bodmi A a B.
Ray.
Narysujme si priamku a a označme na nej bod O (obr. 11).
Tento bod rozdeľuje čiaru na dve časti, z ktorých každá sa nazýva lúč vychádzajúci z bodu O (na obrázku 11 je jeden z lúčov zvýraznený hrubou čiarou). Bod O sa nazýva začiatok každého lúča. Lúč je zvyčajne označený buď malým latinským písmenom (napríklad lúč h na obrázku 12, a), alebo dvoma veľkými latinskými písmenami, z ktorých prvé označuje začiatok lúča a druhé - nejaký bod na lúč (napríklad lúč OA na obrázku 12, b).
Rohový.
Pripomeňme si, že uhol je geometrický útvar, ktorý pozostáva z bodu a dvoch lúčov vychádzajúcich z tohto bodu. Lúče sa nazývajú strany uhla a ich spoločným počiatkom je vrchol uhla. Obrázok 13 ukazuje uhol s vrcholom O a strany h a k sú označené na stranách. Tento uhol je označený takto: hk, alebo AOB, alebo O.
Uhol sa nazýva otočený, ak obe jeho strany ležia na rovnakej priamke. Môžeme povedať, že každá strana rozvinutého uhla je pokračovaním druhej strany. Obrázok 14 znázorňuje rozvinutý uhol s vrcholom C a stranami p a q.
Akýkoľvek uhol rozdeľuje rovinu na dve časti. Ak uhol nie je otočený, potom sa jedna z častí nazýva interné a druhý - externé oblasť tohto uhla (obr. 15, a). Obrázok 15, b znázorňuje nerozvinutý uhol. Body A, B, C ležia vo vnútri tohto uhla (t. j. vo vnútornej oblasti uhla), body D a E sú na stranách uhla a body P a Q sú mimo uhla (t. j. vo vonkajšej oblasti uhla). Ak je uhol rozvinutý, potom ktorúkoľvek z dvoch častí, na ktoré rozdeľuje rovinu, možno považovať za vnútornú oblasť uhla. Obrazec pozostávajúci z uhla a jeho vnútornej oblasti sa tiež nazýva uhol.
Ak lúč vychádza z vrcholu nerozvinutého uhla a prechádza vnútri uhla, potom tento uhol rozdeľuje na dva uhly. Na obrázku (16,a) lúč OS rozdeľuje uhol AOB na dva uhly: AOS a COB. Ak je uhol AOB rozvinutý, potom akýkoľvek lúč OC, ktorý sa nezhoduje s lúčmi OA a OB, rozdeľuje tento uhol na dva uhly: AOS a COB (obr. 16, b). 
Porovnanie segmentov a uhlov.
Obrázok 20a znázorňuje dva segmenty. Aby sme zistili, či sú rovnaké alebo nie, položíme jeden segment na druhý tak, aby sa koniec jedného segmentu zhodoval s koncom druhého (obr. 20, b). Ak sa súčasne zhodujú aj dva ďalšie konce, potom sa segmenty úplne zhodujú, a preto sú rovnaké. Ak sa ostatné dva konce nezhodujú, potom sa segment, ktorý tvorí časť druhého, považuje za menší. Na obrázku 20 je segment AC súčasťou segmentu AB, preto je segment AC menší ako segment AB (napísané takto: AC<АВ).
Bod na segmente, ktorý ho delí na polovicu, to znamená na dva rovnaké segmenty, sa nazýva stred segmentu. Na obrázku 21 je bod C stredom segmentu AB.
Obrázok 22a ukazuje nevytočené rohy 1 a 2. Aby sme zistili, či sú rovnaké alebo nie, priložíme jeden uhol na druhý tak, aby strana jedného uhla bola zarovnaná so stranou druhého a ďalšie dva boli na rovnakej strane zarovnaných strán (obr. 22 , b). Ak sa stretávajú aj ostatné dve strany, potom sú uhly úplne zarovnané, a teda rovnaké. Ak sa tieto strany nezhodujú, potom sa uhol, ktorý tvorí časť druhej, považuje za menší. Na obrázku (22, b) je uhol 1 súčasťou uhla 2, teda 1<2.
Neotočený roh rovná sa časť rozšíreného(obr. 23), preto je rozvinutý uhol väčší ako nerozvinutý uhol. Akékoľvek dva obrátené uhly sú samozrejme rovnaké.
Lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dva rovnaké uhly sa nazýva bisector rohu. Na obrázku 24 je lúč l- os uhla hk.
otázky:
- Koľko stupňov je uhol natočenia?
- Čo je to bisektor?
- Aký je účel uhlomeru?
Zoznam použitých zdrojov:
- P. I. Altynov, Geometria ročníky 7-9. Moskva. Vydavateľstvo "Drofa", 2005.
- Programy inštitúcií všeobecného vzdelávania. Geometria ročníky 7-9. Zostavil: S.A. Burmistrovej. Moskva. "Osvietenie", 2009.
- Noviny "Matematika" č.19, 2000.
- Atanasyan, Geometria 7-9 ročníkov.
- Pavlov A. N. Geometria: Planimetrie v tézach a riešeniach.
- Upravil a poslal Potunak S.A.
Na lekcii sa pracovalo:
Poturnak S.A.
Geometria
Základné vlastnosti najjednoduchších geometrických útvarov
Definícia. Axiómy
Geometria je veda o vlastnostiach geometrických tvarov. Vezmite prosím na vedomie: geometrický útvar nie je len trojuholník, kruh, pyramída atď., Ale aj ľubovoľná množina bodov.
Planimetrie je odvetvie geometrie, v ktorom sa študujú obrazce v rovine.
Bodka A rovno sú základné pojmy planimetrie. To znamená, že tento pojem nemožno presne definovať. Na základe skúseností a vymenovania ich vlastností si ich možno len domýšľať.
Tvrdenia, ktorých pravdivosť sa prijíma bez dôkazu, sa nazývajú axiómy. Obsahujú formulácie základných vlastností najjednoduchších figúrok.
Výroky, ktoré sú preukázané, sú tzv teorémy.
Definícia je vysvetlenie pojmu, ktorý sa opiera buď o základné pojmy alebo pojmy, ktoré boli predtým definované.
Označenia: body sú uvedené veľkými latinskými písmenami; rovné čiary - malými písmenami latinky alebo dvoma veľkými latinskými písmenami (ak sú na priamke vyznačené dva body).
Body na obrázku A, B, C, N,M a rovno a A b. Priamy A možno označiť ako priamku MN(alebo N.M.).
Vstup znamená, že bod M leží na priamke A. Vstup znamená, že bod S neleží na priamke A.
Musíme to pochopiť priamo a A b na obrázku sa pretínajú, hoci nevidíme, v bode.
Základné vlastnosti (axiómy) patriacich bodov a priamok v rovine
Axióma I. 1. Nech je čiara akákoľvek, existujú body, ktoré patria do tejto čiary a body, ktoré do nej nepatria.
2. Cez ľubovoľné dva body môžete nakresliť priamku a iba jeden. (Musíme pochopiť, že to obsahuje dve tvrdenia: po prvé, existenciu takejto línie a po druhé, jej jedinečnosť.)
Axióma II. Z troch bodov na priamke leží iba jeden medzi ostatnými dvoma.
Podľa segmentu je časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky ležiacich medzi dvoma danými bodmi. Tieto body sa nazývajú konce segmentu. Obrázok znázorňuje segment AB(úsek je označený napísaním jeho konca).
Základné vlastnosti (axiómy) meracích segmentov
Axióma III. 1. Každý segment má určitú dĺžku väčšiu ako nula.
2. Dĺžka úsečky sa rovná súčtu dĺžok častí, na ktoré je delená ľubovoľným z jej bodov.
Hlavná vlastnosť umiestňovania bodov vzhľadom na priamku v rovine
Axióma IV. Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Tento oddiel má nasledujúcu vlastnosť: ak konce ktoréhokoľvek segmentu patria do rovnakej roviny, segment nepretína priamku; ak konce segmentu patria rôznym povrchom, potom segment pretína čiaru.
Priamo, alebo lúč, nazývaná časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky ležiacich na jednej strane daného bodu na nej. Tento bod sa nazýva východiskový bod lúča. Nazývajú sa rôzne čiary jednej čiary so spoločným začiatočným bodom dodatočné.
Na obrázku sú znázornené lúče AB(aka A.C.), D.A.(alebo D.B., DC), B.C., C.B.(alebo C.A., CD), B.A.(alebo BD), AD.
Lúče AB A A.D., B.C. A BD- dodatočne. Lúče BD A A.C. sa nedoplňujú, pretože majú rôzne východiská.
Rohový- toto je číslo, ktoré pozostáva z bodu - rohové vrcholy- a dve rôzne priame čiary vychádzajúce z tohto bodu, - strany uhla.
Uhol znázornený na obrázku možno označiť takto: , , .
Ak sú strany uhla doplnkové priamky, uhol sa nazýva rozšírené:
To hovoria lúč prechádza medzi stranami uhla, ak vychádza z jeho vrcholu a pretína nejaký segment s koncami na jeho stranách. Pre rozvinutý uhol predpokladáme, že každý lúč, ktorý vychádza z jeho vrcholu a je odlišný od jeho strán, prechádza medzi stranami uhla.
Základné vlastnosti merania uhla
Axióma V. 1. Každý uhol má určitý stupeň väčší ako nula. Priamy uhol sa rovná .
2. Miera stupňov uhla sa rovná súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom prechádzajúcim medzi jeho stranami.
Základné vlastnosti kladenia segmentov a uhlov
Axióma VI. Na ľubovoľnej priamke od jej začiatočného bodu môžete vykresliť segment danej dĺžky a iba jeden. Axióma VII. Z akejkoľvek priamej čiary do danej roviny možno vytvoriť uhol daného stupňa, menší ako , a iba jeden.
Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch. Body sú tzv vrcholy trojuholníka, a segmenty sú jeho strany.
Trojuholník na obrázku môže byť označený takto: alebo atď.
Základné prvky vyššie uvedeného trojuholníka: strany AB, A.C., B.C.(alebo a, b, c); uhly (alebo), , . a - priľahlé k boku A.C.. - opačná strana A.C..
Trojuholníky sú tzv rovný, ak sú ich zodpovedajúce strany rovnaké a ich zodpovedajúce uhly sú rovnaké. V tomto prípade musia zodpovedajúce uhly ležať oproti zodpovedajúcim stranám.
Záznam znamená (pozri obrázok), že:
; ;
; ;
; .
Hlavná vlastnosť existencie kongruentných trojuholníkov
Axióma VIII. Bez ohľadu na trojuholník existuje trojuholník, ktorý sa mu rovná v danom mieste vzhľadom na danú priamku. Priame linky sú tzv paralelný, ak sa nepretínajú.
Rovnobežné čiary zobrazené na obrázku môžu byť označené nasledovne: alebo.
Axióma rovnobežných čiar
Axióma IX. Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno na rovine nakresliť najviac jednu priamku rovnobežnú s danou. Poznámka: axióma potvrdzuje jedinečnosť takejto línie, ale netvrdí jej existenciu.
Relatívna poloha čiar v rovine
Dve rovné čiary v rovine môžu: zhodovať sa;
byť rovnobežné (t. j. nepretínať sa);
majú jeden spoločný bod.
(V skutočnosti, ak by dve priamky mohli mať aspoň dva spoločné body, potom by cez tieto dva body prechádzali dve rôzne priamky, čo je v rozpore s Axiómou I, odsek 2).
