Jedným z dôležitých ekonomických problémov je určenie optimálnej stratégie výmeny starých strojov, aipcraTOB a strojov za nové. Starnutím zariadenia sa rozumie jeho fyzické a morálne opotrebovanie, v dôsledku čoho sa zvyšujú náklady na opravy a údržbu, rastú a znižujú sa výrobné náklady na výrobu.

výkon a likvidná hodnota. Prichádza čas, keď je výhodnejšie predať staré zariadenie a nahradiť ho novým zariadením, ako ho prevádzkovať s veľkými nákladmi; Navyše ho možno nahradiť novým zariadením rovnakého typu alebo novým, pokročilejším. Optimálna stratégia výmeny zariadenia je určiť jeho optimálne načasovanie. Kritériom optimálnosti v tomto prípade môže byť zisk z prevádzky zariadenia, ktorý by mal byť optimalizovaný, alebo celkové prevádzkové náklady v posudzovanom období, ktoré by mali byť minimalizované.

Predstavme si nasledujúci zápis:

r(t)- ročné náklady na údržbu starého zariadenia tľahnúť si;

g(t)- zostatková hodnota vekovej výbavy tľahnúť si;

R 0 - obstarávacia cena zariadenia.

Zvážte obdobie N rokov, v rámci ktorých je potrebné určiť optimálny cyklus výmeny zariadení.

Označme L*(/) optimálne náklady získané z

vek vybavenia t rokov pre zostávajúce N rokov cyklu používania zariadenia pri dodržaní optimálnej stratégie.

Vek zariadenia sa meria v smere toku procesu. / = 0 teda zodpovedá prípadu použitia nového zariadenia. V každej fáze procesu /V-fáza sa musí prijať rozhodnutie o ponechaní, výmene alebo oprave zariadenia. Zvolená možnosť by mala zabezpečiť minimalizáciu celkových prevádzkových nákladov počas posudzovaného obdobia.

Predpokladá sa, že prechod od práce na veku zariadení t Príprava na prácu na novom zariadení nastáva okamžite, to znamená, že výmena starého zariadenia a prechod na prácu na novom zariadení zapadajú do jedného obdobia.

Príklad 4.2

Zariadenie sa používa päť rokov a potom sa predáva. Začiatkom každého roka sa môžete rozhodnúť, či si zariadenie ponecháte, alebo ho vymeníte za nové. Náklady na nové vybavenie P 0= 4000 rubľov. Po t rokov prevádzky (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (hodnota kvapaliny). Náklady na údržbu počas roka závisia od veku zariadenia t a sú si rovní r(t) = 600(/ + 1).

Definujte optimálna stratégia prevádzku zariadenia tak, aby celkové náklady s prihliadnutím na prvotný nákup a konečný predaj boli minimálne.

Riešenie. Metóda rozdelenia ovládania na kroky je prirodzená - ale v priebehu rokov, P= 5. Stavový parameter - vek stroja lu= t,,v 0 = 0 - auto je nové na začiatku prvého roku prevádzky. Kontrola v každom kroku závisí od dvoch premenných Ak A Ak.

Stavové rovnice závisia od riadenia:

Indikátor účinnosti kroku A:

(at Ak náklady len na prevádzku stroja vek t, pri Ak stroj sa predá (-4000 2~"), kúpi sa nový (4000) a prevádzkuje sa prvý rok (600), celkové náklady sú (-4000 2" + 4000 + 600)).

Nech l'(?) sú podmienené optimálne náklady na prevádzku stroja, počnúc od A“ kroku do konca, za predpokladu, že na začiatku A“-tého kroku je stroj starý. Napíšme Wellmanove rovnice pre funkcie A(r), pričom problém maximalizácie nahradíme problémom minimalizácie:

Hodnota 4000 2 0+11 - náklady na vek auta t rokov (podľa podmienok sa auto predáva po piatich rokoch prevádzky):

Z definície funkcií А* (/) vyplýva A min = А*(0).

Predstavme si geometrické riešenie túto úlohu. Vynesme číslo kroku na os x do, a pozdĺž ordináty - vek stroja /. Bodka (Komu - 1, /) na rovine zodpovedá začiatku A - - rok prevádzky stroja, vek / roky. Pohyb na grafe v závislosti od akceptovaného ovládacieho prvku na / o-tý krok znázornené na obr. 4.3.

Ryža. 4.3

Stav začiatku prevádzky stroja zodpovedá bodu,v‘(0, 0), koniec - bodom.5(5,/). Akákoľvek trajektória, ktorá prenáša bod DA-1, /) z bodu 5, pozostáva zo segmentov - krokov zodpovedajúcich rokom prevádzky. Je potrebné zvoliť trajektóriu, pri ktorej budú náklady na prevádzku stroja minimálne.

Nad každým segmentom spájajúcim body (A' - 1, /) a (A, / + 1) sú napísané zodpovedajúce ovládacie prvky Ak náklady (600(/ + 1)) a nad segment spájajúci body (Komu- 1, /) a ( Komu, /), - náklady zodpovedajúce hospodáreniu Ak(4600 - 4000 2 "). Týmto spôsobom sú umiestnené všetky segmenty spájajúce body na 1rafixe, zodpovedajúce prechodom z ľubovoľného stavu ld_| do stavu s k(pozri obr. 4.3).

Ďalej sa na označenom fafa vykoná podmienená optimalizácia. V štátoch (5, /) je auto predané, podmienený optimálny príjem z predaja je 4000 2~‘, ale keďže účelová funkcia súvisí s nákladmi, hodnota príjmu so znamienkom mínus je umiestnená v kruhoch bodov (5, /). Potom v ďalších fázach vyberajú minimálne náklady medzi dvoma možnými prechodmi sú napísané v kruhu daného bodu a príslušné ovládacie prvky v tomto kroku sú označené bodkovanou šípkou. V tomto prípade sa v každom kroku Wellmanove rovnice riešia dopravne (obr. 4.4).

Po vykonaní podmienenej optimalizácie získame v bode (0, 0) minimálne náklady na prevádzku stroja po dobu približne piatich rokov s následným predajom: A min = 11 900 Ďalej je zostrojená optimálna trajektória pohybujúc sa od bodu Takže (0, 0) pozdĺž bodkovaných šípok v.?. Získame množinu bodov: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), ktorá zodpovedá optimálnemu ovládanie U"(uc, U‘, U Uc, Uc). Optimálny režim

prevádzky je výmena stroja za nový začiatkom tretieho roku.

Takto označený graf (sieť) vám umožňuje jasne interpretovať návrhová schéma a problém vyriešiť pomocou metódy dynamického programovania.

Dynamické programovacie modely a výpočtové postupy sú veľmi flexibilné z hľadiska schopnosti začleniť rôzne modifikácie problému. Napríklad o podobnom probléme možno uvažovať veľké číslo možnosti ovládania, „oprava“, „ veľká renovácia"a atď. Všetky tieto faktory môže vziať do úvahy výpočtová schéma dynamického programovania.

Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí využívajú vedomostnú základňu pri štúdiu a práci, vám budú veľmi vďační.

Uverejnené na http://www.allbest.ru/

Úvod

Na celom svete teraz existuje obrovské množstvo rôznych podnikov, ktoré používajú stroje na výrobu produktov. Preto je pri jeho realizácii potrebné vypracovať optimálny plán výmeny a využitia zariadení. Táto úloha sa považuje za viacstupňový proces, ktorý je charakteristický pre dynamické programovanie.

V podmienkach trhové hospodárstvo Výber stratégie výmeny zariadenia alebo zabezpečenia jeho funkčnosti pre priemyselný podnik je zvyčajne pomerne zložitý a na dosiahnutie prijateľných výsledkov niekedy nemusia stačiť iba solídne skúsenosti, pretože intuícia často vedie k chybným záverom. Matematická úvaha nám umožňuje získať správne a ľahko vypočítateľné odhady.

Ekonomická teória vyvinula širokú škálu modelov výmeny zariadení, ktoré umožňujú úplnejšie a adekvátnejšie posúdiť uskutočniteľnosť a podmienky výmeny. Tieto modely postavili zahraniční odborníci a vedci ZSSR a Ruskej federácie. V súčasnosti sa javí ako veľmi dôležité systematizovať tieto modely a identifikovať oblasti ich efektívnej aplikácie.

Účelom tohto práca v kurze je určiť optimálne načasovanie výmeny starého zariadenia.

Ciele tejto práce sú:

Pri hľadaní podmieneného optimálneho riešenia problému;

Pri zostavovaní optimálneho plánu výmeny zariadenia.

Starnutie zariadenia zahŕňa jeho fyzické a morálne opotrebovanie. V dôsledku toho rastú výrobné náklady, zvyšujú sa náklady na údržbu a opravy zariadení, znižuje sa produktivita práce a hodnota likvidity. Kritériom optimálnosti je buď zisk z prevádzky zariadenia alebo celkové prevádzkové náklady počas plánovaného obdobia.

1. Teoretický popis modelu výmeny zariadenia

1.1 Charakteristiky modelu výmeny zariadenia

Dôležitým ekonomickým problémom je včasná výmena zariadení: autá, stroje, elektronika atď. starnutie zariadení zahŕňa fyzické a morálne opotrebovanie, v dôsledku čoho sa zvyšujú náklady na servis a opravy zariadení, klesá produktivita práce a práca na starom zariadení nie je taká príjemná ako na novom. Preto je potrebné vedieť, kedy a ako vymeniť zariadenie.

Problémom výmeny zariadenia je určiť optimálne načasovanie výmeny starého zariadenia. Ekonomické a matematické problémy, ktoré tento problém riešia, sa nazývajú optimalizácia.

Optimalizačné úlohy sú riešené pomocou optimalizačných modelov pomocou metód matematického programovania. Štruktúra optimalizačného modelu pozostáva z objektívnej funkcie, oblasti realizovateľných riešení a systému obmedzení, ktoré túto oblasť definujú.

Objektívna funkcia je funkcia, ktorá spája cieľ s riadenými premennými. región prijateľné hodnoty- toto je oblasť, v ktorej sa prijímajú rozhodnutia. Je obmedzená systémom obmedzení pozostávajúcim z rovníc a nerovníc.

Skupina problémov sa identifikuje podľa typu kritéria optimality:

Problémy lineárneho programovania. Cieľová funkcia a funkcie v systéme obmedzení sú lineárne funkcie.

Problémy celočíselného lineárneho programovania. K predchádzajúcim podmienkam sa pridáva podmienka potreby získať odpoveď vo forme celých čísel.

Problémy nelineárneho programovania. Cieľová funkcia a/alebo funkcie v systéme obmedzení sú nelineárne funkcie.

Problémy kvadratického programovania. Množina realizovateľných riešení je konvexný mnohosten a cieľová funkcia je kvadratická.

Problémy konvexného programovania. Množina realizovateľných riešení a účelová funkcia sú konvexnou množinou.

Problémy stochastického programovania. Funkcie sú náhodné.

Problémy heuristického programovania. Prehnane veľké množstvo možnosti riešenia, čo vedie k nemožnosti algoritmicky nájsť presné optimum.

Problémy dynamického programovania. Kritérium účinnosti je vyjadrené implicitne prostredníctvom rovníc, ktoré opisujú operácie v čase.

Model výmeny zariadení je optimalizačný model, ktorý môžeme priradiť k dynamickému programovaniu. Metóda dynamického programovania je založená na princípe sekvenčnej optimalizácie: riešenie pôvodného problému vysokorozmernej optimalizácie je nahradené riešením postupnosti problémov malorozmernej optimalizácie. Hlavnou podmienkou použiteľnosti metódy dynamického programovania je možnosť rozdelenia rozhodovacieho procesu na množstvo podobných krokov alebo etáp, z ktorých každý je plánovaný samostatne, avšak s prihliadnutím na výsledky získané v iných krokoch.

1.2 Bellmanov princíp optimality

náhradné zariadenie matematické programovanie

Metóda dynamického programovania spočíva v postupnom budovaní optimálneho riadenia. V každom kroku je optimalizované ovládanie iba tohto kroku. Zároveň sa v každom kroku volí kontrola s prihliadnutím na dôsledky, keďže kontrola, ktorá optimalizuje cieľovú funkciu len pre daný krok, môže viesť k suboptimálnemu efektu celého procesu. Riadenie v každom kroku musí byť optimálne z hľadiska procesu ako celku. Toto základné pravidlo dynamického programovania, formulované Bellmanom, sa nazýva princíp optimality.

Plánuje sa prevádzka zariadenia na určitý čas. Zariadenie má tendenciu časom starnúť a generovať čoraz menší príjem. Zároveň je možné začiatkom každého roka predať zastaranú techniku ​​za určitú cenu, ktorá závisí aj od veku, a kúpiť novú. Vek zariadenia sa vzťahuje na obdobie prevádzky zariadenia po poslednej výmene, definované v rokoch. Je potrebné nájsť optimálny plán výmeny zariadení za nové, aby celkový príjem počas všetkých rokov prevádzky bol maximálny.

Uveďme si nasledujúci zápis: r(t) - náklady na výrobky vyrobené za jeden rok na jednotke zariadenia vo veku t rokov:

u(t) -- ročné náklady na údržbu zariadení vo veku t rokov;

s(t) -- zostatková hodnota zariadenia vo veku t rokov;

P je obstarávacia cena zariadenia.

Uvažujme obdobie N rokov, v rámci ktorého je potrebné určiť optimálny cyklus výmeny zariadenia.

Označme fN(t) maximálny príjem získaný zo zariadenia vo veku t rokov počas zostávajúcich N rokov cyklu používania zariadenia, pri dodržaní optimálnej stratégie.

Vek zariadenia sa počíta v smere toku procesu. Teda t = 0 zodpovedá prípadu použitia nového zariadenia. Časové fázy procesu sú číslované v opačnom smere vzhľadom na priebeh procesu. N = 1 sa teda vzťahuje na jednu časovú fázu zostávajúcu do ukončenia procesu a N = N - na začiatok procesu (obr. 1).

V každej fáze procesu N sa musí rozhodnúť o ponechaní alebo výmene zariadenia. Zvolená možnosť by mala zabezpečiť maximálny zisk.

Funkčné rovnice založené na princípe optimality sú znázornené na obr. 2:

Rovnica 1 opisuje N-stupňový proces a rovnica 2 opisuje jednostupňový proces. Obe rovnice majú dve časti: horný riadok určuje príjem získaný údržbou zariadenia; nižší - príjem získaný pri výmene zariadenia a pokračovaní pracovného procesu na novom zariadení.

V rovnici 1 je funkcia r(t) -- u(t) rozdiel medzi výrobnými nákladmi a prevádzkovými nákladmi pre N-tá etapa proces.

Funkcia fN-1 (t + 1) charakterizuje celkový zisk z (N -- 1) zostávajúcich stupňov pre zariadenia, ktorých vek na začiatku týchto stupňov je (t + 1) rokov.

Spodný riadok 1 je charakterizovaný nasledovne: funkcia s(t) -- P predstavuje čisté náklady na výmenu zariadenia, ktoré je staré t rokov.

Funkcia r(0) vyjadruje príjem z nového zariadenia vo veku 0 rokov. Predpokladá sa, že prechod od práce na zariadení vo veku t rokov k práci na novom zariadení nastáva okamžite, t.j. obdobie výmeny starého zariadenia a prechod na prácu na novom zariadení zapadá do rovnakej fázy.

Posledná funkcia fN-1 v 1 predstavuje príjem zo zvyšných N -- 1 etáp, pred začiatkom ktorých je zariadenie staré jeden rok.

Podobný výklad možno poskytnúť aj rovnici pre jednostupňový proces. Neexistuje člen tvaru f0(t + 1), keďže N nadobúda hodnotu 1, 2,..., N. Rovnosť f0(t) = 0 vyplýva z definície funkcie fN(t).

Rovnice 1 a 2 sú rekurentné vzťahy, ktoré nám umožňujú určiť hodnotu fN(t) v závislosti od fN-1(t + 1). Štruktúra týchto rovníc ukazuje, že pri prechode z jednej fázy procesu do ďalší vek zariadení sa zvyšuje z t na (t + 1) rokov a počet zostávajúcich stupňov klesá z N na (N -- 1).

Výpočet začína použitím rovnice 1. Rovnice 1 a 2 vám umožňujú vyhodnotiť možnosti výmeny a údržby zariadenia, aby ste prijali tú, ktorá znamená vyšší príjem. Tieto pomery umožňujú nielen zvoliť si postup pri rozhodovaní o údržbe alebo výmene zariadenia, ale aj určiť zisk získaný pri každom z týchto rozhodnutí.

2. Informačná a metodická podpora modelovania

2.1 Metodická podpora modelu

V problémoch dynamického programovania je ekonomický proces závislý na čase (na niekoľkých časových periódach (fázach), preto sa nachádza množstvo optimálnych riešení (postupne pre každú fázu), ktoré zabezpečujú optimálny vývoj celý proces ako celok. Problémy dynamického programovania sa nazývajú viackrokové alebo viackrokové. Dynamické programovanie je matematický aparát, ktorý umožňuje optimálne plánovanie viackrokovo riadených procesov a časovo závislých procesov. Ekonomický proces sa nazýva riadený, ak je možné ovplyvniť priebeh jeho vývoja. Manažment je súbor rozhodnutí, ktoré sa robia v každej fáze s cieľom ovplyvniť priebeh procesu.

V ekonomických procesoch riadenie pozostáva z rozdeľovania a prerozdeľovania finančných prostriedkov v každej fáze. Napríklad výroba produktov akýmkoľvek podnikom je riadený proces, pretože je určená zmenami v zložení zariadení, objemom dodávok surovín, množstvom financovania atď. Súbor rozhodnutí prijatých na začiatku každého roka plánovacieho obdobia o zabezpečení podniku surovinami, výmene zariadení, sumách financovania atď. je manažment. Zdalo by sa, že na získanie maximálneho objemu výkonu je najjednoduchšie investovať maximálne možné množstvo finančných prostriedkov a využívať zariadenia na plnú kapacitu. To by však viedlo k rýchlemu opotrebovaniu zariadení a v dôsledku toho k zníženiu produkcie.

Preto musí byť uvoľnenie produktu naplánované tak, aby sa predišlo nežiaducim účinkom. Je potrebné prijať opatrenia, aby sa vybavenie dopĺňalo pri jeho opotrebovaní, t.j. podľa časových období. Ten síce vedie k zníženiu počiatočného objemu produkcie, ale poskytuje ďalšiu príležitosť rozšírenie výroby. Ekonomický proces výroby teda možno považovať za pozostávajúci z niekoľkých etáp (krokov), z ktorých každá ovplyvňuje jeho vývoj.

Za začiatok etapy (kroku) riadeného procesu sa považuje moment, kedy sa rozhoduje (o výške kapitálovej investície, o výmene zariadenia určitého typu a pod.). Etapa sa zvyčajne chápe ako obchodný rok.

Dynamické programovanie, využívajúce plánovanie krok za krokom, umožňuje nielen zjednodušiť riešenie problému, ale aj vyriešiť tie problémy, na ktoré nie je možné použiť metódy matematickej analýzy. Zjednodušenie riešenia sa dosiahne výrazným znížením počtu skúmaných možností, keďže namiesto jednorazového riešenia zložitého mnohorozmerného problému metóda plánovania krok za krokom zahŕňa viacnásobné riešenie relatívne jednoduchých problémov.

Plánovanie krok za krokom proces, vychádzať zo záujmov celého procesu ako celku, t.j. pri rozhodovaní o samostatná etapa Vždy je potrebné mať na pamäti konečný cieľ.

Problém dynamického programovania musí spĺňať dve podmienky. Prvá podmienka sa zvyčajne nazýva podmienka absencie následného účinku a druhá je podmienka aditivity objektívnej funkcie problému.

2.2 Algoritmická podpora modelu

Počas prevádzky a skladovania je zariadenie vystavené fyzickému a morálnemu opotrebovaniu. Fyzické zhoršenie charakterizované stratou zariadenia jeho pôvodných kvalít. To spôsobuje zníženie presnosti zariadenia a zníženie rýchlosti jeho prevádzky. Fyzické opotrebovanie zariadení spôsobuje zvýšenie podielu chybných výrobkov, zvýšenie odstávok zariadení z technických príčin, nadmernú spotrebu základných a pomocných materiálov a odstávky v dôsledku havárií, čo v konečnom dôsledku vedie k zvýšeniu nákladov na výrobky. Zastarávanie zariadení má dve podoby. Prvá forma zastarávania spôsobuje zníženie nákladov na zariadenia v dôsledku zníženia nákladov na ich reprodukciu. Druhá forma zastarania nastáva pri zmene konštrukcie a výkonových charakteristík nových strojov, kedy je stroj technicky zastaraný a je nahradený vyspelejším.

Podniky musia neustále prijímať opatrenia na zabránenie alebo odstránenie následkov opotrebovania zariadení včasná implementácia rôzne druhy opravy a údržba zariadení.

Organizácia údržby a opráv zariadení v podnikoch je zameraná na údržbu a obnovu funkčnosti zariadení. V dôsledku opráv je však možné nielen obnoviť stratené funkcie častí a zostáv strojov a mechanizmov, ale aj ich modernizovať s cieľom zlepšiť technické vlastnosti. Podstatou opravy je zabezpečiť bezpečnosť a kvalitnú obnovu výkonnostné charakteristiky zariadení výmenou alebo obnovou opotrebovaných častí a nastavovacích mechanizmov.

Oprava je súbor operácií na obnovenie prevádzkyschopnosti, prevádzkyschopnosti buď zdroja zariadenia alebo jeho komponentov.

Ciele organizácie opravárenských prác v podniku sú:

udržiavanie zariadení v prevádzkyschopnom stave;

prevencia predčasného opotrebovania častí a komponentov;

udržiavanie vysokej presnosti, spoľahlivosti a trvanlivosti zariadení;

zníženie prestojov zariadení počas opráv a údržby;

zníženie nákladov na opravy a údržbu.

Systém opráv sa chápe ako súbor vzájomne súvisiacich ustanovení a noriem, ktoré určujú organizáciu a vykonávanie opravárenských prác v podniku. Existuje niekoľko systémov na organizovanie opráv zariadení. Každý z nich je založený na určitom počiatočnom princípe. Týka sa to predovšetkým frekvencie opráv a údržby. Najrozšírenejšie sú tri systémy.

Systém opráv zariadení „založený na poruchách“ zabezpečuje opravy v prípade poruchy zariadenia. V tomto systéme je dosť ťažké zabezpečiť prestoje a náklady na opravy. Medzi nevýhody tohto systému patrí dĺžka prestojov zariadení pri opravách a značné náklady na opravy.

Systém opravy po kontrole. Pri používaní tohto systému sa rozhodnutie o vykonaní opravy prijíma po kontrole zariadenia.

Vyššie uvedené dva systémy sa tiež nazývajú systémy opravy na požiadanie.

Systém plánovanej preventívnej údržby (PPR). Pri použití tohto opravárenského systému sa vopred vykoná súbor prác, aby sa zabránilo rozsiahlemu opotrebovaniu zariadenia, dlhým prestojom, vysoké náklady na opravy a nehody.

Systémom plánovanej preventívnej údržby sa rozumie súbor organizačných a technických opatrení na štúdium a kontrolu opotrebovania častí a zostáv strojov, ako aj na starostlivosť, dohľad, údržbu a opravy zariadení, vykonávaných na regulačnom základe s cieľom neustála údržba zariadenia v prevádzkyschopnom stave a predchádzanie neočakávaným poruchám. Tento systém opravy umožňuje najlepšiu kombináciu práce údržbu a preventívne opravy so všeobecným priebehom proces produkcie v podniku.

Podstata systému preventívnej údržby je nasledovná:

systematická kontrola stavu zariadení a vedenia nevyhnutné opravy zabrániť nehode;

potreba študovať opotrebovanie častí a zostáv a plánovať opravy, aby sa predišlo nehodám;

povinný materiál a technický tréning plánované opravy s cieľom zlepšiť kvalitu opráv a znížiť prestoje pri opravách strojov;

vytvorenie spoľahlivých predpokladov na zníženie prácnosti opráv.

Plánovanie opravných prác sa vykonáva formou ročného harmonogramu. Harmonogram je založený na štruktúre cyklu opráv pre každý typ zariadenia a normách náročnosti práce pre typy plánovaných opráv pre každý typ zariadenia.

Ročný harmonogram opráv sa zostavuje podľa mesiacov plánovaného roka Opravárenské práce, stanovené v harmonograme, by mali byť, ak je to možné, rovnomerne rozdelené medzi štvrťroky a mesiace v roku pre rovnaký typ zariadenia.

Klasický prístup preventívnej údržby je teda založený na kalendári: zariadenie sa opravuje v danom časovom intervale bez ohľadu na aktuálne opotrebovanie. Každé zariadenie má svoju dobu opravy a vlastné náklady na opravu. Vo výrobe je vybavenie zvyčajne zložité. A každý detail komplexné vybavenie dobu opravy a náklady na opravu. Ak sa doba opravy zložitého zariadenia zhoduje s dobou opravy jeho častí, náklady na opravu sa znížia.

Výmena zariadení je potrebná v čase, keď sa zisky zmenšujú a náklady na údržbu a opravy sa prudko zvyšujú.

3. Multimodelový prístup k riešeniu problému riadenia procesu náhrady výrobné zariadenia

Pre efektívne riadenie výrobného podniku sa čoraz viac využívajú matematické optimalizačné modely a metódy. Problém efektívneho riadenia podniku a najmä riadenia procesu výmeny výrobných zariadení je potrebné riešiť komplexne a na každej hierarchickej úrovni riadenia podniku.

Treba poznamenať, že v dnešnom konkurenčnom prostredí už nefunguje hodnotenie výkonnosti podniku v porovnaní s minulými štandardmi. Aby spoločnosti mohli úspešne konkurovať a rozvíjať sa, musia prijať filozofiu neustáleho zlepšovania, čo je neustály proces, v ktorom sa neustále hľadajú spôsoby, ktoré vedú k zlepšovaniu prevádzkových technológií, vykonávaniu včasných aktualizácií, opravám, výmenám a výberu nových. zariadení a zameraných na zníženie nákladov a zvýšenie ich produktivity. Zároveň je jedným z cieľov podniku prilákať ďalšie investície.

Na prilákanie dodatočných investícií musí mať podnik investičnú príťažlivosť. V tejto súvislosti vyvstáva problém efektívneho riadenia procesu výmeny výrobných zariadení podniku, ktorého riešenie spočíva v riešení množstva optimalizačných problémov. Vo všeobecnosti je riešenie problému efektívneho riadenia procesu výmeny podnikových zariadení úzko prepojené s riešením problému efektívneho strategického rozvoja podniku.

Na obr. Obrázok 3 znázorňuje vzťah medzi výkonnostnými ukazovateľmi výkonnosti podniku, kde riešenie problému efektívneho strategického rozvoja podniku závisí od riešenia problému efektívneho riadenia výrobných aktív (zariadení) podniku.

Na základe uvedeného a potreby zohľadnenia mnohých faktorov vyplýva, že problémy efektívneho riadenia procesu výmeny je potrebné riešiť komplexne a krok za krokom. Tento článok navrhuje systém modelov a metód na riešenie problémov riadenia procesu výmeny výrobných zariadení podniku (pozri tabuľku 1).

Problémy triedy A. Pre dané počiatočné údaje nájdite optimálne načasovanie výmeny zariadenia. Cieľovými funkciami sú priemerné náklady za obdobie prevádzky, výška zisku a likvidná hodnota za obdobie prevádzky.

Problémy triedy B. Pre dané počiatočné údaje nájsť optimálne stratégie na výmenu existujúcich a nových zariadení z dlhodobého hľadiska. Cieľovými funkciami sú náklady a zisky vo viackrokovom procese výmeny zariadenia.

Vzhľadom na to, že rozhodnutie o výmene pri problémoch tejto triedy sa prijíma na začiatku každého kalendárneho roka prevádzky zariadenia, úloha určenia optimálnych stratégií výmeny existujúcich a nových zariadení spočíva v viacstupňovom rozhodovacom procese. . Každý krok sa hodnotí podľa výšky zisku alebo výšky nákladov, ktoré je možné vypočítať za rok prevádzky. Je zrejmé, že riešenie takéhoto problému je možné uskutočniť pomocou riadeného dynamického modelu, pretože ich potenciál adekvátne odrážať vlastnosti reálnych systémov je vyšší ako potenciál statických modelov. Okrem toho je na ne aplikovateľný princíp optimality R. Bellmana: optimálne riadenie má tú vlastnosť, že bez ohľadu na počiatočný stav systému v ktoromkoľvek kroku a riadenie zvolené v tomto kroku, následné kroky riadenia musia byť zvolené optimálne vzhľadom na stav. ku ktorému príde systém na konci tohto kroku. Použitie tohto princípu nám umožňuje zostaviť opakujúce sa funkčné rovnice dynamického programovania s ohľadom na optimálna hodnota cieľová funkcia.

Záver

Fungovanie podniku v konkurenčnom prostredí má množstvo znakov, ktoré ovplyvňujú organizačné a právne formy riadenia podniku. Na úspešné vyriešenie problému efektívneho riadenia výrobných aktív je potrebné použiť ekonomické a matematické modely a metódy. Premietnutie všetkých hlavných aspektov do problematiky optimalizácie riadenia obmeny výrobných zariadení je zároveň možné dosiahnuť prostredníctvom multimodelového prístupu, keď na vyriešenie problému riadenia obmeny nie jeden, ale niekoľko matematických používajú sa modely, ktoré umožňujú opísať proces výmeny s rôznym stupňom detailov. Práca ukazuje, že výmena zariadenia je viacstupňový proces a v tomto prípade je optimálna stratégia výmeny riešením optimalizačného problému na riadenom diskrétnom dynamickom modeli.

Metodika navrhovaná v práci na určenie optimálnej stratégie výmeny a prevádzky zariadení na základe riadeného dynamického modelu je zameraná na zvýšenie efektívnosti procesov a riadenia výrobných aktív podniku. Je najvhodnejší pre praktické uplatnenie v súčasnosti. Navrhovaná formulácia problémov na určenie optimálneho načasovania a prístupu výmeny, na rozdiel od tradičných, nám umožňuje vyriešiť problém výberu optimálnej stratégie výmeny. výrobné aktíva podniky na diskrétnom riadenom dynamickom modeli stratégie obmeny metódou dynamického programovania rozhodovania v priamom čase, ktorý nevyžaduje fixáciu životnosti a je inovatívny v určovaní aktuálnych lehôt obmeny.

Uverejnené na Allbest.ru

Podobné dokumenty

Úvod do metód riešenia optimalizačných problémov. Algoritmus metódy prerušovanej čiary. Definícia najnižšia hodnota cieľová funkcia. Popis metódy analýzy matematického modelu. Výpočet hľadania minima metódou polyline. Zoznam programov, rozhranie.

kurzová práca, pridané 12.06.2014


Vyhlásenie problému dynamického programovania. Zostavenie základného funkčného riadenia dynamického programovania, ktoré určuje podmienené optimálne zosilnenie pre tohto štátu. Výber optimálnej stratégie výmeny zariadenia.

kurzová práca, pridané 07.02.2014


Určenie súboru krokových ovládacích prvkov. Riešenie problémov dynamického programovania dvojstupňovým spôsobom. Riešenie postupnosti obmedzených optimalizačných problémov. Optimálna distribúcia pamäť, politika výmeny zariadenia, výmena špeditéra.

prezentácia, pridaná 30.10.2013


Konštrukcia a využitie matematických a algoritmických modelov na riešenie úloh lineárnej optimalizácie. Zvládnutie základných techník práce s nástrojom Solution Search prostredia Microsoft Excel. Zadanie systému obmedzení a optimalizačných podmienok.

laboratórne práce, doplnené 21.07.2012


Základné pojmy a princípy dynamického programovania, opakujúci sa charakter problémov tohto typu a funkcionálne Bellmanove rovnice. Vývoj štruktúry blokového diagramu a počítačová implementácia zostrojeného algoritmu vo vybranom programovacom jazyku.

kurzová práca, pridané 26.11.2010


Analýza metódy lineárneho programovania na riešenie problémov riadenia optimalizácie. Grafická metóda riešenia úloh lineárneho programovania. Kontrola optimálneho riešenia v MS Excel pomocou softvérového doplnku „Solution Search“.

kurzová práca, pridané 29.05.2015


Funkcie používania tabuľky programu Microsoft Excel na riešenie problémov s optimalizáciou. Vykonanie príkazu „Vyhľadať riešenie“ v ponuke „Nástroje“. Obmedzenia nahrávania pomocou tlačidla "Pridať". Správa o nájdenom riešení na obrazovke.

laboratórne práce, doplnené 03.08.2011


Praktické zručnosti pri modelovaní úloh lineárneho programovania a ich riešení pomocou grafických a simplexových metód s využitím aplikačného programu SIMC. Modelovanie dopravných problémov a ich riešenie potenciálnou metódou pomocou programu TRAN2.

test, pridané 15.06.2009


Koncept lineárneho programovania a optimalizácie. Základy práce v systéme MathCAD. Používateľské rozhranie, vstupný jazyk a typ údajov. Etapy počítačového matematického modelovania. Príklad riešenia optimalizačného problému pomocou programu MathCAD.

kurzová práca, pridané 16.10.2011


Riešenie grafických problémov. Zostavenie matematického modelu. Určenie maximálnej hodnoty účelovej funkcie. Riešenie pomocou simplexovej metódy s umelým základom kanonický problém lineárne programovanie. Kontrola optimálnosti riešenia.

Dôležitým ekonomickým problémom je včasná aktualizácia zariadení: autá, stroje, televízory, rádiá atď. Starnutie zariadení zahŕňa fyzické a morálne opotrebovanie, čo má za následok zvýšené náklady na opravy a údržbu, zníženie produktivity práce a zníženie trhovej hodnoty. Úlohou je určiť optimálne načasovanie výmeny starého zariadenia. Kritériom optimality je príjem z prevádzky zariadenia (problém maximalizácie) alebo celkové prevádzkové náklady počas plánovaného obdobia (problém minimalizácie).

Predpokladajme, že zariadenie sa plánuje používať počas určitého časového obdobia n rokov. Zariadenie má tendenciu časom starnúť a generovať čoraz menší príjem r(t) (t– vek zariadenia). Zároveň je možné predať zastarané zariadenia začiatkom každého roka za cenu S(t), čo závisí aj od veku t, a kúpiť nové vybavenie za cenu P.

Vek zariadenia sa vzťahuje na obdobie prevádzky zariadenia po poslednej výmene, definované v rokoch. Je potrebné nájsť optimálny plán výmeny zariadenia tak, aby bol celkový príjem pre všetkých n rokov by bolo maximum, vzhľadom na to, že na začiatku prevádzky bol vek zariadenia t 0 rokov.

Vstupným údajom v probléme je príjem r(t) z prevádzky do jedného roka od veku zariadenia t rokov, zostatková hodnota S(t), cena nového zariadenia P a počiatočný vek zariadenia t 0 .

Pri zostavovaní dynamického modelu na výber optimálnej stratégie modernizácie zariadenia sa proces výmeny berie do úvahy ako n-krok za krokom, t.j. obdobie prevádzky je rozdelené na n kroky.

Zvoľme si ako krok optimalizáciu plánu výmeny zariadení k th n ročníky. Je zrejmé, že príjem z prevádzky zariadenia počas týchto rokov bude závisieť od veku zariadenia na začiatku uvažovaného kroku, t.j. k rok.

Pretože proces optimalizácie sa vykonáva s posledný krok (k = n), potom do k krok, nie je známe, v ktorých rokoch od prvého do ( k-1) sa musí vymeniť, a preto vek zariadenia na začiatku nie je známy k rok. Vek zariadenia, ktorý určuje stav systému, bude označený t. Podľa množstva t superponované ďalšie obmedzenie:

1 ≤ t ≤ t 0 + k – 1 (19.5)

Výraz (9.5) to naznačuje t nesmie prekročiť vek zariadenia pre ( k–1) rok svojej prevádzky, berúc do úvahy vek na začiatku prvého roka, čo je t 0 rokov; a nemôže byť menej ako jeden (tento vek bude mať zariadenie na začiatku k- ročník, ak k jeho výmene došlo na začiatku predchádzajúceho roka ( k-1) ročník).

Takže premenná t v tomto probléme je stavová premenná systému zapnutá k- krok. Riadiaca premenná zapnutá k Krok je boolovská premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z dvoch hodnôt: save ( S) alebo nahradiť ( Z) vybavenie na začiatku k rok:

Bellmanova funkcia F k(t) je definovaný ako maximálny možný príjem z prevádzky zariadenia v rokoch od k th n-th, ak na začiatok k vek zariadenia bol t rokov. Uplatnením tej či onej kontroly sa systém presunie do nového stavu. Teda ak napríklad na začiatku k-ročné vybavenie sa uloží, potom na začiatok ( k+ 1) rok sa jeho vek zvýši o jeden (stav systému sa stane t+ 1), v prípade výmeny starého zariadenia sa nové dostane na začiatok ( k+ 1) rok veku t= 1 rok.

Na tomto základe môžeme napísať rovnicu, ktorá nám umožní rekurzívne vypočítať Bellmanove funkcie na základe výsledkov predchádzajúceho kroku. Pre každú možnosť riadenia sa príjem určuje ako súčet dvoch pojmov: okamžitý výsledok hospodárenia a jeho dôsledky.

Ak sa na začiatku každého roka ponechá vybavenie, ktorého vek t rokov, tak príjem za tento rok bude r(t). Späť na začiatok ( k+ 1) rok dosiahne vek zariadenia ( t+ 1) a maximálny možný príjem za zostávajúce roky (s ( k+ 1). n th) bude F k +1 (t+ 1). Ak na začiatku k roku padlo rozhodnutie o výmene zariadenia, následne sa staré zariadenie predáva t rokov za cenu S(t), kupuje sa nový za P jednotky a jej prevádzka pre k-rok nového zariadenia prinesie zisk r(0). Začiatkom budúceho roka bude vek zariadenia 1 rok a všetky zostávajúce roky od ( k+ 1). n-tý maximálny možný príjem bude F k+1 (1). Z tých dvoch možné možnosti manažment vyberie tú, ktorá prináša maximálny príjem. Bellmanova rovnica v každom kontrolnom kroku má teda tvar:

Funkcia F k(t) sa vypočíta v každom kontrolnom kroku pre všetky 1 ≤ t ≤ t 0 + k- 1. Optimálny je manažment dosahujúci maximálny príjem.

Pre prvý krok podmienenej optimalizácie s k = n funkcia predstavuje príjem za posl n ročník:

(19.7)

Funkčné hodnoty Fn(t), definované Fn-1(t), Fn-2(t) až do F 1 (t).

F 1 (t 0) predstavujú možné zárobky za všetky roky. Maximálny príjem sa dosahuje určitou kontrolou, podľa ktorej v prvom roku určíme vek zariadenia začiatkom druhého roka.

Pre daný vek zariadenia sa vyberie kontrola, ktorá dosahuje maximálny príjem v rokoch od druhého do druhého n th a tak ďalej. Výsledkom je, že v štádiu bezpodmienečnej optimalizácie sa určujú roky, na začiatku ktorých by sa malo zariadenie vymeniť.

Príklad 2 Nájdite optimálnu stratégiu prevádzky zariadenia na obdobie 6 rokov v prípade ročného príjmu r(t) a zostatková hodnota S(t) v závislosti od veku sú uvedené v tabuľke. 19.6, cena nového zariadenia je P= 13 a vek zariadenia na začiatku prevádzkového obdobia je 1 rok.

Tabuľka 19.6

Etapa I. Podmienená optimalizácia.

1. krok: k= 6. Pre neho možné stavy systému t = 1, 2, …, 6.

Funkčná rovnica má tvar (19.7):

2. krok: k= 5. Pre tento krok možné stavy systému t = 1, 2, …, 5.

Funkčná rovnica je:

3. krok: k = 4.

4. krok: k = 3.

5. krok: k = 2.

6. krok: k = 1.

Výsledky Bellmanových výpočtov F k(t) sú uvedené v tabuľke. 19.7, v ktorom k- rok prevádzky, t– vek zariadenia.

Tabuľka 19.7

V tabuľke 19.7 je zvýraznená hodnota funkcie zodpovedajúca stavu „Z“ - výmena zariadenia.

Etapa II. Bezpodmienečná optimalizácia.

Bezpodmienečná optimalizácia začína krokom na k= 1. Maximálny možný príjem z prevádzky zariadení za 1. až 6. rok je F 1 (1) = 37. Tento optimálny zisk sa dosiahne, ak sa v prvom roku nevykoná žiadna výmena zariadenia. Potom na začiatku druhého roka sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 2 = t 1 + 1 = 2. Bezpodmienečná optimálna kontrola pre k = 2, X 2 (2) = S, t.j. maximálny príjem za 2. až 6. rok sa dosiahne, ak sa zariadenie nevymieňa. Do začiatku tretieho roku sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 3 = t 2 + 1 = 2. Bezpodmienečná optimálna kontrola X 3 (3) = 3, t.j. na dosiahnutie maximálneho zisku počas zostávajúcich rokov je potrebné zariadenie vymeniť. Do začiatku štvrtého ročníka k= 4 vek zariadenia sa bude rovnať t 4 = 1. Bezpodmienečná optimálna kontrola X 4 (1) = S. Podľa toho ďalej.

optimálne dynamické programovanie stratégie

IN všeobecný pohľad Problém je nastolený nasledovne: určiť optimálnu stratégiu používania zariadení na časové obdobie trvajúce m rokov a zisk za každých I rokov, i= z používania zariadenia vo veku t rokov, by mal byť maximálny.

Známe sú: r(t) - tržby z predaja výrobkov vyrobených za rok na zariadeniach vo veku t rokov, l(t) - ročné náklady v závislosti od veku zariadenia t, c(t) - zostatková hodnota zariadenia vo veku t rokov, P - náklady na nové zariadenie. Vek zariadenia sa vzťahuje na obdobie prevádzky zariadenia po poslednej výmene, vyjadrené v rokoch.

Na zostavenie matematického modelu sa kroky formulované nižšie vykonávajú postupne.

1. Určenie počtu krokov. Počet krokov sa rovná počtu rokov, počas ktorých sa zariadenie používa.

2. Určenie stavov systému. Stav systému charakterizuje vek zariadenia t; t=.

3. Definícia ovládacích prvkov. Na začiatku i-tého kroku, i=, je možné zvoliť jeden z dvoch ovládacích prvkov: vymeniť alebo nevymeniť zariadenie. Každá možnosť ovládania má priradené číslo

uс - ak nie je vymenené zariadenie;

uз - ak je zariadenie vymenené.

4. Určenie výplatnej funkcie v i-tom kroku. Výplatná funkcia zapnutá v i-tom kroku je zisk z používania zariadenia do konca i-teho roku prevádzky, t=, i=.

u1= uс - ak zariadenie nie je vymenené na začiatku i-tého roku;

u2= uз - ak je zariadenie vymenené.

Ak sa teda zariadenie nepredá, potom zisk z jeho používania predstavuje rozdiel medzi výrobnými nákladmi a prevádzkovými nákladmi. Pri výmene zariadenia je ziskom rozdiel medzi zostatkovou hodnotou zariadenia a nákladmi na nové zariadenie, ku ktorému sa pripočíta rozdiel medzi nákladmi na výrobu a prevádzkovými nákladmi na nové zariadenie, ktorého vek na začiatku i. - krok je 0 rokov.

5. Definícia funkcie zmeny stavu

u1 uс - ak Xi=0

u2= uз - ak Xi=1

6. Zostavenie funkcionálnej rovnice pre i=m.

7. Zostavenie základnej funkcionálnej rovnice

Kde Wi(t) je zisk z používania zariadenia vo veku t rokov od i-tého kroku (od konca i-teho roku) do konca prevádzkového obdobia.

Wi+1(t+1) - zisk z používania zariadení vo veku t+1 rok od (i+1) kroku do konca prevádzkového obdobia;

teda matematický modelúloha je postavená.

Algoritmus na riešenie problému

Uveďme si nasledujúci zápis:

t je vek zariadenia.

L(t) - výroba výrobkov na zariadeniach, ktorých vek je t rokov.

R(t) - náklady na údržbu zariadenia.

P(t) - zostatková hodnota zariadenia.

P - náklady na nové vybavenie

Fn(t) - zisk zo starého zariadenia, ktorého vek je t rokov.

n-minulý rok.

na starom zariadení (1)

Toto je funkčná rovnica

Formulár vstupného dokumentu

Údaje je možné zadať pomocou tabuľky:

Tabuľka č.1. Informácie o vstupe údajov.

Podľa vzorca

Popis softvéru a hardvéru

Program bol vyvinutý v programovacom jazyku Borland

pomocou Delphi 7.0 operačný systém Microsoft Windows XP Professional

Pri vývoji programu boli použité komponenty Delphi:

String Grid – na vyplnenie adresárov a zobrazenie výsledkov

Upraviť - na zadanie hodnôt

Tlačidlo - na vytvorenie tlačidla

Štítok - vytváranie štítkov pre jednoduché použitie

Obrázok - obrázky

MainMenu - Programové menu

OpenDialog - otvorenie dialógu

Počas vývoja softvér Boli tiež použité nasledujúce systémové nástroje:

Antivírusový program (Dr.Web 4.44)

Archivačné programy (WinRar v3.45).

Pomôcky balíka Microsoft Office ( Microsoft Word, Excel).

grafické editory (PhotoShop v CS3)

Pri vývoji softvéru bol použitý počítač s nasledujúcimi vlastnosťami:

Procesor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz

RAM: 1 GB DDR2 PC 533

Grafická karta: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Pevný disk: 200 Gb

Monitor: 17" 1280 x 1025 pri 75 Hz

Príklad ladenia

Nájdite maximálny zisk pri výmene zariadenia po 2 rokoch:

Podľa vzorca

Záver: Maximálny zisk 215 jednotiek získame, ak zmeníme zariadenie po 2 rokoch na tretie.

Popis programu

Program „Riešenie problémov výmeny zariadení“ je určený pre podniky zaoberajúce sa akýmkoľvek typom činnosti, ktorá si vyžaduje použitie určitého zariadenia. Z viacerých dôvodov sa vybavenie fyzicky opotrebováva, t.j. sa pokazí a nedá sa opraviť, alebo sa vyskytnú také poruchy, pri ktorých je jednoduchšie kúpiť nové zariadenie ako opraviť staré, alebo sa morálne opotrebuje, t.j. Tempo rastu ekonomického rozvoja priemyslu na výrobu tohto zariadenia je veľmi vysoké. Aby teda „výroba produktov“ na takomto zariadení dosiahla maximálny účinok, musí sa pravidelne meniť. Tento program vypočíta počet rokov, po ktorých musíte vymeniť zariadenie, aby ste dosiahli maximálny zisk.

Na vývoj programu „Riešenie problémov s výmenou zariadení“ bol použitý programovací jazyk Delphi 6 V súčasnosti je toto objektovo orientované programovacie prostredie veľmi obľúbené, jeho základom je Objektový jazyk Pascal. Umožňuje vytvárať aplikácie rôzneho stupňa zložitosti – od jednoduchých programov až po profesionálne určené na prácu s databázami. Okrem toho je pomoc programu prezentovaná na stránkach HTML pomocou programu Arachnophilia.

Celá práca s programom je založená na práci s menu jeho popis nájdete v položke menu Pomoc/Obsah/Práca s menu.

Tento program vznikol pri dokončovaní projektu predmetu „Matematické metódy“ na túto tému.

Je známe, že vybavenie sa časom opotrebuje, starne fyzicky aj psychicky. Počas prevádzky spravidla klesá jeho produktivita a zvyšujú sa prevádzkové náklady. Údržba. Postupom času je potrebné vymeniť zariadenie, pretože jeho ďalšia prevádzka je drahšia ako opravy. Odtiaľ Problém výmeny možno formulovať nasledovne. Zariadenie v procese prevádzky produkuje ročný zisk, vyžaduje prevádzkové náklady a má zostatkovú hodnotu. Tieto vlastnosti závisia od veku zariadenia. V ktoromkoľvek roku je možné zariadenie uložiť, predať za zostatkovú cenu a kúpiť nové. Ak sa zariadenie ponechá, prevádzkové náklady sa zvýšia a produktivita sa zníži. Výmena si vyžaduje značné dodatočné kapitálové investície. Úlohou je určiť optimálnu stratégiu obmeny v plánovacom období tak, aby celkový zisk za toto obdobie bol maximálny.

Aby sme problém formulovali kvantitatívne, zavedieme nasledujúcu notáciu: r(t) sú náklady na produkty vyrobené za rok na jednotke zariadenia vo veku t rokov; u(t) - náklady spojené s prevádzkou tohto zariadenia; s(t) - zostatková hodnota zariadenia vo veku t rokov; p - obstarávacia cena zariadenia; T - trvanie plánovacieho obdobia; t = 0,1, 2,... , T je číslo aktuálneho roku.

Riešenie. Na vyriešenie problému použijeme princíp optimality R. Bellmana. Uvažujme intervaly (roky) plánovacieho obdobia v poradí od konca po začiatok. Predstavme si funkciu podmienene optimálnych hodnôt cieľovej funkcie Fk(t). Táto funkcia zobrazuje maximálny zisk získaný zo zariadení vo veku t rokov za posledných k rokov plánovacieho obdobia. Tu sa vek zariadenia zvažuje v smere prirodzeného vývoja času. Napríklad t = 0 zodpovedá použitiu úplne nového zariadenia. Časové kroky procesu sú očíslované v opačnom poradí. Napríklad pri k = 1 sa berie do úvahy posledný rok plánovacieho obdobia, pri k = 2 - posledné dva roky atď., pri k = T - posledných T rokov, t. j. celé plánovacie obdobie. Smery zmeny t a k sú znázornené na obrázku.

V tomto probléme je systém tvorený zariadením. Jej stav charakterizuje vek. Riadiacim vektorom je rozhodnutie v momente t = = 0,1, 2,... , T o údržbe alebo výmene zariadenia. Ak chcete nájsť optimálnu politiku nahradenia, je potrebné analyzovať proces od konca po začiatok podľa princípu optimality. Za týmto účelom urobíme predpoklad o stave vybavenia na začiatku minulého roka (k = 1). Zariadenie nech má t rokov. Na začiatku T-roka sú dve možnosti: 1) uložiť zariadenie na T-rok, potom zisk za posledný rok bude r(t) - u(t); 2) predajte zariadenie za zostatkovú cenu a kúpte si nové, potom zisk za posledný rok bude rovný s(t) - p + r(0) - u(0), kde r(0) sú náklady na výrobky vyrobené na novom zariadení počas prvého roku jeho uvedenia na trh; u(0) sú prevádzkové náklady v tomto roku. Tu je vhodné rozvinúť proces od konca po začiatok. Za posledný rok (k = 1) bude z pohľadu celého procesu optimálna politika, ktorá poskytuje maximálny zisk len za posledný rok. Vzhľadom na hodnotu zisku pri rôznymi spôsobmi akcie (výmena - konzervácia), dochádzame k záveru, že o výmene zariadenia vo veku t rokov treba rozhodnúť v prípade, keď je zisk z nového zariadenia v poslednom období väčší ako zo starého, t.j. vzhľadom na to

Takže za posledný rok sa z podmienky zistí optimálna politika a maximálny zisk F 1 (t).

Nech k = 2, t.j. uvažujme zisk pre dvoch minulý rok. Robíme predpoklad o možnom stave t zariadení na začiatku predposledného roka. Ak sa na začiatku tohto roka rozhodnete ponechať si zariadenie, potom do konca roka dostanete zisk r(t) - u(t). Začiatkom minulého roka sa zariadenie dostane do stavu t + 1 a pri optimálnej politike bude v minulom roku generovať zisk rovný F 1 (t + 1). Celkový zisk za dva roky teda bude r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Ak sa na začiatku predposledného roka rozhodne o výmene zariadenia, tak zisk za predposledný rok bude s(t)-p+r(0)-u(0). Keďže bolo zakúpené nové zariadenie, na začiatku minulého roka bude v stave t = 1. Celkový zisk za posledné dva roky pri optimálnej politike v minulom roku teda bude

Podmienečne optimálna politika v posledných dvoch rokoch bude tá, ktorá prinesie maximálny zisk:

Podobne nájdeme výrazy pre podmienečne optimálny zisk za posledné tri roky, štyri, atď. Všeobecná funkčná rovnica bude mať tvar

Ak teda rozvinieme celý proces od konca po začiatok, zistíme, že maximálny zisk za plánovacie obdobie T bude F T (t 0). Keďže je známy počiatočný stav to, z výrazu pre F T (t 0) nájdeme optimálne riešenie na začiatku prvého roka, potom výsledné optimálne riešenie pre druhý rok atď. Pozrime sa na číselný príklad.

Vypracujte optimálnu politiku výmeny zariadenia za nasledujúcich podmienok:

1) náklady r(t) produktov vyrobených pomocou zariadenia za rok a náklady u(t) spojené s prevádzkou zariadenia sú uvedené v tabuľke;

2) zostatková hodnota auta nezávisí od jeho veku a rovná sa 2;

3) cena nového zariadenia sa časom nemení a rovná sa 15;

4) dĺžka plánovacieho obdobia je 12 rokov.

Takže s(t) = 2, p = 15, T = 12.

Napíšme funkčné rovnice pre F 1 (t) a F až (t) s číselnými hodnotami nášho príkladu:

Pomocou výrazov (8.9), (8.10) postupne vypočítame hodnoty maximálneho zisku F až (t) a zapíšeme ich do špeciálnej tabuľky (tabuľka 8.4). Prvý riadok získame tak, že parametru t v rovnosti (8.9) dáme hodnoty 0,1,...,12 a použijeme počiatočné údaje z tabuľky. 8.3. Napríklad pri t = 0

Všimnite si, že ak sa zisk z nového zariadenia rovná zisku zo starého zariadenia, potom je lepšie ponechať si staré na ďalší rok:

Od stola 8.3 je zrejmé, že r(t) – u(t) s rastúcim t klesá. Preto, keď t > 9, politika výmeny zariadenia bude optimálna. Aby sme rozlíšili, ktorá politika vedie k podmienečne optimálnej hodnote zisku, ohraničíme tieto hodnoty (do t = 9 vrátane, politika ochrany je optimálna) hrubou čiarou. Na vyplnenie druhého riadku tabuľky. 8.4 použijeme vzorec (8.10). Pre k = 2 dostaneme

Dajme parametru t hodnoty 0,1,2,... ,12, hodnoty r(t) a u(t) zoberme z tabuľky. 8.3 a hodnoty F 1 (t + 1) sú z prvého riadku tabuľky. 8.4. Pre tretí riadok kalkulačný vzorec z rovnosti (8.10) pre k = 3 dostaneme:

atď. Vyplnenie tabuľky. 8.4 používame jeho údaje na vyriešenie problému. Táto tabuľka obsahuje množstvo cenných informácií a umožňuje nám vyriešiť celú rodinu problémov, do ktorých sme ponorili pôvodný problém.

Nech máme napríklad na začiatku plánovacieho obdobia vybavenie staré 6 rokov. Na dvanásťročné obdobie vyvinieme „politiku výmeny“, ktorá prinesie maximálny zisk. Informácie k tomu nájdete v tabuľke. 8.4. Maximálny zisk, ktorý je možné dosiahnuť za 12 rokov, za predpokladu, že na začiatku bolo zariadenie staré 6 rokov, nájdete v tabuľke. 8.4 v priesečníku stĺpca t = 6 a riadku F12(t); je to 180 jednotiek.

Napravo od prerušovanej čiary sa píše maximálna hodnota zisku F12(6) = 180, t.j. v oblasti „politiky nahradenia“. To znamená, že na dosiahnutie maximálneho zisku počas 12 rokov je potrebné zariadenie vymeniť na začiatku prvého roka. Počas prvého roka nové zariadenie zostarne o rok, t. j. po výmene zariadenia a práci na ňom 1 rok budeme mať zariadenie staré 1 rok 11 rokov pred koncom plánovacieho obdobia. Od stola 8.4 berieme F11(l) = 173. Táto hodnota sa nachádza v oblasti „politiky ochrany“, t.j. v druhom roku plánovacieho obdobia je potrebné zachovať zariadenie staré 1 rok a po práci na ňom o rok, 10 rokov pred koncom plánovacieho obdobia budeme mať vybavenie staré 2 roky.

Zistíme, že v úložnom priestore je umiestnená hodnota F10(2) = 153. Na zariadení pracujeme ďalší rok. Teraz do konca plánovacieho obdobia zostáva 9 rokov a vek zariadenia je 3 roky. Nájdeme F9(3) = 136. Toto je chránená oblasť. Na zariadení pracujeme ďalší rok. Jeho vek je 4 roky. Do konca plánovacieho obdobia zostáva 8 rokov. Definujeme F8(4) = 120. Toto je substitučná oblasť. Vymieňame zariadenia za nové. Budeme na tom pracovať štvrtý rok. Zostarne o rok. Do konca plánovacieho obdobia zostáva 7 rokov. Nájdeme F7(l) = 113. Toto je chránená oblasť. Pokračovaním v podobných úvahách sme zistili, že F6(2) = 93, F5(3) = 76 sa nachádza v chránenej oblasti, F4(4) = 60 - v náhradnej oblasti, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - v ukladacej oblasti. Vyvinutá politika bude reprezentovaná týmto reťazcom:

Namiesto hľadania optimálnej „náhradnej politiky“ na plánovacie obdobie 12 rokov sme teda pôvodný problém ponorili do rodiny podobných, kedy sa obdobie pohybuje od 1 do 12. Riešenie prebieha podľa princípu optimálnosti pre akýkoľvek stav systému bez ohľadu na jeho históriu. Optimálna „náhradná politika“ je optimálna pre zostávajúci počet rokov. Tabuľka 8.4 obsahuje informácie na riešenie iných problémov. Z nej môžete nájsť optimálnu stratégiu výmeny zariadení s akýmkoľvek počiatočným stavom od 0 do 12 rokov a na akékoľvek plánované obdobie nepresahujúce 12 rokov. Napríklad, nájdime „zásadu výmeny“ na plánovacie obdobie 10 rokov, ak pôvodne existovalo vybavenie staré päť rokov:

Zjednodušili sme úlohu výmeny zariadení. V praxi sa nezanedbávajú detaily. Je ľahké vziať do úvahy napríklad prípad, keď zostatková hodnota zariadenia s(t) závisí od času. Môže sa prijať rozhodnutie nahradiť zariadenie nie novým zariadením, ale zariadením, ktoré sa už nejaký čas používa. Taktiež nie je ťažké počítať s možnosťou generálnej opravy starého zariadenia. V tomto prípade musí pojem „stav“ systému zahŕňať čas poslednej opravy zariadenia. Funkcia Fk(ti,t2) vyjadruje zisk za posledných k rokov plánovacieho obdobia za predpokladu, že pôvodne existovalo zariadenie veku t1, ktoré prešlo väčšími opravami po t2 rokoch prevádzky. Charakteristiky r, s a a budú tiež funkciami dvoch premenných t1 a t2.