Koncepcia oblasti
Pojem plochy akéhokoľvek geometrického útvaru, najmä trojuholníka, bude spojený s útvarom, akým je napríklad štvorec. Pre jednotku plochy akéhokoľvek geometrického útvaru vezmeme plochu štvorca, ktorého strana sa rovná jednej. Pre úplnosť si pripomeňme dve základné vlastnosti pre pojem plochy geometrických útvarov.
Vlastnosť 1: Ak sú geometrické útvary rovnaké, potom sú rovnaké aj ich plochy.
Vlastnosť 2: Akákoľvek figúrka sa dá rozdeliť na niekoľko figúrok. Okrem toho sa plocha pôvodnej figúry rovná súčtu plôch všetkých jej základných figúrok.
Pozrime sa na príklad.
Príklad 1
Je zrejmé, že jedna zo strán trojuholníka je uhlopriečkou obdĺžnika, ktorého jedna strana má dĺžku $ 5 $ (pretože sú tam bunky $ 5 $) a druhá je $ 6 $ (keďže bunky sú $ 6 $). Preto sa plocha tohto trojuholníka bude rovnať polovici takého obdĺžnika. Plocha obdĺžnika je
Potom sa plocha trojuholníka rovná
Odpoveď: 15 $.
Ďalej zvážime niekoľko metód na nájdenie oblastí trojuholníkov, konkrétne pomocou výšky a základne, pomocou Heronovho vzorca a plochy rovnostranného trojuholníka.
Ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou jeho výšky a základne
Veta 1
Plochu trojuholníka možno nájsť ako polovicu súčinu dĺžky strany a výšky tejto strany.
Matematicky to vyzerá takto
$S=\frac(1)(2)αh$
kde $a$ je dĺžka strany, $h$ je výška k nej nakreslená.
Dôkaz.
Uvažujme trojuholník $ABC$, v ktorom $AC=α$. Na túto stranu je nakreslená výška $BH$, ktorá sa rovná $h$. Postavme to do štvorca $AXYC$ ako na obrázku 2.
Plocha obdĺžnika $AXBH$ je $h\cdot AH$ a plocha obdĺžnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Potom
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Preto sa požadovaná plocha trojuholníka podľa vlastnosti 2 rovná
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Veta bola dokázaná.
Príklad 2
Nájdite plochu trojuholníka na obrázku nižšie, ak má bunka plochu rovnú jednej
Základňa tohto trojuholníka sa rovná 9 $ (pretože 9 $ sú štvorce $ 9 $). Výška je tiež 9 $. Potom podľa vety 1 dostaneme
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odpoveď: 40,5 $.
Heronov vzorec
Veta 2
Ak dostaneme tri strany trojuholníka $α$, $β$ a $γ$, potom jeho obsah možno nájsť takto
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
tu $ρ$ znamená polobvod tohto trojuholníka.
Dôkaz.
Zvážte nasledujúci obrázok:
Pytagorovou vetou získame z trojuholníka $ABH$
Z trojuholníka $CBH$ podľa Pytagorovej vety máme
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Z týchto dvoch vzťahov získame rovnosť
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Keďže $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potom $α+β+γ=2ρ$, čo znamená
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Podľa vety 1 dostaneme
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Trojuholník je geometrický útvar, ktorý pozostáva z troch priamok spájajúcich sa v bodoch, ktoré neležia na tej istej priamke. Spojovacie body čiar sú vrcholy trojuholníka, ktoré sú označené latinskými písmenami (napríklad A, B, C). Spojovacie priamky trojuholníka sa nazývajú segmenty, ktoré sa tiež zvyčajne označujú latinskými písmenami. Rozlišujú sa tieto typy trojuholníkov:
- Obdĺžnikový.
- Tupý.
- Akútne uhlové.
- Všestranný.
- Rovnostranný.
- Rovnoramenné.
Všeobecné vzorce na výpočet plochy trojuholníka
Vzorec pre oblasť trojuholníka na základe dĺžky a výšky
S = a*h/2,
kde a je dĺžka strany trojuholníka, ktorého obsah treba nájsť, h je dĺžka výšky nakreslenej k základni.
Heronov vzorec
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kde √ je druhá odmocnina, p je polobvod trojuholníka, a,b,c je dĺžka každej strany trojuholníka. Polobvod trojuholníka možno vypočítať pomocou vzorca p=(a+b+c)/2.
Vzorec pre oblasť trojuholníka na základe uhla a dĺžky segmentu
S = (a*b*sin(α))/2,
kde b,c je dĺžka strán trojuholníka, sin(α) je sínus uhla medzi dvoma stranami.
Vzorec pre oblasť trojuholníka daný polomerom vpísanej kružnice a troch strán
S=p*r,
kde p je polobvod trojuholníka, ktorého obsah treba nájsť, r je polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere kruhu, ktorý je okolo neho opísaný
S= (a*b*c)/4*R,
kde a,b,c je dĺžka každej strany trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej trojuholníku.
Vzorec pre oblasť trojuholníka pomocou karteziánskych súradníc bodov
Kartézske súradnice bodov sú súradnice v systéme xOy, kde x je úsečka, y je ordináta. Kartézsky súradnicový systém xOy v rovine sú vzájomne kolmé číselné osi Ox a Oy so spoločným počiatkom v bode O. Ak sú súradnice bodov v tejto rovine uvedené v tvare A(x1, y1), B(x2, y2). ) a C(x3, y3), potom môžete vypočítať plochu trojuholníka pomocou nasledujúceho vzorca, ktorý sa získa z vektorového súčinu dvoch vektorov.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kde || znamená modul.
Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka
Pravouhlý trojuholník je trojuholník s jedným uhlom 90 stupňov. Trojuholník môže mať iba jeden takýto uhol.
Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na dvoch stranách
S= a*b/2,
kde a,b je dĺžka nôh. Nohy sú strany susediace s pravým uhlom.
Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na základe prepony a ostrého uhla
S = a*b*sin(α)/ 2,
kde a, b sú ramená trojuholníka a sin(α) je sínus uhla, v ktorom sa priamky a, b pretínajú.
Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na základe strany a opačného uhla
S = a*b/2*tg(β),
kde a, b sú ramená trojuholníka, tan(β) je dotyčnica uhla, pod ktorým sú ramená a, b spojené.
Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka
Rovnoramenný trojuholník je taký, ktorý má dve rovnaké strany. Tieto strany sa nazývajú strany a druhá strana je základňa. Na výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka môžete použiť jeden z nasledujúcich vzorcov.
Základný vzorec na výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka
S=h*c/2,
kde c je základňa trojuholníka, h je výška trojuholníka spusteného k základni.
Vzorec rovnoramenného trojuholníka na základe strany a základne
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kde c je základňa trojuholníka, a je veľkosť jednej zo strán rovnoramenného trojuholníka.
Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka
Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka môžete použiť nasledujúci vzorec:
S = (√3*a*a)/4,
kde a je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka.
Vyššie uvedené vzorce vám umožnia vypočítať požadovanú plochu trojuholníka. Je dôležité si uvedomiť, že na výpočet plochy trojuholníkov je potrebné zvážiť typ trojuholníka a dostupné údaje, ktoré možno použiť na výpočet.
Trojuholník je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý sa skladá z troch strán a troch vrcholov. Trojuholník sa vďaka svojej jednoduchosti používa už od staroveku na rôzne merania a dnes môže byť figúrka užitočná pri riešení praktických a každodenných problémov.
Vlastnosti trojuholníka
Obrázok sa používa na výpočty už od staroveku, napríklad geodeti a astronómovia pracujú s vlastnosťami trojuholníkov na výpočet plôch a vzdialeností. Je ľahké vyjadriť plochu akéhokoľvek n-uholníka cez plochu tohto obrázku a túto vlastnosť používali starovekí vedci na odvodenie vzorcov pre oblasti polygónov. Neustála práca s trojuholníkmi, najmä pravouhlým, sa stala základom pre celé odvetvie matematiky – trigonometriu.
Geometria trojuholníka
Vlastnosti geometrického útvaru sa skúmali už v staroveku: najstaršie informácie o trojuholníku sa našli v egyptských papyroch spred 4000 rokov. Potom bola postava študovaná v starovekom Grécku a najväčší prínos ku geometrii trojuholníka mali Euclid, Pytagoras a Heron. Štúdium trojuholníka nikdy neprestalo a v 18. storočí Leonhard Euler zaviedol koncept ortocentra obrazca a Eulerovho kruhu. Na prelome 19. a 20. storočia, keď sa zdalo, že o trojuholníku je známe úplne všetko, Frank Morley sformuloval vetu o uhlových trisektoroch a Waclaw Sierpinski navrhol fraktálny trojuholník.
Existuje niekoľko typov plochých trojuholníkov, ktoré poznáme zo školských kurzov geometrie:
- akútne - všetky rohy postavy sú akútne;
- tupý - postava má jeden tupý uhol (viac ako 90 stupňov);
- obdĺžnikový - obrázok obsahuje jeden pravý uhol rovný 90 stupňom;
- rovnoramenný - trojuholník s dvoma rovnakými stranami;
- rovnostranný - trojuholník so všetkými rovnakými stranami.
- V reálnom živote existujú všetky druhy trojuholníkov a v niektorých prípadoch možno budeme musieť vypočítať plochu geometrického útvaru.
Oblasť trojuholníka
Plocha je odhad toho, akú veľkú časť roviny obrázok obklopuje. Oblasť trojuholníka možno nájsť šiestimi spôsobmi, pomocou strán, výšky, uhlov, polomeru vpísanej alebo opísanej kružnice, ako aj pomocou Heronovho vzorca alebo výpočtom dvojitého integrálu pozdĺž čiar ohraničujúcich rovinu. Najjednoduchší vzorec na výpočet plochy trojuholníka je:
kde a je strana trojuholníka, h je jeho výška.
V praxi však nie je vždy vhodné nájsť výšku geometrického útvaru. Algoritmus našej kalkulačky vám umožňuje vypočítať plochu s vedomím:
- tri strany;
- dve strany a uhol medzi nimi;
- jedna strana a dva rohy.
Na určenie plochy cez tri strany používame Heronov vzorec:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
kde p je polobvod trojuholníka.
Plocha na dvoch stranách a uhol sa vypočítajú pomocou klasického vzorca:
S = a × b × sin(alfa),
kde alfa je uhol medzi stranami a a b.
Na určenie plochy z hľadiska jednej strany a dvoch uhlov používame vzťah, ktorý:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)
Pomocou jednoduchého pomeru určíme dĺžku druhej strany, po ktorej vypočítame plochu pomocou vzorca S = a × b × sin(alfa). Tento algoritmus je plne automatizovaný a stačí zadať špecifikované premenné a získať výsledok. Pozrime sa na pár príkladov.
Príklady zo života
Dlažobné dosky
Povedzme, že chcete podlahu vydláždiť trojuholníkovými dlaždicami a na určenie množstva potrebného materiálu potrebujete poznať plochu jednej dlaždice a plochu podlahy. Predpokladajme, že potrebujete spracovať 6 metrov štvorcových povrchu pomocou dlaždice, ktorej rozmery sú a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Je zrejmé, že na výpočet plochy trojuholníka kalkulačka používa Heronov vzorec a dáva výsledok:
Plocha jedného dlaždicového prvku bude teda 0,021 metrov štvorcových a na úpravu podlahy budete potrebovať 6/0,021 = 285 trojuholníkov. Čísla 20, 21 a 29 tvoria pytagorejské trojčísla, ktoré spĺňajú . A je to tak, naša kalkulačka vypočítala aj všetky uhly trojuholníka a uhol gama je presne 90 stupňov.
Školská úloha
V školskom probléme musíte nájsť oblasť trojuholníka s vedomím, že strana a = 5 cm a uhly alfa a beta sú 30 a 50 stupňov. Aby sme tento problém vyriešili manuálne, najprv by sme pomocou pomeru pomeru strán a sínusov opačných uhlov našli hodnotu strany b a potom určili plochu pomocou jednoduchého vzorca S = a × b × sin(alfa). Ušetrime čas, zadajte údaje do formulára kalkulačky a získajte okamžitú odpoveď
Pri používaní kalkulačky je dôležité správne uviesť uhly a strany, inak bude výsledok nesprávny.
Záver
Trojuholník je jedinečná postava, ktorá sa nachádza v reálnom živote aj v abstraktných výpočtoch. Použite našu online kalkulačku na určenie oblasti trojuholníkov akéhokoľvek druhu.
Oblasť trojuholníka. V mnohých geometrických problémoch týkajúcich sa výpočtu plôch sa používajú vzorce pre oblasť trojuholníka. Je ich niekoľko, tu sa pozrieme na tie hlavné.Vymenovanie týchto vzorcov by bolo príliš jednoduché a zbytočné. Budeme analyzovať pôvod základných vzorcov, tých, ktoré sa používajú najčastejšie.
Než si prečítate odvodenie vzorcov, určite si pozrite článok o.Po preštudovaní materiálu môžete vzorce ľahko obnoviť vo svojej pamäti (ak náhle „vyletia“ v okamihu, keď to potrebujete).
Prvý vzorec
Uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva trojuholníky rovnakej plochy:
Preto sa plocha trojuholníka bude rovnať polovici plochy rovnobežníka:
Vzorec oblasti trojuholníka
*To znamená, že ak poznáme ktorúkoľvek stranu trojuholníka a výšku zníženú na túto stranu, vždy môžeme vypočítať plochu tohto trojuholníka.
Formula dva
Ako už bolo uvedené v článku o oblasti rovnobežníka, vzorec vyzerá takto:
Plocha trojuholníka sa rovná polovici jeho plochy, čo znamená:
*To znamená, že ak sú známe akékoľvek dve strany v trojuholníku a uhol medzi nimi, vždy môžeme vypočítať plochu takéhoto trojuholníka.
Heronov vzorec (tretí)
Tento vzorec je ťažké odvodiť a je vám k ničomu. Pozrite sa, aká je krásna, dá sa povedať, že aj ona sama je nezabudnuteľná.
*Ak sú dané tri strany trojuholníka, potom pomocou tohto vzorca môžeme vždy vypočítať jeho plochu.
Formula štyri
Kde r– polomer vpísanej kružnice
*Ak sú známe tri strany trojuholníka a polomer kruhu v ňom vpísaného, potom vždy môžeme nájsť oblasť tohto trojuholníka.
Formula päť
Kde R– polomer kružnice opísanej.
*Ak sú známe tri strany trojuholníka a polomer kružnice opísanej okolo neho, potom môžeme vždy nájsť oblasť takéhoto trojuholníka.
Vynára sa otázka: ak sú známe tri strany trojuholníka, nie je jednoduchšie nájsť jeho obsah pomocou Heronovho vzorca!
Áno, môže to byť jednoduchšie, ale nie vždy, niekedy sa objaví zložitosť. To zahŕňa extrakciu koreňa. Okrem toho sú tieto vzorce veľmi vhodné na použitie v problémoch, kde je daná plocha trojuholníka a jeho strany a musíte nájsť polomer vpísanej alebo opísanej kružnice. Takéto úlohy sú k dispozícii ako súčasť jednotnej štátnej skúšky.
Pozrime sa na vzorec samostatne:
Ide o špeciálny prípad vzorca pre oblasť mnohouholníka, do ktorého je vpísaný kruh:
Zoberme si to na príklade päťuholníka:
Spojme stred kruhu s vrcholmi tohto päťuholníka a spodnými kolmicami od stredu k jeho stranám. Dostaneme päť trojuholníkov, pričom klesnuté kolmice sú polomery vpísanej kružnice:
Oblasť päťuholníka je:
Teraz je jasné, že ak hovoríme o trojuholníku, potom tento vzorec má tvar:
Formula šesť
Niekedy v živote nastanú situácie, keď sa pri hľadaní dávno zabudnutých školských vedomostí musíte ponoriť do pamäte. Napríklad musíte určiť plochu pozemku trojuholníkového tvaru alebo nastal čas na ďalšiu rekonštrukciu v byte alebo súkromnom dome a musíte vypočítať, koľko materiálu bude potrebné na povrch s trojuholníkový tvar. Boli časy, keď ste takýto problém mohli vyriešiť za pár minút, ale teraz sa zúfalo snažíte spomenúť si, ako určiť oblasť trojuholníka?
Netrápte sa tým! Je predsa celkom normálne, keď sa mozog človeka rozhodne preniesť dlho nevyužité vedomosti niekam do odľahlého kúta, odkiaľ ich niekedy nie je také ľahké vydolovať. Aby ste pri riešení takéhoto problému nemuseli bojovať s hľadaním zabudnutých školských vedomostí, tento článok obsahuje rôzne metódy, ktoré uľahčia nájdenie požadovanej oblasti trojuholníka.
Je dobre známe, že trojuholník je typ mnohouholníka, ktorý je obmedzený na minimálny možný počet strán. V zásade možno ľubovoľný mnohouholník rozdeliť na niekoľko trojuholníkov spojením jeho vrcholov so segmentmi, ktoré nepretínajú jeho strany. Preto, keď poznáte trojuholník, môžete vypočítať plochu takmer akejkoľvek postavy.
Medzi všetkými možnými trojuholníkmi, ktoré sa vyskytujú v živote, možno rozlíšiť tieto konkrétne typy: a obdĺžnikové.
Najjednoduchší spôsob výpočtu plochy trojuholníka je, keď je jeden z jeho uhlov pravý, teda v prípade pravouhlého trojuholníka. Je ľahké vidieť, že ide o polovicu obdĺžnika. Preto sa jeho plocha rovná polovici súčinu strán, ktoré medzi sebou zvierajú pravý uhol.
Ak poznáme výšku trojuholníka zníženého z jedného z jeho vrcholov na opačnú stranu a dĺžku tejto strany, ktorá sa nazýva základňa, potom sa plocha vypočíta ako polovica súčinu výšky a základne. Toto je napísané pomocou nasledujúceho vzorca:
S = 1/2*b*h, v ktorom
S je požadovaná plocha trojuholníka;
b, h - výška a základňa trojuholníka.
Je také ľahké vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka, pretože výška bude pretínať opačnú stranu a dá sa ľahko zmerať. Ak je plocha určená, potom je vhodné brať ako výšku dĺžku jednej zo strán tvoriacich pravý uhol.
To všetko je samozrejme dobré, ale ako zistiť, či je jeden z uhlov trojuholníka pravý alebo nie? Ak je veľkosť našej postavy malá, potom môžeme použiť konštrukčný uhol, kresliaci trojuholník, pohľadnicu alebo iný predmet obdĺžnikového tvaru.
Čo však v prípade, že máme trojuholníkový pozemok? V tomto prípade postupujte nasledovne: spočítajte od vrcholu predpokladaného pravého uhla na jednej strane násobok vzdialenosti 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) a na druhej strane odmerajte vzdialenosť násobok 4 v rovnakej vzdialenosti. proporcie (40 cm, 160 cm, 4 m). Teraz musíte zmerať vzdialenosť medzi koncovými bodmi týchto dvoch segmentov. Ak je výsledkom násobok 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), potom môžeme povedať, že uhol je správny.
Ak je známa dĺžka každej z troch strán našej postavy, potom možno plochu trojuholníka určiť pomocou Heronovho vzorca. Aby mala jednoduchšiu formu, používa sa nová hodnota, ktorá sa nazýva semi-obvod. Toto je súčet všetkých strán nášho trojuholníka rozdelených na polovicu. Po výpočte polobvodu môžete začať určovať plochu pomocou vzorca:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kde
sqrt - druhá odmocnina;
p - polobvodová hodnota (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - hrany (strany) trojuholníka.
Ale čo ak má trojuholník nepravidelný tvar? Tu sú možné dva spôsoby. Prvým z nich je pokúsiť sa rozdeliť takýto obrazec na dva pravouhlé trojuholníky, ktorých súčet plôch sa vypočíta samostatne a potom sa pridá. Alebo, ak je známy uhol medzi dvoma stranami a veľkosť týchto strán, použite vzorec:
S = 0,5 * ab * sinC, kde
a,b - strany trojuholníka;
c je veľkosť uhla medzi týmito stranami.
Posledný prípad je v praxi zriedkavý, ale napriek tomu je v živote možné všetko, takže vyššie uvedený vzorec nebude zbytočný. Veľa šťastia pri výpočtoch!
