Miera stupňa uhla. Radiánová miera uhla. Prevod stupňov na radiány a naopak.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme sa naučili merať uhly na trigonometrickom kruhu. Naučte sa počítať pozitívne a negatívne uhly. Naučili sme sa nakresliť uhol väčší ako 360 stupňov. Je čas prísť na to, ako merať uhly. Najmä s číslom „Pi“, ktoré sa nás snaží zmiasť v záludných úlohách, áno...

Štandardné úlohy v trigonometrii s číslom "Pi" sú vyriešené dobre. Vizuálna pamäť pomáha. Ale akákoľvek odchýlka od šablóny je katastrofa! Aby nedošlo k pádu - rozumieť nevyhnutné. Čo teraz s úspechom urobíme. Myslím, že všetko pochopíme!

takže, čo počítajú sa uhly? V školskom kurze trigonometrie sa používajú dve miery: miera stupňa uhla A miera radiánového uhla. Pozrime sa na tieto opatrenia. Bez toho nie je v trigonometrii nič.

Miera stupňa uhla.

Na stupne sme si akosi zvykli. Minimálne sme prešli geometriou... A v živote sa často stretávame napríklad s frázou „otočené o 180 stupňov“. Titul je skrátka jednoduchá vec...

Áno? Tak mi odpovedz čo je titul? Čo, nejde to hneď? to je všetko...

Stupne boli vynájdené v starovekom Babylone. Bolo to dávno... pred 40 storočiami... A prišli s jednoduchým nápadom. Vzali a rozdelili kruh na 360 rovnakých častí. 1 stupeň je 1/360 kruhu. To je všetko. Mohli to rozbiť na 100 kusov. Alebo 1000. Ale rozdelili to na 360. Mimochodom, prečo práve 360? V čom je 360 ​​lepších ako 100? 100 sa zdá byť akosi plynulejšie... Skúste si odpovedať na túto otázku. Alebo slabý proti Starovekému Babylonu?

Niekde v tom istom čase, v starovekom Egypte, ich trápila iná otázka. Koľkokrát je dĺžka kruhu väčšia ako dĺžka jeho priemeru? A merali to takto a takto... Všetko vyšlo o niečo viac ako tri. Ale nejako to dopadlo strapaté, nerovnomerné... Ale oni, Egypťania, za to nemôžu. Po nich trpeli ďalších 35 storočí. Až napokon dokázali, že bez ohľadu na to, ako jemne narežete kruh na rovnaké kúsky, z takých sa dá vyrobiť hladké dĺžka priemeru je nemožná... Principiálne je to nemožné. Samozrejme, koľkokrát je obvod väčší ako priemer. Približne. 3,1415926... krát.

Toto je číslo "Pi". Taký huňatý, taký huňatý. Za desatinnou čiarkou je nekonečný počet čísel bez poradia... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. To, mimochodom, znamená, že z rovnakých kúskov kruhu priemer hladké nezložiť. Nikdy.

Pre praktické použitie je zvykom zapamätať si len dve číslice za desatinnou čiarkou. Pamätajte:

Keďže vieme, že obvod kruhu je väčší ako jeho priemer o „Pi“ krát, má zmysel zapamätať si vzorec pre obvod kruhu:

Kde L- obvod a d- jeho priemer.

Užitočné v geometrii.

Pre všeobecné vzdelanie dodám, že číslo „Pi“ sa vyskytuje nielen v geometrii... V rôznych odvetviach matematiky a najmä v teórii pravdepodobnosti sa toto číslo objavuje neustále! Sám od seba. Nad rámec našich túžob. Páči sa ti to.

Ale vráťme sa k stupňom. Už ste prišli na to, prečo bol v starovekom Babylone kruh rozdelený na 360 rovnakých častí? A nie napríklad o 100? nie? OK. Dám vám verziu. Nemôžete sa spýtať starých Babylončanov... Pre konštrukciu alebo, povedzme, astronómiu, je vhodné rozdeliť kruh na rovnaké časti. Teraz zistite, akými číslami je deliteľné úplne 100 a ktoré - 360? A v akej verzii týchto deliteľov úplne- viac? Toto rozdelenie je pre ľudí veľmi výhodné. Ale...

Ako sa ukázalo oveľa neskôr ako v starovekom Babylone, nie každý má rád tituly. Vyššia matematika ich nemá rada... Vyššia matematika je vážna dáma, organizovaná podľa zákonov prírody. A táto dáma vyhlási: „Dnes si rozbil kruh na 360 častí, zajtra ho rozbiješ na 100, pozajtra na 245... A čo mám robiť, nie, naozaj...“ Musel som počúvať. Prírodu neoklameš...

Bolo potrebné zaviesť mieru uhla, ktorá nezávisí od ľudských vynálezov. Zoznámte sa - radián!

Radiánová miera uhla.

Čo je to radián? Definícia radiánu je stále založená na kruhu. Uhol 1 radiánu je uhol, ktorý vyreže oblúk z kruhu, ktorého dĺžka je ( L) sa rovná dĺžke polomeru ( R). Pozrime sa na obrázky.

Taký malý uhol, skoro neexistuje... Prejdeme kurzorom na obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme asi jeden radián. L = R

Cítiš ten rozdiel?

Jeden radián je oveľa viac ako jeden stupeň. Koľko krát?

Pozrime sa na ďalší obrázok. Na ktorý som nakreslil polkruh. Rozložený uhol je samozrejme 180°.

Teraz tento polkruh rozrežem na radiány! Ukážeme kurzorom na obrázok a uvidíme, že 180° sa zmestí 3 plus radiány.

Kto uhádne, čomu sa rovná tento chvost!?

Áno! Tento chvost je 0,1415926.... Ahoj, číslo "Pi", ešte sme na teba nezabudli!

Skutočne, 180° stupňov obsahuje 3,1415926... radiánov. Ako sami chápete, písať stále 3,1415926... je nepohodlné. Preto namiesto tohto nekonečného čísla vždy píšu jednoducho:

Ale na internete číslo

Je nepohodlné písať... Preto do textu píšem jeho meno – „Pí“. Nenechajte sa zmiasť, dobre?...

Teraz môžeme zapísať približnú rovnosť úplne zmysluplným spôsobom:

Alebo presná rovnosť:

Určme, koľko stupňov je v jednom radiáne. Ako? Jednoducho! Ak je v 3,14 radiáne 180°, potom v 1 radiáne je 3,14-krát menej! To znamená, že prvú rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) vydelíme 3,14:

Tento pomer je užitočné zapamätať si jeden radián je približne 60°. Pri trigonometrii často musíte odhadnúť a posúdiť situáciu. Tu tieto znalosti veľmi pomáhajú.

Ale hlavná zručnosť tejto témy je prevod stupňov na radiány a naopak.

Ak je uhol uvedený v radiánoch s číslom "Pi", všetko je veľmi jednoduché. Vieme, že "Pi" radiány = 180°. Takže nahradíme radiány za „Pi“ - 180°. Uhol dostaneme v stupňoch. Znížime to, čo sa zníži, a odpoveď je pripravená. Musíme napríklad zistiť, koľko stupňa v uhle "Pi"/2 radián? Takže píšeme:

Alebo exotickejší výraz:

Ľahké, však?

Opačný preklad je trochu komplikovanejší. Ale nie veľa. Ak je uhol daný v stupňoch, musíme zistiť, koľko sa rovná jeden stupeň v radiánoch a vynásobiť toto číslo počtom stupňov. Čomu sa rovná 1° v radiánoch?

Pozrieme sa na vzorec a uvedomíme si, že ak 180° = „Pi“ radiány, potom 1° je 180-krát menší. Alebo inými slovami, vydelíme rovnicu (aj vzorec je rovnica!) číslom 180. Nie je potrebné uvádzať „Pi“ ako 3,14, aj tak sa vždy píše s písmenom. Zistili sme, že jeden stupeň sa rovná:

To je všetko. Touto hodnotou vynásobíme počet stupňov a dostaneme uhol v radiánoch. Napríklad:

Alebo podobne:

Ako vidíte, v pokojnom rozhovore s lyrickými odbočkami sa ukázalo, že radiány sú veľmi jednoduché. A s prekladom nie je problém... A “Pí” je úplne znesiteľná vec... Kde sa teda berie ten zmätok!?

Prezradím tajomstvo. Faktom je, že v goniometrických funkciách je napísaný symbol stupňov. Vždy. Napríklad sin35°. Toto je sínus 35 stupňa . A ikona radiánu ( rád) - nie je napísané! Je to naznačené. Buď matematikov premohla lenivosť, alebo niečo iné... Ale rozhodli sa nepísať. Ak vnútri sínusového kotangensu nie sú žiadne symboly, potom je uhol v radiánoch ! Napríklad cos3 je kosínus troch radiánov .

To vedie k zmätku... Človek vidí „Pí“ a verí, že je to 180°. Kedykoľvek a kdekoľvek. Mimochodom, toto funguje. Príklady sú zatiaľ štandardné. Ale "Pí" je číslo! Číslo je 3,14, ale nie stupňov! Toto sú radiány „Pi“ = 180°!

Ešte raz: „Pí“ je číslo! 3.14. Iracionálne, ale číslo. Rovnako ako 5 alebo 8. Môžete napríklad urobiť kroky „Pi“. Tri kroky a trochu viac. Alebo si kúpte „Pi“ kilogramy cukríkov. Ak natrafí vzdelaný predajca...

"Pí" je číslo! Čo, naštval som ťa touto frázou? Už ste všetko dávno pochopili? OK. Skontrolujme to. Povedz mi, ktoré číslo je väčšie?

Alebo čo je menej?

Toto je jedna zo série trochu neštandardných otázok, ktoré vás môžu priviesť do strnulosti...

Ak ste aj vy upadli do strnulosti, spomeňte si na kúzlo: „Pí“ je číslo! 3.14. Hneď v prvom sínuse je jasne uvedené, že uhol je v stupňoch! Preto nie je možné nahradiť „Pi“ o 180°! "Pí" stupňov je približne 3,14°. Preto môžeme napísať:

V druhom sínuse nie sú žiadne zápisy. Takže tam - radiánov! To je miesto, kde nahradenie „Pi“ o 180 ° bude fungovať dobre. Prevedením radiánov na stupne, ako je napísané vyššie, dostaneme:

Zostáva porovnať tieto dva sínusy. Čo. zabudol ako? Samozrejme pomocou trigonometrického kruhu! Nakreslite kruh, nakreslite približné uhly 60° a 1,05°. Pozrime sa, aké sínusy majú tieto uhly. V skratke je všetko popísané ako na konci témy o trigonometrickom kruhu. Na kruhu (aj na krivom!) to bude jasne vidieť sin60° výrazne viac ako sin1,05°.

Presne to isté urobíme s kosínusmi. Na kružnicu nakreslíme uhly približne 4 stupňa a 4 radián(Zabudli ste, čomu sa približne rovná 1 radián?). Kruh povie všetko! Samozrejme, cos4 je menšie ako cos4°.

Precvičme si používanie uhlových mier.

Preveďte tieto uhly zo stupňov na radiány:

360°; 30°; 90°; 270 °C; 45°; 0°; 180°; 60°

Tieto hodnoty by ste mali dostať v radiánoch (v inom poradí!)

Mimochodom, odpovede som konkrétne zvýraznil v dvoch riadkoch. No, poďme zistiť, aké sú rohy v prvom riadku? Aspoň v stupňoch, aspoň v radiánoch?

Áno! Toto sú osi súradnicového systému! Ak sa pozriete na trigonometrický kruh, potom na pohyblivú stranu uhla s týmito hodnotami presne sedí na osiach. Tieto hodnoty je potrebné poznať. A všimol som si uhol 0 stupňov (0 radiánov) z dobrého dôvodu. A potom niektorí ľudia jednoducho nevedia nájsť tento uhol na kružnici... A podľa toho sú zmätení v goniometrických funkciách nuly... Ďalšia vec je, že poloha pohyblivej strany pri nulových stupňoch sa zhoduje s polohou na 360°, takže na kruhu blízko sú vždy náhody.

V druhom riadku sú aj špeciálne uhly... Ide o 30°, 45° a 60°. A čo je na nich také zvláštne? Nič zvláštne. Jediný rozdiel medzi týmito uhlami a všetkými ostatnými je ten, že by ste o týchto uhloch mali vedieť Všetky. A kde sa nachádzajú a aké trigonometrické funkcie majú tieto uhly. Povedzme hodnotu hriech 100° nemusíš vedieť. A sin45°- buďte prosím taký láskavý! Ide o povinné znalosti, bez ktorých sa v trigonometrii nedá nič robiť... Ale o tom viac v ďalšej lekcii.

Medzitým pokračujme v tréningu. Preveďte tieto uhly z radiánu na stupeň:

Mali by ste získať takéto výsledky (v neporiadku):

210°; 150°; 135 °C; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225 °C.

Stalo? Potom to môžeme predpokladať prevod stupňov na radiány a späť- už to nie je váš problém.) Ale prekladanie uhlov je prvým krokom k pochopeniu trigonometrie. Tam je tiež potrebné pracovať so sínusom a kosínusom. A tiež s tangentami a kotangens...

Druhým mocným krokom je schopnosť určiť polohu akéhokoľvek uhla na trigonometrickom kruhu. V stupňoch aj v radiánoch. Dám vám nudné rady práve o tejto zručnosti počas trigonometrie, áno...) Ak viete všetko (alebo si myslíte, že viete všetko) o trigonometrickom kruhu a meraní uhlov na trigonometrickom kruhu, môžete si to overiť. Vyriešte tieto jednoduché úlohy:

1. Do ktorej štvrtiny spadajú uhly:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°;

ľahko? Pokračujme:

2. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Tiež žiadny problém? No pozri...)

3. Rohy môžete umiestniť na štvrtiny:

Mohol by si? no dáš..)

4. Na ktoré osi pripadne roh:

a roh:

Je to tiež ľahké? Hm...)

5. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

A podarilo sa!? Tak potom fakt neviem...)

6. Určte, do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

1, 2, 3 a 20 radiánov.

Dám odpoveď len na poslednú otázku (je to trochu zložitá) poslednej úlohy. Do prvej štvrtiny bude spadať uhol 20 radiánov.

Ostatné odpovede neposkytnem, nie z chamtivosti.) Jednoducho, ak si sa nerozhodli niečo pochybuješ o tom ako výsledok, alebo vynaložené na úlohu č.4 viac ako 10 sekúnd, zle sa orientujete v kruhu. Toto bude váš problém v celej trigonometrii. Je lepšie sa ho okamžite zbaviť (problém, nie trigonometria!). Dá sa to urobiť v téme: Praktická práca s trigonometrickou kružnicou v sekcii 555.

Hovorí, ako jednoducho a správne vyriešiť takéto úlohy. No, tieto úlohy sú, samozrejme, vyriešené. A štvrtá úloha bola vyriešená za 10 sekúnd. Áno, bolo rozhodnuté, že to môže urobiť každý!

Ak ste si svojimi odpoveďami absolútne istý a nezaujímajú vás jednoduché a bezproblémové spôsoby práce s radiánmi, nemusíte navštevovať 555. Netrvám na tom.)

Dobré porozumenie je dostatočným dôvodom na to, aby sme sa pohli ďalej!)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Uhly sa merajú v stupňoch alebo radiánoch. Je dôležité pochopiť vzťah medzi týmito jednotkami merania. Pochopenie tohto vzťahu vám umožňuje pracovať s uhlami a robiť prechod zo stupňov na radiány a späť. V tomto článku odvodíme vzorec na prevod stupňov na radiány a radiány na stupne a pozrieme sa aj na niekoľko praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vzťah medzi stupňami a radiánmi

Na vytvorenie spojenia medzi stupňami a radiánmi je potrebné poznať stupeň a mieru radiánu uhla. Vezmime si napríklad stredový uhol, ktorý je založený na priemere kružnice s polomerom r. Na výpočet radiánovej miery tohto uhla je potrebné vydeliť dĺžku oblúka dĺžkou polomeru kružnice. Uvažovaný uhol zodpovedá dĺžke oblúka rovnajúcej sa polovici obvodu π·r. Vydeľte dĺžku oblúka polomerom a získajte radiánovú mieru uhla: π · r r = π rad.

Príslušný uhol je teda π radiánov. Na druhej strane je to obrátený uhol rovný 180°. Preto 180° = π rad.

Vzťah medzi stupňami a radiánmi

Vzťah medzi radiánmi a stupňami je vyjadrený vzorcom

π radián = 180°

Vzorce na prevod radiánov na stupne a naopak

Zo vzorca získaného vyššie môžete odvodiť ďalšie vzorce na prevod uhlov z radiánov na stupne a zo stupňov na radiány.

Vyjadrime jeden radián v stupňoch. Za týmto účelom rozdeľte ľavú a pravú stranu polomeru o pi.

1 r a d = 180 π ° - miera uhla 1 radiánu sa rovná 180 π.

Jeden stupeň môžete vyjadriť aj v radiánoch.

1° = π 180 r a d

Môžete vykonať približné výpočty hodnôt uhla v radiánoch a naopak. Za týmto účelom vezmite hodnoty čísla π s presnosťou na desaťtisíciny a nahraďte ich do výsledných vzorcov.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2 956 °

Takže v jednom radiáne je približne 57 stupňov

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Jeden stupeň obsahuje 0,0175 radiánov.

Vzorec na prevod radiánov na stupne

x ra d = x 180 π °

Ak chcete previesť uhol z radiánov na stupne, musíte vynásobiť hodnotu uhla v radiánoch číslom 180 a vydeliť číslom pi.

Príklady prevodu stupňov na radiány a radiánov na stupne

Pozrime sa na príklad.

Príklad 1. Prevod z radiánov na stupne

Nech α = 3,2 rad. Musíme zistiť mieru tohto uhla.

Majme jednotkovú kružnicu so stredom v bode O. Narysujme k nej zvislú dotyčnicu v bode P. Predpokladajme, že táto dotyčnica je číselná os s počiatkom v bode P a nech je kladný smer nahor. Zoberme si polomer nášho kruhu ako jednotku dĺžky na číselnej osi. Teraz na číselnej osi označíme niekoľko bodov ±1, ±pi/2, ±3, ±pi. Tu pi ≈3,1415 je iracionálne číslo.

Čo znamená miera radiánov?

Teraz v duchu oviňme číselnú os okolo kruhu. Potom sa body so súradnicami 1, pi/2, -1, -2 a ďalšie presunú do bodov M1, M2, M3, M4 na kružnici. V tomto prípade bude dĺžka oblúka PM1 rovná 1, dĺžka PM2 = pi/2 atď.

Každý bod na priamke sme spojili s určitým bodom na kružnici.

V tomto prípade sa uhly merajú v radiánoch a uhol POM1 sa považuje za uhol 1 radián (1 rad).

Uvažujme istú kružnicu s polomerom R a označme na nej oblúk RM dĺžky rovnajúcej sa R. Označme aj uhol ROM.

Stredový uhol, ktorý zviera oblúk, ktorého dĺžka sa rovná polomeru, sa nazýva uhol jedného radiánu (1 rad).

Vypočítajme mieru stupňa uhla 1 radiánu.

Dĺžka oblúka polkruhu je pi*R. Stredový uhol 180 stupňov spočíva na tomto oblúku. V dôsledku toho oblúk rovnakej dĺžky R zviera uhol pi krát menej ako 180 stupňov. teda

1 radián = (180/pi) stupňov.

Je známe, že pi≈3,14, potom 1 rad ≈ 57,3 stupňa.

Ak je známe, že uhol obsahuje x radiánov, potom na výpočet jeho miery použite nasledujúci vzorec:

X radiánov = ((180*x)/pi) stupňov.

Tabuľka základných uhlov vyjadrená v radiánoch

Pri označovaní radiánovej miery uhlov sa názov „rad“ zvyčajne vynecháva.

Keď poznáte radiánovú mieru uhla (a), môžete vypočítať dĺžku oblúka (l) zovretého týmto uhlom pomocou nasledujúceho vzorca: l=a*R.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií

Poznámka. Táto tabuľka hodnôt trigonometrických funkcií používa znamienko √ na vyjadrenie druhej odmocniny. Na označenie zlomku použite symbol "/".

pozri tiež užitočné materiály:

Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s riadkom „30 stupňov“, na ich priesečníku čítame výsledok - jednu polovicu. Podobne nájdeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz, na priesečníku stĺpca sin a 60 stupňovej čiary nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných „populárnych“ uhlov sa nachádzajú rovnakým spôsobom.

Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch

Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.

Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu od stupňovitej miery uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.

Akékoľvek číslo vyjadrené v pi (radiánoch) možno ľahko previesť na stupne nahradením pi (π) 180.

Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.

2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jedna.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.

Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)

Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miery uhla je funkcia nemá konkrétnu hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, čo znamená, že sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, na aké dotazy k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov úplne postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty „podľa tabuliek Bradis“)

V tomto článku stanovíme vzťah medzi základnými jednotkami merania uhlov - stupňami a radiánmi. Toto spojenie nám nakoniec umožní uskutočniť prevod stupňov na radiány a späť. Aby tieto procesy nespôsobovali ťažkosti, získame vzorec na prevod stupňov na radiány a vzorec na prevod z radiánov na stupne, po ktorých podrobne analyzujeme riešenia príkladov.

Navigácia na stránke.

Vzťah medzi stupňami a radiánmi

Spojenie medzi stupňami a radiánmi sa vytvorí, ak sú známe miery a radiány uhla (miery stupňov a radiánov uhla nájdete v sekcii).

Vezmime stredový uhol založený na priemere kružnice s polomerom r. Môžeme vypočítať mieru tohto uhla v radiánoch: na to musíme vydeliť dĺžku oblúka dĺžkou polomeru kruhu. Tento uhol zodpovedá dĺžke oblúka rovnajúcej sa polovici obvod, teda . Vydelením tejto dĺžky dĺžkou polomeru r dostaneme radiánovú mieru uhla, ktorý sme nabrali. Takže náš uhol je rad. Na druhej strane je tento uhol rozšírený, rovná sa 180 stupňom. Pi radiány sú preto 180 stupňov.

Vyjadruje sa teda vzorcom π radiány = 180 stupňov, teda .

Vzorce na prevod stupňov na radiány a radiány na stupne

Z rovnosti tvaru , ktorú sme získali v predchádzajúcom odseku, môžeme ľahko odvodiť vzorce na prevod radiánov na stupne a stupňov na radiány.

Vydelením oboch strán rovnosti pí dostaneme vzorec vyjadrujúci jeden radián v stupňoch: . Tento vzorec znamená, že miera uhla jedného radiánu sa rovná 180/π. Ak zameníme ľavú a pravú stranu rovnosti a potom obe strany vydelíme 180, dostaneme vzorec v tvare . Vyjadruje jeden stupeň v radiánoch.

Aby sme uspokojili našu zvedavosť, vypočítajme si približnú hodnotu uhla jeden radián v stupňoch a hodnotu uhla jeden stupeň v radiánoch. Ak to chcete urobiť, vezmite hodnotu pí s presnosťou na desaťtisíciny a dosaďte ju do vzorcov A a vykonajte výpočty. Máme A . Takže jeden radián je približne rovný 57 stupňom a jeden stupeň je 0,0175 radiánu.

Napokon zo získaných vzťahov A Prejdime k vzorcom na prevod radiánov na stupne a naopak a tiež zvážime príklady použitia týchto vzorcov.

Vzorec na prevod radiánov na stupne má tvar: . Ak teda poznáme hodnotu uhla v radiánoch, vynásobíme ju číslom 180 a vydelíme pí, dostaneme hodnotu tohto uhla v stupňoch.

Príklad.

Udáva sa uhol 3,2 radiánu. Aká je miera tohto uhla v stupňoch?

Riešenie.

Použime vzorec na prevod z radiánov na stupne, máme

odpoveď:

.

Vzorec na prevod stupňov na radiány vyzerá ako . To znamená, že ak je známa hodnota uhla v stupňoch, vynásobením pi a vydelením 180 dostaneme hodnotu tohto uhla v radiánoch. Pozrime sa na príklad riešenia.