HARMONICKÝ VIBRAČNÝ POHYB
§1 Kinematika harmonického kmitania
Procesy, ktoré sa v priebehu času opakujú, sa nazývajú oscilácie.
Podľa charakteru kmitavého procesu a budiaceho mechanizmu sa rozlišujú: mechanické vibrácie (kmitanie kyvadiel, strún, budov, zemského povrchu a pod.); elektromagnetické kmity (kmity striedavého prúdu, kmity vektorov a v elektromagnetickej vlne atď.); elektromechanické vibrácie (vibrácie membrány telefónu, difúzora reproduktora atď.); vibrácie jadier a molekúl v dôsledku tepelného pohybu v atómoch.
Uvažujme segment [OD] (vektor polomeru) vykonávajúci rotačný pohyb okolo bodu 0. Dĺžka |OD| = A . Rotácia prebieha s konštantnou uhlovou rýchlosťou ω 0. Potom uhol φ medzi vektorom polomeru a osouXsa v priebehu času mení podľa zákona
kde φ 0 - uhol medzi [OD] a osou X v určitom časovom bodet= 0. Premietnutie segmentu [OD] na os X v určitom časovom bodet= 0
a v ľubovoľnom čase
(1)
Takže projekcia segmentu [OD] na os x podlieha osciláciám, ktoré sa vyskytujú pozdĺž osi X a tieto oscilácie sú opísané kosínusovým zákonom (vzorec (1)).
Oscilácie, ktoré sú opísané kosínusovým zákonom
alebo sínus
volal harmonický.
Harmonické vibrácie sú periodické, pretože hodnota x (a y) sa v pravidelných intervaloch opakuje.
Ak je segment [OD] na obrázku v najnižšej polohe, t.j. bodka D sa zhoduje s pointou R, potom je jeho priemet na os x nulový. Nazvime túto polohu segmentu [OD] rovnovážnou polohou. Potom môžeme povedať, že množstvo X opisuje posunutie kmitajúceho bodu z jeho rovnovážnej polohy. Maximálne posunutie z rovnovážnej polohy sa nazýva amplitúda výkyvy
Rozsah
ktorý je pod znamienkom kosínus sa nazýva fáza. Fáza určuje posunutie z rovnovážnej polohy v ľubovoľnom časovom okamihut. Fáza v počiatočnom okamihut = 0 , rovná φ 0 sa nazýva počiatočná fáza.
T
Časový úsek, počas ktorého dôjde k jednej úplnej oscilácii, sa nazýva perióda oscilácie T. Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov ν.
Po uplynutí doby rovnajúcej sa perióde T, t.j. keď sa kosínusový argument zvýši o ω 0 T, pohyb sa zopakuje a kosínus nadobudne svoju predchádzajúcu hodnotu
pretože perióda kosínusu je 2π, teda ω 0 T= 2π
teda ω 0 je počet kmitov telesa za 2π sekundy. ω 0 - cyklická alebo kruhová frekvencia.
harmonický vibračný vzor
A- amplitúda, T- bodka, X- posunutie,t- čas.
Rýchlosť kmitajúceho bodu zistíme diferenciáciou rovnice posunu X(t) časom
tie. rýchlosť vfázovo odlišné od ofsetu X naπ /2.
Zrýchlenie je prvá derivácia rýchlosti (druhá derivácia posunutia) vzhľadom na čas
tie. zrýchlenie A sa líši od fázového posunu o π.
Zostavme si graf X(
t)
, y(
t)
A A(
t)
v jednom súradnicovom odhade (pre jednoduchosť vezmime φ 0 = 0 a ω 0 = 1)
Voľný alebo vlastný sa nazývajú oscilácie, ktoré sa vyskytujú v systéme ponechanom samom po jeho odstránení z rovnovážnej polohy.
Harmonické kmity sú kmity vykonávané podľa zákonov sínusu a kosínusu. Nasledujúci obrázok znázorňuje graf zmien súradníc bodu v čase podľa kosínusového zákona.
obrázok
Amplitúda oscilácie
Amplitúda harmonického kmitania je najväčšia hodnota vychýlenia telesa z jeho rovnovážnej polohy. Amplitúda môže nadobúdať rôzne hodnoty. Bude záležať na tom, o koľko teleso v počiatočnom okamihu posunieme z rovnovážnej polohy.
Amplitúda je určená počiatočnými podmienkami, to znamená energiou odovzdanou telu v počiatočnom časovom okamihu. Keďže sínus a kosínus môžu nadobúdať hodnoty v rozsahu od -1 do 1, rovnica musí obsahovať faktor Xm, ktorý vyjadruje amplitúdu kmitov. Pohybová rovnica pre harmonické vibrácie:
x = Xm*cos(co0*t).
Doba oscilácie
Doba oscilácie je čas potrebný na dokončenie jednej úplnej oscilácie. Perióda oscilácie je označená písmenom T. Jednotky merania periódy zodpovedajú jednotkám času. To znamená, že v SI sú to sekundy.
Frekvencia kmitov je počet kmitov vykonaných za jednotku času. Frekvencia kmitania je označená písmenom ν. Frekvencia oscilácií môže byť vyjadrená ako perióda oscilácie.
v = 1/T.
Jednotky frekvencie sú v SI 1/sec. Táto jednotka merania sa nazýva Hertz. Počet kmitov za čas 2*pi sekúnd sa bude rovnať:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Oscilačná frekvencia
Táto veličina sa nazýva cyklická frekvencia kmitov. V niektorej literatúre sa objavuje názov kruhová frekvencia. Vlastná frekvencia oscilačného systému je frekvencia voľných oscilácií.
Frekvencia vlastných kmitov sa vypočíta podľa vzorca:
Frekvencia prirodzených vibrácií závisí od vlastností materiálu a hmotnosti bremena. Čím väčšia je tuhosť pružiny, tým väčšia je frekvencia jej vlastných vibrácií. Čím väčšia je hmotnosť bremena, tým nižšia je frekvencia vlastných kmitov.
Tieto dva závery sú zrejmé. Čím je pružina tuhšia, tým väčšie zrýchlenie udelí telu, keď sa systém dostane z rovnováhy. Čím väčšia je hmotnosť telesa, tým pomalšie sa bude meniť rýchlosť tohto telesa.
Obdobie voľnej oscilácie:
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
Je pozoruhodné, že pri malých uhloch vychýlenia nebude perióda kmitania telesa na pružine a perióda kmitania kyvadla závisieť od amplitúdy kmitov.
Zapíšme si vzorce pre periódu a frekvenciu voľných kmitov pre matematické kyvadlo.
potom bude obdobie rovnaké
T = 2*pi*√(l/g).
Tento vzorec bude platný len pre malé uhly vychýlenia. Zo vzorca vidíme, že perióda kmitania sa zväčšuje s rastúcou dĺžkou kyvadlového závitu. Čím väčšia je dĺžka, tým pomalšie bude telo vibrovať.
Doba kmitania vôbec nezávisí od hmotnosti bremena. Závisí to ale od zrýchlenia voľného pádu. Keď g klesá, perióda oscilácie sa bude zvyšovať. Táto vlastnosť je v praxi široko využívaná. Napríklad na meranie presnej hodnoty voľného zrýchlenia.
Oscilačný pohyb- periodický alebo takmer periodický pohyb telesa, ktorého súradnica, rýchlosť a zrýchlenie nadobúdajú v rovnakých časových intervaloch približne rovnaké hodnoty.
Mechanické vibrácie sa vyskytujú, keď sa pri odstránení telesa z rovnovážnej polohy objaví sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo späť.
Posun x je odchýlka telesa od rovnovážnej polohy.
Amplitúda A je modul maximálneho posunu telesa.
Perióda kmitu T - čas jedného kmitu:
Oscilačná frekvencia
Počet kmitov vykonaných telesom za jednotku času: Počas kmitov sa periodicky mení rýchlosť a zrýchlenie. V rovnovážnej polohe je rýchlosť maximálna a zrýchlenie nulové. V bodoch maximálneho zdvihu dosiahne zrýchlenie maximum a rýchlosť sa stane nulovou.
ROZVRH HARMONICKÝCH VIBRÁCIÍ
Harmonický vibrácie, ktoré sa vyskytujú podľa zákona sínusu alebo kosínusu, sa nazývajú:
kde x(t) je posunutie systému v čase t, A je amplitúda, ω je cyklická frekvencia kmitov.
Ak nakreslíte odchýlku telesa od rovnovážnej polohy pozdĺž zvislej osi a čas pozdĺž vodorovnej osi, dostanete graf oscilácie x = x(t) - závislosť posunu telesa od času. Pre voľné harmonické kmity je to sínusová vlna alebo kosínusová vlna. Na obrázku sú znázornené grafy závislosti posunu x, priemetov rýchlosti V x a zrýchlenia a x na čase.
Ako vidno z grafov, pri maximálnom posunutí x je rýchlosť V kmitajúceho telesa nulová, zrýchlenie a, a teda sila pôsobiaca na teleso, je maximálne a smeruje opačne k posunutiu. V rovnovážnej polohe sa posunutie a zrýchlenie stanú nulovými a rýchlosť je maximálna. Projekcia zrýchlenia má vždy opačné znamienko ako posunutie.
ENERGIA VIBRAČNÉHO POHYBU
Celková mechanická energia oscilujúceho telesa sa rovná súčtu jeho kinetických a potenciálnych energií a pri absencii trenia zostáva konštantná:
V momente, keď posun dosiahne maximum x = A, rýchlosť a s ňou aj kinetická energia klesne na nulu.
V tomto prípade sa celková energia rovná potenciálnej energii:
Celková mechanická energia kmitajúceho telesa je úmerná druhej mocnine amplitúdy jeho kmitov.
Keď systém prejde rovnovážnou polohou, posunutie a potenciálna energia sú nulové: x = 0, E p = 0. Preto sa celková energia rovná kinetickej energii:
Celková mechanická energia kmitajúceho telesa je úmerná druhej mocnine jeho rýchlosti v rovnovážnej polohe. Preto:
MATEMATICKÉ KYVADLO
1. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite.
V rovnovážnej polohe je gravitačná sila kompenzovaná napätím nite. Ak sa kyvadlo vychýli a uvoľní, sily sa prestanú navzájom kompenzovať a vznikne výsledná sila smerujúca do rovnovážnej polohy. Druhý Newtonov zákon:
Pri malých osciláciách, keď je posun x oveľa menší ako l, sa materiálový bod bude pohybovať takmer pozdĺž horizontálnej osi x. Potom z trojuholníka MAB dostaneme:
Pretože sin a = x/l, potom sa priemet výslednej sily R na os x rovná
Znamienko mínus ukazuje, že sila R smeruje vždy proti posunutiu x.
2. Takže pri kmitoch matematického kyvadla, ako aj pri kmitoch pružinového kyvadla je vratná sila úmerná posunutiu a smeruje opačným smerom.
Porovnajme výrazy pre vratnú silu matematického a pružinového kyvadla:
Je zrejmé, že mg/l je analógom k. Nahradenie k za mg/l vo vzorci pre obdobie pružinového kyvadla
dostaneme vzorec pre periódu matematického kyvadla:
Perióda malých kmitov matematického kyvadla nezávisí od amplitúdy.
Na meranie času a určenie gravitačného zrýchlenia v danom mieste zemského povrchu sa používa matematické kyvadlo.
Voľné kmity matematického kyvadla pri malých uhloch vychýlenia sú harmonické. Vznikajú v dôsledku výslednej gravitačnej sily a napínacej sily nite, ako aj zotrvačnosti bremena. Výsledkom týchto síl je vratná sila.
Príklad. Určte gravitačné zrýchlenie na planéte, kde kyvadlo dlhé 6,25 m má periódu voľného kmitu 3,14 s.
Doba kmitania matematického kyvadla závisí od dĺžky závitu a od gravitačného zrýchlenia:
Umocnením oboch strán rovnosti dostaneme:
odpoveď: gravitačné zrýchlenie je 25 m/s 2 .
Úlohy a testy na tému "Téma 4. "Mechanika. Oscilácie a vlny."
- Priečne a pozdĺžne vlny. Vlnová dĺžka
Lekcie: 3 Zadania: 9 Testy: 1
- Zvukové vlny. Rýchlosť zvuku - Mechanické vibrácie a vlny. Zvuk 9. ročník
Spolu s translačnými a rotačnými pohybmi telies v mechanike sú veľmi zaujímavé aj oscilačné pohyby. Mechanické vibrácie sú pohyby telies, ktoré sa opakujú presne (alebo približne) v rovnakých časových intervaloch. Zákon pohybu oscilujúceho telesa je špecifikovaný pomocou určitej periodickej funkcie času X = f (t). Grafické znázornenie tejto funkcie poskytuje vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase.
Príkladom jednoduchých oscilačných systémov je zaťaženie pružiny alebo matematického kyvadla (obr. 2.1.1).
Mechanické vibrácie, podobne ako oscilačné procesy akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, môžu byť zadarmo A nútený. Voľné vibrácie sú spáchané pod vplyvom vnútorné sily systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. Vibrácie vyskytujúce sa pod vplyvom externé nazývajú sa periodicky sa meniace sily nútený .
Najjednoduchší typ oscilačného procesu je jednoduchý harmonické vibrácie , ktoré sú opísané rovnicou
|
X = X mcos(ω t + φ 0). |
Tu X- posunutie tela z rovnovážnej polohy, X m - amplitúda kmitov, t.j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy, ω - cyklická alebo kruhová frekvencia váhanie, t- čas. Množstvo pod kosínusovým znamienkom φ = ω t+ φ 0 sa volá fáza harmonický proces. O t= 0 φ = φ 0, preto sa volá φ 0 počiatočná fáza. Minimálny časový interval, počas ktorého sa pohyb tela opakuje, sa nazýva perióda oscilácie T. Fyzikálna veličina inverzná k perióde kmitania sa nazýva frekvencia vibrácií:
Oscilačná frekvencia f ukazuje, koľko kmitov nastane za 1 s. Jednotka frekvencie - hertz(Hz). Oscilačná frekvencia f súvisí s cyklickou frekvenciou ω a periódou oscilácií T pomery:
Na obr. 2.1.2 ukazuje polohy tela v rovnakých časových intervaloch počas harmonických vibrácií. Takýto obraz možno získať experimentálne osvetlením oscilujúceho telesa krátkymi periodickými zábleskami svetla ( stroboskopické osvetlenie). Šípky predstavujú vektory rýchlosti tela v rôznych časoch.
Ryža. 2.1.3 znázorňuje zmeny, ktoré nastanú na grafe harmonického procesu, ak sa zmení buď amplitúda oscilácií X m alebo bodka T(alebo frekvencia f), alebo počiatočná fáza φ 0.
Keď teleso kmitá pozdĺž priamky (os VÔL) vektor rýchlosti je vždy nasmerovaný pozdĺž tejto priamky. Rýchlosť υ = υ X pohyb tela je určený výrazom
V matematike postup hľadania limity pomeru pri Δ t→ 0 sa nazýva výpočet derivácie funkcie X (t) časom t a označuje sa ako alebo ako X"(t) alebo nakoniec ako . Pre harmonický pohybový zákon vedie výpočet derivácie k tomuto výsledku:
Výskyt termínu + π / 2 v kosínusovom argumente znamená zmenu v počiatočnej fáze. Maximálne hodnoty absolútnej rýchlosti υ = ω X m sa dosahujú v tých časových okamihoch, keď teleso prechádza rovnovážnymi polohami ( X= 0). Zrýchlenie sa určuje podobným spôsobom a = aX telesá pri harmonických vibráciách:
preto to zrýchlenie a sa rovná derivácii funkcie υ ( t) časom t, alebo druhá derivácia funkcie X (t). Výpočty dávajú:
Znamienko mínus v tomto výraze znamená, že zrýchlenie a (t) má vždy opačné znamienko posunutia X (t), a preto podľa druhého Newtonovho zákona sila spôsobujúca harmonické kmity telesa smeruje vždy do rovnovážnej polohy ( X = 0).
Zmeny v akomkoľvek množstve sú opísané pomocou zákonov sínusu alebo kosínusu, potom sa takéto oscilácie nazývajú harmonické. Uvažujme obvod pozostávajúci z kondenzátora (ktorý bol pred zaradením do obvodu nabitý) a tlmivky (obr. 1).
Obrázok 1.
Harmonickú vibračnú rovnicu možno zapísať takto:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kde $t$ je čas; $q$ poplatok, $q_0$-- maximálna odchýlka poplatku od jeho priemernej (nulovej) hodnoty počas zmien; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fáza oscilácie; $(\alpha )_0$- počiatočná fáza; $(\omega )_0$ - cyklická frekvencia. Počas tohto obdobia sa fáza zmení o $2\pi $.
Rovnica formulára:
rovnica harmonických kmitov v diferenciálnom tvare pre oscilačný obvod, ktorý nebude obsahovať aktívny odpor.
Akýkoľvek typ periodických kmitov možno presne znázorniť ako súčet harmonických kmitov, takzvaný harmonický rad.
Pre periódu oscilácie obvodu, ktorý pozostáva z cievky a kondenzátora, dostaneme Thomsonov vzorec:
Ak diferencujeme výraz (1) vzhľadom na čas, môžeme získať vzorec pre funkciu $I(t)$:
Napätie na kondenzátore možno nájsť ako:
Zo vzorcov (5) a (6) vyplýva, že sila prúdu je pred napätím na kondenzátore o $\frac(\pi )(2).$
Harmonické kmity môžu byť reprezentované vo forme rovníc, funkcií a vektorových diagramov.
Rovnica (1) predstavuje voľné netlmené kmitanie.
Rovnica tlmenej oscilácie
Zmena náboja ($q$) na doskách kondenzátora v obvode, berúc do úvahy odpor (obr. 2), bude opísaná diferenciálnou rovnicou v tvare:
Obrázok 2
Ak odpor, ktorý je súčasťou obvodu $R\
kde $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ je frekvencia cyklických oscilácií. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficient tlmenia. Amplitúda tlmených kmitov je vyjadrená ako:
Ak pri $t=0$ je náboj na kondenzátore rovný $q=q_0$ a v obvode nie je žiadny prúd, potom pre $A_0$ môžeme napísať:
Fáza oscilácií v počiatočnom časovom okamihu ($(\alpha )_0$) sa rovná:
Keď $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ zmena náboja nie je oscilácia, vybíjanie kondenzátora sa nazýva aperiodické.
Príklad 1
Cvičenie: Maximálna hodnota poplatku je $q_0=10\ C$. Harmonicky sa mení s periódou $T= 5 s$. Určte maximálny možný prúd.
Riešenie:
Ako základ pre riešenie problému používame:
Ak chcete zistiť aktuálnu silu, výraz (1.1) musí byť diferencovaný s ohľadom na čas:
kde maximum (hodnota amplitúdy) sily prúdu je výraz:
Z podmienok úlohy poznáme hodnotu amplitúdy náboja ($q_0=10\ C$). Mali by ste nájsť prirodzenú frekvenciu kmitov. Vyjadrime to takto:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\vľavo(1,4\vpravo).\]
V tomto prípade sa požadovaná hodnota zistí pomocou rovníc (1.3) a (1.2) ako:
Keďže všetky veličiny v problémových podmienkach sú prezentované v sústave SI, vykonáme výpočty:
odpoveď:$I_0=12,56\ A.$
Príklad 2
Cvičenie: Aká je perióda kmitania v obvode, ktorý obsahuje tlmivku $L=1$H a kondenzátor, ak sa sila prúdu v obvode mení podľa zákona: $I\left(t\right)=-0,1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Aká je kapacita kondenzátora?
Riešenie:
Z rovnice kolísania prúdu, ktorá je uvedená v podmienkach problému:
vidíme, že $(\omega )_0=20\pi $, preto môžeme vypočítať periódu oscilácie pomocou vzorca:
\ \
Podľa Thomsonovho vzorca pre obvod, ktorý obsahuje induktor a kondenzátor, máme:
Vypočítajme kapacitu:
odpoveď:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
