Akékoľvek geometrické teleso môže byť charakterizované plochou (S) a objemom (V). Plocha a objem nie sú vôbec to isté. Objekt môže mať relatívne malé V a veľké S, napríklad takto funguje ľudský mozog. Je oveľa jednoduchšie vypočítať tieto ukazovatele pre jednoduché geometrické tvary.
Rovnobežníky: definícia, typy a vlastnosti
Rovnobežník je štvorhranný hranol s rovnobežníkom na jeho základni. Prečo možno potrebujete vzorec na zistenie objemu postavy? Podobný tvar majú aj knihy, obalové krabice a mnohé iné veci z bežného života. Miestnosti v obytných a kancelárskych budovách sú zvyčajne pravouhlé rovnobežnosteny. Na inštaláciu vetrania, klimatizácie a určenie počtu vykurovacích telies v miestnosti je potrebné vypočítať objem miestnosti.
Obrázok má 6 plôch - rovnobežníky a 12 hrán sa nazývajú základne. Rovnobežník môže byť niekoľkých typov. Rozdiely sú spôsobené uhlami medzi susednými okrajmi. Vzorce na nájdenie V rôznych polygónov sa mierne líšia.
Ak je 6 plôch geometrického útvaru obdĺžniky, potom sa nazýva aj obdĺžnikový. Kocka je špeciálny prípad kvádra, v ktorom je všetkých 6 stien rovnaké štvorce. V tomto prípade, aby ste našli V, musíte zistiť dĺžku iba jednej strany a zvýšiť ju na tretiu mocninu.
Na vyriešenie problémov budete potrebovať znalosti nielen o hotových vzorcoch, ale aj o vlastnostiach figúry. Zoznam základných vlastností pravouhlého hranola je malý a veľmi ľahko pochopiteľný:
- Protiľahlé strany obrázku sú rovnaké a rovnobežné. To znamená, že rebrá umiestnené oproti majú rovnakú dĺžku a uhol sklonu.
- Všetky bočné strany pravého rovnobežnostena sú obdĺžniky.
- Štyri hlavné diagonály geometrického útvaru sa pretínajú v jednom bode a sú ním rozdelené na polovicu.
- Druhá mocnina uhlopriečky rovnobežnostena sa rovná súčtu druhých mocnín rozmerov obrazca (vyplýva z Pytagorovej vety).
Pytagorova veta uvádza, že súčet plôch štvorcov postavených na stranách pravouhlého trojuholníka sa rovná ploche trojuholníka postaveného na prepone toho istého trojuholníka.
Dôkaz poslednej vlastnosti je možné vidieť na obrázku nižšie. Proces riešenia problému je jednoduchý a nevyžaduje podrobné vysvetlenia.
Vzorec pre objem pravouhlého rovnobežnostena
Vzorec na nájdenie pre všetky typy geometrických útvarov je rovnaký: V=S*h, kde V je požadovaný objem, S je plocha základne rovnobežnostena, h je výška znížená z protiľahlého vrcholu a kolmo na základňu. V obdĺžniku sa h zhoduje s jednou zo strán obrázku, takže ak chcete nájsť objem obdĺžnikového hranola, musíte vynásobiť tri rozmery.
Objem sa zvyčajne vyjadruje v cm3. Poznať všetky tri hodnoty a, b a c, nájsť objem figúry nie je vôbec ťažké. Najbežnejším typom problému pri jednotnej štátnej skúške je nájdenie objemu alebo uhlopriečky rovnobežnostena. Nie je možné vyriešiť mnoho štandardných úloh jednotnej štátnej skúšky bez vzorca pre objem obdĺžnika. Príklad úlohy a návrh jej riešenia je na obrázku nižšie.
Poznámka 1. Plochu pravouhlého hranola možno nájsť vynásobením súčtu plôch troch plôch obrázku 2: základne (ab) a dvoch susedných bočných plôch (bc + ac).
Poznámka 2. Plochu bočných plôch možno ľahko určiť vynásobením obvodu základne výškou rovnobežnostena.
Na základe prvej vlastnosti rovnobežnostenov AB = A1B1 a plochy B1D1 = BD. Podľa dôsledkov Pytagorovej vety je súčet všetkých uhlov v pravouhlom trojuholníku 180° a rameno oproti uhlu 30° sa rovná prepone. Aplikovaním týchto poznatkov na trojuholník ľahko zistíme dĺžku strán AB a AD. Potom vynásobíme získané hodnoty a vypočítame objem rovnobežnostenu.
Vzorec na zistenie objemu nakloneného rovnobežnostena
Na nájdenie objemu nakloneného rovnobežnostena je potrebné vynásobiť plochu základne obrázku výškou zníženou na danú základňu z opačného rohu.
Požadované V teda môže byť reprezentované v tvare h - počet listov so základnou plochou S, takže objem balíčka pozostáva z Vs všetkých kariet.
Príklady riešenia problémov
Úlohy jedinej skúšky musia byť dokončené v určitom čase. Typické problémy spravidla neobsahujú veľké množstvo výpočtov a zložitých zlomkov. Študent sa často pýta, ako nájsť objem nepravidelného geometrického útvaru. V takýchto prípadoch by ste mali pamätať na jednoduché pravidlo, že celkový objem sa rovná súčtu Vs komponentov.
Ako vidíte z príkladu na obrázku vyššie, pri riešení takýchto problémov nie je nič ťažké. Úlohy zo zložitejších sekcií vyžadujú znalosť Pytagorovej vety a jej dôsledkov, ako aj vzorca pre dĺžku uhlopriečky obrazca. Na úspešné vyriešenie testových úloh sa stačí vopred oboznámiť s ukážkami typických úloh.
A starí Egypťania používali metódy na výpočet plôch rôznych obrazcov, podobné našim metódam.
V mojich knihách "začiatky" Slávny starogrécky matematik Euclid opísal pomerne veľké množstvo spôsobov, ako vypočítať plochy mnohých geometrických útvarov. Prvé rukopisy v Rusi obsahujúce geometrické informácie boli napísané v 16. storočí. Popisujú pravidlá hľadania plôch figúrok rôznych tvarov.
Dnes pomocou moderných metód môžete nájsť oblasť akejkoľvek postavy s veľkou presnosťou.
Zoberme si jednu z najjednoduchších postáv - obdĺžnik - a vzorec na nájdenie jeho oblasti.
Vzorec oblasti obdĺžnika
Uvažujme obrazec (obr. 1), ktorý pozostáva z $8$ štvorcov so stranami $1$ cm Plocha jedného štvorca so stranou $1$ cm sa nazýva štvorcový centimeter a píše sa $1\ cm^2 $.
Plocha tohto obrázku (obr. 1) sa bude rovnať $8\cm^2$.
Plocha figúry, ktorú možno rozdeliť na niekoľko štvorcov so stranou $1\ cm$ (napríklad $p$), sa bude rovnať $p\ cm^2$.
Inými slovami, plocha obrazca sa bude rovnať toľkým $cm^2$ na koľko štvorcov so stranou $1\ cm$ možno toto číslo rozdeliť.
Uvažujme obdĺžnik (obr. 2), ktorý pozostáva z $3$ pruhov, z ktorých každý je rozdelený na $5$ štvorce so stranou $1\ cm$. celý obdĺžnik pozostáva z $5\cdot 3=15$ takýchto štvorcov a jeho plocha je $15\cm^2$.
Obrázok 1
Obrázok 2
Oblasť čísel je zvyčajne označená písmenom $S$.
Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, musíte vynásobiť jeho dĺžku jeho šírkou.
Ak jeho dĺžku označíme písmenom $a$ a šírku písmenom $b$, potom vzorec pre oblasť obdĺžnika bude vyzerať takto:
Definícia 1
Figúrky sú tzv rovný ak sa čísla pri prekrytí jedna na druhú zhodujú. Rovnaké postavy majú rovnaké plochy a rovnaké obvody.
Plochu postavy možno nájsť ako súčet plôch jej častí.
Príklad 1
Napríklad na obrázku $3$ je obdĺžnik $ABCD$ rozdelený na dve časti čiarou $KLMN$. Plocha jednej časti je $12\ cm^2$ a druhej $9\ cm^2$. Potom sa plocha obdĺžnika $ABCD$ bude rovnať $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Nájdite oblasť obdĺžnika pomocou vzorca:
Ako vidíte, oblasti nájdené oboma metódami sú rovnaké.
Obrázok 3.
Obrázok 4.
Úsečka $AC$ rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky: $ABC$ a $ADC$. To znamená, že plocha každého trojuholníka sa rovná polovici plochy celého obdĺžnika.
Definícia 2
Obdĺžnik s rovnakými stranami sa nazýva štvorec.
Ak stranu štvorca označíme písmenom $a$, potom sa plocha štvorca nájde podľa vzorca:
Odtiaľ pochádza názov štvorca čísla $a$.
Príklad 2
Napríklad, ak je strana štvorca 5 $ cm, potom jeho plocha je:
Objemy
S rozvojom obchodu a stavebníctva, už v časoch starovekých civilizácií, vznikla potreba nájsť objemy. V matematike existuje časť geometrie, ktorá sa zaoberá štúdiom priestorových útvarov, nazývaná stereometria. Zmienky o tomto oddelenom odvetví matematiky sa našli už v $IV$ storočí pred naším letopočtom.
Starovekí matematici vyvinuli metódu na výpočet objemu jednoduchých postáv - kocky a rovnobežnostenu. Všetky budovy tých čias mali tento tvar. Neskôr sa však našli metódy na výpočet objemu postáv zložitejších tvarov.
Objem pravouhlého rovnobežnostena
Ak formu naplníte mokrým pieskom a potom ju otočíte, získate trojrozmernú postavu, ktorá sa vyznačuje objemom. Ak vytvoríte niekoľko takýchto figúrok pomocou rovnakej formy, dostanete figúrky, ktoré majú rovnaký objem. Ak naplníte formu vodou, objem vody a objem pieskovej figúry budú tiež rovnaké.
Obrázok 5.
Objemy dvoch nádob môžete porovnať tak, že jednu naplníte vodou a nalejete do druhej nádoby. Ak je druhá nádoba úplne naplnená, potom majú nádoby rovnaký objem. Ak voda zostane v prvej, potom je objem prvej nádoby väčší ako objem druhej. Ak pri nalievaní vody z prvej nádoby nie je možné úplne naplniť druhú nádobu, potom je objem prvej nádoby menší ako objem druhej nádoby.
Objem sa meria v nasledujúcich jednotkách:
$mm^3$ -- kubický milimeter,
$cm^3$ -- kubický centimeter,
$dm^3$ -- decimeter kubický,
$m^3$ -- meter kubický,
$km^3$ -- kilometer kubický.
A starí Egypťania používali metódy na výpočet plôch rôznych obrazcov, podobné našim metódam.
V mojich knihách "začiatky" Slávny starogrécky matematik Euclid opísal pomerne veľké množstvo spôsobov, ako vypočítať plochy mnohých geometrických útvarov. Prvé rukopisy v Rusi obsahujúce geometrické informácie boli napísané v 16. storočí. Popisujú pravidlá hľadania plôch figúrok rôznych tvarov.
Dnes pomocou moderných metód môžete nájsť oblasť akejkoľvek postavy s veľkou presnosťou.
Zoberme si jednu z najjednoduchších postáv - obdĺžnik - a vzorec na nájdenie jeho oblasti.
Vzorec oblasti obdĺžnika
Uvažujme obrazec (obr. 1), ktorý pozostáva z $8$ štvorcov so stranami $1$ cm Plocha jedného štvorca so stranou $1$ cm sa nazýva štvorcový centimeter a píše sa $1\ cm^2 $.
Plocha tohto obrázku (obr. 1) sa bude rovnať $8\cm^2$.
Plocha figúry, ktorú možno rozdeliť na niekoľko štvorcov so stranou $1\ cm$ (napríklad $p$), sa bude rovnať $p\ cm^2$.
Inými slovami, plocha obrazca sa bude rovnať toľkým $cm^2$ na koľko štvorcov so stranou $1\ cm$ možno toto číslo rozdeliť.
Uvažujme obdĺžnik (obr. 2), ktorý pozostáva z $3$ pruhov, z ktorých každý je rozdelený na $5$ štvorce so stranou $1\ cm$. celý obdĺžnik pozostáva z $5\cdot 3=15$ takýchto štvorcov a jeho plocha je $15\cm^2$.
Obrázok 1
Obrázok 2
Oblasť čísel je zvyčajne označená písmenom $S$.
Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, musíte vynásobiť jeho dĺžku jeho šírkou.
Ak jeho dĺžku označíme písmenom $a$ a šírku písmenom $b$, potom vzorec pre oblasť obdĺžnika bude vyzerať takto:
Definícia 1
Figúrky sú tzv rovný ak sa čísla pri prekrytí jedna na druhú zhodujú. Rovnaké postavy majú rovnaké plochy a rovnaké obvody.
Plochu postavy možno nájsť ako súčet plôch jej častí.
Príklad 1
Napríklad na obrázku $3$ je obdĺžnik $ABCD$ rozdelený na dve časti čiarou $KLMN$. Plocha jednej časti je $12\ cm^2$ a druhej $9\ cm^2$. Potom sa plocha obdĺžnika $ABCD$ bude rovnať $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Nájdite oblasť obdĺžnika pomocou vzorca:
Ako vidíte, oblasti nájdené oboma metódami sú rovnaké.
Obrázok 3.
Obrázok 4.
Úsečka $AC$ rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky: $ABC$ a $ADC$. To znamená, že plocha každého trojuholníka sa rovná polovici plochy celého obdĺžnika.
Definícia 2
Obdĺžnik s rovnakými stranami sa nazýva štvorec.
Ak stranu štvorca označíme písmenom $a$, potom sa plocha štvorca nájde podľa vzorca:
Odtiaľ pochádza názov štvorca čísla $a$.
Príklad 2
Napríklad, ak je strana štvorca 5 $ cm, potom jeho plocha je:
Objemy
S rozvojom obchodu a stavebníctva, už v časoch starovekých civilizácií, vznikla potreba nájsť objemy. V matematike existuje časť geometrie, ktorá sa zaoberá štúdiom priestorových útvarov, nazývaná stereometria. Zmienky o tomto oddelenom odvetví matematiky sa našli už v $IV$ storočí pred naším letopočtom.
Starovekí matematici vyvinuli metódu na výpočet objemu jednoduchých postáv - kocky a rovnobežnostenu. Všetky budovy tých čias mali tento tvar. Neskôr sa však našli metódy na výpočet objemu postáv zložitejších tvarov.
Objem pravouhlého rovnobežnostena
Ak formu naplníte mokrým pieskom a potom ju otočíte, získate trojrozmernú postavu, ktorá sa vyznačuje objemom. Ak vytvoríte niekoľko takýchto figúrok pomocou rovnakej formy, dostanete figúrky, ktoré majú rovnaký objem. Ak naplníte formu vodou, objem vody a objem pieskovej figúry budú tiež rovnaké.
Obrázok 5.
Objemy dvoch nádob môžete porovnať tak, že jednu naplníte vodou a nalejete do druhej nádoby. Ak je druhá nádoba úplne naplnená, potom majú nádoby rovnaký objem. Ak voda zostane v prvej, potom je objem prvej nádoby väčší ako objem druhej. Ak pri nalievaní vody z prvej nádoby nie je možné úplne naplniť druhú nádobu, potom je objem prvej nádoby menší ako objem druhej nádoby.
Objem sa meria v nasledujúcich jednotkách:
$mm^3$ -- kubický milimeter,
$cm^3$ -- kubický centimeter,
$dm^3$ -- decimeter kubický,
$m^3$ -- meter kubický,
$km^3$ -- kilometer kubický.
Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Analyzovali sa všetky aktuálne úlohy časti 1 z FIPI Task Bank. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.
Na vyriešenie problémov s geometriou potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché techniky, ktoré budeme pokrývať.
Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!
Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilu Jednotná štátna skúška z matematiky sa používajú iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.
Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.
1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika - rozdeľme tento obrazec na tie, o ktorých vieme všetko, a nájdime jeho plochu - ako súčet plôch týchto obrazcov.
Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .
Odpoveď: .
2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel niektorých oblastí.
Nie je také ľahké vypočítať základňu a výšku v tomto trojuholníku! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostávame: .
Odpoveď: .
3. Niekedy v úlohe musíte nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .
Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je rovnaká (od ) a dĺžka oblúka daného sektora sa rovná , dĺžka oblúka je niekoľkonásobne menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým tento oblúk spočíva, je tiež faktor menší ako celý kruh (t. j. stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.
