Ak je b väčšie ako 0, potom graf funkcie. Priama funkcia

Definícia lineárnej funkcie

Uveďme definíciu lineárnej funkcie

Definícia

Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.

Keď $b=0$, lineárna funkcia sa nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.

Zvážte obrázok 1.

Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky

Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $ВС=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

\ \

Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

Môžeme teda vyvodiť nasledujúci záver:

Záver

Geometrický význam koeficientu $k$. Uhlový koeficient priamky $k$ sa rovná dotyčnici uhla sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. V dôsledku toho sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Definičnou doménou sú všetky čísla.
2. Rozsah hodnôt sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Keď $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (obr. 3).

Inštrukcie

Ak je grafom priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a zvierajúca s osou OX uhol α (uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi OX). Funkcia opisujúca tento riadok bude mať tvar y = kx. Koeficient úmernosti k sa rovná tan α. Ak cez 2. a 4. súradnicovú štvrtinu prechádza priamka, potom k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 a funkcia sa zväčšuje, nech predstavuje priamku umiestnenú rôznymi spôsobmi vzhľadom na osi súradníc. Toto je lineárna funkcia a má tvar y = kx + b, kde premenné x a y sú s prvou mocninou a k a b môžu byť kladné alebo záporné alebo rovné nule. Priamka je rovnobežná s priamkou y = kx a pretína sa na osi |b| Jednotky. Ak je priamka rovnobežná s osou x, potom k = 0, ak je os ordináta, potom má rovnica tvar x = konšt.

Krivka pozostávajúca z dvoch vetiev umiestnených v rôznych štvrtiach a symetrická vzhľadom na začiatok súradníc je hyperbola. Tento graf je inverznou závislosťou premennej y na x a je opísaný rovnicou y = k/x. Tu k ≠ 0 je koeficient proporcionality. Navyše, ak k > 0, funkcia klesá; ak k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kvadratická funkcia má tvar y = ax2 + bx + c, kde a, b a c sú konštantné veličiny a a  0. Ak je splnená podmienka b = c = 0, rovnica funkcie vyzerá ako y = ax2 ( najjednoduchší prípad) a jeho grafom je parabola prechádzajúca počiatkom. Graf funkcie y = ax2 + bx + c má rovnaký tvar ako najjednoduchší prípad funkcie, ale jeho vrchol (priesečník s osou OY) neleží v počiatku.

Parabola je tiež grafom mocninnej funkcie vyjadrenej rovnicou y = xⁿ, ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je n ľubovoľné nepárne číslo, graf takejto mocninovej funkcie bude vyzerať ako kubická parabola.
Ak n je ľubovoľné , rovnica funkcie má tvar. Graf funkcie pre nepárne n bude hyperbola a pre párne n budú ich vetvy symetrické vzhľadom na op os.

Už v školských rokoch sa podrobne študujú funkcie a konštruujú sa ich grafy. Ale, bohužiaľ, prakticky neučia, ako čítať graf funkcie a nájsť jej typ z prezentovaného výkresu. Je to vlastne celkom jednoduché, ak si pamätáte základné typy funkcií.

Inštrukcie

Ak je prezentovaný graf , čo je cez počiatok súradníc a s osou OX uhol α (čo je uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi), potom funkcia opisujúca takúto priamku bude prezentované ako y = kx. V tomto prípade sa koeficient úmernosti k rovná dotyčnici uhla α.

Ak daná čiara prechádza cez druhú a štvrtú súradnicovú štvrtinu, potom sa k rovná 0 a funkcia sa zvyšuje. Nech prezentovaný graf je priamka umiestnená akýmkoľvek spôsobom vzhľadom na súradnicové osi. Potom funkcia napr grafické umenie bude lineárny, ktorý je reprezentovaný tvarom y = kx + b, kde premenné y a x sú v prvej a b a k môžu nadobúdať záporné aj kladné hodnoty alebo.

Ak je priamka rovnobežná s priamkou s grafom y = kx a na zvislej osi orezáva b jednotiek, potom má rovnica tvar x = const, ak je graf rovnobežný s osou x, potom k = 0.

Zakrivená čiara, ktorá pozostáva z dvoch vetiev, symetrických okolo začiatku a umiestnených v rôznych štvrtiach, je hyperbola. Takýto graf znázorňuje inverznú závislosť premennej y od premennej x a je opísaný rovnicou v tvare y = k/x, kde k by sa nemalo rovnať nule, keďže ide o koeficient nepriamej úmernosti. Navyše, ak je hodnota k väčšia ako nula, funkcia klesá; ak je k menšie ako nula, zvyšuje sa.

Ak je navrhovaným grafom parabola prechádzajúca počiatkom, jeho funkcia bude mať za podmienky, že b = c = 0, tvar y = ax2. Toto je najjednoduchší prípad kvadratickej funkcie. Graf funkcie v tvare y = ax2 + bx + c bude mať rovnaký tvar ako v najjednoduchšom prípade, avšak vrchol (bod, kde graf pretína ordinátovú os) nebude v počiatku. V kvadratickej funkcii reprezentovanej tvarom y = ax2 + bx + c sú hodnoty a, b a c konštantné, zatiaľ čo a sa nerovná nule.

Parabola môže byť aj grafom mocninnej funkcie vyjadrenej rovnicou v tvare y = xⁿ len vtedy, ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je hodnota n nepárne číslo, bude takýto graf mocninovej funkcie reprezentovaný kubickou parabolou. Ak je premenná n ľubovoľné záporné číslo, rovnica funkcie má tvar .

Video k téme

Súradnica absolútne akéhokoľvek bodu v rovine je určená jeho dvoma veličinami: pozdĺž osi x a osi y. Súbor mnohých takýchto bodov predstavuje graf funkcie. Z neho vidíte, ako sa mení hodnota Y v závislosti od zmeny hodnoty X Môžete tiež určiť, v ktorej sekcii (intervale) sa funkcia zvyšuje a v ktorej klesá.

Inštrukcie

Čo môžete povedať o funkcii, ak jej graf je priamka? Pozrite sa, či táto čiara prechádza cez počiatočný bod súradníc (to znamená ten, kde sa hodnoty X a Y rovnajú 0). Ak prejde, tak takúto funkciu popisuje rovnica y = kx. Je ľahké pochopiť, že čím väčšia je hodnota k, tým bližšie k osi y sa bude táto priamka nachádzať. A samotná os Y vlastne zodpovedá nekonečne veľkej hodnote k.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf priama alebo zakrivená čiara. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte na všeobecné pravidlá, podľa ktorých sa odvodzujú, a až potom prejdite na ďalší krok.

• Prečítajte si článok.
• Je popísané, ako zobrať najjednoduchšie derivácie, napríklad deriváciu exponenciálnej rovnice. Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach opísaných v nich.

Naučte sa rozlišovať medzi problémami, v ktorých musí byť sklon vypočítaný pomocou derivácie funkcie. Problémy nie vždy vyžadujú, aby ste našli sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x,y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x,y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.

Lineárna funkcia je funkciou formy

x-argument (nezávislá premenná),

y-funkcia (závislá premenná),

k a b sú nejaké konštantné čísla

Graf lineárnej funkcie je rovno.

Na vytvorenie grafu to stačí dva bodov, pretože cez dva body môžete nakresliť priamku a navyše iba jeden.

Ak k˃0, potom sa graf nachádza v 1. a 3. súradnicovej štvrtine. Ak k˂0, potom sa graf nachádza v 2. a 4. súradnicovej štvrtine.

Číslo k sa nazýva sklon priameho grafu funkcie y(x)=kx+b. Ak k˃0, potom uhol sklonu priamky y(x)= kx+b k kladnému smeru Ox je ostrý; ak k˂0, potom je tento uhol tupý.

Koeficient b znázorňuje priesečník grafu s osou operačného zosilňovača (0; b).

y(x)=k∙x-- špeciálny prípad typickej funkcie sa nazýva priama úmernosť. Graf je priamka prechádzajúca počiatkom, takže na zostrojenie tohto grafu stačí jeden bod.

Graf lineárnej funkcie

Kde koeficient k = 3, teda

Graf funkcie sa zväčší a bude mať ostrý uhol s osou Ox, pretože koeficient k má znamienko plus.

OOF lineárna funkcia

OPF lineárnej funkcie

Okrem prípadu, kedy

Tiež lineárna funkcia formy

Je funkciou všeobecného tvaru.

B) ak k=0; b≠0,

V tomto prípade je grafom priamka rovnobežná s osou Ox a prechádzajúca bodom (0; b).

B) Ak k≠0; b≠0, potom má lineárna funkcia tvar y(x)=k∙x+b.

Príklad 1 . Nakreslite graf funkcie y(x)= -2x+5

Príklad 2 . Nájdeme nuly funkcie y=3x+1, y=0;

– nuly funkcie.

Odpoveď: alebo (;0)

Príklad 3 . Určte hodnotu funkcie y=-x+3 pre x=1 a x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Odpoveď: y_1=2; y_2=4.

Príklad 4 . Určte súradnice ich priesečníka alebo dokážte, že sa grafy nepretínajú. Nech sú dané funkcie y 1 =10∙x-8 a y 2 =-3∙x+5.

Ak sa grafy funkcií pretínajú, potom sú hodnoty funkcií v tomto bode rovnaké

Dosaďte x=1, potom y1(1)=10∙1-8=2.

Komentujte. Výslednú hodnotu argumentu môžete dosadiť aj do funkcie y 2 =-3∙x+5, potom dostaneme rovnakú odpoveď y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- súradnica priesečníka.

(1;2) - priesečník grafov funkcií y=10x-8 a y=-3x+5.

Odpoveď: (1;2)

Príklad 5 .

Zostrojte grafy funkcií y 1 (x)= x+3 a y 2 (x)= x-1.

Môžete si všimnúť, že koeficient k=1 pre obe funkcie.

Z uvedeného vyplýva, že ak sú koeficienty lineárnej funkcie rovnaké, potom sú ich grafy v súradnicovom systéme umiestnené rovnobežne.

Príklad 6 .

Zostavme dva grafy funkcie.

Prvý graf má vzorec

Druhý graf má vzorec

V tomto prípade máme graf dvoch priamok pretínajúcich sa v bode (0;4). To znamená, že koeficient b, ktorý je zodpovedný za výšku stúpania grafu nad osou Ox, ak x = 0. To znamená, že môžeme predpokladať, že koeficient b oboch grafov sa rovná 4.

Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna