Aký je najmenší násobok čísel? Hľadanie najmenšieho spoločného násobku: metódy, príklady hľadania LCM

V 5. ročníku strednej školy sa študuje téma „Viacnásobné čísla“. Jeho cieľom je zlepšiť písomné a ústne matematické výpočtové schopnosti. V tejto lekcii sú predstavené nové pojmy - „viacnásobné čísla“ a „delitelia“, precvičuje sa technika hľadania deliteľov a násobkov prirodzeného čísla a schopnosť nájsť LCM rôznymi spôsobmi.

Táto téma je veľmi dôležitá. Jeho znalosť sa dá uplatniť pri riešení príkladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa výpočtom najmenšieho spoločného násobku (LCM).

Násobok A je celé číslo, ktoré je deliteľné A bezo zvyšku.

Každé prirodzené číslo má nekonečný počet jeho násobkov. Sám je považovaný za najmenší. Násobok nemôže byť menší ako samotné číslo.

Musíte dokázať, že číslo 125 je násobkom čísla 5. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť prvé číslo druhým. Ak je 125 deliteľné 5 bez zvyšku, odpoveď je áno.

Táto metóda je použiteľná pre malé čísla.

Pri výpočte LOC existujú špeciálne prípady.

1. Ak potrebujete nájsť spoločný násobok 2 čísel (napríklad 80 a 20), pričom jedno z nich (80) je deliteľné druhým (20), potom je toto číslo (80) najmenším násobkom týchto dve čísla.

LCM(80,20) = 80.

2. Ak dve nemajú spoločného deliteľa, potom môžeme povedať, že ich LCM je súčinom týchto dvoch čísel.

LCM(6,7) = 42.

Pozrime sa na posledný príklad. 6 a 7 vo vzťahu k 42 sú deliče. Delia násobok čísla bezo zvyšku.

V tomto príklade sú 6 a 7 párové faktory. Ich súčin sa rovná najväčšiemu násobku (42).

Číslo sa nazýva prvočíslo, ak je deliteľné iba samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatné sa nazývajú kompozitné.

Ďalší príklad zahŕňa určenie, či 9 je deliteľom 42.

42:9=4 (zvyšok 6)

Odpoveď: 9 nie je deliteľom 42, pretože odpoveď má zvyšok.

Deliteľ sa líši od násobku tým, že deliteľ je číslo, ktorým sa delia prirodzené čísla, a samotný násobok sa delí týmto číslom.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a A b, vynásobený ich najmenším násobkom, dá súčin samotných čísel a A b.

Konkrétne: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Spoločné násobky pre komplexnejšie čísla sa nachádzajú nasledujúcim spôsobom.

Nájdite napríklad LCM pre 168, 180, 3024.

Tieto čísla započítame do prvočiniteľov a zapíšeme ich ako súčin mocnin:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

GCD je najväčší spoločný deliteľ.

Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa niekoľkých čísel potrebujete:

určiť faktory spoločné pre obe čísla;
nájsť súčin spoločných faktorov.

Príklad nájdenia GCD:

Nájdite gcd čísel 315 a 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Zapíšme si faktory spoločné pre obe čísla:

3. Nájdite súčin spoločných faktorov:

GCD(315, 245) = 5*7 = 35.

Odpoveď: GCD(315, 245) = 35.

Nájdenie NOC

LCM je najmenší spoločný násobok.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, potrebujete:

premeniť čísla na prvočiniteľa;
zapíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
Pridajme k nim chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla;
nájsť súčin výsledných faktorov.

Príklad nájdenia LOC:

Nájdite LCM čísel 236 a 328:

1. Rozložme čísla do prvočísel:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Vypíšme faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel a pripočítajme k nim chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Nájdite súčin výsledných faktorov:

LCM(236; 328) = 2*2*59*2*41 = 19352.

Odpoveď: LCM(236, 328) = 19352.

Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) dvoch čísel, musíte:

2. Nájdite (podčiarknite) všetky spoločné prvočísla vo výsledných expanziách.

3. Nájdite súčin spoločných prvočiniteľov.

Ak chcete nájsť LCM (najmenší spoločný násobok) dvoch čísel, potrebujete:

1. Rozdeľte dané čísla na prvočiniteľa.

2. Rozšírenie jedného z nich je doplnené o tie faktory rozšírenia druhého čísla, ktoré nie sú v expanzii prvého.

3. Vypočítajte súčin výsledných faktorov.

Späť Vpred

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Žiaci stredných škôl sa v šiestom ročníku stretávajú s pojmami najväčší spoločný deliteľ (GCD) a najmenší spoločný násobok (LCM). Túto tému je vždy ťažké pochopiť. Deti si tieto pojmy často pletú a nechápu, prečo ich treba študovať. V poslednej dobe sa v populárno-náučnej literatúre vyskytujú ojedinelé tvrdenia, že tento materiál by mal byť vylúčený zo školských osnov. Myslím si, že to nie je celkom pravda a je potrebné to študovať ak nie na hodine, tak v mimoškolských hodinách počas vyučovania školských zložiek, keďže prispieva k rozvoju logického myslenia u školákov, zvyšuje rýchlosť výpočtových operácií, a schopnosť riešiť problémy pomocou krásnych metód.

V Sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi učíme deti nájsť spoločného menovateľa dvoch alebo viacerých čísel. Napríklad musíte pridať zlomky 1/3 a 1/5. Žiaci ľahko nájdu číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 3 a 5. Toto číslo je 15. V skutočnosti, ak sú čísla malé, ich spoločný menovateľ sa dá ľahko nájsť, ak dobre poznáte násobilku. Jedno z detí si všimne, že toto číslo je súčinom čísel 3 a 5. Deti majú názor, že takto sa vždy dá nájsť spoločný menovateľ pre čísla. Napríklad odčítajte zlomky 7/18 a 5/24. Nájdite súčin čísel 18 a 24. Rovná sa 432. Dostali sme už veľké číslo a ak je potrebné vykonať ďalšie výpočty (najmä pre príklady pre všetky akcie), pravdepodobnosť chyby sa zvyšuje. Ale nájdený najmenší spoločný násobok čísel (LCM), ktorý je v tomto prípade ekvivalentom najmenšieho spoločného menovateľa (LCD) - číslu 72 - výrazne uľahčí výpočty a povedie k rýchlejšiemu riešeniu príkladu, a tým ušetrí čas vyhradený na splnenie tejto úlohy, ktorý zohráva dôležitú úlohu pri vykonávaní záverečných testov a skúšok, najmä pri záverečnej certifikácii.

Pri štúdiu témy „Zmenšovanie zlomkov“ sa môžete pohybovať postupne vydelením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom pomocou znakov deliteľnosti čísel, čím nakoniec získate neredukovateľný zlomok. Napríklad musíte znížiť zlomok 128/344. Najprv vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku číslom 2, dostaneme zlomok 64/172. Ešte raz vydelíme čitateľa a menovateľa výsledného zlomku 2, dostaneme zlomok 32/86. Čitateľa a menovateľa zlomku opäť vydelíme 2, dostaneme nezredukovateľný zlomok 16/43. Zmenšenie zlomku sa však dá urobiť oveľa jednoduchšie, ak nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel 128 a 344. GCD(128, 344) = 8. Vydelením čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom okamžite dostaneme nezredukovateľný zlomok. .

Musíme deťom ukázať rôzne spôsoby, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) a najmenšieho spoločného násobku (LCD) čísel. V jednoduchých prípadoch je vhodné nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) a najmenšieho spoločného násobku (LCD) čísel jednoduchým spočítaním. Keď sa čísla zväčšia, môžete použiť rozklad na prvočíslo. Učebnica šiesteho ročníka (autor N.Ya. Vilenkin) ukazuje nasledujúcu metódu hľadania najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) čísel. Rozpočítajme čísla do hlavných faktorov:

16 = 2*2*2*2
120 = 2*2*2*3*5

Potom z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel vyčiarkneme tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Súčin zostávajúcich faktorov bude najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. V tomto prípade ide o číslo 8. Z vlastnej skúsenosti som presvedčený, že pre deti je jasnejšie, ak pri rozkladoch čísel podčiarkneme tie isté faktory a potom v jednom z rozkladov nájdeme súčin tzv. podčiarknuté faktory. Toto je najväčší spoločný deliteľ týchto čísel. V šiestom ročníku sú deti aktívne a zvedavé. Môžete im zadať nasledujúcu úlohu: pokúste sa pomocou opísanej metódy nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 343 a 287. Nie je hneď jasné, ako ich rozdeliť na prvočiniteľa. A tu im môžete povedať o úžasnej metóde vynájdenej starými Grékmi, ktorá vám umožňuje hľadať najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) bez toho, aby ste ho započítali do hlavných faktorov. Táto metóda hľadania najväčšieho spoločného deliteľa bola prvýkrát opísaná v Euklidových Prvkoch. Nazýva sa to Euklidovský algoritmus. Pozostáva z nasledovného: Najprv vydeľte väčšie číslo menším. Ak získate zvyšok, vydeľte menšie číslo zvyškom. Ak opäť získate zvyšok, vydeľte prvý zvyšok druhým. Pokračujte v delení týmto spôsobom, kým zvyšok nebude nula. Posledný deliteľ je najväčší spoločný deliteľ (GCD) týchto čísel.

Vráťme sa k nášmu príkladu a pre názornosť napíšme riešenie vo forme tabuľky.

dividenda	Rozdeľovač	Súkromné	Zvyšok
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Takže gcd(344,287) = 7

Ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) rovnakých čísel? Existuje na to nejaký spôsob, ktorý nevyžaduje predchádzajúci rozklad týchto čísel na prvočíselné faktory? Ukázalo sa, že existuje a je to veľmi jednoduché. Tieto čísla musíme vynásobiť a súčin vydeliť najväčším spoločným deliteľom (GCD), ktorý sme našli. V tomto príklade je súčin čísel 98441. Vydeľte ho číslom 7 a dostanete číslo 14063. LCM(343,287) = 14063.

Jednou z ťažkých tém matematiky je riešenie slovných úloh. Musíme študentom ukázať, ako sa dajú použiť pojmy Najväčší spoločný deliteľ (GCD) a Najmenší spoločný násobok (LCM) na riešenie problémov, ktoré je niekedy ťažké vyriešiť bežným spôsobom. Tu je vhodné spolu s úlohami, ktoré navrhli autori školskej učebnice, uvažovať so študentmi o starodávnych a zábavných úlohách, ktoré rozvíjajú zvedavosť detí a zvyšujú záujem o štúdium tejto témy. Šikovné zvládnutie týchto pojmov umožňuje žiakom vidieť krásne riešenie neštandardného problému. A ak sa nálada dieťaťa po vyriešení dobrého problému zvýši, je to znak úspešnej práce.

Štúdium takých pojmov ako „najväčší spoločný deliteľ (GCD)“ a „najmenší spoločný násobok (LCD)“ čísel

Umožňuje vám ušetriť čas vyhradený na dokončenie práce, čo vedie k výraznému zvýšeniu objemu dokončených úloh;

Zvyšuje rýchlosť a presnosť vykonávania aritmetických operácií, čo vedie k výraznému zníženiu počtu výpočtových chýb;

Umožňuje vám nájsť krásne spôsoby riešenia neštandardných textových problémov;

Rozvíja zvedavosť žiakov, rozširuje ich obzory;

Vytvára predpoklady pre výchovu všestrannej tvorivej osobnosti.

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku pre dva alebo akýkoľvek iný počet čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a LCM

Nájdite GCD a LOC

Nájdené GCD a LOC: 5806

Ako používať kalkulačku

Do vstupného poľa zadajte čísla
Ak zadáte nesprávne znaky, vstupné pole sa zvýrazní červenou farbou
kliknite na tlačidlo "Nájsť GCD a LOC".

Ako zadávať čísla

Čísla sa zadávajú oddelené medzerou, bodkou alebo čiarkou
Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájsť GCD a LCM dlhých čísel nie je ťažké

Čo sú GCD a NOC?

Najväčší spoločný deliteľ niekoľko čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok niekoľko čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo deliteľné iným číslom bezo zvyšku?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich spojením môžete skontrolovať deliteľnosť niektorých z nich a ich kombinácií.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Test deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: Pozeráme sa na poslednú číslicu: 8 - to znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Test deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď je súčet číslic veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Test deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Test deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: Spočítame súčet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

ako nájsť gcd dvoch čísel

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, je nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho.

Zoberme si túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

Vynásobíme obe čísla: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 = 4 - to je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvý spôsob je taký, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť gcd týchto čísel. Uvažujme len o tom.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), ako je už známe, sa rovná 4
LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Nájdenie GCD a LCM pre niekoľko čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Na nájdenie gcd niekoľkých čísel môžete použiť aj nasledujúci vzťah: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Podobný vzťah platí pre najmenší spoločný násobok: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2.
Ich súčin poskytne GCD: 1·2·2 = 4
Teraz nájdime LCM: aby sme to urobili, najprv nájdime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.

Mnohé prirodzené čísla sú však deliteľné aj inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a- je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložený .

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b- je to číslo, ktorým sa obe dané čísla bezo zvyšku delia a A b.

Spoločné násobky niekoľko čísel je číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých spoločných násobkov je vždy jeden najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo sa nazýva najmenšíspoločný násobok (CMM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutivita:

Asociativita:

Najmä, ak a sú prvočísla, potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m, n sa zhoduje s množinou násobkov LCM( m, n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. A tiež:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho spojenie s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k- rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek— nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).

Potom NOC ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozkladov čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto multiplikátora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko sekvenčných výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčší rozklad (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) na faktory požadovaného súčinu a potom pridať faktory z rozkladu iných čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sa v ňom vyskytujú menej krát;

— výsledný súčin prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) sú doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 sú doplnené o činiteľ 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Ide o najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorý je násobkom všetkých zadaných čísel.