V tomto článku vám poviem, ako vyriešiť problémy, ktoré používajú .
Najprv si ako obvykle pripomeňme definície a vety, ktoré potrebujete vedieť, aby ste úspešne riešili problémy v .
1.Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany kružnicu pretínajú:
2.Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol sa zhoduje so stredom kruhu:
Hodnota stupňa kruhového oblúka merané veľkosťou stredového uhla, ktorý na ňom spočíva.
V tomto prípade sa hodnota stupňa oblúka AC rovná hodnote uhla AOS.
3. Ak sú vpísané a stredové uhly založené na rovnakom oblúku, potom vpísaný uhol je polovičný ako stredový uhol:
4. Všetky vpísané uhly, ktoré spočívajú na jednom oblúku, sú si navzájom rovné:
5. Vpísaný uhol zovretý priemerom je 90°:
Poďme vyriešiť niekoľko problémov.
1. Úloha B7 (č. 27887)
Nájdite hodnotu stredového uhla, ktorý spočíva na rovnakom oblúku:
Je zrejmé, že uhol AOC sa rovná 90°, preto sa uhol ABC rovná 45°
Odpoveď: 45°
2. Úloha B7 (č. 27888)
Nájdite veľkosť uhla ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Je zrejmé, že uhol AOC je 270°, potom uhol ABC je 135°.
Odpoveď: 135°
3. Úloha B7 (č. 27890)
Nájdite hodnotu stupňa oblúka AC kružnice zovretej uhlom ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Nájdite hodnotu stredového uhla, ktorý spočíva na oblúku AC:
Veľkosť uhla AOS je 45°, preto je miera oblúka AC 45°.
Odpoveď: 45°.
4. Úloha B7 (č. 27885)
Nájdite uhol ACB, ak vpísané uhly ADB a DAE spočívajú na kruhových oblúkoch, ktorých hodnoty stupňov sa rovnajú resp. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Uhol ADB spočíva na oblúku AB, preto sa hodnota stredového uhla AOB rovná 118°, preto sa uhol BDA rovná 59° a susedný uhol ADC sa rovná 180°-59° = 121° 
Podobne uhol DOE je 38° a zodpovedajúci vpísaný uhol DAE je 19°.
Zvážte trojuholník ADC:
Súčet uhlov trojuholníka je 180°.
Uhol ACB sa rovná 180°- (121°+19°)=40°
Odpoveď: 40°
5. Úloha B7 (č. 27872)
Strany štvoruholníka ABCD AB, BC, CD a AD tvoria oblúky opísanej kružnice, ktorých hodnoty stupňov sa rovnajú , , resp. Nájdite uhol B tohto štvoruholníka. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Uhol B spočíva na oblúku ADC, ktorého hodnota sa rovná súčtu hodnôt oblúkov AD a CD, teda 71°+145°=216°
Vpísaný uhol B sa rovná polovici veľkosti oblúka ADC, teda 108°
Odpoveď: 108°
6. Úloha B7 (č. 27873)
Body A, B, C, D umiestnené na kružnici rozdeľujú túto kružnicu na štyri oblúky AB, BC, CD a AD, ktorých stupne sú v pomere 4:2:3:6. Nájdite uhol A štvoruholníka ABCD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
(pozri nákres predchádzajúcej úlohy)
Keďže sme uviedli pomer veľkostí oblúkov, zavedieme jednotkový prvok x. Potom bude veľkosť každého oblúka vyjadrená nasledujúcim pomerom:
AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Všetky oblúky tvoria kruh, to znamená, že ich súčet je 360°.
4x+2x+3x+6x=360°, teda x=24°.
Uhol A je podporený oblúkmi BC a CD, ktoré majú spolu hodnotu 5x=120°.
Preto je uhol A 60°
Odpoveď: 60°
7. Úloha B7 (č. 27874)
Štvoruholník A B C D vpísaný do kruhu. Rohový ABC rovný , uhol CAD
Dnes sa pozrieme na iný typ úloh 6 – tentoraz s kruhom. Mnohí študenti ich nemajú radi a považujú ich za ťažké. A úplne márne, pretože takéto problémy sú vyriešené elementárne, ak poznáte nejaké vety. Alebo sa vôbec neodvážia, ak ich nepoznáte.
Predtým, ako hovorím o hlavných vlastnostiach, dovoľte mi pripomenúť definíciu:
Vpísaný uhol je taký, ktorého vrchol leží na samotnom kruhu a ktorého strany vyrezávajú tetivu na tomto kruhu.
Stredový uhol je akýkoľvek uhol s vrcholom v strede kruhu. Jeho strany tiež pretínajú tento kruh a vyrezávajú na ňom tetivu.
Takže pojmy vpísaných a stredových uhlov sú neoddeliteľne spojené s kruhom a tetivami v ňom. A teraz hlavné vyhlásenie:
Veta. Stredový uhol je vždy dvojnásobkom vpísaného uhla na základe toho istého oblúka.
Napriek jednoduchosti výroku existuje celá trieda problémov 6, ktoré je možné pomocou neho vyriešiť – a nič iné.
Úloha. Nájdite ostrý vpísaný uhol zovretý tetivou, ktorá sa rovná polomeru kružnice.
Nech AB je tetiva, o ktorej uvažujeme, ó stred kruhu. Doplnková konštrukcia: OA a OB sú polomery kružnice. Dostaneme:
Zvážte trojuholník ABO. V ňom AB = OA = OB - všetky strany sa rovnajú polomeru kruhu. Preto je trojuholník ABO rovnostranný a všetky uhly v ňom sú 60°.
Nech M je vrchol vpísaného uhla. Pretože uhly O a M spočívajú na rovnakom oblúku AB, vpísaný uhol M je 2-krát menší ako stredový uhol O. Máme:
M = 0:2 = 60:2 = 30
Úloha. Stredový uhol je o 36° väčší ako vpísaný uhol zvieraný rovnakým oblúkom kružnice. Nájdite vpísaný uhol.
Predstavme si nasledujúci zápis:
- AB je tetiva kruhu;
- Bod O je stredom kruhu, takže uhol AOB je stredový uhol;
- Bod C je vrcholom vpísaného uhla ACB.
Keďže hľadáme vpísaný uhol ACB, označme ho ACB = x. Potom je stredový uhol AOB x + 36. Na druhej strane je stredový uhol 2-násobkom vpísaného uhla. Máme:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x;
x = 36.
Našli sme teda vpísaný uhol AOB - rovná sa 36°.
Kruh je uhol 360°
Po prečítaní podnadpisu si znalí čitatelia pravdepodobne teraz povedia: „Fuj!“ Naozaj, porovnávanie kruhu s uhlom nie je úplne správne. Aby ste pochopili, o čom hovoríme, pozrite sa na klasický trigonometrický kruh:
Na čo je tento obrázok? A okrem toho, plné otočenie je uhol 360 stupňov. A ak to rozdelíte, povedzme, na 20 rovnakých častí, potom veľkosť každej z nich bude 360: 20 = 18 stupňov. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
Body A, B a C ležia na kružnici a rozdeľte ju na tri oblúky, ktorých miera stupňov je v pomere 1 : 3 : 5. Nájdite väčší uhol trojuholníka ABC.
Najprv nájdime mieru každého oblúka. Menšia nech je x. Na obrázku je tento oblúk označený AB. Potom môžu byť zostávajúce oblúky - BC a AC - vyjadrené pomocou AB: oblúk BC = 3x; AC = 5x. Celkovo tieto oblúky dávajú 360 stupňov:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Teraz zvážte veľký oblúk AC, ktorý neobsahuje bod B. Tento oblúk, rovnako ako zodpovedajúci stredový uhol AOC, je 5x = 5 40 = 200 stupňov.
Uhol ABC je najväčší zo všetkých uhlov v trojuholníku. Je to vpísaný uhol zovretý rovnakým oblúkom ako stredový uhol AOC. To znamená, že uhol ABC je 2-krát menší ako AOC. Máme:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Toto bude miera väčšieho uhla v trojuholníku ABC.
Kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka
Mnoho ľudí zabúda na túto vetu. Ale márne, pretože niektoré problémy B8 sa bez toho nedajú vôbec vyriešiť. Presnejšie povedané, sú vyriešené, no s takým objemom výpočtov, že by ste radšej zaspali, ako by ste sa dopracovali k odpovedi.
Veta. Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
Čo z tejto vety vyplýva?
- Stred prepony je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka. Toto je priamy dôsledok vety;
- Medián nakreslený k prepone rozdeľuje pôvodný trojuholník na dva rovnoramenné trojuholníky. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
V trojuholníku ABC nakreslíme stredný CD. Uhol C je 90° a uhol B je 60°. Nájdite uhol ACD.
Pretože uhol C je 90°, trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník. Ukazuje sa, že CD je medián ťahaný k prepone. To znamená, že trojuholníky ADC a BDC sú rovnoramenné.
Zvážte najmä trojuholník ADC. V tom AD = CD. Ale v rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké - pozri „Problém B8: Úsečky a uhly v trojuholníkoch“. Preto požadovaný uhol ACD = A.
Zostáva teda zistiť, čomu sa rovná uhol A. Aby sme to urobili, vráťme sa opäť k pôvodnému trojuholníku ABC. Označme uhol A = x. Keďže súčet uhlov v akomkoľvek trojuholníku je 180°, máme:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Samozrejme, posledný problém sa dá vyriešiť inak. Napríklad je ľahké dokázať, že trojuholník BCD nie je len rovnoramenný, ale rovnostranný. Takže uhol BCD je 60 stupňov. Uhol ACD je teda 90 − 60 = 30 stupňov. Ako vidíte, môžete použiť rôzne rovnoramenné trojuholníky, ale odpoveď bude vždy rovnaká.
Proces prípravy na jednotnú štátnu skúšku z matematiky sa najčastejšie začína opakovaním základných definícií, vzorcov a teorémov, a to aj na tému „Stredové a vpísané uhly v kruhu“. Táto sekcia planimetrie sa spravidla študuje na strednej škole. Nie je prekvapujúce, že mnohí študenti čelia potrebe zopakovať si základné pojmy a vety na tému „Stredový uhol kruhu“. Po pochopení algoritmu na riešenie takýchto problémov môžu školáci počítať s tým, že získajú konkurenčné skóre na základe výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky.
Ako sa jednoducho a efektívne pripraviť na absolvovanie certifikačného testu?
Pri štúdiu pred zložením jednotnej štátnej skúšky sa mnohí stredoškoláci stretávajú s problémom nájsť potrebné informácie na tému „Stredové a vpísané uhly v kruhu“. Nie vždy je po ruke školská učebnica. A hľadanie vzorcov na internete niekedy zaberie veľa času.
Náš vzdelávací portál vám pomôže „napumpovať“ vaše zručnosti a zlepšiť si vedomosti v takej náročnej sekcii geometrie, akou je planimetria. „Shkolkovo“ ponúka študentom stredných škôl a ich učiteľom nový spôsob, ako vybudovať proces prípravy na jednotnú štátnu skúšku. Všetok základný materiál je prezentovaný našimi špecialistami v najdostupnejšej forme. Po prečítaní informácií v časti „Teoretické východiská“ sa študenti dozvedia, aké vlastnosti má stredový uhol kruhu, ako zistiť jeho hodnotu atď.
Potom na upevnenie získaných vedomostí a cvičných zručností odporúčame vykonať vhodné cvičenia. Veľký výber úloh na nájdenie veľkosti uhla vpísaného do kruhu a ďalších parametrov je uvedený v časti „Katalóg“. Pre každé cvičenie naši odborníci napísali podrobné riešenie a označili správnu odpoveď. Zoznam úloh na stránke sa neustále dopĺňa a aktualizuje.
Stredoškoláci sa môžu pripraviť na Jednotnú štátnu skúšku precvičovaním cvičení, napríklad na zistenie veľkosti stredového uhla a dĺžky kruhového oblúka, online z akéhokoľvek ruského regiónu.
V prípade potreby je možné dokončenú úlohu uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste sa k nej mohli neskôr vrátiť a ešte raz analyzovať princíp jej riešenia.
Inštrukcie
Ak je známy polomer (R) kružnice a dĺžka oblúka (L) zodpovedajúca požadovanému stredovému uhlu (θ), možno ho vypočítať v stupňoch aj v radiánoch. Súčet je určený vzorcom 2*π*R a zodpovedá stredovému uhlu 360° alebo dvom číslam Pi, ak sa namiesto stupňov použijú radiány. Preto postupujte z podielu 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Vyjadrite z neho stredový uhol v radiánoch θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R alebo stupňov θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) a vypočítajte pomocou výsledného vzorca.
Na základe dĺžky tetivy (m) spájajúcej body určujúce stredový uhol (θ) možno vypočítať aj jej hodnotu, ak je známy polomer (R) kružnice. Za týmto účelom zvážte trojuholník tvorený dvoma polomermi a . Toto je rovnoramenný trojuholník, každý je známy, ale musíte nájsť uhol oproti základni. Sínus jeho polovice sa rovná pomeru dĺžky základne – tetivy – k dvojnásobku dĺžky strany – polomeru. Preto na výpočty použite funkciu inverzného sínusu - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Stredový uhol môže byť špecifikovaný v zlomkoch otáčky alebo od natočeného uhla. Napríklad, ak potrebujete nájsť stredový uhol zodpovedajúci štvrtine celej otáčky, vydeľte 360° štyrmi: θ = 360°/4 = 90°. Rovnaká hodnota v radiánoch by mala byť 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Rozvinutý uhol sa rovná polovici celej otáčky, preto napríklad stredový uhol zodpovedajúci jeho štvrtine bude mať polovicu hodnôt vypočítaných vyššie v stupňoch aj v radiánoch.
Inverzia sínusu sa nazýva goniometrická funkcia arkzín. Môže nadobudnúť hodnoty v rámci polovice Pi, kladné aj záporné pri meraní v radiánoch. Pri meraní v stupňoch budú tieto hodnoty v rozsahu od -90° do +90°.
Inštrukcie
Niektoré „okrúhle“ hodnoty sa nemusia počítať, ľahšie sa zapamätajú. Napríklad: - ak je argument funkcie nula, potom je jeho arkussínus tiež nula - 1/2 sa rovná 30° alebo 1/6 Pi, ak je merané - arkussínus -1/2 je -30°; alebo -1/ 6 od čísla Pi in - arkussínus 1 sa rovná 90° alebo 1/2 čísla Pi v radiánoch - arkussínus -1 sa rovná -90° alebo -1/2; číslo Pi v radiánoch;
Na meranie hodnôt tejto funkcie z iných argumentov je najjednoduchšie použiť štandardnú kalkulačku Windows, ak ju máte po ruke. Ak chcete začať, otvorte hlavnú ponuku na tlačidle „Štart“ (alebo stlačením klávesu WIN), prejdite do časti „Všetky programy“ a potom do podsekcie „Príslušenstvo“ a kliknite na „Kalkulačka“.
Prepnite rozhranie kalkulačky do prevádzkového režimu, ktorý vám umožní vypočítať goniometrické funkcie. Ak to chcete urobiť, otvorte v jej ponuke sekciu „Zobraziť“ a vyberte „Inžinierstvo“ alebo „Vedecké“ (v závislosti od použitého operačného systému).
Zadajte hodnotu argumentu, z ktorého sa má vypočítať arkustangens. Môžete to urobiť kliknutím na tlačidlá na rozhraní kalkulačky pomocou myši alebo stlačením kláves na , alebo skopírovaním hodnoty (CTRL + C) a jej vložením (CTRL + V) do vstupného poľa kalkulačky.
Vyberte jednotky merania, v ktorých potrebujete získať výsledok výpočtu funkcie. Pod vstupným poľom sú tri možnosti, z ktorých je potrebné vybrať (kliknutím myšou) jednu - , radiány alebo rads.
Začiarknite políčko, ktoré invertuje funkcie zobrazené na tlačidlách rozhrania kalkulačky. Vedľa je krátky nápis Inv.
Kliknite na tlačidlo hriechu. Kalkulačka prevráti funkciu s ňou spojenú, vykoná výpočet a predloží vám výsledok v zadaných jednotkách.
Video k téme
Jedným z bežných geometrických problémov je výpočet plochy kruhového segmentu - časť kruhu ohraničená tetivou a zodpovedajúca tetiva oblúkom kruhu.
Plocha kruhového segmentu sa rovná rozdielu medzi plochou príslušného kruhového sektora a plochou trojuholníka tvoreného polomermi sektora zodpovedajúcimi segmentu a tetivou obmedzujúcou segment.
Príklad 1
Dĺžka tetivy pretínajúcej kružnicu sa rovná hodnote a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho tetive je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.
Riešenie
Trojuholník tvorený dvoma polomermi a tetivou je rovnoramenný, takže nadmorská výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k strane trojuholníka tvoreného tetivou bude tiež osou stredového uhla, ktorá ho rozdelí na polovicu a medián, deliaci akord na polovicu. S vedomím, že sínus uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone, môžeme vypočítať polomer:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR2/360°*60° = πa2/6
S▲=1/2*ah, kde h je výška vedená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
V súlade s tým S▲=√3/4*a².
Plocha segmentu, vypočítaná ako Sreg = Sc - S▲, sa rovná:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Nahradením číselnej hodnoty za hodnotu a môžete jednoducho vypočítať číselnú hodnotu oblasti segmentu.
Príklad 2
Polomer kruhu sa rovná a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho segmentu je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.
Riešenie:
Plochu sektora zodpovedajúcu danému uhlu možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Plocha trojuholníka zodpovedajúca sektoru sa vypočíta takto:
S▲=1/2*ah, kde h je výška vedená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
V súlade s tým S▲=√3/4*a².
A nakoniec, plocha segmentu, vypočítaná ako Sreg = Sc - S▲, sa rovná:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Riešenia sú v oboch prípadoch takmer totožné. Môžeme teda dospieť k záveru, že na výpočet plochy segmentu v najjednoduchšom prípade stačí poznať hodnotu uhla zodpovedajúceho oblúku segmentu a jeden z dvoch parametrov - buď polomer kruhu alebo dĺžka tetivy pretínajúcej oblúk kružnice tvoriacej segment.
Zdroje:
- Segment – geometria
Vpísaný uhol, teória problému. Priatelia! V tomto článku budeme hovoriť o úlohách, pre ktoré potrebujete poznať vlastnosti vpísaného uhla. Ide o celú skupinu úloh, sú zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške. Väčšina z nich sa dá vyriešiť veľmi jednoducho, jedným úkonom.
Existujú zložitejšie problémy, ale nebudú pre vás predstavovať veľké ťažkosti, musíte poznať vlastnosti vpísaného uhla. Postupne rozoberieme všetky prototypy úloh, pozývam vás na blog!
Teraz potrebná teória. Pripomeňme si, čo je stredový a vpísaný uhol, tetiva, oblúk, na ktorom spočívajú tieto uhly:
Stredový uhol v kruhu je rovinný uhol svrchol v jeho strede.
Časť kruhu umiestnená vo vnútri rovinného uhlanazývaný oblúk kruhu.
Miera stupňa oblúka kruhu sa nazýva miera stupňazodpovedajúci stredový uhol.
Uhol sa hovorí, že je vpísaný do kruhu, ak vrchol uhla ležína kruhu a strany uhla pretínajú tento kruh.
Úsečka spájajúca dva body na kružnici sa nazývaakord. Najväčší akord prechádza stredom kruhu a je tzvpriemer.
Ak chcete vyriešiť problémy zahŕňajúce uhly vpísané do kruhu,musíte poznať nasledujúce vlastnosti:
1. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla na základe rovnakého oblúka.
2. Všetky vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.
3. Všetky vpísané uhly založené na tej istej tetive a ktorých vrcholy ležia na tej istej strane tejto tetivy sú rovnaké.
4. Ľubovoľná dvojica uhlov založených na tej istej tetive, ktorej vrcholy ležia na opačných stranách tetivy, tvorí súčet 180°.
Dôsledok: opačné uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu tvoria 180 stupňov.
5. Všetky vpísané uhly zovreté priemerom sú pravé uhly.
Vo všeobecnosti je táto vlastnosť dôsledkom vlastnosti (1); Pozrite sa - stredový uhol sa rovná 180 stupňom (a tento rozvinutý uhol nie je nič iné ako priemer), čo znamená, že podľa prvej vlastnosti sa vpísaný uhol C rovná jeho polovici, teda 90 stupňom.
Znalosť tejto vlastnosti pomáha pri riešení mnohých problémov a často vám umožňuje vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Ak si to dobre osvojíte, viac ako polovicu problémov tohto typu budete vedieť vyriešiť ústne. Možno vyvodiť dva závery:
Dôsledok 1: ak je trojuholník vpísaný do kruhu a jedna z jeho strán sa zhoduje s priemerom tohto kruhu, potom je trojuholník pravouhlý (vrchol pravého uhla leží na kružnici).
Dôsledok 2: stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa zhoduje so stredom jeho prepony.
Mnohé prototypy stereometrických úloh sa riešia aj využitím tejto vlastnosti a týchto dôsledkov. Pamätajte na samotný fakt: ak je priemer kruhu stranou vpísaného trojuholníka, potom je tento trojuholník pravouhlý (uhol oproti priemeru je 90 stupňov). Všetky ostatné závery a dôsledky si môžete vyvodiť sami;
Spravidla je polovica úloh na vpísanom uhle uvedená s náčrtom, ale bez symbolov. Na pochopenie procesu uvažovania pri riešení problémov (nižšie v článku) sú zavedené zápisy vrcholov (uhlov). Nemusíte to robiť na Jednotnej štátnej skúške.Zoberme si úlohy:
Akú hodnotu má ostrý vpísaný uhol zovretý tetivou, ktorá sa rovná polomeru kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Zostrojme stredový uhol pre daný vpísaný uhol a označme vrcholy:
Podľa vlastnosti uhla vpísaného do kruhu:
Uhol AOB sa rovná 60 0, pretože trojuholník AOB je rovnostranný a v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovné 60 0. Strany trojuholníka sú rovnaké, pretože podmienka hovorí, že tetiva sa rovná polomeru.
Vpísaný uhol ACB sa teda rovná 30 0.
odpoveď: 30
Nájdite tetivu podoprenú uhlom 300 vpísaným do kruhu s polomerom 3.
Toto je v podstate opačný problém (predchádzajúci). Zostrojme stredový uhol.
Je dvakrát väčší ako vpísaný, to znamená, že uhol AOB sa rovná 60 0. Z toho môžeme usúdiť, že trojuholník AOB je rovnostranný. Tetiva sa teda rovná polomeru, teda trom.
odpoveď: 3
Polomer kružnice je 1. Nájdite veľkosť tupého vpísaného uhla zvieraného tetivou rovnajúcu sa odmocnine dvoch. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Zostrojme stredový uhol:
Keď poznáme polomer a tetivu, môžeme nájsť stredový uhol ASV. Dá sa to urobiť pomocou kosínusovej vety. Keď poznáme stredový uhol, môžeme ľahko nájsť vpísaný uhol ACB.
Kosínusová veta: druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez toho, aby bol súčin týchto strán dvojnásobkom kosínusu uhla medzi nimi.
Preto je druhý stredový uhol 360° – 90 0 = 270 0 .
Uhol ACB sa podľa vlastnosti vpísaného uhla rovná jeho polovici, teda 135 stupňom.
odpoveď: 135
Nájdite tetivu zovretú o uhol 120 stupňov vpísanú do kruhu s odmocninou z troch.
Spojme body A a B so stredom kružnice. Označme to ako O:
Poznáme polomer a vpísaný uhol ASV. Môžeme nájsť stredový uhol AOB (väčší ako 180 stupňov), potom nájsť uhol AOB v trojuholníku AOB. A potom pomocou kosínusovej vety vypočítajte AB.
Podľa vlastnosti vpísaného uhla sa stredový uhol AOB (ktorý je väčší ako 180 stupňov) bude rovnať dvojnásobku vpísaného uhla, to znamená 240 stupňov. To znamená, že uhol AOB v trojuholníku AOB sa rovná 360 0 – 240 0 = 120 0.
Podľa kosínusovej vety:
Odpoveď: 3
Nájdite vpísaný uhol zovretý oblúkom, ktorý je 20 % kruhu. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Podľa vlastnosti vpísaného uhla je polovičný ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku, v tomto prípade hovoríme o oblúku AB.
Hovorí sa, že oblúk AB je 20 percent obvodu. To znamená, že stredový uhol AOB je tiež 20 percent z 360 0.*Kruh je uhol 360 stupňov. znamená,
Vpísaný uhol ACB sa teda rovná 36 stupňom.
odpoveď: 36
Oblúk kruhu A.C., ktorá neobsahuje bod B, je 200 stupňov. A oblúk kruhu pred naším letopočtom, ktorý neobsahuje bod A, je 80 stupňov. Nájdite vpísaný uhol ACB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Pre prehľadnosť označme oblúky, ktorých uhlové miery sú dané. Oblúk zodpovedajúci 200 stupňom je modrý, oblúk zodpovedajúci 80 stupňom je červený, zvyšná časť kruhu je žltá.
Miera stupňa oblúka AB (žltá), a teda stredový uhol AOB je: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Vpísaný uhol ACB je polovičný ako stredový uhol AOB, to znamená 40 stupňov.
odpoveď: 40
Aký je vpísaný uhol, ktorý zviera priemer kruhu? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
