Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Савинская средняя общеобразовательная школа
Исследовательская работа
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская СОШ
Кузнецова Светлана,14 лет
Руководитель: учитель математики
Тульчевская Н.А.
п. Савино
Ивановская область, Россия
2016г.
I . Введение __________________________________________________стр 3
II . Из истории параллелограмма ___________________________________стр 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________стр 4
IV . Доказательство свойств _____________________________________ стр 5
V . Решение задач с использованием дополнительных свойств __________стр 8
VI . Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________стр 11
VII . Заключение _________________________________________________стр 12
VIII . Литература _________________________________________________стр 13
Введение
"Среди равных умов
при одинаковости прочих условий
превосходит тот, кто знает геометрию"
(Блез Паскаль).
Во время изучения темы «Параллелограмм» на уроках геометрии мы рассмотрели два свойства параллелограмма и три признака, но когда мы начали решать задачи, то оказалось, что этого недостаточно.
У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решила изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования : параллелограмм
Объект исследования
: свойства параллелограмма
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
применение этих свойств для решения задач.
Задачи:
Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств;
Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;
Изучить дополнительные свойства параллелограмма и доказать их;
Показать применение этих свойств для решения задач;
Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выделение круга задач, которые можно решать с использованием дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования : 3 месяца: январь-март 2016г
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные линии» (от греческих слов Parallelos - параллельный и gramme - линия), этот термин был введен Евклидом. В своей книге «Начала» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам. О точке пересечения параллелограмма Евклид не упоминает. Только к концу средних веков была разработана полная теория параллелограммов И лишь в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.
III Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV Доказательство свойств параллелограмма
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Дано :
ABCD – параллелограмм
Доказать:
A
+
B
=
Доказательство:
А и
B
–внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВС АD
и секущей АВ, значит,
A
+
B
=
2
Дано: АBCD - параллелограмм,
АК -биссектриса
А.
Доказать: АВК – равнобедренный
Доказательство:
1)
1=
3 (накрест лежащие при ВСAD
и секущей AK
),
2)
2=
3 т. к. АК – биссектриса,
значит 1=
2.
3) АВК – равнобедренный т. к. 2 угла треугольника равны
. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник3
Дано: АВСD – параллелограмм,
АК – биссектриса A,
СР - биссектриса C.
Доказать: АК ║ СР
Доказательство:
1) 1=2 т. к. АК-биссектриса
2) 4=5 т.к. СР – биссектриса
3) 3=1 (накрест лежащие углы при
ВС ║ АD и АК-секущей),
4) A =C (по свойству параллелограмма), значит2=3=4=5.
4) Из п. 3 и 4 следует, что 1=4, а эти углы соответственные при прямых АК и СР и секущей ВС,
значит, АК ║ СР (по признаку параллельности прямых)
. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямыхБиссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
Дано: АВСD - параллелограмм,
АК-биссектриса A,
DР-биссектриса D
Доказать: DР АК.
Доказательство:
1) 1=2, т.к. АК - биссектриса
Пусть, 1=2=x, тогда А=2x,
2) 3=4, т.к. D Р – биссектриса
Пусть, 3=4= у, тогда D =2y
3) A +D =180 0 , т.к. сумма соседних углов параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A ОD
1+3=90 0 , тогда
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник
Дано: АВСD - параллелограмм, АК-биссектриса A,
DР-биссектриса D,
CM -биссектриса C ,
BF -биссектриса B .
Доказать : KRNS -прямоугольник
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8=7=6=5=90 0 ,
значит KRNS -прямоугольник.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.
ВК АС, DPAC
Доказать: BК=DР
Доказательство: 1)DCР=КAB, как внутренние накрест лежащие при АВ ║ СD и секущей АС.
2) AКB=CDР (по стороне и двум прилежащим к ней углам АВ=СD CD Р=AB К).
А в равных треугольниках соответственные стороны равны, значит DР=BК.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Доказать: ВКDР – параллелограмм.
Доказательство:
1) BР=КD (AD=BC, точки К и Р
делят эти стороны пополам)
2) ВР ║ КD (лежат на АD BC)
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -параллелограмм.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD – параллелограмм. BD и AC - диагонали.
Доказать: АС 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Доказательство:
1)АСК:
AC
²=
+
2)B Р D : BD 2 = B Р 2 + Р D 2 (по теореме Пифагора)
3) AC ²+ BD ²=СК²+ A К²+ B Р²+Р D ²
4) СК = ВР = Н (высота)
5) АС 2 +В D 2 = H 2 + A К 2 + H 2 +Р D 2
6) Пусть D К= A Р=х , тогда C К D : H 2 = CD 2 – х 2 по теореме Пифагора)
7) АС²+В D ² = С D 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +Р D 2 ,
АС²+В D ²=2С D 2 -2х 2 + A К 2 +Р D 2
8) A К =AD+ х , Р D=AD- х ,
АС²+В D ² =2 CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,
АС
²+
В
D²=2
С
D²-2
х
² +AD
2
+2AD
х
+
х
2
+AD
2
-2AD
х
+
х
2
,
АС
²+
В
D²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+AD
2
).
V . Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5 . Найдите его большую сторону.
Дано: ABCD – параллелограмм,
АК – биссектриса
А,
D
К – биссектриса
D
, АВ=5
Найти : ВС
ешениеРешение
Т.к. АК - биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.
Т.к. D
К – биссектриса
D
, то DCK
- равнобедренный
DC =C К= 5
Тогда, ВС=ВК+СК=5+5 = 10
Ответ: 10
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
1 случай
Дано:
А,
ВК=14 см, КС=7 см
Найти: Р параллелограмма
Решение
ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)
Т.к. АК – биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.
АВ=ВК= 14 см
Тогда Р=2 (14+21) =70 (см)
случайДано: ABCD – параллелограмм,
D
К – биссектриса
D
,
ВК=14 см, КС=7 см
Найти : Р параллелограмма
Решение
ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)
Т.к. D
К – биссектриса
D
, то DCK
- равнобедренный
DC =C К= 7
Тогда, Р= 2 (21+7) = 56 (см)
Ответ: 70см или 56 см
3.Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано:
ABCD
– параллелограмм, АК – биссектриса
А,
D
К – биссектриса
D
, АВ=3 см, ВС=10 см
Найти : ВМ, МN , NC
Решение
Т.к. АМ - биссектриса
А, то АВМ – равнобедренный.
Т.к. DN
– биссектриса
D
, то DCN
- равнобедренный
DC =CN = 3
Тогда, МN = 10 – (BM +NC ) = 10 – (3+3)=4 см
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Т.к. АN
- биссектриса
А, то АВN
– равнобедренный.
АВ=В N = 3 D
А раздвижную решетку – отодвигать на необходимое расстояние в дверном проеме
Параллелограммный механизм - четырёхзвенный механизм, звенья которого составляют параллелограмм. Применяется для реализации поступательного движения шарнирными механизмами.
Параллелограмм с неподвижным звеном - одно звено неподвижно, противоположное совершает качательное движение, оставаясь параллельным неподвижному. Два параллелограмма, соединённых друг за другом, дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: стеклоочистители автобусов, погрузчики, штативы, подвесы, автомобильные подвески.
Параллелограмм с неподвижным шарниром - используется свойство параллелограмма сохранять постоянное соотношение расстояний между тремя точками. Пример: чертёжный пантограф - прибор для масштабирования чертежей.
Ромб - все звенья одинаковой длины, приближение (стягивание) пары противоположных шарниров приводит к раздвиганию двух других шарниров. Все звенья работают на сжатие.
Примеры - автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Ножничный или X-образный механизм , также известный как Нюрнбергские ножницы - вариант ромба - два звена, соединённые посередине шарниром. Достоинства механизма - компактность и простота, недостаток - наличие двух пар скольжения. Два (и более) таких механизма, соединённые последовательно, образуют в середине ромб(ы). Применяется в подъёмниках, детских игрушках.
VII Заключение
Кто с детских лет занимается математикой,
тот развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, воспитывает в себе настойчивость
и упорство в достижении цели
А. Маркушевич
В ходе работы я доказала дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедилась, что применяя эти свойства, можно решать задачи быстрее.
Я показала, как применяются эти свойства на примерах решения конкретных задач.
Я узнала много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике геометрии
Я убедилась в том, что знания геометрии очень важны в жизни на примерах применения свойств параллелограмма.
Цель моей исследовательской работы выполнена.
О том, насколько важны математические знания, говорит тот факт, что была учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. Эту премию до сих пор не получил ни один человек.
VIII Литература
ПогореловА.В. Геометрия 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2014г
Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч.математики. – М.: Вита-пресс, 2003
Ресурсы сети Интернет
материалы Википедии
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны
Первым делом проведем диагональ \(AC \) . Получаются два треугольника: \(ABC \) и \(ADC \) .
Так как \(ABCD \) - параллелограмм, то справедливо следующее:
\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) как лежащие накрест.
\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) как лежащие накрест.
Следовательно, (по второму признаку: и \(AC \) - общая).
И, значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC \) , то \(AB = CD \) и \(AD = BC \) .
2. Противоположные углы тождественны
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \) . Таким образом сумма противоположных углов равна: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \) . Учитывая, что \(\triangle ABC = \triangle ADC \) получаем \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \(AB = CD \) . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \(\triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \(BO = OD \) (напротив углов \(\angle 2 \) и \(\angle 1 \) ) и \(AO = OC \) (напротив углов \(\angle 3 \) и \(\angle 4 \) соответственно).
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны
\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
Рассмотрим подробнее. Почему \(AD || BC \) ?
\(\triangle ABC = \triangle ADC \) по свойству 1 : \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) как накрест лежащие при параллельных \(AB \) и \(CD \) и секущей \(AC \) .
Но если \(\triangle ABC = \triangle ADC \) , то \(\angle 3 = \angle 4 \) (лежат напротив \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) и \(\angle 4 \) - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны
\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \(AC \) .
По свойству 1 \(\triangle ABC = \triangle ACD \) .
Из этого следует, что: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) и \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \) , то есть \(ABCD \) - параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны
\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
\(2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \) (поскольку \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) по условию).
Получается, . Но \(\alpha \) и \(\beta \) являются внутренними односторонними при секущей \(AB \) .
И то, что \(\alpha + \beta = 180^{\circ} \) говорит и о том, что \(AD || BC \) .
Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.
Вконтакте
Определение параллелограмма
Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.
Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.
Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.
Стороны и углы: особенности соотношения
Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:
- Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
- Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.
Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).
Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.
Характеристики диагоналей фигуры
Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.
Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.
AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.
Особенности смежных углов
У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Свойства биссектрисы:
- , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
- противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
- треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.
Определение характерных черт параллелограмма по теореме
Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.
Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.
Вычисление площади фигуры
Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.
Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:
Другие способы нахождения площади
Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.
,
Sпр-ма - площадь;
a и b - его стороны
α - угол между отрезками a и b.
Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.
Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.
Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.
Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:
.
Применение в векторной алгебре
Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.
Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .
Формулы для вычисления параметров параллелограмма
Тождества приведены при следующих условиях:
- a и b, α - стороны и угол между ними;
- d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
- h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр | Формула |
Нахождение сторон | |
по диагоналям и косинусу угла между ними | |
по диагоналям и стороне | |
через высоту и противоположную вершину | |
Нахождение длины диагоналей | |
по сторонам и величине вершины между ними | |
по сторонам и одной из диагоналей | ВыводПараллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни. |
Тема урока
- Свойство диагоналей параллелограмма.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Параллелограмм, его свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Самостоятельная проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Свойство противолежащих сторон параллелограмма
У параллелограмма противолежащие стороны равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.
Свойство противолежащих углов параллелограмма
У параллелограмма противолежащие углы равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Свойство диагоналей параллелограмма
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO.
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.
Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.
О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.
Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.
Вопросы
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
- Диагонали параллелограмма равны?
- Противолежащие углы параллелограмма равны?
- Сформулируйте определение параллелограмма?
- Сколько признаков параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограмом?
Список использованных источников
- Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
- «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
- Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А. В.
Потурнак С.А.
Евгений Петров
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.